O lugar da matemática escolar na Licenciatura em Matemática

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O Lugar da Matemática Escolar na Licenciatura
em Matemática
School Mathematics in Mathematics Teacher Education
Programs
Wagner Rodrigues Valente*
Resumo
Considerando o tema da formação matemática do futuro professor, este texto analisa a
importância em se considerar os conteúdos elementares matemáticos no curso de
licenciatura. Para isso, aborda a matemática escolar sob dois aspectos: epistemológico e
histórico. Na abordagem, o estudo considera como aportes teóricos os textos de
historiadores como André Chervel, Dominique Julia e Roger Chartier. Constituem fontes
de pesquisa para a discussão estudos e investigações recentes sobre o papel da História
da Matemática na formação de educadores e as potencialidades da História da educação
matemática. Por fim, defende-se a inclusão da História da educação matemática como
uma metodologia para a formação de professores de matemática.
Palavras-chave: Formação de Professores de Matemática. Matemática Escolar. História
da Matemática. Resolução de Problemas.
Abstract
This paper analyzes the importance of considering the elementary mathematics contents
in Mathematics Teacher Degree programs, given the subject of mathematical training of
future teachers. Two aspects of elementary mathematics are addressed: historical and
epistemological. The study considers theoretical contributions of historians like Andrew
Chervel, Dominique Julia and Roger Chartier. Sources for analysis in the research included
* Livre Docente pelo Departamento de Educação e professor adjunto da Universidade Federal de São
Paulo (UNIFESP), São Paulo, SP, Brasil. Coordenador do GHEMAT – www.unifesp.br/centros/
ghemat. Endereço para correspondência: Estrada do Caminho Velho, 333, Bairro dos Pimentas,
CEP: 07252-312, Guarulhos, SP, Brasil. E-mail: wagner.valente@unifesp.br
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recent studies on the role of the history of mathematics and the potential of history of
mathematics education. Finally, the paper advocates the inclusion of the history of
mathematics education as a methodology for mathematics teacher education.
Keywords: Teacher’s Education of Mathematics. Mathematics Education. History of
Mathematics. Problem Solving.
1 Considerações preliminares
A discussão sobre o papel da matemática escolar nos cursos de
Licenciatura em Matemática parece não ser nova. Como o futuro professor
poderá ser formado, se não domina os conhecimentos básicos de matemática?
Terá consequência importante realizar revisões dos saberes elementares
matemáticos nos cursos de licenciatura?
Se essa discussão do papel da matemática escolar na formação do
professor não é nova, também, já há algum tempo, têm sido elaborados trabalhos
com vistas à caracterização do estatuto epistemológico da matemática escolar.
Uma matemática adaptada, vulgarizada para o ensino? Uma matemática que
resulta de transposições didáticas? Um saber que tem origem no desenvolvimento
histórico da escola?
Ao que tudo indica esses dois eixos de discussão – o do papel da
matemática da escola básica e o do estatuto epistemológico da matemática
escolar – não têm produzido análises conjuntas e permanecem apartados um do
outro.
Este texto busca realizar o esforço de abordar o tema da matemática
da escola básica nos cursos de formação de professores de matemática, levando
em conta as dimensões epistemológica e didática do assunto. Dessa forma,
busca dar uma contribuição à análise sobre o estatuto epistemológico da
matemática escolar, articulando-a com a necessidade de abordá-la nos cursos
de licenciatura.
O trabalho advoga a necessidade de os cursos de Licenciatura em
Matemática reservarem um lugar, no currículo, para a abordagem da matemática
da escola básica numa perspectiva histórica. Defende, ainda, que essa perspectiva
poderá contribuir com a formação matemática do professor, na medida em que
possibilita ao futuro mestre travar experiências com a construção dos
conhecimentos elementares matemáticos, ferramentas de trabalho do profissional
docente.
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2 Que Matemática na formação do professor de matemática?
Muitos estudos têm sido desenvolvidos para responder a essa indagação.
