Cálculo de Engrenagens

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Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
AULA 06
Exemplos de cálculo de engrenagens
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
2.16. Exemplos de cálculo de engrenagens
▪ Para se fazer os cálculos de dimensionamento de um par de engrenagens 
segundo o método de Dudley-Lewis é necessário ter os seguintes dados:
➢ Relação de transmissão do par 
➢ Rotação na engrenagem motora
➢ Potência de entrada
➢ Fator de serviço carga média ou de serviço / carga máxima ou 
nominal. Os cálculos serão feitos com a carga de serviço
➢ Módulo normal estimado
➢ Ângulo de pressão normal
➢ Ângulo de hélice no diâmetro primitivo
➢ Adendo do cortador
➢ Raio do filete no pé do dente
➢ Órgão acionador
➢ Órgão acionado
A6. 2
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
▪ Eventualmente o mais difícil seja adotar o módulo normal inicial. O 
método Dübbel pode fazer isto, mas talvez seja uma complicação 
desnecessária. Lembrar que a altura do dente é cerca de duas vezes o 
módulo normal e usar o bom senso seja o melhor caminho.
 Cálculo de engrenagens cilíndricas
Método de Dudley-Lewis
Profs Odilson C. Fernandes e João Lirani USP/Scarlos 009/2001
entrar dados
Dados de entrada 
Identificação do projeto
relação de transmissão 3,125 -
rotação 207,27 rpm
potência de entrada N 37,07 HP
carga média / carga máx. atuante f 0,70 -
módulo normal mn 9 -
ângulo de pressão normal an 20 graus
ângulo de hélice no diam. primitivo b 0 graus
adendo da ferramenta hkz 10,8 = 1,2 * módulo
raio no pé do dente rf 1,8 mm
orgão acionador
orgão acionado
exemplo de calc engren retas
motor elétrico
elevador de carga
1
2
z
z
i =
=n
A6. 3
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
 Cálculo de engrenagens cilíndricas
Método de Dudley-Lewis
Profs Odilson C. Fernandes e João Lirani USP/Scarlos 009/2001
entrar dados
Dados de entrada 
Identificação do projeto
relação de transmissão 3,125 -
rotação 207,27 rpm
potência de entrada N 37,07 HP
carga média / carga máx. atuante f 0,70 -
módulo normal mn 9 -
ângulo de pressão normal an 20 graus
ângulo de hélice no diam. primitivo b 0 graus
adendo da ferramenta hkz 10,8 = 1,2 * módulo
raio no pé do dente rf 1,8 mm
orgão acionador
orgão acionado
exemplo de calc engren retas
motor elétrico
elevador de carga
1
2
z
z
i =
=n
A6. 4
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Cálculos
escolher
a) número de dentes 
20,517 adotado z1= 16
50 adotado z2= 50
relação de transmissão efetiva 0,320
redução de transmissão efetiva 3,125
erro em relação à pedida 0,000 %
b) geometria e cinemática do par
módulo frontal m = 9,000
âng de pressão frontal 0,364 20,000 graus
diâmetro primitivo 
eng menor 144,00 mm
eng maior 450,00 mm
a2min
sen.
.2
n
kz
m
h
z =
tt .12
1
2 zz
z
z
=Þ=
bcos
nm
m =
b
a
a
cos.
ntg
tg =
 .zmdp =
t
1
=i
1pd
2pd
=a
A6. 5
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Cálculos
escolher
a) número de dentes 
20,517 adotado z1= 16
50 adotado z2= 50
relação de transmissão efetiva 0,320
redução de transmissão efetiva 3,125
erro em relação à pedida 0,000 %
b) geometria e cinemática do par
módulo frontal m = 9,000
âng de pressão frontal 0,364 20,000 graus
diâmetro primitivo 
eng menor 144,00 mm
eng maior 450,00 mm
a2min
sen.
.2
n
kz
m
h
z =
tt .12
1
2 zz
z
z
=Þ=
bcos
nm
m =
b
a
a
cos.
ntg
tg =
 .zmdp =
t
1
=i
1pd
2pd
=a
A6. 6
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
diâmetro de base
eng menor 135,32 mm 4577,58
eng maior 422,86 mm 44703
diâmetro externo
eng menor 162,00 mm 6561
eng maior 468,00 mm 54756
relação de engrenamento 43,2201
26,5692
1,626698
largura dos dentes ;
113,10 144,00 116 mm
relação de engrenamento frontal
0
1,6267
velocidade tangencial no diâm. Primitivo
engrenagem menor 1,562783 m/s
acos.pb dd =
npe mdd .2+=
( )
=
+--+-
=
ap
a
e
cos..
sen.21
2
2
2
2
2
1
2
1
m
rrrrrr ppbebe
c
mpc ..4.4 p=
==
c
F
p
tgl b
e
.
=+= Fct eee
pp r
rpm
rv .
60
2.
.
p
w ==
1bd
2bd
1ed
2ed
=l
v
pc dlp £».4
£»l
A6. 7
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
diâmetro de base
eng menor 135,32 mm 4577,58
eng maior 422,86 mm 44703
diâmetro externo
eng menor 162,00 mm 6561
eng maior 468,00 mm 54756
relação de engrenamento 43,2201
26,5692
1,626698
largura dos dentes ;
113,10 144,00 116 mm
relação de engrenamento frontal
0
1,6267
velocidade tangencial no diâm. Primitivo
engrenagem menor 1,562783 m/s
acos.pb dd =
npe mdd .2+=
( )
=
+--+-
=
ap
a
e
cos..
sen.21
2
2
2
2
2
1
2
1
m
rrrrrr ppbebe
c
mpc ..4.4 p=
==
c
F
p
tgl b
e
.
=+= Fct eee
pp r
rpm
rv .
60
2.
.
p
w ==
1bd
2bd
1ed
2ed
=l
v
pc dlp £».4
£»l
A6. 8
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
c) Dimensionamento quanto à flexão no pé do dente
momento torçor 1280,92 N.m
força tangencial média 12453,3 N
força tangencial efetiva Das tabs. 3 e 6, 2
 24906,7 N
largura efetiva tabela 1 5000000 N/mm
0,002 mm/mm
 183,07 mm
 
