Funções Exponenciais e Logaritmos

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Pré-cálculo para os ingressantes nos cursos de Engenharia e ciências exatas 
Exemplos:
 f(x)= 4x, f(x)= (0,1)x, f(x) = (—)x 
Nos exemplos acima as bases das funções são: 4, 0,1 e — , enquanto x é o expoente.
CLASSIFICAÇÃO:
Quando as funções exponenciais apresentam bases cujos valores são maiores que 
1, essas funções são denominadas crescentes. Já as funções cujas bases são menores do 
que 1 são denominadas decrescentes.
GRÁFICO:
A seguir, serão analisados os gráficos de dois casos de funções exponenciais, o pri-
meiro com base maior que 1 e o segundo com base positiva menor que 1
1ª) f(x)=2x ou y=2x, ou seja, a>1
2x
y = 2x
x
1
2-3 2-2 2-1 20 21 22 23
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
4 81
8
1
4
1
2
8
4
3
2
1
0-1 1 2 3 4-2-3
1
2
y
x
²
⁵
²
⁵
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Grupo PET – Engenharia Civil / UFRR 
2ª) ) f(x)=(—)x ou y=(—)x, ou seja, 0< a< 1
x
y =
x
12
-3 -2 -1 0 1 2 3
48 1
4
1
8
1
2
1
2
x1
2
-31
2
-21
2
11
2
21
2
31
2
-11
2
01
2
8
4
3
2
1
0-1 1 2 3-2-3
y
x
Em geral, pode-se observar o seguinte comportamento do gráfico da função f(x)=ax 
para a>1 e 0< a< 1: 
ƒ(x)=ax ƒ(x)=ax(a>1)
x
y
(0<a<1)
1
0
¹ ¹
² ²
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A partir da análise dos gráficos, pode-se concluir os seguintes pontos acerca das 
funções exponenciais:
• O gráfico é denominado curva exponencial e sempre passa por (0, 1);
• O gráfico nunca alcança o eixo x, ou seja, , f(x)=ax não assume o valor zero (não 
existe x real tal que f (x)=0);
• Uma vez que deve ser um número real positivo, o gráfico de f (x)=ax não apre-
senta pontos nos quadrantes III nem IV;
• A função exponencial é ilimitada superiormente;
• A função exponencial é sempre bijetiva e, logo, admite função inversa; 
• f (nx)=(f (x))ⁿ para todo n inteiro e x real.
OBSERVAÇÃO: Com as ferramentas de Cálculo I, é possível realizar uma melhor aná-
lise sobre o comportamento do gráfico.
2.2.3 LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
 Nesta seção serão apresentadas situações que podem ser modeladas pela inversa 
da função exponencial estudada anteriormente, a função logarítmica.
DEFINIÇÃO: Dados dois números reais positivos a e b, com a ≠ 1, se b = ac
, então o 
expoente c chama-se logaritmo de b na sua base a, ou seja:
loga b = c ↔ a c = b, com a e b reais positivos e a ≠ 1
Onde: a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e c é logaritmo.
Observação: quando a base do logaritmo for 10 pode-se omitir a base, escrevendo-
-se apenas log b.
2.2.3.1 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO 
1) loga 1=0, pois a0 = 1
2) loga a=1, pois a1 = a
3) loga a
n= n, pois an = an
4) alog a ⁿ =n, pois log an = m ⇒ am=n⇒ a log a n =n
5) loga m=loga n ⇒ m=n, pois a log a m = n ⇒ m=n