Para referenciar o assunto, consideramos o trabalho dos pesquisadores Manuela
David e Plínio Moreira. Em colaboração, esses investigadores elaboraram o
estudo intitulado O conhecimento matemático do professor: formação e
prática docente na escola básica. Nas conclusões do trabalho, tem-se:
O estudo que apresentamos procurou mostrar que a
abordagem lógico-dedutiva – nos termos em que se organiza
a matemática científica – não somente é insuficiente para a
sistematização da matemática escolar como é também muitas
vezes inadequada. Essa inadequação provém de várias
características apontadas no estudo, mas uma das principais
está associada ao fato de que a abordagem lógico-dedutiva
é profundamente “econômica” na busca da “essência
abstrata” dos conceitos e de características gerais das
estruturas matemáticas particulares. Isso muitas vezes
resulta numa identificação de certas interpretações e
construtos associados aos conceitos ou às estruturas que,
do ponto de vista da matemática escolar, é
fundamentalmente inconveniente identificar. Em suma, o
que o estudo nos sugere é que, tendo em vista as
inadequações e insuficiências apontadas, a articulação do
processo de formação na licenciatura com as questões
postas pela prática docente escolar, mais do que tentar
integrar à prática escolar uma formação específica orientada
pela matemática científica – o fracasso histórico das
disciplinas integradoras reforça a hipótese de que tal
formação possa não ser “integrável” – demandaria uma
concepção de formação “de conteúdo” que leve em conta
a especificidade do destino profissional do licenciado e
tome como referência central a matemática escolar. Isso
pressupõe evidentemente o desenvolvimento, por meio de
outros estudos e pesquisas, de uma compreensão
aprofundada das relações entre matemática científica e
matemática escolar e do papel de cada uma delas na prática
docente escolar (DAVID; MOREIRA, 2005, p. 59).
A longa citação coloca em debate questões epistemológicas relativas à
matemática e à matemática escolar. A análise das relações entre essas duas
matemáticas é tema de estudos, com diferentes posicionamentos teórico-
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metodológicos, já de algum tempo. Um deles, nos parece, refere-se aos estudos
estreitamente ligados ao campo didático, em cujo contexto a transposição
didática é elemento emblemático2. Outro aporte teórico-metodológico liga-se à
compreensão das relações entre matemática científica e matemática escolar,
ao longo do tempo, em termos da produção dos saberes elementares matemáticos.
No segundo caso, os estudos têm caráter histórico. Em nossas pesquisas, optamos
por essa perspectiva, com o intuito de trazer uma contribuição ao debate, sobre
o papel da História da educação matemática na formação do professor de
matemática. Explicitando um pouco a nossa perspectiva, para o trato histórico
do tema, cabe discorrer, mesmo que de modo bastante sintético, sobre história
cultural e história das disciplinas escolares, que configuram o enquadramento
teórico deste texto.
3 História Cultural, História das Disciplinas Escolares e questões
epistemológicas
Dada a sua complexidade e extensão, não é tarefa simples caracterizar,
em poucas linhas, como se dá a pesquisa que tem por referência a História
Cultural. No entanto, algumas balizas parecem indicar o caminho a seguir nesses
estudos. Uma delas refere-se ao tratamento dado ao termo cultura. O historiador
francês Roger Chartier menciona haver duas famílias de significados para ele:
uma delas é a que designa por cultura as obras e os gestos que, em uma dada
sociedade,se subtraem das urgências do cotidiano para submeterem-se a um
juízo estético ou intelectual; a outra família se refere às práticas ordinárias através
das quais uma sociedade ou um indivíduo vivem e refletem sobre sua relação
com o mundo, com os outros ou consigo mesmo (CHARTIER, 2007, p. 50).
Assim, considerando a segunda acepção, que toma a noção de cultura agarrada
a um grupo e à sua vida comum de existência, nos localizamos no âmbito de
uma História Cultural; em específico, à vida cotidiana das escolas, aos significados
construídos no meio escolar que dão vida e funcionamento ao dia-a-dia
pedagógico. Ou seja, ao que se pode chamar de cultura escolar. E, nesse
contexto, interessam as transformações ao longo do tempo que ocorrem com a
matemática nela presente: a matemática escolar.
Faz já mais de uma vintena de anos que um texto de André Chervel vem
constituindo referência fundamental para o estudo das disciplinas escolares.
2 A referência a estudos que tomam essa perspectiva remete ao pesquisador francês Yves Chevallard
e sua obra basilar “La transposition didactique – du savoir savant au savoir enseigné” (VALENTE,
2005, p. 29).