Se le calc > l então usar le = l Adotado le 116
coeficiente distrib pela largura
 1,4015
 
coef concentr. Tensões Gráfico 2 1
coefic. Forma de Lewis Da Tab. 5 Ytab1 = 0,296
Da Tab. 5 Ytab2 = 0,409
engren menor 0,481503
engren maior 0,665319
p
t
d
M
fQ
.2
.=
QQ .* g=
l
Q
l e .
.
.2
cm
=
2
2
..2
.
1
lQ
l
K e
e
cm
+=
fK
ttabc YY e.=
Q
=g
=m
=c
=fK
=1cY
=2cY
*Q
=calcel
=eK
n
HP
M t .7162=
A6. 9
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
c) Dimensionamento quanto à flexão no pé do dente
momento torçor 1280,92 N.m
força tangencial média 12453,3 N
força tangencial efetiva Das tabs. 3 e 6, 2
 24906,7 N
largura efetiva tabela 1 5000000 N/mm
0,002 mm/mm
 183,07 mm
 
Se le calc > l então usar le = l Adotado le 116
coeficiente distrib pela largura
 1,4015
 
coef concentr. Tensões Gráfico 2 1
coefic. Forma de Lewis Da Tab. 5 Ytab1 = 0,296
Da Tab. 5 Ytab2 = 0,409
engren menor 0,481503
engren maior 0,665319
p
t
d
M
fQ
.2
.=
QQ .* g=
l
Q
l e .
.
.2
cm
=
2
2
..2
.
1
lQ
l
K e
e
cm
+=
fK
ttabc YY e.=
Q
=g
=m
=c
=fK
=1cY
=2cY
*Q
=calcel
=eK
n
HP
M t .7162=
A6. 10
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
fator de velocidade Cv Cv retirar Graf 1 0,73
tensão no pé do dente
engr. Menor 95,12 N/mm
2
 = Mpa
engr. Maior 68,84 Mpa
Tensão de confronto no pé do dente
fator de aplicação de carga Retirado da tabela 3, Ka = 1,25
fator de vida Retirado da tabela , Lf = 1
tensão confr. Flexão engr. Menor 118,90 Mpa
tensão confr. Flexão engr. Maior 86,05 MPa
vce
fe
t
CYlm
KKQ
...
..*
=s
f
a
tadmt
L
K
.ss ³
=1ts
=2ts
=1ts
=2ts
A6. 11
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
d) dimensionamento quanto á pressão específica
 N/mm
2
módulos de elasticidade E1 2,10E+05 E2 2,10E+05
engr. Menor 657,32 Mpa
engr. Maior 371,84 Mpa
0,7 71995
Tensão contato de confronto 3,1E-06 38106
0,7 71995
3,1E-06 119081
tensão confr. contato eng menor 734,91 Mpa
tensão confr.contato eng maior 415,73 Mpa
Materiais escolhidos
Material Dureza
eng Menor aço bn 33 - 38Rc 225,00 700,00 Mpa
tensões confronto 118,90 734,91
eng maior aço 210 B 155,00 490,00
tensões confronto 86,05 415,73 Mpa
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
=
i
i
Cdl
KQ
EE
vcpe
e
nn
c
1
.
...
.
.
sen.cos.
11
cos.70,0
21
2
e
aa
b
s
'
ts '
cs
f
a
c
L
K
.s
1cs
2cs
1cs
2cs
A6. 12
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
 Cálculo de engrenagens cilíndricas
Método de Dudley-Lewis
Profs Odilson C. Fernandes e João Lirani USP/Scarlos 009/2001
entrar dados
Dados de entrada 
Identificação do projeto
relação de transmissão 5,5 -
rotação 1140 rpm
potência de entrada N 39 HP
carga média / carga máx. atuante f 0,70 -
módulo normal mn 5 -
ângulo de pressão normal an 20 graus
ângulode hélice no diam. primitivo b 25 graus
adendo da ferramenta hkz 6 = 1,2 * módulo
raio no pé do dente rf 1 mm
orgão acionador
orgão acionado
exemplo eng helicoidais
motor elétrico
misturador
1
2
z
z
i =
=n
A6. 13
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
 Cálculo de engrenagens cilíndricas
Método de Dudley-Lewis
