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Operações básicas APRESENTAÇÃO Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos as operações básicas da Matemática por meio de exemplos e aplicações. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Aprender e ensinar cada uma das operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. • Identificar a ordem de solução das operações básicas.• Resolver problemas envolvendo as operações básicas da Matemática.• DESAFIO Considere a seguinte situação: Um pai vendeu uma fazenda por R$200.000,00 e resolveu dividir o valor entre seus quatro filhos. A divisão foi de modo que o 1o filho recebeu o triplo do que recebeu o 2o filho. Este, por sua vez, recebeu R$15.000,00 a mais do que recebeu o 3o filho e o 4o filho recebeu R$10.000,00 a menos do que recebeu o 3o filho. Agora, determine o valor que cada filho recebeu. INFOGRÁFICO O infográfico a seguir esquematiza as prioridades das operações básicas da Matemática. CONTEÚDO DO LIVRO Leia o capítulo Operações Básicas, do livro Fundamentos de Matemática,e aprenda mais sobre o ensino das operações básicas da Matemática. Boa leitura. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Luciana Maria Margoti Araujo Operações básicas Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Aprender e ensinar cada uma das operações básicas da matemática: adição, subtração, multiplicação e divisão. � Identificar a ordem de solução das operações básicas. � Resolver problemas envolvendo as operações matemáticas. Introdução Neste capítulo, você aprenderá sobre as operações básicas em mate- mática, uma vez que é muito comum que, no seu dia a dia, você precise utilizá-las. Ao comprar certa quantidade de alimento, materiais escolares, roupas, etc., é necessário que você tenha em mente, além de números, operações que podem ser realizadas com eles. O uso da matemática vai além de resoluções de problemas em sala de aula. Essa ciência integra uma parte muito importante da nossa con- vivência em sociedade, na resolução de problemas e situações aos quais, constantemente, estamos sujeitos. Operações básicas Adição A operação de adição permite que você trabalhe juntando quantidades. Por exemplo, suponha que você tenha três bolas e seu amigo, duas. Imagine, agora, que vocês desejam juntar as duas quantidades. Você pre- cisará, então, fazer uma contagem da nova quantidade de maneira sequencial. Este é o princípio da adição: quando dois números a e b, pertencentes aos números reais e submetidos à operação de adição, forem somados, você terá como resultado um número c, também pertencente ao conjunto dos números reais. Conforme o exemplo da soma das duas quantidades de bolas: 3 + 2 = 5 em que os números 3 e 2 são as parcelas da operação e 5 é a soma ou total. É possível somar qualquer quantidade e obter um resultado. Para facilitar a operação com números de maior grandeza, podemos organizá-los de forma a facilitar a soma de quantidades. Suponha, agora, que, em um condomínio, haja 70 moradores no prédio A e 85 no prédio B. Caso seja necessário determinar o número total de moradores dos dois prédios, podemos organizar as parcelas conforme mostrado a seguir e somar as unidades e, depois, as dezenas: 70+ 85 155 totalizando 155 moradores. Sempre que os números a serem somados terem casas além de unidades e dezenas, o procedimento para realizar a adição será o mesmo: as unidades da primeira parcela serão somadas com as unidades da segunda; as dezenas da primeira parcela serão somadas com as dezenas da segunda; as centenas da primeira parcela serão somadas com as centenas da segunda; e assim por diante. Subtração É a operação inversa da adição, em que se diminui