Características estáticas e dinâmicas de instrumentos de medidas

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EESC-USP 1 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
Características estáticas e dinâmicas de 
instrumentos de medidas 
 
Prof. Dr. Leopoldo P.R. de Oliveira 
Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo 
 
Sumário 
Introdução ................................................................................................................................ 1 
Desempenho Estático de Sensores ............................................................................................ 3 
Valor Medido VS Valor Real ................................................................................................... 4 
Erro e Incerteza ................................................................................................................. 5 
Funções Básicas................................................................................................................. 6 
Distribuição gaussiana ........................................................................................................... 8 
Propagação de incertezas ...................................................................................................... 9 
Definições: .......................................................................................................................... 10 
Desempenho Dinâmico de Sensores ....................................................................................... 11 
- sistema de ordem zero ...................................................................................................... 12 
- sistema de 1ª ordem ......................................................................................................... 13 
Resposta de sistemas de 1ª ordem a entradas canônicas................................................. 14 
Cálculo do erro ................................................................................................................ 16 
- sistema de 2ª ordem ......................................................................................................... 19 
Resposta livre de sistemas de 2ª ordem .......................................................................... 21 
Resposta de sistemas de 2ª ordem a entradas periódica / Resposta em Frequência ........ 26 
Sumário e Conclusões ............................................................................................................. 28 
 
Introdução 
POR QUE ESTUDAR OS SISTEMAS DE MEDIÇÃO? 
O estudo de qualquer assunto em engenharia deve ser motivado por uma apreciação dos usos 
aos quais o material pode ser colocado na prática cotidiana da profissão. Os sistemas de medição 
são usados para muitos propósitos em uma ampla variedade de áreas de aplicação, que incluem: 
metrologia dimensional industrial, determinação de propriedades mecânicas de materiais 
(módulo de elasticidade, tensão de escoamento e ruptura, coeficiente de dilatação, calor 
específico), ou propriedades de sistemas (massa, rigidez, temperatura, frequência de 
ressonância, fator de amortecimento, etc.), validação de modelos (para análises de CFD, 
multicorpos, elementos finitos, etc.), provas de conceito, entre outras. 
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Ainda, se selecionada uma aplicação específica, e.g., a indústria automotiva, é possível 
ilustrar diversos desses usos. Neste contexto, é natural admitir que sensores e sistemas de 
medida são usados de forma intensa no período de testes de homologação, seja para o 
lançamento de um novo produto ou a validação de uma modificação. Testes também são 
importantes em etapas anteriores a construção do primeiro protótipo físico, seja no uso de 
dados experimentais para alimentar modelos de desempenho, seja na caracterização de novos 
materiais e processos para o projeto detalhado de componentes. Ainda, é importante destacar 
que muitos dos bens de consumo, nos quais os veículos estão inclusos, se tornaram sistemas 
mecatrônicos, no sentido de que são providos de subsistemas mecânicos controlados por 
sistemas de controle eletrônicos que, por sua vez, requerem sinais provenientes de sensores 
para observar os estados necessários para realizar suas tarefas; desta forma, um veículo atual 
tem sensores de diversas naturezas que monitoram grandezas mecânicas (posição, velocidade, 
aceleração, jerk, RPM, etc.), térmicas e fluídicas (temperatura, vazão, pressão, umidade), 
química (concentração de substâncias), etc. O bom funcionamento de muitos sistemas móveis, 
desde drones até aeronaves de passageiros, depende da mesma forma de cadeias de medidas 
e sistemas de controle que interpretem estes dados e atuem de forma a garantir desempenho 
e estabilidade. 
Outro campo vasto de aplicações para sensores e cadeias de medição são meios e bens 
de produção. Linhas automáticas e de processos dependem do bom funcionamento de cadeias 
de medição, assim como elementos discretos nessas cadeias, como as máquinas-ferramenta, 
também. Neste sentido, tanto o meio acadêmico quanto o industrial, vivem um momento único 
com o advento da Indústria 4.0, que busca incrementar as capacidades de sensoriamento e 
comunicação entre máquinas e plantas fabris de modo a dar mais autonomia e flexibilidade para 
as mesmas. O uso, extensão e coordenação de um grande número de dados provenientes de 
sensores distintos é peça chave para o sucesso destes sistemas siber-físicos. 
Se quando embarcado em produtos ou processos, os sensores são especificados de 
forma a trabalhar em condições conservadoras, é nos testes de pesquisa e desenvolvimento que 
suas especificações são colocadas a prova. Principalmente no que tange a pesquisa, muitas vezes 
a necessidade de medir um fenômeno para provar uma tese ou conceito, antecede a 
necessidade de mercado de se criar um sensor dedicado para este fim. É neste contexto que o 
senso crítico do pesquisador tem papel fundamental em questionar os princípios envolvidos nos 
processos internos à cadeia de medidas, entre ter contato com a grandeza física, promover as 
modificações necessárias, traduzir aquela grandeza para uma variável mensurável (em geral um 
sinal elétrico análogo), processar este sinal e armazená-lo adequadamente. Neta abordagem, o 
sensor e a cadeia de medição deixam de ser considerados elementos ideais que fornecem dados 
“reais” sobre a grandeza desejada e passam a fazer parte da cadeia de transformações 
envolvidas no processo de reproduzir as condições físicas e acessar as grandezas da melhor 
forma possível. A Figura 1 sugere a análise de uma cadeia de medição sob tal visão sistêmica, 
em que a grandeza física (no hexágono à esquerda) é acessada pelo contato com o elemento 
primário do sensor (por exemplo a membrana de um sensor de pressão ou microfone), esta 
grandeza passa por transformações, que podem incluir, mudanças de variável (translação para 
rotação, por exemplo), manipulação de variável (amplificação), transmissão de dados (de forma 
mecânica por uma haste ou elétrica por um cabo) ... transdução (de uma grandeza mecânica 
para uma elétrica), até que esta grandeza seja utilizada por outro agente externo à cadeia, seja 
por um observador, um sistema de gravação ou um sistema de controle. 
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Figura 1. Elementos funcionais de um instrumento ou cadeia de medição. 
Todas estas etapas do processo sugerem que cada uma dessas transformações seja 
representada por um sistema dinâmico (bloco) que pode ter uma entrada e uma saída, mas em 
geral, trata-se de um sistema de múltiplas entradas e saídas. Cada uma dessas operações está 
sujeita a distúrbios externos, como ruído, variação de temperatura, vibração, entre outros, que 
podem afetar a variável de saída de cada bloco (CITAR A FIG 2 e fazer comentários sobre a 
mesma). O bom entendimento do processo de medição, neste contexto, passa por entender 
quais processos são esses e quais modelos se adequam melhor a representar estes blocos,concatena-los e analisa-los sob duas condições: estática e dinâmica, que serão detalhadas a 
seguir. 
 