Profs Odilson C. Fernandes e João Lirani USP/Scarlos 009/2001
entrar dados
Dados de entrada 
Identificação do projeto
relação de transmissão 5,5 -
rotação 1140 rpm
potência de entrada N 39 HP
carga média / carga máx. atuante f 0,70 -
módulo normal mn 5 -
ângulo de pressão normal an 20 graus
ângulo de hélice no diam. primitivo b 25 graus
adendo da ferramenta hkz 6 = 1,2 * módulo
raio no pé do dente rf 1 mm
orgão acionador
orgão acionado
exemplo eng helicoidais
motor elétrico
misturador
1
2
z
z
i =
=n
A6. 14
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Cálculos
escolher
a) número de dentes 
20,517 adotado z1= 16
88 adotado z2= 88
relação de transmissão efetiva 0,182
redução de transmissão efetiva 5,500
erro em relação à pedida 0,000 %
b) geometria e cinemática do par
módulo frontal m = 5,517
âng de pressão frontal 0,4016 21,880 graus
diâmetro primitivo 
eng menor 88,27 mm
eng maior 485,49 mm
a2min
sen.
.2
n
kz
m
h
z =
tt .12
1
2 zz
z
z
=Þ=
bcos
nm
m =
b
a
a
cos.
ntg
tg =
 .zmdp =
t
1
=i
1pd
2pd
=a
A6. 15
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Cálculos
escolher
a) número de dentes 
20,517 adotado z1= 16
88 adotado z2= 88
relação de transmissão efetiva 0,182
redução de transmissão efetiva 5,500
erro em relação à pedida 0,000 %
b) geometria e cinemática do par
módulo frontal m = 5,517
âng de pressão frontal 0,4016 21,880 graus
diâmetro primitivo 
eng menor 88,27 mm
eng maior 485,49 mm
a2min
sen.
.2
n
kz
m
h
z =
tt .12
1
2 zz
z
z
=Þ=
bcos
nm
m =
b
a
a
cos.
ntg
tg =
 .zmdp =
t
1
=i
1pd
2pd
=a
A6. 16
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
diâmetro de base
eng menor 81,91 mm 1677,38
eng maior 450,51 mm 50740,8
diâmetro externo
eng menor 98,27 mm 2414,26
eng maior 495,49 mm 61376,7
relação de engrenamento 23,3657
16,0834
1,452788
largura dos dentes ;
69,33 88,27 58 mm
relação de engrenamento frontal
1,5605
3,0133
velocidade tangencial no diâm. Primitivo
engrenagem menor 5,268888 m/s
acos.pb dd =
npe mdd .2+=
( )
=
+--+-
=
ap
a
e
cos..
sen.21
2
2
2
2
2
1
2
1
m
rrrrrr ppbebe
c
mpc ..4.4 p=
==
c
F
p
tgl b
e
.
=+= Fct eee
pp r
rpm
rv .
60
2.
.
p
w ==
1bd
2bd
1ed
2ed
=l
v
pc dlp £».4
£»l
A6. 17
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
diâmetro de base
eng menor 81,91 mm 1677,38
eng maior 450,51 mm 50740,8
diâmetro externo
eng menor 98,27 mm 2414,26
eng maior 495,49 mm 61376,7
relação de engrenamento 23,3657
16,0834
1,452788
largura dos dentes ;
69,33 88,27 58 mm
relação de engrenamento frontal
1,5605
3,0133
velocidade tangencial no diâm. Primitivo
engrenagem menor 5,268888 m/s
acos.pb dd =
npe mdd .2+=
( )
=
+--+-
=
ap
a
e
cos..
sen.21
2
2
2
2
2
1
2
1
m
rrrrrr ppbebe
c
mpc ..4.4 p=
==
c
F
p
tgl b
e
.
=+= Fct eee
pp r
rpm
rv .
60
2.
.
p
w ==
1bd
2bd
1ed
2ed
=l
v
pc dlp £».4
£»l
A6. 18
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
c) Dimensionamento quanto à flexão no pé do dente
momento torçor 245,02 N.m
força tangencial média 3886,0 N
força tangencial efetiva Das tabs. 3 e 6, 2
 7772,1 N
largura efetiva tabela 1 5000000 N/mm
0,002 mm/mm
 51,13 mm
 
