Cálculo de Engrenagens

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A8 - 1
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
AULA 09
Cálculo de Engrenagens: método de
Niemann-Winter
A8 - 2
Elementos de Máquinas III
Grupo de Projeto - SEM
▪ Atenção nas unidades! – [kgf] e [mm]
▪ O método baseia-se em verificar 3 coeficientes de segurança:
- ruptura do dente por fadiga à flexão - SB
- fadiga de pressão de contato ( pitting, ou craterização) - SG
- fadiga de riscamento (scoring ou engripamento) - SF
▪ Todos eles dependem de um grande número de fatores e sua
otimização é trabalhosa :
› geometria do dente : m , , 
› momento torçor
› velocidade tangencial
› material das engrenagens
› erros de fabricação e acabamento superficial
› lubrificante
› temperatura de trabalho
› etc
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
A8 - 3
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Verificação quanto a ruptura do dente por fadiga à flexão - SB
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
T
D
BS


==
 trabalhode tensão
flexão fadiga admissivel tensão
0. kD f=
WWT qzB ..=
Cálculo da tensão de trabalho - T
A força de engrenamento P é dada por :

=
cos
U
P
p
t
d
M
U

=
.2
P
Ptang = U
Pradial
’
- dentes retos não corrigidos
- dentes retos corrigidos
- dentes helicoidais não corrigidos
- dentes helicoidais corrigidos
é melhor considerar desde o início 
engrenagens corrigidas !
Onde ’ pode ser igual a :
n


n
A8 - 4
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2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
a tensão nominal média é dada por:
pdl
U
B

=
.
e portanto
pdlBU = ..


=
cos
.. pdlB
P
B 
kgf/mm2
b
pd 
É preciso estudar melhor agora a força de engrenamento:
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2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
A
B
Linha de 
ação
AB = comprimento de 
contato
P
U

2br
1br
1pd 
2pd 
=

===
2
.
2
. 1 pb
t
dUdP
M cte. 
cte cte
; = cos.PU
i genéricod com varia
 tangencial componente mas P .cte=
2
. i gen.i genérico diam no tangenc dF
=
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2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
Vejamos como varia a posição da força de engrenamento nas várias situações 
de contato
Linha de ação
Diâmetro de 
rolamento
Contato no diâmetro de base
Pb
Contato no diâmetro de rolamento
Pr
Contato no diâmetro externo
Pe
Justaposição
Pb
Pr
Pe
| P | = | Pb | = | Pr | = | Pe | 
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2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
Pb
Pr
Pe
*
b
*
r
*
e
Situação mais crítica !!
Agora podemos calcular as tensões atuantes
*
e
ef
sf
Tensão de flexão
6
.
.cos.
2
*
f
fe
f
f
f
sl
eP
W
M 
 ==
Tensão média de compressão
f
e
c
sl
P
.
sen. *
 =
Tensão média de cisalhamento
f
e
m
sl
P
.
cos. *
 =
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2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
A tensão equivalente será :
( ) 222
. mcf  +−=
Substituindo na tensão equivalente as expressões acima e 
pondo também : 


=
cos
.. pdlB
P



=
cos
cos
pp dd então: qzB ..=
com
2*
* .6.
.
cos
cos



+








−

= e
f
f
f
e tg
s
e
s
lm
q
Para obter a tensão de trabalho a partir da equivalente fazem-se várias correções 
necessárias ( através de coeficientes diversos) em B e q chegando finalmente a: 
WiiWTi qzB ..=
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Notar que apesar da aparência simples desta fórmula, ela é mais exata e mais 
completa que aquela de Dudley-Lewis. 
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
Cálculo do coeficiente de segurança SB
11
1
1
.. ww
D
B
qZB
S

=
111 . okD f  =
CCCCBB Tdsw ....=
1Z 111 . qqq kw =
1kf 1o B sC dC TC C
1kq
4,0
4,1
1
+
=
n
q


4,0
4,1
1
+
=
w
q


motora movida
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21
2
2
.. ww
D
B
qZB
S

=
222 . okD f  =
CCCCBB Tdsw ....=
1Z 222 . qqq kw =
2kf 2o B sC dC TC C
2kq
4,0
4,1
2
+
=
n
q


4,0
4,1
2
+
=
w
q


motora movida
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
Cálculo do coeficiente de segurança SB
A seqüência de cálculo obedece o que segue abaixo. As tabelas e gráficos 
usados para obter valores serão mostrados no exemplo de cálculo adiante 
Ti
Di
BiS


= -coeficiente de segurança quanto à ruptura por fadiga no 
pé do dente devido à flexão, para engrenagem i
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2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
Cálculo do coeficiente de segurança SB
wiiwTi qzB ..=
- tensão admissível quanto à ruptura por fadiga no pé do dente devida à 
flexão, para engrenagem i [kgf/mm2].
- tensão limite quanto à ruptura por fadiga no pé do dente devida à flexão.
- tensão de trabalho [kgf/mm2]. 
- coeficiente de concentração de tensão no pé do dente.
tensão efetiva [kgf/mm2].
qqq kw .=
tensão nominal média [kgf/mm2].
- coeficiente efetivo. 
== CCCCBB TDSW ....
==
ld
U
B
p .'
1
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2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
Cálculo do coeficiente de segurança SB
=1kq
=q
- coeficiente de forma do dente p/ correção do ponto de aplicação da carga. 
4,0
4,1
1
+
=
n
q