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Esse pesquisador traz contribuição fundamental, a partir de suas pesquisas sobre
a gramática escolar francesa, à análise dos conteúdos escolares. Chervel (1990),
de modo original, analisa historicamente as relações entre ciência, pedagogia e
as disciplinas escolares. Para Chervel, a forma consagrada de tratamento dos
ensinos escolares pode ser sintetizada, considerando-se que:
Na opinião comum, a escola ensina as ciências, as quais
fizeram suas comprovações em outro local. Ela ensina à
gramática porque a gramática, criação secular dos
linguistas, expressa a verdade da língua; ela ensina as
ciências exatas, como a matemática, e, quando ela se
envolve com a matemática moderna é, pensa-se, porque
acaba de ocorrer uma revolução na ciência matemática; ela
ensina a história dos historiadores, a civilização e a cultura
latina da Roma antiga, a filosofia dos grandes filósofos, o
inglês que se fala na Inglaterra ou nos Estados Unidos, e o
francês de todo o mundo (CHERVEL, 1990, p. 180).
Contrapondo-se a essa concepção comum, os estudos de Chervel
apontam a originalidade das produções escolares, em termos de elaboração das
disciplinas. Elas são o resultado histórico do que a escola produz ao longo dos
séculos de sua existência. E, mais: ajunte-se a isso, uma verdadeira revolução
epistemológica na forma de analisar os conteúdos escolares. O tema surge quando
o autor aborda as relações entre ciência, pedagogia e disciplinas escolares. A
concepção comum existente sobre os ensinos escolares, mencionada
anteriormente, ancora-se, igualmente, num modo clássico de perceber a
pedagogia: um lubrificante que age sobre os conteúdos produzidos pela
comunidade científica, de modo a vulgarizar a ciência para crianças e
adolescentes. Tratar-se-ia de uma metodologia, de modos de trabalhar os
conteúdos de maneira a que pudessem ser ensinados. Segundo essa visão tem-
se: de um lado os conteúdos científicos e, de outro, os métodos. Em suma:
Ciências apartadas da Pedagogia.
No entanto, o trabalho de André Chervel rompe com essa perspectiva à
medida que alerta para o fato de que:
Excluir a pedagogia do estudo dos conteúdos é condenar-
se a nada compreender do funcionamento real dos ensinos.
A pedagogia, longe de ser um lubrificante espalhado sobre
o mecanismo, não é senão um elemento desse mecanismo;
aquele que transforma os ensinos em aprendizagens
(CHERVEL, 1990, p. 182).
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Este texto adota essa postura teórico-metodológica. Desse modo, não
separa método e conteúdo, pedagogia e ciência na escola, matemática e
pedagogia. De outra parte, ajunta análises do historiador Dominique Julia à
perspectiva considerada por André Chervel, sobre as disciplinas escolares e a
cultura escolar. Ao que tudo indica, esse último pesquisador melhor analisa a
positividade da escola e seu papel de produtora de conhecimento quando pondera
que, no estudo da cultura escolar – ambiência produtora das disciplinas escolares
– é imperativo que se analise, precisamente, “as relações conflituosas ou pacíficas
que ela mantém, a cada período de sua história, com o conjunto das culturas que
lhe são contemporâneas: cultura religiosa, cultura política ou cultura popular”
(JULIA, 2001, p. 10).
Assim, este texto considera a matemática escolar como referente
fundamental do trabalho didático-pedagógico do professor de matemática,
produzido historicamente no embate da cultura escolar com outras culturas, em
especial com a cultura matemática, vista como a matemática acadêmica, uma
cultura do ensino de matemática em nível superior.
4 A matemática escolar na formação de professores: recurso ou
metodologia?
Uma discussão que parece muito importante, em termos das práticas
pedagógicas do professor de matemática, diz respeito aos elementos envolvidos
em sua ação didática com vistas à aprendizagem da matemática escolar por
seus alunos. Dentre esses elementos, o professor lança mão de metodologias e
de recursos. O exemplo da resolução de problemas é emblemático para esta
discussão. E, nesse caso, a afirmação de uma prática pedagógica que incorpore
as tendências da Educação Matemática3, leva em conta a resolução de problemas
como uma metodologia e não como um mero recurso de ensino. Uma das
referências mais importantes sobre esse tema – os estudos da professora e
pesquisadora Lourdes Onuchic – destaca o movimento em torno da resolução
de problemas, em sua passagem de recurso para metodologia. No seu entender,
a partir do final da década de 1980, os pesquisadores começam a discutir novas
3 Tendências da Educação Matemática é título que vem sendo utilizado para designar novas
possibilidades trazidas pelo desenvolvimento do campo da Educação Matemática. Referências
curriculares, livros, disciplinas dos cursos de formação de professores e outras apropriações do título
acabam relacionando o uso da tecnologia, da resolução de problemas, da História da Matemática, da
modelagem matemática, da Etnomatemática dentre outros elementos, como novas possibilidades
para as práticas pedagógicas do professor de matemática.