Figura 2. Representação de um sensor como um sistema MISO 
Desempenho Estático de Sensores 
A condição estática não é necessariamente aquela em que a variável medida não se 
altera no tempo, mas sim que dadas múltiplas entradas, desejadas e indesejadas, seja possível 
manter as condições estatísticas estacionárias no tempo. Desta forma, controlando-se a 
temperatura externa, por exemplo, pode-se avaliar estaticamente a linearidade de um sensor 
de velocidade, quando se controla o parâmetro de entrada velocidade e se observa o 
comportamento da saída em Volts. Em outras palavras, de acordo com a Figura 2, as entradas 
indesejadas que se propagam afetando o sinal de saída do sensor devem ser controladas da 
melhor forma possível, enquanto avalia-se a relação entre a entrada desejada e a saída. Este 
processo se classifica como calibração estática, feita em condições de laboratório, e que 
caracteriza o sensor do ponto de vista de sensibilidade primária, linearidade e sensibilidade 
cruzada. Para executar bem um processo de calibração é preciso: 
1. Examinar a construção do instrumento e identificar todas as entradas possíveis. 
2. Decidir, da melhor forma possível, quais entradas serão significativas na aplicação para 
a qual o instrumento deve ser calibrado. 
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3. Adquirir aparelhos que permitam que a variação de todos as entradas significativas nas 
faixas consideradas necessárias. Cada uma delas vai requerer seus próprios padrões de 
medição. 
4. Mantendo algumas entradas constantes, variando outras, enquanto se registram as 
relações entre as diversas entradas e a saída. 
Estas medidas buscam manter o que se denomina de “controle estatístico” dos dados, 
ou seja, que as infinitas variáveis que afetam a resposta do instrumento (ou processo) sejam 
controladas ou possam ser admitidas desprezíveis frente ao nível de precisão desejado. Desta 
forma, pode-se admitir que as variações na sequência de medidas têm caráter aleatório. Quando 
esta condição não é obedecida, introduzem-se tendências nos dados, facilmente detectáveis 
quando se observam as coletas de forma cronológica, como pode ser visto na Figura 3. 
 