4,0
4,1
2
+
=
W
q


- coeficiente p/ correção da distribuição da carga devida ao grau de recobrimento. 
Isto vale para engrenagem 1 sendo motora. Se a motora for a engr. 2, inverter e W n
- coeficiente de segurança quanto a impacto (sobrecarga súbita). 
-coeficiente de segurança quanto a 
-solicitações dinâmicas. 
-coeficiente p/ correção da distribuição da carga pela largura do dente.
=SC
=TC
=
+
+=
)1.(.
1
spS
din
D
Cu
u
C

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Coeficiente p/ correção da distribuição para dentes helicoidais.
O coeficiente calculado deve estar dentro da faixa de valores :
para serviço contínuo
para serviço intermitente
a vida, quanto à ruptura por flexão, é dada por 
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
Cálculo do coeficiente de segurança SB
n
S
L B
h
5.33000
=
=C
48,1  BS
25,1  BS
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Cálculo do coeficiente de segurança SG
Cálculo quanto à fadiga de pressão de contato (pitting, craterização)
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
O princípio básico é aquele da pressão específica de HERTZ
Segundo STRIBECK a tensão nominal média k é :
equiv
H
E
P
l
P
k
2
.86,2
..2
 média específica pressão ===

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Cálculo do coeficiente de segurança SG
Cálculo quanto à fadiga de pressão de contato (pitting, craterização)
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
Onde
21
21..2
EE
EE
Eequiv
+
= e
HP é a pressão de Hertz e
 o raio de curvatura. Acontece que os efeitos de rolamento e da lubrificação 
achatam o perfil de Hertz conforme na figura seguinte
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Cálculo do coeficiente de segurança SG
Cálculo quanto à fadiga de pressão de contato (pitting, craterização)
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
Por isso, é mais conveniente utilizar a expressão de STRIBECK





+
=
+
=
i
i
kyBk
i
i
yBk
cc
1
...
1
..
2
11
Finalmente, são introduzidos ,como anteriormente, coeficientes para obter os 
valores efetivos a partir dos nominais e podemos calcular SG
W
D
G
k
k
S ==
específica pressão quanto trabalhode tensão
específica pressão fadiga admissivel tensão
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Cálculo do coeficiente de segurança SG
Cálculo quanto à fadiga de pressãode contato (pitting, craterização)
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
1
.
. 1
1
+
=
i
i
yB
k
S
ww
D
G
ovSHGd kyyyyk ....=
CCCCBB TDsw ....= i


y
yy
y
c
w
.
1 =
Gy
Hy Sy
vy
ok B
sC
DC
TC C
bnbn
cy
 cos.sen
1
=
o
g
y



cos
cos4
= ( )w
bntgZ
y 1
int
1
.
2
1 


 −−=
bn
g o intZ bn
w1
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A seqüência de cálculo obedece o que segue abaixo. As tabelas e gráficos 
usados para obter valores serão mostrados no exemplo de cálculo adiante. 
Cálculo do coeficiente de segurança SG
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
-Tensão admissível a fadiga quanto a 
pressão específica [kgf/mm2]
Tensão limite de fadiga quanto a pressão específica [kgf/mm2]
Coeficiente de correção quanto a diferença de material.
Coeficiente de correção quanto a dureza no flanco do dente.
Coeficiente de correção quanto a viscosidade do lubrificante.
Coeficiente de correção quanto a velocidade tangencial.
0.... kyyyyk vSHGD =
=0k
=Gy
=Hy
=Sy
=vy
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Cálculo do coeficiente de segurança SG
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
- pressão específica efetiva [kgf/mm2]
-tensão efetiva , já calculada 
antes [kgf/mm2] 
Coeficiente de forma do flanco.
Coeficiente de correção do ponto de máxima pressão.
Coeficiente de correção devido ângulo de hélice.
i
i
yBk WWW
1
..
+
=
CCCCBB TDSW ....=
=Wy
yyy cw .=
=cy
=y
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Cálculo do coeficiente de segurança SG
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
O coeficiente calculado deve estar dentro da faixa de valores :
para serviço contínuo
para serviço intermitente
a vida, quanto à craterização, é dada por 
5,23,1  GS
14,0  GS
n
Sk
L GD
h
2..167000
=
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Cálculo do coeficiente de segurança SF
2.17. Cálculo de Engrenagens - Método de Niemann-Winter
▪ Cálculo quanto à fadiga de estriamento (ou “engripamento” ou scoring)
▪ Ocorre basicamente por falha na lubrificação sob pressão elevada.
▪ Normalmente SF é o menos crítico e serve mais para confirmar a escolha 
correta do lubrificante.
Tensão de engripamento 
Coeficiente de engripamento 
O coeficiente calculado deve estar dentro da faixa de valores :
para serviço contínuo ou intermitente porque não é cumulativo.
1
.
..
cos.
+
=
i
i
yyB
k
S
FcW
ens
F

=ensk
=Fy
53  FS