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perspectivas didático-pedagógicas dessa alternativa de ensino. Assim, a resolução
de problemas “[...] passa a ser pensada, então, como uma metodologia de ensino,
como um ponto de partida e um meio de se ensinar matemática. Essa forma de
ensinar matemática passa a ser vista como um modelo ‘pós-Polya’” (ONUCHIC,
2008, p. 7).
Problemas nas aulas de matemática têm referência longínqua. Ao correr
do tempo, o significado de seu uso parece estar ligado, sobretudo, como um
recurso de fixação do conteúdo matemático. Algo muito diferente refere-se à
sua utilização como uma metodologia. Sob esse aspecto, leva-se em conta que
a formulação de problemas matemáticos é um meio de possibilitar que os
estudantes estejam em situação de construção do conhecimento matemático,
em sua aprendizagem. Dessa forma, o estudante, diante de situações que precisam
ser resolvidas por meio da Matemática, lança mão de conhecimentos que já
possui. No entanto, esses conhecimentos revelam-se insuficientes. Impulsionado
a resolver a situação problemática, o estudante constrói novos aportes provisórios
de fundo matemático que, no processo de trabalho coletivo com a classe, e com
a mediação do professor, resultará na sistematização e aquisição de novos
conceitos. Dessa forma, a resolução de problemas implica na aquisição de novos
conteúdos matemáticos, diferentemente de seu uso como recurso para fixação
de conteúdos já ensinados. Resolver problemas passa, dessa maneira, a
representar um modo de aquisição de conteúdos matemáticos e não,
simplesmente, um ingrediente de verificação do quanto um estudantefixou ou
não os ensinos do professor.
Estudos mostram que há muitas dificuldades no cotidiano escolar em
considerar a presença da resolução de problemas enquanto uma metodologia
(MEDEIROS, 2012; TRINDADE, 2012). Em grande medida o expediente de
resolver problemas é utilizado como um recurso pelo professor.
Tratar os conteúdos elementares matemáticos como recurso também
parece ser a estratégia desenvolvida em cursos de formação de professores de
matemática. Assim, os conteúdos matemáticos elementares são revisados e se
apresentam como um recurso para a compreensão de temas da matemática do
ensino superior. Caso os temas das disciplinas da grade de formação não
necessitem, diretamente, de um retorno aos conteúdos elementares, eles nem
sequer são abordados. Essas ações pedagógicas, que levam em consideração
os conteúdos elementares matemáticos, em realidade, não tratam da matemática
escolar. Consideram temas matemáticos isolados, sem a perspectiva de
tratamento didático-pedagógico da matemática enquanto uma disciplina escolar.
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Como, então, tratar da matemática escolar no curso de licenciatura em
matemática sob a perspectiva de uma metodologia formativa do futuro professor?
A resposta parece apontar para a criação de situações que coloquem o futuro
docente na discussão histórico-epistemológica da constituição da matemática
escolar. A organização dos programas, dos currículos, do significado daquilo que
se ensina e a justificativa do seu ensino, em termos do que estamos considerando
matemática escolar, tem uma história. Portanto, o licenciando necessita apossar-
se da História da educação matemática como ingrediente fundamental para
exercício da futura profissão. E cabe entender a rubrica História da educação
matemática como a representação construída sobre os processos e dinâmicas
elaborados ao longo do tempo na produção da matemática escolar em termos
de seu ensino e aprendizagem4. Assim, a questão inicial, que busca o papel da
matemática escolar na formação do professor de matemática, pode ser
reelaborada como: que papel tem a História da educação matemática na
formação do professor de matemática?
As tendências da Educação Matemática já contemplam a História da
Matemática na formação do professor. De pronto, cabe retomar uma referência
importante que, tudo leva a crer, alçou a História da Matemática como tendência
na Educação Matemática: as orientações contidas nos Parâmetros Curriculares
Nacionais – PCN (BRASIL, 1997, p.30):
O conhecimento da história dos conceitos matemáticos
precisa fazer parte da formação dos professores para que
tenham elementos que lhes permitam mostrar aos alunos a
matemática como ciência que não trata de verdades eternas,
infalíveis e imutáveis, mas como ciência dinâmica, sempre
aberta à incorporação de novos conhecimentos.