Se le calc > l então usar le = l Adotado le 51,13
coeficiente distrib pela largura
 1,9999
 
coef concentr. Tensões Gráfico 2 1
coefic. Forma de Lewis Da Tab. 5 Ytab1 = 0,296
Da Tab. 5 Ytab2 = 0,441
engren menor 0,891925
engren maior 1,328848
fator de velocidade Cv Cv retirar Graf 1 0,67
tensão no pé do dente
engr. Menor 92,21 N/mm
2
 = Mpa
engr. Maior 61,89 Mpa
p
t
d
M
fQ
.2
.=
QQ .* g=
l
Q
l e .
.
.2
cm
=
2
2
..2
.
1
lQ
l
K e
e
cm
+=
fK
ttabc YY e.=
vce
fe
t
CYlm
KKQ
...
..*
=s
Q
=g
=m
=c
=fK
=1cY
=1ts
=2ts
=2cY
*Q
=calcel
=eK
n
HP
M t .7162=
A6. 19
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
c) Dimensionamento quanto à flexão no pé do dente
momento torçor 245,02 N.m
força tangencial média 3886,0 N
força tangencial efetiva Das tabs. 3 e 6, 2
 7772,1 N
largura efetiva tabela 1 5000000 N/mm
0,002 mm/mm
 51,13 mm
 
Se le calc > l então usar le = l Adotado le 51,13
coeficiente distrib pela largura
 1,9999
 