ou subtrai quantidades. Suponha que você possua 15 livros em sua estante e tenha emprestado 3 a um colega de escola. Ao contar a quantidade de livros restantes, você verificará que 12 estão na estante, agora. Essa operação realizada diminui 3 livros dos 15 existentes. Assim como na adição, a subtração é realizada entre a unidade do primeiro número com a unidade do segundo número; a dezena do primeiro número com a dezena do segundo; e assim por diante. Esses números a serem subtraídos também podem ser organizados con- forme a seguir: 15– 3 12 em que o número 15 é chamado de minuendo, o número 3, de subtraendo, e o 12, de resto ou diferença. Operações básicas2 Dessa maneira, quando dois números a e b, pertencentes aos números reais e submetidos à operação de adição, forem somados, você terá como resultado um número c, também pertencente ao conjunto dos números reais: a+b=c. Então, temos que c-b=a ou, ainda, c-a=b. Multiplicação A multiplicação é uma operação que representa a soma de várias parcelas iguais, da mesma quantidade. Suponha que você possui 6 saquinhos contendo, em cada um, 10 balas. Agora, você precisa saber quantas balas possui. Para resolver esse problema, você somará a quantidade de balas em cada saquinho (10) 6 vezes. Ou seja, você precisará contar 6 parcelas de 10, ou seja: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 ou: 6 × 10 = 60 Em uma multiplicação em que m, n e p são pertencentes aos números reais, m × n = p m e n são chamados de fatores ou multiplicadores, e p, que é o resultado, é chamado de produto. Divisão A operação inversa da multiplicação é a divisão, que consiste em separar quantidades iguais de um mesmo conjunto. Supomos que, ao comprar 60 balas, você precisaria distribuí-las entre 6 pessoas, em quantidades iguais. Dessa maneira, cada pessoa ganharia 10 balas, e não sobrará nenhuma. Uma vez que: m × n = p temos que: p ÷ m = n 3Operações básicas Em uma divisão, os números, de acordo com sua posição, também recebem nomes específicos: 60 6 0 10 Nesta operação, o número 60 é chamado de dividendo; o 6, de divisor; o 10, de quociente; e o zero, de resto. Todas as vezes que, em uma divisão, você obtiver resto igual a zero, ela é exata. Mesmo quando a divisão não for exata, é possível realizá-la, porém o resto será diferente de zero. Dividiremos 35 por 3 e verificaremos o resultado: 35 3 –33 11 2 A divisão de 35 por 3 resulta em 11, com resto igual a 2. � Em uma gincana, a escola foi dividida em 2 equipes. Na tarefa de arrecadação de dinheiro para ajudar instituições de saúde, a primeira equipe arrecadou R$356,00, e a segunda equipe, R$274,00. Qual foi o total arrecadado? 356+ 274 630 O total arrecadado foi de R$630,00. � Um bazar beneficente foi aberto, contando com 142 peças de roupas. Ao final do dia, havia sido vendidas 45 peças. Quantas peças de roupas restaram para o próximo dia de bazar? 142 – 45 97 Operações básicas4 � Em uma sala de aula, foram contadas 7 filas de 8 carteiras cada uma. Qual é o número máximo de alunos que essa sala comporta? 7 × 8 56 � Um pacote de 500 folhas foi aberto para ser dividido, em quantidades iguais, aos 37 alunos. Quantas folhas cada aluno receberá? Nessa divisão, sobrará alguma folha no pacote? 