Essas orientações fertilizaram muitos trabalhos e passaram a integrar
conteúdos de disciplinas em cursos de formação de professores com o título de
4 Cabe aqui ressaltar uma distinção importante: História da Educação Matemática refere-se à
história da constituição do campo de pesquisa recente denominado Educação Matemática,
diferentemente de História da educação matemática, rubrica tratada neste texto. Nesse último
sentido, de modo a melhor esclarecer o que se está considerando como educação matemática, é
importante citar as contribuições de Jeremy Kilpatrick (1994), que assinala ser a educação matemática
uma seara de atividades que se reporta a vários milênios. Lembra-nos o autor, que os escribas
sumérios do ano 3000 antes de Cristo já haviam sistematizado a matemática aplicada nas escolas e
desenvolvido métodos de ensinar o valor posicional, as frações e o emprego de tábuas para calcular.
Ainda: no século V antes de Cristo, Sócrates empregou um método engenhoso de diálogo, mediante
perguntas, com um jovem escravo, dirigindo-o até o descobrimento do valor da área de um quadrado
construído sobre a diagonal de outro quadrado, verificando ser o dobro daquela do quadrado original,
como é mostrado no Menon de Platão (KILPATRICK, 1994, p.35).
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Tendências da Educação Matemática. Nesse sentido, leia-se um texto de
referência facilmente encontrado na internet, constituindo livro didático para
disciplina de nome Tendências em Educação Matemática, que bem ilustra a
situação. Na caracterização do sentido da História da Matemática para o trabalho
do professor, lê-se: “O entendimento da evolução do conhecimento matemático
permite aos educadores produzir estratégias para facilitar a construção do
conhecimento dos alunos. O contexto histórico é, portanto, uma fonte de
inspiração” (FLEMMING; LUZ; MELLO, 2005, p. 18)5.
A partir dos PCN, ao que tudo indica, as referências ao ensino de
Matemática, em perspectiva que levam em conta a História, passam a ser,
sempre, consideradas em termos da História da Matemática, uma disciplina que
se reposicionou no currículo de formação de professores, ganhando um novo
significado, comparativamente a seu sentido original como disciplina matemática.
E esse sentido original pode ser lido nos clássicos manuais de História da
Matemática. Dentre eles, as obras de Carl Boyer e Howard Eves intituladas,
respectivamente, de “História da Matemática” (publicada em 1974) e “Introdução
à História da Matemática” (publicada em 1997). A menção a tais obras é
justificável, à medida que pesquisas como a de Stamato (2003) indicam que tais
livros estão sempre presentes na bibliografia da disciplina História da Matemática
ministrada nos cursos de licenciatura. Assim, é possível ler, por exemplo, na
Introdução do livro de Eves, as seguintes considerações emblemáticas do sentido
da disciplina no curso de matemática:
Acreditando que um curso superior de História da
Matemática deve, antes de mais nada, ser um curso de
Matemática, fez-se um esforço para incluir um montante
considerável de Matemática genuína no livro. Espera-se
que o estudante, ao usar este livro, aprenda muita
Matemática, além de História (EVES, 1997, p. 17).
Apropriando-se da clássica disciplina, os educadores matemáticos
vislumbrarão a História da Matemática como recurso e/ou metodologia para o
ensino e aprendizagem da Matemática. Aproveitaram o lugar institucional ocupado
por essa rubrica curricular, para afirmarem a História da Matemática como
uma tendência da Educação Matemática.
Não será por acaso que, a partir disso, vários estudos passaram a
considerar a disciplina História da Matemática no âmbito do campo de pesquisas
5 Veja-se http://busca.unisul.br/pdf/89279_Diva.pdf
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da Educação Matemática. Cite-se, apenas como uma pequena amostra, os
estudos de Brito; Miguel (1996), Baroni; Nobre (1999), Silva (2001), Farago
(2003), Peters (2005), Brito (2007), Santos (2012).
A elaboração de novos significados para a presença da disciplina História
da Matemática no currículo de formação do professor de Matemática ganha as
salas de aulas em cursos onde intenta-se promover uma ruptura como as formas
antigas de conduzir a disciplina, pautando-a pelos manuais de História da
Matemática. Na prática pedagógica, os formadores, os educadores matemáticos
começam a realizar experiências com vistas às transformações dessa rubrica
curricular. Uma delas diz respeito à introdução de novos temas, dentre eles, a
História da educação matemática. Para além do uso da História da Matemática
no ensino e formação de professores, começa ser considerado, também, o papel
da história da educação matemática nessa formação. As experiências realizadas
em cursos de licenciatura em Matemática acabam revelando certa insatisfação
com o uso stricto sensu da História da Matemática na formação do professor.