Figura 3. Processo de calibração (a) sem controle de temperatura e (b) com controle de temperatura 
Valor Medido VS Valor Real 
A utilização corriqueira de um instrumentos de medidas subentende a necessidade de acessar 
uma grandeza física. As utilidades são variadas e a qualidade necessária para os dados depende 
do uso e está associada ao custo envolvido na medição, dilema que resulta no seguinte 
questionamento: 
 Quão bom precisam ser os dados obtidos para determinar um teoria, dizer se um avião 
pode voar seguramente, dimensionar um radiador para um carro de passeio, um F1, 
CPU, UTI neonatal, etc. 
 Neste contexto, o que significa “ser bom”? Se concordar com a teria, significa que é 
bom? Mas a teoria não é “só um modelo”? 
O que se deseja de fato de uma medida é saber qual o valor real de uma quantidade 
medida. É daí que vem a qualidade do instrumento (medida ou processo), de quão próximos os 
resultados são dos valores verdadeiros. Mas SEMPRE vai haver erro nas medidas. Esta é a razão 
pela qual dados experimentais são tratados de forma estatística, ciência que oferece 
ferramentas para classificar e auxiliar na análise assertiva destes dados. 
De fato, o uso de ferramentas estatísticas tem ganhado cada vez mais relevância 
acadêmica na engenharia, com destaque para estudos relacionados Variabilidade, Quantificação 
de Incertezas, Confiabilidade e Risco, que se aplicam tanto a interpretação de dados 
experimentais e delineamento de experimentos, quanto com métodos numéricos devotados ao 
estudo da propagação de incertezas em sistemas complexos, projeto robusto, delineamento de 
experimentos, etc. não deixando de lado o tratamento de grandes bases de dados, cruciais para 
a áreas de gestão de dados, Internet da Coisas e Indústria 4.0. 
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 No que tange o desempenho de sensores, contudo, algumas conceitos fundamentais de 
estatística são suficientes para compreender fenômenos e orientar boas práticas no exercício 
da instrumentação e medição. Algumas das questões fundamentais que surgem no processo de 
planejamento de uma campanha experimental são: 
1. Em busca de uma valor confiável para uma determinada grandeza (propriedade de 
um material, dimensão de uma peça, propriedade de um sistema), quantas 
amostras são necessárias para se obter uma média confiável (com que intervalo de 
confiança)? 
2. Em busca de estimar a variabilidade de uma grandeza ou processo, qual a dimensão 
do espaço amostral necessária? 
3. Ao comparar os valores médios de duas grandezas, qual o tamanho do espaço 
amostral necessário? 
4. Ao comparar a variabilidade de duas grandezas, para decidir qual a melhor, qual o 
tamanho do espaço amostral necessário? 
5. Se uma análise envolve a medida de várias grandezas que, combinadas, resultam no 
dado desejado, quão precisas devem ser cada uma das medidas individuais para 
garantir a precisão do resultado? 
A resposta para estas questões passa pelo entendimento destes conceitos, de valor real, 
erro, incerteza, intervalo de confiança, entre outros, que serão tratados a seguir. 
Erro e Incerteza 
Então uma outra forma de inferir sobre a qualidade da medida é perguntar: 
Qual/quanto é o erro nestes dados? 
erro = | valor real – valor medido| 
𝜀 = |𝑥𝑣 − 𝑥𝑚| 
Está posto um paradoxo, pois, como podemos calcular o erro, se para isso precisamos 
do valor real e, para saber o valor real, é preciso medir e toda medida está sujeita a erros? R. 
usando estatística. 
Com várias repetições da mesma medida, seja ela feita com técnicas diferentes, 
laboratórios diferentes, usuários diferentes, etc. podemos calcular a probabilidade de o erro 
exceder um certo valor (como o caso da velocidade da luz)... mas antes algumas definições: 
 
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Avaliação Tipo A – Estimativa usando medidas repetidas de uma mesma grandeza. 
Avaliação Tipo B – Estimativa de incerteza de outras fontes de informação: 
conhecimento prévio do sistema, dados de fabricante, certificados de calibração, etc. 
Efeito Aleatório (precisão) – afetam o valor medido de forma aleatória, assim, médias 
sucessivas tendem a anular seu efeito: e.g. condições variáveis, pouca sensibilidade do 
equipamento, distúrbios externos, etc. 
Efeito Sistemático (viés) – o mesmo efeito afeta todas as medidas, sendo assim, só pode 
ser determinado pelo uso de diferentes métodos de medida: e.g. erro de calibração, 
erro humano recorrente, defeito no equipamento, limitação na resolução, etc. 
Erro ilegítimo – erro do operador, falha em anotar um valor, calcular um valor errado, 
não ligar um dos equipamentos, etc. 
Antes de medir, devemos tomar todas as medidas possíveis para minimizar o erro. Após 
a aquisição dos dados, a tarda é determinar os limites do erro para um determinado intervalo 
de confiança. 
−𝜇 ≤ 𝜀 ≤ 𝜇 𝑜𝑢 𝑥𝑚 − 𝜇 ≤ 𝑥𝑣 ≤ 𝑥𝑚 + 𝜇 
 
Funções Básicas 
Vamos usar os dados referente ao sensor de pressão: 
Média: 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 �̅� = 10.11 𝑘𝑃𝑎; 
Mediana: é o valor que separa a metade maior e a metade menor de uma amostra, uma 
população ou uma distribuição de probabilidade. no caso do sensor de pressão, como 
temos um número par de amostras, o valor da mediana está entre 10.11 e 10.12 kPa, 
portanto 10.115 kPa; 
Moda: valor que ocorre com mais frequência, ou seja 10.20 kPa; 
Obs. Numa distribuição normal, Média = Mediana = Moda. 
Organizando os dados num gráfico temos: 
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Este gráfico varia, se escolhemos, por exemplo, umΔp diferente de 0.05kPa, e se 
colhermos mais amostras. Uma forma de padronizar esta análise é a seguinte. Definindo a 
variável Z como: 
Z =
(# leituras num intervalo) (# de leituras)⁄
largura do intervalo
 
assim o gráfico de barras se torna um histograma, cuja integral... 
∆ ∑ 𝑍𝑖 = 1
𝑛
𝑖=1
 