coef concentr. Tensões Gráfico 2 1
coefic. Forma de Lewis Da Tab. 5 Ytab1 = 0,296
Da Tab. 5 Ytab2 = 0,441
engren menor 0,891925
engren maior 1,328848
fator de velocidade Cv Cv retirar Graf 1 0,67
tensão no pé do dente
engr. Menor 92,21 N/mm
2
 = Mpa
engr. Maior 61,89 Mpa
p
t
d
M
fQ
.2
.=
QQ .* g=
l
Q
l e .
.
.2
cm
=
2
2
..2
.
1
lQ
l
K e
e
cm
+=
fK
ttabc YY e.=
vce
fe
t
CYlm
KKQ
...
..*
=s
Q
=g
=m
=c
=fK
=1cY
=1ts
=2ts
=2cY
*Q
=calcel
=eK
n
HP
M t .7162=
A6. 20
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Tensão de confronto no pé do dente
fator de aplicação de carga Retirado da tabela 3, Ka = 1,25
fator de vida Retirado da tabela , Lf = 1
tensão confr. Flexão engr. Menor 115,26 Mpa
tensão confr. Flexão engr. Maior 77,36 MPa
d) dimensionamento quanto á pressão específica
 N/mm
2
módulos de elasticidade E1 2,10E+05 E2 2,10E+05
engr. Menor 626,69 Mpa
engr. Maior 267,22 Mpa
0,57498 50516,1
Tensão contato de confronto 3,1E-06 24161,8
0,57498 50516,1
3,1E-06 132890
tensão confr. contato eng menor 700,66 Mpa
tensão confr.contato eng maior 298,76 Mpa
Materiais escolhidos
Material Dureza
eng Menor aço bn 38 Rc 225,00 700,00 Mpa
tensões confronto 115,26 700,66
eng maior aço 200 B 140,00 420,00
tensões confronto 77,36 298,76 Mpa
Tensão de confronto no pé do dente
f
a
tadmt
L
K
.ss ³
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
=
i
i
Cdl
KQ
EE
vcpe
e
nn
c
1
.
...
.
.
sen.cos.
11
cos.70,0
21
2
e
aa
b
s
'
ts '
cs
=1ts
=2ts
f
a
c
L
K
.s
1cs
2cs
1cs
2cs
A6. 21
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Tensão de confronto no pé do dente
fator de aplicação de carga Retirado da tabela 3, Ka = 1,25
fator de vida Retirado da tabela , Lf = 1
tensão confr. Flexão engr. Menor 115,26 Mpa
tensão confr. Flexão engr. Maior 77,36 MPa
d) dimensionamento quanto á pressão específica
 N/mm
2
módulos de elasticidade E1 2,10E+05 E2 2,10E+05
engr. Menor 626,69 Mpa
engr. Maior 267,22 Mpa
0,57498 50516,1
Tensão contato de confronto 3,1E-06 24161,8
0,57498 50516,1
3,1E-06 132890
tensão confr. contato eng menor 700,66 Mpa
tensão confr.contato eng maior 298,76 Mpa
Materiais escolhidos
Material Dureza
eng Menor aço bn 38 Rc 225,00 700,00 Mpa
tensões confronto 115,26 700,66
eng maior aço 200 B 140,00 420,00
tensões confronto 77,36 298,76 Mpa
Tensão de confronto no pé do dente
f
a
tadmt
L
K
.ss ³
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
=
i
i
Cdl
KQ
EE
vcpe
e
nn
c
1
.
...
.
.
sen.cos.
11
cos.70,0
21
2
e
aa
b
s
'
ts '
cs
=1ts
=2ts
f
a
c
L
K
.s
1cs
2cs
1cs
2cs
A6. 22
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Otimização dos cálculos de dimensionamento de engrenagens
▪ A otimização dos cálculos é trabalhosa mas é possível! Ou seja é possível 
deixar as tensões de confronto próximas das admissíveis ( st / s’t, ; sc / s’c ), 
dentro de certos limites.
▪ De um modo geral o pinhão ( eng menor) é mais solicitado que a coroa. 
Assim, se ambos forem do mesmo material por economia, a coroa ficará 
superdimensionada.
Valem algumas observações:
▪ As relações st / s’t, e sc / s’c são normalmente bem diferentes de forma 
que se uma relação for otimizada, a outra ficará superdimensionada. 
A6. 23Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
▪ Para deixar as tensões de confronto próximas das admissíveis podem-se 
mudar quaisquer parâmetros. Entretanto é normal ( pela ordem) :
mudar a largura;
mudar o material da coroa para um menos/ mais resistente;
lubrificante
dureza no flanco
mudar o módulo;
quando possível, mudar a relação de transmissão. 
etc 
▪ Pode-se também adotar dois enfoques de projeto:
✓ adotar o módulo e geometria e variar material ou
✓ fixar material e ajustar o módulo e demais dados
▪ A seguir são mostrados alguns gráficos orientativos visando uma otimização 
do projeto de engrenagens.
A6. 24
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Variação da Tensão com a largura efetiva
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Largura
T
e
n
s
ã
o
 [
M
P
a
]
Tensão de flexão
Tensão contacto
A6. 25
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Tensão x módulo
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
6 7 8 9 10 11 12 13 14
Modulo
T
e
n
ss
ã
o
 
[M
P
a
]
Tensão de flexão
Tensaõ de contacto
A6. 26
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Tensão x relação de transmissão
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
relaçao de transmissão
T
e
n
sã
o
 [
M
p
a
]
tensão de flexão
tensão de contacto
A6. 27
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
Tensão x numero dentes pinhão
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
15 17 19 21 23 25
tensão de flexão
tensaõ de contacto
A6. 28