Percebeu-se, por parte dos professores, um envolvimento “muito maisassociado
aos novos conhecimentos obtidos através do estudo da própria história da
Matemática do que com a percepção da relevância pedagógica de um tal estudo
para o exercício da profissão docente” (MIGUEL; MIORIM, 2004, p. 153). A
partir dessa constatação, passou-se a incorporar a História da educação
matemática em sua articulação com a História da Matemática, “campo há muito
já considerado autônomo, estabelecido, com um volume expressivo de publicações
e com um certo grau de reconhecimento institucional” (MIGUEL; MIORIM,
2004, p. 153).
Como enteada da História da Matemática, a História da educação
matemática passa a ganhar espaço nas experiências pedagógicas de formação
dos professores, mas sua presença mais incisiva pode ser constatada muito
mais nas pesquisas, que nos cursos efetivamente lecionados. Um exemplo
revelador é a publicação de dois grossos volumes do Bolema – principal periódico
da área da Educação Matemática – em 2010, na chamada de seu número
temático História da educação matemática. Ainda, mais recentemente, é
relevante mencionar a realização do I ENAPHEM – Encontro Nacional de
História da Educação Matemática, em novembro de 2012, com a apresentação
de mais de cem trabalhos sobre o assunto. Ressalte-se, também, o estudo do
pesquisador Iran Abreu Mendes (2012), onde é possível verificar a participação
expressiva de trabalhos sobre História da educação matemática nos Seminários
Nacionais de História da Matemática, evento promovido pela Sociedade Brasileira
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de História da Matemática. Nos oito primeiros seminários, ocorridos no período
de 1995 a 2009, 40% dos trabalhos referem-se à história da educação matemática.
No oitavo Seminário, de 2009, que apresentou 72 trabalhos publicados, 42 deles
tratavam da história da educação matemática!
No entanto, pesquisas recentes mostram a fragilidade da disciplina
História da Matemática no currículo de formação de professores (FRAGOSO,
2011); além disso, indicam que o dia-a-dia escolar pouco ou nada tem levado em
conta essa perspectiva em termos de uma metodologia de ensino. Em boa medida,
considerar a História da Matemática é algo visto como perda de tempo, pois
roubaria espaço do ensino-aprendizagem dos conteúdos matemáticos necessários
a cada grau de ensino (SANTOS, 2012).
Não é difícil concluir, assim, que há um duplo e difícil problema a enfrentar
em termos de pensar a História da educação matemática na formação de
professores. Um primeiro aspecto refere-se ao status acadêmico ainda não
obtido por esses estudos a ponto de serem valorizados nas referências curriculares
nacionais. Se nelas está presente, como uma tendência da Educação Matemática,
o uso da História da Matemática, de outra parte, não se tem, ainda, praticamente,
qualquer menção à História da educação matemática. Isso é compreensível,
pois o acúmulo de conhecimentos nessa área é muito recente. De qualquer
maneira, na medida em que cresce a produção ligada à História da educação
matemática possibilita-se a construção de um movimento mais e mais incisivo
para incorporar esses saberes na formação do professor de matemática.
O segundo aspecto onde é possível vislumbrar grande dificuldade diz
respeito a tratar a História da educação matemática como uma metodologia.
Como já foi referido, anteriormente, parece-me que ainda não há exemplos,
tampouco conhecimento acumulado sobre experiências tratadas no cotidiano
escolar em termos do uso da História da Matemática. Dificuldades de natureza
semelhante, ao que tudo indica, devem ser vencidas em termos de se ter presente
a História da educação matemática como uma metodologia. Mas, qual seria o
significado de pensá-la como uma metodologia?
5 História da educação matemática: uma metodologia na formação de
professores
Retome-se a discussão método versus recurso de ensino. A discussão
metodológica remete à possibilidade de construção do conhecimento pelo
estudante, pelo professor em sua formação inicial. E, nesse caso, poderá haver
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um primeiro estranhamento: necessita o estudante de um curso superior construir
conhecimentos elementares de matemática? À parte as discussões da formação
precária obtida na escola básica, não se pretende advogar que os cursos de
licenciatura em matemática realizem revisões da matemática elementar e muito
menos que isso seja tarefa da História da educação matemática. Assim, em que
sentido a História da educação matemática liga-se aos conteúdos matemáticos?
A resposta à questão remete à formação profissional do professor de
matemática. Seu ofício implica na condução da disciplina escolar Matemática,
forma organizadora da matemática escolar historicamente constituída6.
Acrescente-se, também, que, em níveis iniciais, a condução da Matemática se
dá em termos de matérias escolares, também historicamente constituídas. Mas
seja em termos de disciplinares ou de matéria de ensino, tem-se os conteúdos
matemáticos a serem trabalhados na escola.