Agora, tomamos 𝑛 → ∞ e ∆→ 0 e como resultado 𝑍 → 𝑓(𝑥) com 𝑓(𝑥) sendo a função 
densidade probabilidade (PDF). 
Assim podemos calcular a probabilidade de um valor de leitura estar em um 
determinado intervalo tomando: 
𝑃(𝑎 < 𝑥𝑚 < 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
ou a função distribuição cumulativa 
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
−∞
 
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Quase sempre usamos um modelo de distribuição normal. 
Distribuição gaussiana 
Distribuições gaussianas, que estão intimamente ligadas a processos aleatórios, são 
definidas pela PDF: 
𝑓(𝑥) =
1
𝜎√2𝜋
 𝑒
−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2⁄
 
onde 𝜇 a média e 𝜎 é o desvio padrão da população (infinita). 
Nunca temos acesso a estes valores, apenas aproximações. Quase sempre lidamos com 
a média �̅� e o desvio padrão das médias 𝑠(𝑥𝑖). 
𝑠(𝑥𝑖) = √ 
1
𝑛 − 1
 ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 
𝑛
𝑖=1
 
Há ainda o desvio padrão da média: 
Δ 𝑜𝑢 �̅� ≅ 𝑠(�̅�) =
𝑧 𝑠(𝑥𝑖)
√𝑛
 
onde z é o “número de desvios” considerados 
Para grandes amostras, s se aproxima-se de 𝜎 e, para gaussianas, geralmente, trabalha-
se em termos de 𝑛𝜎, 𝑛 = 1, 2, 3, … A PDF fica: 
𝑃(𝜇 − 𝑧𝜎 < 𝑥 < 𝜇 + 𝑧𝜎) = 
1
𝜎√2𝜋
∫ 𝑒
−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2⁄
𝑑𝑥
𝜇−𝑧𝜎
𝜇−𝑧𝜎
 
𝑧 = 1 → 𝑃(1𝜎) = 0.68268 
𝑧 = 2 → 𝑃(2𝜎) = 0.95449 
𝑧 = 3 → 𝑃(3𝜎) = 0.99730 
𝑧 = 4 → 𝑃(4𝜎) = 0.99993 
𝑧 = 5 → 𝑃(5𝜎) = 0.9999994 
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Fazer variações do gráfico abaixo mostrando exemplos 
Propagação de incertezas 
 
Neste ponto, queremos responder as seguintes questões: 
 Como lidar com incerteza/erro em grandezas que dependem de mais de uma medida 
(áreas, volumes, grandezas derivadas, etc.)? 
 Como estimar o intervalo de confiança de uma cadeia de medida, com mais de um 
instrumento associado? 
 Como especificar a acurácia necessária 
Sendo y a grandeza medida: 
𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁) 
Se considerarmos pequenas variações dos parâmetros que definem y, podemos descrever 
o erro associado com uma expansão em série de Taylor: 
∆𝑦 ≈
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
∆𝑥1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
∆𝑥2 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥3
∆𝑥3 + ⋯ + 
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑁
∆𝑥𝑁 
Uma das hipóteses fundamentais que vamos adotar é que essas perturbações são aleatórias 
em natureza e não correlatas no tempo! 
Ainda, cada derivada parcial representa a sensibilidade do equipamento àquela 
determinada grandeza x, portanto, tem unidade de sáida/entrada. 
Os Δs representam as incertezas associadas a cada grandeza, também denomoniadas uxi. 
Para combinar diversos erros, eles devem estar na mesma base ou seja no mesmo Intervalo de 
Confiança (e.g. 3σ, 95%, etc.). 
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Assim, a incerteza combinada Uy é: 
𝑈𝑦 = [(
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝑢𝑥1)
2
+ (
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝑢𝑥2)
2
+ (
𝜕𝑓
𝜕𝑥3
𝑢𝑥3)
2
+ ⋯ + (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑁
𝑢𝑥𝑁)
2
]
1/2
 
 
 UM exemplo prático de aplicação destas ferramentas seria, por exemplo, o estudo da 
rigidez estática de uma viga engastava. Este dispositivo pode ser o elemento primário, por 
exemplo, de um sensor de força ou balança, instrumentada com elementos piezoresistivos 
(extensômetros). Parte da sensibilidade deste sensor está diretamente ligada às características 
de tensão/deformação da viga, sendo assim, a avaliação desta rigidez estática e de sua 
variabilidade é de grande interesse para o projeto deste dispositivo. 
 Do ponto de vista teórico, a rigidez flexional da viga, considerando-se uma força aplicada 
na ponta livre e sua deflexão é 
𝑘𝑒 =
3𝐸𝐼
𝐿3
=
𝐸𝑏ℎ3
4 𝐿3
 
em que, do ponto de vista de projeto, os termos referentes ao Módulo de Elasticidade (E), 
largura (b), altura (h) e comprimento (L) teriam que ser aferidos, cada qual com a sua norma, 
segundo um determinado procedimento de medição com variabilidade e intervalos de confiança 
inerentes. 
 Já do ponto de vista prático, após a montagem de sistema, pode-se aferir a rigidez 
estática instalada por uma medição direta de força aplicada (F) e deformação livre (∆𝑥), 
novamente, cada qual com a sua incerteza e intervalo de confiança conhecidos. 
𝑘 =
𝐹
∆𝑥
 