50’0 37 –37 13 130 –111 19 Cada aluno receberá 13 folhas, restando 19 no pacote. Ordem de solução das operações básicas Ao realizar operações simultâneas, algumas regras devem ser seguidas, evi- tando a ocorrência de erros no resultado final. Em uma expressão matemática, a multiplicação e a divisão têm prioridade de resolução à adição e subtração. Assim: 2 + 4 × 3 Primeiro, será necessário resolver a multiplicação: 4 × 3 = 12 Posteriormente, somar o resultado com 2: 2 + 12 = 14 Quando a expressão conter somente adição e subtração, não há prioridade de resolução. Para evitar erros por esquecimento de algum termo, comece sempre da esquerda para a direita, realizando o cálculo de dois em dois elementos. O resultado da operação com os dois primeiros será utilizado junto ao terceiro, e assim por diante: 5Operações básicas 5 + 3 – 2 + 9 – 6= 9 Uma vez que: 5 + 3 = 8 8 – 2 = 6 6 + 9 = 15 15 – 6 = 9 O mesmo ocorre se a expressão for composta somente de multiplicação e divisão: 35 ÷ 5 × 2 = 14 Ou: 35 ÷ 5 = 7 7 × 2 = 14 Em uma expressão que contenha multiplicação ou divisão e adição ou sub- tração, caso seja necessário realizar a adição ou subtração primeiro, você deve indicar com parênteses a operação que precisa de prioridade, conforme segue: 5 × (3 + 2) = 5 × 5 = 25 Para estabelecer prioridades em expressões que contenham várias ope- rações, utilizamos os parênteses. Caso seja necessária outra indicação de prioridade, utilizamos os colchetes e, por fim, as chaves. {7× [16 – (4 + 5) –2] +3} ÷ 3 Conforme mencionado, a ordem de prioridade é a operação entre parênteses, depois, a que está entre colchetes e a que está entre chaves. Realizando as operações, considerando as prioridades, temos: {7× [16 – 9 –2] +3} ÷ 3 {7 × 5 + 3} ÷ 3 {35 + 3} ÷ 3 38 ÷ 3 Operações básicas6 Como 38 não é um número que, dividido por 3, dá uma divisão exata, nessa expressão, teremos como resultado 12 com resto igual a 2. Em outro exemplo, resolveremos a expressão: 8 – {6 – 4 × 7 + [15 ÷ 3 + (11 – 4) ×3] +5}= 8 – {6 – 4 × 7 + [15 ÷ 3 + 7 × 3] +5}= 8 –{6 – 4 × 7 + [5 + 21] +5}= 8 – {6 – 4 × 7 + 26 + 5}= 8 – {6 – 28 + 26 + 5}= 8 – {6 – 28 + 26 + 5}= 8 – 9 = –1 Dentro de cada um dos símbolos (parênteses, colchetes e chaves), a prioridade de operações segue a que já foi mencionada (multiplicação e divisão e, depois, adição e subtração). Problemas envolvendo operações matemáticas Assim como nas expressões, é necessário estar atento à resolução de problemas, no que diz respeito à prioridade de operação. A seguir, alguns problemas que o ajudarão a entender melhor as operações matemáticas, com a aplicação de prioridades. 1. Em uma festa junina, a barraca de doces resolveu fazer pipoca, canjica e cocada. Serão necessários 2 kg de milho de pipoca, 3 kg de milho de canjica, 1 kg de amendoim, 5 kg de açúcar e 4 kg de coco ralado. Ao fazer um orçamento, os preços de cada item por quilograma foram de R$ 2,00, R$ 3,00, R$ 4,00, R$ 2,00 e R$ 5,00, respectivamente. Qual será o valor investido nos materiais para produção dos doces da barraca? Como cada item tem quantidade e preço diferentes, será necessário saber quanto custará o total de cada e somar para se obter o custo final: 2 × 2 + 3 × 3 + 1 × 4 + 5 × 2 + 4 × 5 = ? 7Operações básicas Como a prioridade já é da multiplicação, que define quanto será investido em cada material diferente, não será necessário utilizar os símbolos (, [ ou {. 4 + 9 + 4 + 10 + 20 = 47 Deverão ser investidos R$ 47,00 para produção dos alimentos que serão vendidos na barraca. 2. Em uma viagem, você está na cidade A e precisará fazer 2 paradas. Sua primeira parada é a cidade B, que está a 467 km de distância do ponto de partida. Após, seguirá com destino à cidade C, percorrendo 33 km a partir do ponto B. Considerando que seu carro percorra 10 km para cada litro de gasolina e a gasolina tem um custo de R$ 5,00, qual será o valor gasto em combustível para realizar a viagem? Antes de qualquer coisa, você precisa saber quantos quilômetros per- correrá no total: 467 + 33 = 500 Como você percorrerá 500 km, e seu carro consome 1 litro de gasolina a cada 10 km, para definir quantos litros de gasolina serão necessários: 500 ÷ 10 = 50 Ou seja, você precisará de 50 litros de gasolina. Por fim, para determinar quanto gastará com essa quantidade de combustível, basta multiplicar o valor do litro de gasolina pela quantidade a ser comprada: 5 × 50 = 250 Assim, serão necessários R$ 250,00 em gasolina para a viagem. Para representar esse problema em uma única expressão matemática, considerando a ordem dos cálculos realizados: [(467 + 33) ÷ 10] × 5 = 250 Operações básicas8 CHAMBERS, P.; TIMLIN, R. Ensinando matemática para adolescente. 