O entendimento da construção histórica da matemática escolar não
ocorre, por certo, como vulgarização da Matemática, em termos de transposições
didáticas, como sustenta o ferramental teórico-metodológico vindo dos estudos
da Didática da Matemática (VALENTE, 2005). Assim, há necessidade de
aprendizagem da construção histórica de produção dos saberes elementares
matemáticos. Ela leva ao processo de dar sentido aos conteúdos que são
ensinados na escola elementar. Por que a escola básica ensina o que ensina em
matemática? Essa parece ser a questão central. Colocar o professorando em
situações de desequilíbrio, onde o saber matemático das disciplinas da grade de
formação do licenciando não dá conta de explicar as razões da existência ou
ausência de temas matemáticos no rol das atividades matemáticas presentes na
prática do professor, poderá levá-lo à reconstrução dos saberes elementares em
termos historicamente sustentáveis. Como explicar, por exemplo, que a década
de 1940, no Brasil, alijou dos programas de matemática ginasiais o conteúdo
função, o qual fora referência para o ensino na década de 1930? Questões
como essa remetem ao tratamento da História da educação matemática como
uma metodologia de ensino na formação do professor de matemática. Na resposta
a ela, o futuro mestre irá deparar-se com a necessidade de reconstruir os
conteúdos da matemática escolar presentes no ofício cotidiano de ser professor.
6 E aqui, mais precisamente, é importante retomar a caracterização de André Chervel (1990, p.207)
sobre as disciplinas escolares: “uma combinação, em proporções variáveis, conforme o caso, de
vários constituintes: um ensino de exposição, os exercícios, as práticas de incitação e de motivação
e um aparelho docimológico, os quais, em cada estado da disciplina, funcionam evidentemente em
estreita colaboração, do mesmo modo que cada um deles está, à sua maneira, em ligação direta com
as finalidades”.
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A compreensão da presença de função como saber matemático da
escola básica remete às discussões internacionais, do início do século XX, ao
entendimento de trabalhos de Félix Klein, ao papel do Colégio Pedro II na
organização da matemática escolar brasileira, às ações do professor Euclides
Roxo; de outra parte, o entendimento da exclusão desse conteúdo em nível
ginasial, nos anos 1940, necessita da compreensão de um novo momento do
governo Vargas, da presença no debate educacional de professores das escolas
militares e seus programas de formação, das escolas confessionais e a produção
de livros didáticos para o ensino de matemática, dentre muitas outras coisas.
Em síntese: se, de fato, é importante, para a formação do professor de
matemática ter conhecimento das contribuições, ao longo do tempo, de como
cientistas, estudiosos e matemáticos desenvolveram e sistematizaram função
como conteúdo matemático, fundamentalpara o professor em formação,
também, é a ciência de como, a matemática que ele irá ensinar em sua profissão
organizou-se/reorganizou-se levando em conta a forma escolar mutante desse
conceito em diferentes épocas escolares.
Finalmente, a possibilidade de a História da educação matemática ser
pensada como uma metodologia remete à sua inclusão como uma tendência da
educação matemática. Não basta, ao que tudo indica, pensá-la como um
apêndice da História da Matemática. Seus conteúdos, processos e finalidade
formativa são diferentes.
Referências
BARONI, R. L.S., NOBRE, S. R. A pesquisa em História da Matemática e suas relações
com a Educação Matemática. In: BICUDO, M. A.V. (Org.). Pesquisa em Educação
Matemática: Concepções & Perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999. p. 97-115.
BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda. 2. ed.
Trad. Elza Gomide, 1996.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática/Secretária de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997.
BRITO, A. J. A História da Matemática e da Educação Matemática na formação de
professores. Educação Matemática em Revista, São Paulo, v. 13, n. 22, p. 11-15, 2007.
BRITO, A. J., MIGUEL, A. A História da Matemática na Formação do Professor de
Matemática. Cadernos CEDES, Campinas, n.40, p. 63-78, 1996.
O Lugar da Matemática Escolar na Licenciatura em Matemática
Bolema, Rio Claro (SP), v. 27, n. 47, p. 939-953, dez. 2013
952 VALENTE, W. R.
CHARTIER, R. La historia o la lectura del tempo. Barcelona: Editorial Gedisa, 2007.
CHERVEL, A. História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de
pesquisa. Teoria & Educação, Porto Alegre, v. 2, p.177-229,1990.