 A depender de cada uma das incertezas nas duas formulações e das relações 
constitutivas envolvidas (de caráter mais fortemente não linear no caso teórico), deve-se obter 
intervalos de confiança distintos em cada um dos casos. Este exercício aparentemente simples, 
motiva discussões e aplicações destes conceitos básicos de estatística de dados em diversos 
contextos, como já mencionados: projeto robusto, calibração, validação experimental, 
propagação de incertezas, etc. 
Definições: 
No que tange a área de instrumentação e medidas mecânicas e, com base nos conceitos 
estatísticos descritos, podem-se definir as seguintes propriedades constantemente avaliadas e 
revisitadas pelo BIPM (Escritório Internacional de Pesos e Medidas). 
Acurácia (exatidão): Caracteriza o quão próximo o valor medido está do valor de 
referência; 
Precisão (reprodutibilidade, repetibilidade, estabilidade): Descreve os graus de liberdade 
de um instrumento de medida com relação a erros aleatórios; 
Resolução (tolerância): Máximo erro esperado em um determinado valor; 
Intervalo (range): Define os valores máximo e mínimo que um instrumento está habilitado 
a medir; 
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Sensibilidade: Variação da saída do instrumento com relação a uma variação do 
mensurando; 
Linearidade (não linearidade): Desvio de valores crescentes (ou decrescentes) medidos 
com relação a uma reta de ajuste entre valor medido x valor de referência (princípio 
da superposição). 
Conhecer estas definições é importante na comunicação e na interpretação de dados 
fornecidos pro fabricantes de sensores e sistemas de medidas. É comum no uso informal, e pelo 
vício introduzido por jargões, confundir algumas destas propriedades de forma conceitual ou 
entre si. Também é comum atribuir valor (qualitativo) para grandezas que deveriam ser tratadas 
como propriedades, como sensibilidade por exemplo – nem sempre ser sensível significa ser 
bom, por vezes um instrumento menos sensível é mais adequado para um determinada medida, 
como em testes de choque (ensaios de impacto ou que envolvam altos níveis de excitação) em 
que a preocupação deve estar muito mais ligada ao Intervalo (range) do que com a sensibilidade. 
Outra confusão corriqueira se dá entre resolução, precisão e acurácia; enquanto que a resolução 
determina a menor quantidade mensurável, é a precisão que se refere a receptibilidade do 
processo, no entanto, a acurácia é a característica que combina boa resolução e precisão. Por 
fim, a linearidade talvez seja a propriedade mais desejada em um instrumento de medida, que 
acaba determinando sua faixa útil de operação mas, mesmo esta propriedade, tem encontrado 
recentemente alternativas que consideram a faixa não linear o instrumento e através de 
eletrônica embarcada permitem a correção e, portanto, a extensão da faixa útil de operação. 
Desempenho Dinâmico de Sensores 
Considerando que eventuais distúrbios externos forma controlados (ou mantidos sob condições 
estacionárias), ainda é provável que o sistema de medição não forneça dados exatamente 
análogos à grandeza física desejada. Mesmo em condições ideais, considerando que todos os 
elementos da cadeia são sistemas lineares invariantes no tempo, é possível (e muito provável) 
que as diversas operações (ou blocos) que compõe o modelo da cadeia de medição apresentem 
comportamento dinâmico que pode afetar o desempenho deste sistema e de cadeias que façam 
uso destes sistemas. Um exemplo de cadeia que faz uso direto de sensoressão sistemas de 
controle, em que a planta, muitas vezes o foco central do estudo no projeto do sistema de 
controle, tem seus estados acessados via sensores que, assim, passam a integrar a dinâmica da 
planta com consequências óbvias para o desempenho e estabilidade do sistema de controle. 
Desta forma, motiva-se o estudo da resposta de sistemas cuja dinâmica possa ser 
representada por conjuntos de equações, como EDOs por exemplo, mantendo sempre a 
premissa de que o melhor modelo, é aquele mais simples possível que represente os fenômenos 
sob estudo, mas não mais simples que isso. O modelo mais simples de uma transformação entre 
variáveis de entrada e saída é o modelo algébrico (de ordem zero) – que no caso de cadeias de 
medidas pode representar uma manipulação de variáveis ou uma operação e amplificação ideal. 
Modelos mais complexos podem incluir sistemas de 1ª e 2ª ordem, assim como modelos mais 
complexos (de ordens superiores, com coeficientes não constantes ou não-lineraes, 
representados por EDPs, etc.). 
A seguir, propõe-se o desenvolvimento teórico da dinâmica e resposta destes sistemas, 
de ordem zero, 1 e 2 e de suas respostas, e contextualização desta dinâmica com o desempenho 
de sensores. 
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- sistema de ordem zero 
Como discutido anteriormente, adotadas as devidas hipóteses, subsistemas de cadeias de 
medida podem ser presentados por sistemas de ordem zero, como cadeias cinemáticas e 
componentes elétricos (potenciômetros) conforme sugere a Figura XXX. 
A equação que rege este comportamento, relaciona a variável de saída (resposta) qo(t) 
à variável de entrada qi(t), cada qual com seus coeficientes escalares a0 e b0. Normalizando-se 
ambos os lados pelo termo a0 resulta a constante K, o ganho do sistema, assim. 
 
