26 CONHECENDO SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES

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ATIVIDADE 26: CONHECENDO SISTEMAS DE 
 DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 COM DUAS INCÓGNITAS. 
 
OBJETIVOS: Equacionar um problema utilizando duas variáveis por 
 meio de um sistema de equações. 
 Resolver graficamente um sistema de equações do 1º 
 grau e interpretar o significado da solução gráfica. 
 
PARTE 1: INTRODUZINDO SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES DO 1º 
 GRAU COM DUAS INCÓGNITAS. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Podemos iniciar o estudo de sistemas de equações com 
problemas que recaiam em equações do 1º grau com duas incógnitas. E a partir 
da tradução do problema, da experimentação de soluções, discuta a existência 
de muitas soluções para cada sentença. 
 Como sugestão, trabalharemos com os seguintes problemas: 
 
 Problema 1: A 7ª série A é uma classe com 33 estudantes. 
Qual poderia ser o número de rapazes? 
 Peça aos alunos para organizarem as possíveis respostas numa 
tabela como a que segue, colocando na coluna rapazes, o número de rapazes, 
 
na coluna moça, o número de moças e na coluna moça + rapazes, a soma de 
número de rapazes e o número de moças. 
 
rapazes moças moças + rapazes 
 
 
 
 
 
 
 Neste problema, a equação: 
 
 rapazes + moças = 33 
 
 
é uma equação do 1º grau com duas incógnitas, que são “moças” e “rapazes”. 
Ela possui várias soluções e algumas delas são: 
 
rapazes = 0 e moças = 33 rapazes = 33 e moças = 0 
rapazes = 1 e moças = 32 rapazes = 32 e moças = 1 
rapazes = 2 e moças = 31 rapazes = 31 e moças = 2 
rapazes = 3 e moças = 30 rapazes = 30 e moças = 3 
 
 
 As equações do 1º grau, que possuem mais de uma incógnita, 
geralmente têm muitas soluções. 
 Em seguida acrescente ao problema a informação:
 
 Problema 2: O dono da cantina 
para não ter que mudar a tabela de preços diariamente, 
introduziu uma “moeda”, que batizou de upl (unidade 
de preço dos lanches). 
 
 
 Nesta 7ª série com 33 estudantes, cada aluno tem uma só 
“moeda”. Alguns têm “moedas” de 4 upl e outros têm “moedas” de 8 upl. 
Juntando todas as 33 “moedas”, o total de upl é 180. Quantos são os alunos 
que possuem “moedas” de 4 upl e quantos são os alunos que possuem 
“moedas” de 8 upl? 
 Solicite que organizem as possíveis respostas numa tabela, de 
6 colunas, colocando na: 
 
 Coluna “ moeda4”, o número de moedas de 4 upl. 
 Coluna “moeda8”, o número de moedas de 8 upl. 
 Coluna “moeda4 + moeda8”, a soma do número de moedas 
de 4 upl com o número de moedas de 8 upl. 
 Coluna “4 x moeda4”, a quantia em upl, resultante do 
número de moedas de 4 upl. 
 Coluna “8 x moeda8”, a quantia em upl, resultante do número 
de moedas de 8 upl. 
 E coluna “ 4 x moeda4 + moeda8”, a quantia total da classe, 
em upl. 
 Por exemplo, supondo que fossem 5 moedas de 4 upl, então 
haveria 28 moedas de 8 upl. 
 
 
 
 
Moeda4 Moeda8 Moeda4+moeda8 4xmoeda4 8xmoeda8 4xmoeda4+8xmoeda8 
5 28 33 20 224 244 
 
 
 
 
 
 Neste caso, são duas as equações que traduzem as condições 
do problema: 
 1ª) moeda 4 + moeda8 = 33. 
 A soma do número de moedas de 4 upl com o número de 
moeda de 8 upl é 33. 
 2ª) 4 x moeda4 + 8 x moeda8 = 180. 
 
 A quantia total da classe, em upl, é 180. 
 
 As duas equações são de 1º grau com duas incógnitas. 
 As incógnitas são: 
 
 moeda4 e moeda8 
 
 O número de moedas de 4 upl igual a 21 e o número de 
moedas de 8 upl igual a 12, satisfazem as condições do problema. 
 
 1ª) 21 + 12 = 33 
 2ª) 4 x 21 + 8 x 12 = 180 
 Problema 3: Numa garagem estão estacionados automóveis e 
motos. Há 42 veículos e 132 pneus ( sem contar os estepes, que são os pneus 
 
de reserva). Quantos são os automóveis e quantos são as motos? 
 
 Uma resolução: 
 
 42 x 2 = 84 Todos os veículos tem pelo menos 2 pneus. 
 132 – 84 = 48 A diferença 48 é o número de pneus que os automóveis 
 tem a mais que as motos. 
 48 ; 2 = 24 24 é o número de automóveis. 
 42 – 24 = 18 18 é o número de motos. 
 
 Ou: 
 
 42 x 4 = 168 Se todos os 42 veículos fossem automóveis, haveria 
 168 pneus. 
 168 – 132 = 36 Podemos concluir que existem motos, pois há 36 pneus 
 a mais que a informação dada, se considerarmos que 
 todos os veículos são automóveis. 
 36 : 2 = 18 Para cada automóvel que tiramos dos 42 veículos são 
 necessárias duas motos. Logo, o número de motos é 
 igual a 18. 
 Outra solução possível dos alunos, é por tentativas. 
 Supõem-se um número de motos, e obtém se o número de 
carros, calculando a diferença entre 33 e o número suposto. Sabendo que as 
motos têm 2 pneus e os carros, 4 pneus, verificam a outra condição do 
problema, com os valores atribuídos. 
 Neste caso, peça que organizem as várias tentativas numa 
tabela, colocando: 
 Na coluna motos, o número de motos. 
 
 Na coluna automóveis, o número de automóveis. 
 Na coluna motos + automóveis, a soma dos veículos. 
 E na coluna 2 x moto + 4 x carros, o total de pneus. 
 
motos carros motos + carros 2 x moto + 4 x carros 
 
 
 
 
 
 Solicitem que destaquem os valores de motos e carros que 
satisfazem as duas condições do problema: 
motos + automóveis = 33 
2 x motos + 4 x automóveis = 132 
 
 Diga-lhes que as duas equações com soluções simultâneas 
formam um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas e que para 
resolver um problema precisamos encontrar números, que substituídos no lugar 
das incógnitas, nas duas equações, torna-as verdadeiras. Neste problema, os 
valores: 
 motos = 18 e 
 automóveis = 24, 
 
satisfazem as duas equações do sistema. 
 É comum, indicar as incógnitas por letras do nosso alfabeto e 
escrever as equações, usando essas letras. Por exemplo, denominando o 
número de motos por m e o número de automóveis por a, o sistema fica 
representado por: 
 
m + a = 42 
3 . m + 4 . a = 132 
 
se indicarmos o número de moto por x e o número de automóveis por y, o 
sistema fica representado por: 
 
x + y = 42 
2.x + 4y = 132 
 
 Problema 4: Num concurso com 20 questões, os candidatos 
ganham 5 pontos por questões que acertam e perdem 3 pontos por questões que 
erram e não podem deixar nenhuma questão “em branco”. Quantas questões 
acertou um candidato que obteve 36 pontos? 
 Peça que resolvam por tentativas e encontrem a solução dos 
sistema, ou seja os números que satisfazem as duas equações simultaneamente. 
 Espera-se que encontrem como resposta os valores 12 para os 
acertos e 8 para os erros.