2. ed. Porto Alegre: Penso, 2015. SMOLE, K.S.; MUNIZ, C. A. (Org.). A matemática em sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2013. SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Jogos de matemática: 6º ao 9º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. (Cadernos de Mathema). 9Operações básicas Conteúdo: DICA DO PROFESSOR Este vídeo apresenta mais esclarecimentos sobre as operações básicas de Matemática. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! EXERCÍCIOS 1) Você tinha 18 balas e comprou mais 16 para dividi-las igualmente entre você e um amigo, mas resolveu comer duas balas antes. Então, quantas balas cada um ganhará? A) 8. B) 9. C) 16. D) 17. E) 32. 2) Carla está na fila de atendimento dos caixas de um banco. Sua senha é a de número 17. Sabe-se que há apenas um caixa funcionando que leva, em média, dois minutos para atender o cliente. Assim, defina quantos minutos Carla gastará na fila até ser atendida: A) 8. B) 16. C) 17. D) 32. E) 34. 3) Carlos analisa o custo de uma viagem de carro. Sabe-se que para a distância entre Belo Horizonte e Ouro Preto, um carro, modelo a gasolina, consome 25 litros, e outro, modelo a álcool, consome 38 litros. Considerando que o preço do litro de gasolina é R$3,80, e o preço do litro de álcool é R$2,80, marque a opção CORRETA sobre o custo de cada modelo nesta viagem: A) O carro a gasolina gastará R$106,40, e o carro a álcool gastará R$95,00 de combustível. B) A diferença no custo entre as opções é de R$11,40, sendo o modelo a gasolina mais econômico. C) O carro a gasolina gastará R$10,64, e o carro a álcool gastará R$9,50 de combustível. D) A diferença no custo entre as opções é de R$11,40, sendo o modelo a álcool mais econômico. E) O carro a gasolina gastará R$1.064,00, e o carro a álcool gastará R$950,00 de combustível. 4) O preço de uma corrida de táxi é calculado a partir de uma taxa fixa, chamada "bandeirada", e uma variável, de acordo com o número de quilômetros rodados. Em Belo Horizonte, a "bandeirada" é R$5,50, o preço por quilômetro rodado é R$1,40 e R$30,00 por hora parada. A partir desses dados, assinale a opção CORRETA: A) Em uma corrida de táxi de 15km, o passageiro pagará R$5,50. B) Em uma corrida de táxi de 20km, o passageiro pagará R$28,00. C) Se o passageiro pagou R$33,50 e não teve pagamento por hora parada, então o percurso foi de 24km. D) Se o passageiro pagou R$63,50 e teve o pagamento por hora parada, então o percurso foi de 24km. E) Em uma corrida de táxi de 8km, o passageiro pagará R$46,70, uma vez que o taxista ficou mais uma hora parado esperando pelo cliente. 5) Laura foi ao shopping e gastou um total de R$4.000,00. Como forma de pagamento, ela pagou R$800,00 de entrada, e o restante da dívida foi parcelado em cinco prestações mensais iguais. Qual é o valor de cada prestação? A) R$800,00. B) R$640,00. C) R$160,00. D) R$3.200,00. E) R$4.000,00. NA PRÁTICA Veja a seguir uma aplicação prática das operações matemáticas. SAIBA MAIS Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: Operações básicas da matemática Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
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