Como exemplos, considera-se de acordo com a Figura XXX uma cadeia cinemática, cuja 
entrada e saída são ângulos e o ganho do sistema é a relação de engrenamento, ou o 
potenciômetro, ilustrado na mesma figura, cuja entrada é o deslocamento do escova, xi(t), e a 
saía é a tensão de leitura. A variação de tensão na saída, neste sistema ideal, ocorre de forma 
análoga à variação da entrada, sem que haja atrasos e com ganho linear e constante, conforme 
sugerem os gráficos, apresentados na mesma figura, que mostram apenas uma mudança de 
escala entre a entrada e a saída. Ainda, o conceito deste ganho K está intimamente ligado à 
sensibilidade, no caso de sensores, uma vez que S = 1/K é o fator pelo qual a variável de saída 
deve ser multiplicado para se obter uma leitura da variável de entrada, grandeza física que se 
pretende medir com o sensor e, portanto, K tem unidade [variável de saída/variável de entrada], 
por exemplo, [V/Pa]. Este ganho pode ser obtido avaliando-se a amplitude do sinal de saída pelo 
sinal de entrada no domínio do tempo, ou mesmo, no domínio da frequência, conforme ilustra 
também o gráfico da Fig XXX, com um esboço da resposta em frequência para um sistema desta 
natureza. 
 
 
 
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A análise da resposta no tempo deste tipo de sistema é trivial, uma vez que, como dito 
anteriormente, trata-se apenas de uma escala aplicada ao histórico no tempo das variáveis de 
entrada. 
- sistema de 1ª ordem 
Sistemas de 1ª ordem são aqueles cuja relação entre entrada e saída são prescritas pela equação 
abaixo. Nota-se que o termo de maior derivada dos lados esquerdo e direito da equação deve 
ser 1 para que se classifiquem como tal. 
 
Em geral, em estudos de resposta forçada, no equacionamento físico do problema usa-
se a função forçante de forma direta no lado direito da equação, ou seja, o termo b1 é 
tipicamente nulo. Ainda, a normalização padronizada, divide ambos os lados da equação pelo 
termo a1 resultando em: 
 
Esta equação apresenta um termo novo, τ, que multiplica a primeira derivada da 
resposta, conhecido por constante de tempo com unidade de [s]. 
A dinâmica deste tipo sistema é abordada, inicialmente, na sua versão homogênia, ou 
seja, com termo forçante nulo, assim. 
 
A função solução para uma EDO de 1ª ordem pode ser subdividida em suas parcelas 
homogêna (solução da equação anterior) e da particular (relativa ao termo forçante) nula neste 
caso. 
 
Uma das soluções gerais propostas para resolver a EDO homogênea é a função do tipo 
exponencial, pela propriedade de sucessivas derivadas resultarem em funções da mesma 
natureza, conforme 
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Assim, substituindo as funções na EDO homogênea, e colocando o termo exponencial 
em evidência, tem-se o produto abaixo que, para solução nula requer que o termo constante, 
C, seja nulo (denominado solução trivial) ou que o termo entre parênteses seja nulo, neste caso 
um polinômio de 1ª ordem com solução apresentada na seguinte equação. 
 
 
Desta forma, a solução geral para resposta livre do sistema de 1ª ordem resulta na 
função exponencial, dependente da constante de tempo (característica intrínseca do sistema) e 
de uma constante a ser determinada em função das condições iniciais. 
 
Se adotada uma condição inicial não nula, Xo, para a variável de resposta, a solução para 
a resposta em t=0 resulta em, 
 
que está representada graficamente na figura abaixo, para diferentes de constante de tempo. 
 
Resposta de sistemas de 1ª ordem a entradas canônicas 
A seguir analisam-se as resposta de sistemas de 1ª ordem a entradas canônicas (degrau, rampa 
e harmônica). 
Entrada Degrau 
A entrada degrau é muito relevante pra este tipo de sistema, visto que representa muito bem 
condições aplicadas a circuitos elétricos ao se chavear (alimentar) um circuito, ao se imergir um 
sensor de temperatura num banho a temperatura constante, etc. 
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A equação forçada pode ser expressa em termos das mesmas constantes de tempo e 
ganho e da função degrau que é representada pela função degrau unitário, u(t), e de uma 
constante, A, 
. 
Para condições iniciais nulas, afirma-se que a resposta do sistema em t=0 é também 
nula. Para t > 0, a função forçante é constante igual a A. Com isto, a solução da EDO resulta da 
solução da equação abaixo para t > 0. 
 
Como a solução geral considera, como dito anteriormente, a soma da solução 
homogênea e da particular, sendo a última similar a função forçante (sistema linear), a solução 
geral é, 
 
Como no limite lateral, quando t = 0-, a resposta contínua do sistema que era nula para 
t < 0 sugere que seja, também nula, para t = 0, pode-se encontrar o valor da constante C, em 
função das constantes ganho K e amplitude da entrada A, assim, 
 
Desta forma, a solução geral para a resposta à entrada degrau é 
 
que graficamente está representada qualitativamente na figura abaixo para valores diferentes 
de constante de tempo. Nota-se que, independentemente do valor, a resposta do sensor 
converge para um valor constante, proporcional à amplitude de entrada (com base em K). 
 