DAVID, M. M. S.; MOREIRA, P. C. O conhecimento matemático do professor:
formação e prática docente na escola básica. Revista Brasileira de Educação, Rio de
Janeiro, n. 28, p. 50-61, jan /fev /mar /abr. 2005.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da UNICAMP,
1997.
FARAGO, J. L. Do ensino da História da Matemática à sua contextualização para uma
aprendizagem significativa. 2003. 67f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de
Produção) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003.
FRAGOSO, W. C. História da Matemática: uma disciplina do curso de Licenciatura em
Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora. 2011. 210f. Dissertação
(Mestrado Profissional em Educação Matemática) – Universidade Federal de Juiz de
Fora, Juiz de Fora, 2011.
JULIA, D. A Cultura Escolar como Objeto Histórico. Trad. Gisele de Souza. Revista
Brasileira de História da Educação, Campinas, v.1, n.1, p.08-43, jan./jun. 2001.
KILPATRICK, J. Historia de la investigación en educación matemática. In:
KILPATRICK, J.; RICO, L.; SIERRA, M. (Orgs.). Educación Matemática e
Investigación. Madrid: Editorial Síntesis, S. A., 1994, p. 17-96.
MEDEIROS, J. S. Resolução de problemas matemáticos - estudo de caso com
professoras dos anos iniciais em escola alagoana. 2012. 158f. Dissertação (Mestrado
em Educação) - Universidade Federal de Alagoas, Maceió, 2012.
MENDES, I. A. Pesquisas em história da Educação Matemática no Brasil em três
dimensões. Quipu, Colômbia: Universidad del Valle, v.14, n.1, p. 69-92, 2012.
MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na Educação Matemática. Belo Horizonte:
Autêntica, 2004.
ONUCHIC, L. de La R. Uma história da Resolução de Problemas no Brasil e no
Mundo. In: SEMINÁRIO EM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS, 1. 2008, Rio Claro.
Anais... Rio Claro: Universidade Estadual Paulista – UNESP Rio Claro, 2008. p. 1-15.
Palestra de Encerramento. Disponível em: <http://www.rc.unesp.br/serp/
trabalhos_completos/completo3.pdf>. Acesso em: 28 abr. 2012.
953
Bolema, Rio Claro (SP), v. 27, n. 47, p. 939-953, dez. 2013
PETERS, J. R. A História da Matemática no ensino fundamental: uma análise de livros
didáticos e artigos sobre História. 2005. 146f. Dissertação (Mestrado em Educação
Científica e Tecnológica). Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e
Tecnológica. Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2005.
SANTOS, R. P. O. Uma investigação sobre as tendências metodológicas da educação
matemática a partir das formações continuadas - Sergipe, 1988-2006. 2012. 164f.
Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Núcleo de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. Universidade Federal de
Sergipe, Aracaju, 2012.
SILVA, C. M. S. A História da Matemática e os cursos de formação de Professores. In:
CURY, H.N. (Org.) Formação de Professores de Matemática: Uma visão multifacetada.
Porto Alegre: EDIPUCRS, 2001, p. 129-165.
STAMATO, J. M. A. A disciplina Histórica da Matemática e a formação do Professor
de Matemática: dados e circunstâncias de sua implantação na Universidade Estadual
Paulista, campi de Rio Claro, São José do Rio Preto e Presidente Prudente. 2003. 195f.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e
Ciências Exatas. Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2003.
TRINDADE, D. A. Entendimentos sobre o uso da resolução de problemas
matemáticos - o caso de professores de Matemática do 6º ao 9º ano da rede municipal
de Aracaju/SE. 2012. 120 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática) – Núcleo de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática. Universidade Federal de Sergipe, Aracaju, SE, 2012.
VALENTE, W. R. História da Matemática na Licenciatura. Educação Matemática em
Revista, São Paulo, v. 9, n.11A, Edição Especial, p. 88-94. 2002.
VALENTE, W. R. A matemática escolar: epistemologia e história. Revista Educação em
Questão, Natal, RN, v. 23, n. 9, p. 16-30, maio/ago. 2005.
VALENTE, W. R. História da educação matemática: considerações sobre suas
potencialidades na formação do professor de matemática. Bolema, Rio Claro, v 23,
n.35A, p.123 a 136, abr. 2010.
Submetido em Novembro de 2012.
Aprovado em Janeiro de 2013.
O Lugar da Matemática Escolar na Licenciatura em Matemática
Bolema, Rio Claro (SP), v. 27, n. 47, p. 939-953, dez. 2013
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