 
 
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Cálculo do erro 
Do ponto de vista de sensores, esta resposta pode ser entendida como a saída elétrica 
(pro exemplo) de uma leitura feita acerca de uma grandeza mecânica medida. Assim, a leitura 
de um sensor, y(t), modelado como um sistema de 1ª ordem pode ser expressa por: 
 
De maneira ideal, a leitura seria idêntica à entrada (como no caso de ordem zero). Como 
no caso de 1ª ordem há uma diferença, o erro de leitura é a diferença entre a variável de entrada 
no sensor (grandeza física) qi(t) e a leitura y(t): 
 
A expressão do erro resulta na equação abaixo, que simplificada resulta na equação seguinte 
 
ou seja, o erro é nulo para t < 0 e para t > 0, temos: 
 
que graficamente se assemelha muito à resposta livre do sistema, cuja condição inicial (neste 
caso provocada pela entrada) é A. Outra interpretação possível paraeste resultado é que o erro 
de um sensor de 1ª ordem é, justamente, a parcela transiente da resposta. 
 
--- fim da análise de erro --- 
Entrada Rampa 
O estudo da resposta à entrada rampa são interessantes para ganhar intuição quanto ao 
comportamento de sensores a entradas transientes ou dinâmicas. Este seria o caso, por 
exemplo, de monitorar o enchimento de um reservatório de líquido, o aquecimento de um 
tanque ou peça, etc. 
 A entrada pode ser definida como: 
EESC-USP 17 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
 
em que V é a taxa de variação linear da função para t > 0. Assim, como anteriormente, a solução 
particular (de regime) deve ter a mesma natureza da entrada, ou seja, uma função linear 
(polinômio de ordem 1) e sua derivada constante dados por: 
 
que, substituindo na EDO forçada de 1ª ordem resulta em: 
 
Igualando-se os termos constantes e os dependentes do tempo, resulta o sistema de 
equações: 
 
Substituindo as constantes encontradas na resposta particular, obtém-se a resposta de 
regime domínio do tempo: 
 
e com ela, a resposta completa, com o termo transiente e o de regime. 
 
Dadas condições iniciais nulas, a constante C pode ser calculada como, 
, 
resultando na resposta à entrada rampa para condições iniciais nulas: 
. 
EESC-USP 18 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
Graficamente, destacando-se cada um dos termos da equação, tem-se a resposta do 
sistema (linha cheia azul) e as componentes da resposta (termo constante, linear e exponencial). 
O valor da função exponencial decai, com a evolução da resposta no tempo se torna desprezível 
(por exemplo para t > 3τ). 
 
 
A avaliação deste gráfico permite fazer a análise do erro, a partir da leitura do sensor, 
y(t), que é obtida pela resposta qo(t) e a sensibilidade K do sensor, com: 
 
 A diferença entre a variável de entrada e sua estimativa (feita pela leitura do sensor) 
resulta o erro de leitura: 
 
EESC-USP 19 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
 
A análise do gráfico que compara a variável e sua litura permite concluir que existe um 
erro de regime constante, que é resultado do produto entre a taxa de variação da entrada, V, e 
a constante de tempo do sensor τ. Ainda, a resposta de regime tem mesma natureza da rampa 
de entrada, apresentando um atraso no tempo igual à constante de tempo do sistema. 
 
 
- sistema de 2ª ordem 
Novamente, por definição, a EDO de 2ª ordem é expressa em termos das variáveis de 
entrada qi(t) e de saída qo(t) e suas derivadas no domínio do tempo. 
 
 Como, tipicamente, b1 = b2 = 0, uma versão normalizada resulta: 
 
 Contudo, principalmente para sistemas mecânicos, usa-se outra normalização, 
por a2 ao invés de a1, de forma que os termos constantes da EDO são escritos em termos 
de constantes convenientes para a análise da dinâmica destes sistemas: 
EESC-USP 20 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
 
(#1) 
de onde, a2 = m (massa), a1 = c (amortecimento), a0 = k (rigidez), 𝜔𝑛
2 =
𝑘
𝑚
 e 𝜁 =
𝑐
2√𝑘𝑚
, 
como sugere a figura abaixo. 
 
Uma EDO de 2ª ordem admite duas solução linearmente dependentes (LD) x1(t) e x2(t) 
e, portanto, qualquer solução do tipo 
 
com 
 
também é solução da EDO. 
Desta forma, perseguem-se uma solução geral do tipo 
 
em que, assim como nos sistemas de 1ª ordem, xh(t) é a solução geral (homogênea) e xh(t) a 
solução particular (ou de regime) do sistema. 
A solução homogênea é obtida a partir da resposta livre do sistema a condição iniciais 
não nulas, ou seja: 
 
(#2) 
 
Dentre as possíveis soluções cuja soma de derivadas subsequentes se anulam, está a 
família de funções exponenciais, estudadas por Bernouli e aprofundadas por Euler, que servem 
como solução tentativa para a EDO homogênea, 
 
 Substituindo na Eq.(#) resulta 
 
(#3) 
 Além da solução trivial (C = 0), a EDO admite soluções que sejam raízes polinômio 
característico, ou seja: 
EESC-USP 21 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
 
Desta forma há 3 possíveis famílias de soluções para a EDO homogênea a depender do 
fator de amortecimento ζ, listadas abaixo e que podem ser representadas graficamente: 
 
Condições que podem ser expressas graficamente, conforme abaixo, em que as raízes 
do polinômio em que ζ > 1 são dois valores reais atribuídos a sistemas ditos sobreamortecidos, 
o caso especial em que ζ = 1 em que a parábola definida pelo polinômio característico (linha 
tracejada) tangencia o eixo real (caso criticamente amortecido) e, finalmente o caso em que o 
fator de amortecimento se encontra no intervalo 0 < ζ < 1, admitindo como raizes dois valores 
complexos conjugados, cujas raízes partem do ponto ‘X’ no gráfico (criticamente amortecido) e 
evoluem até os pontos ±iω sobre o eixo imaginário, quando ζ = 0 (caso não amortecido). 
 
Resposta livre de sistemas de 2ª ordem 
A seguir, analisam-se as respostas livres destes sistemas de 2ª ordem, em função de sua classe 
de amortecimento: não-amortecido, subamortecido, criticamente amortecido e 
sobreamotecido. 
c = 0 -> ζ = 0 
Neste caso tem um sistema livre não-amortecido, com EDO: 
EESC-USP 22 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
 
para a qual, utilizando-se a solução proposta anteriormente resulta: 
 
com solução não trivial de acordo com as raízes do polinômio 
Como já discutido anteriormente, a solução homogênea é solução da sobreposição das 
duas soluções possíveis, ou seja: 
 
Usando a identidade de Euler 
 
é possível reescrever a solução homogênea em termos de senos e cossenos, cujas amplitudes 
são definidas por duas constantes (A1 e A2) que estão diretamente relacionadas a C1 e C2 e serão 
obtidas a partir das condições iniciais, ou seja: 
 
 Se o sistema tem duas condições iniciais, definidas no instante de tempo t = 0, sejam 
𝑥ℎ(𝑡 = 0) = 𝑥0 e �̇�ℎ(𝑡 = 0) = 𝑣0 , e a derivada temporal da resposta homogênea dada por 
 
temos 
 
e 
 
e a solução geral para a variável de resposta qo(t): 
 
EESC-USP 23 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
representada graficamente na figura abaixo, em que a amplitude da resposta é 
, o período e a velocidade inicial define o ângulo 
 que juntos, interpretando-se a curva como um cosseno defasado, tem-se 
 
 
 
0 < c < √4𝑘𝑚 -> 0 < ζ < 1 
O caso subamortecido, para o qual a resposta livre amortecida é obtida através da Eq (#2) e da 
solução tentativa exponencial, resultado no polinômio característico (#3), tem resposta 
homogênea no tempo dada por: 
 
ou seja, 
 
 Semelhante ao que foi desenvolvido para o caso não-amortecido, dadas as condições 
iniciais 𝑥ℎ(𝑡 = 0) = 𝑥0 e �̇�ℎ(𝑡 = 0) = 𝑣0 
EESC-USP 24 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
 
e, para a velocidade inicial 
 
 
com , 
 
portanto: 
 
A resposta geral para a resposta livre amortecida, descrita pela equação acima pode ser 
representada graficamente, em que podem ser identificados o envelope da função (termo 
exponencial em destaque na equação), o período Td referente à frequência de ressonância (ou 
frequência natural amortecida) do sistema. 
 
c > √4𝑘𝑚 ou ζ > 1 
O caso sobreamortecido, principalmente no que se refere ao desenvolvimento analítico da 
resposta, é pouco explorado na literatura. Seu desenvolvimento se baseia, novamente na Eq. 
(#2) e no polinômio característico (#3), com duas raízes reais negativas (-r1 e –r2), resultando em: 
 
EESC-USP 25 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
em que |r1| > |r2|. 
 Dadas as condições iniciais, 𝑥ℎ(𝑡 = 0) = 𝑥0 e �̇�ℎ(𝑡 = 0) = 𝑣0 e com a primeira derivada 
da resposta dada por: 
 
tem-se 
 
 
Assim, 
, 
 
 
e 
 
 
 
 
 Na resposta geral para o caso sobreamortecido, o primeiro termo tem a raiz maior em 
módulo e, portanto, atenua mais rápidamente, já o segundo termo domina a resposta no 
domínio do tempo e vai definir o tempo de acomodação do sistema. O gráfico abaixo ilustra os 
dois termos e a sua soma (i.e. a reposta qo) para uma condição inicial arbitrária emque 𝑥0 > 0 
e 𝑣0 > 0. Neste caso, a constante C1 (negativa) e a constante C2 (positiva) podem ser vistas no 
instante t = 0 em cada uma das componentes da resposta. A soma das componentes, em linha 
cheia parte do ponto 𝑥0 com derivada positiva 𝑣0. Após os instantes iniciais, quando a 
contribuição da primeira componente se torna desprezível, a resposta converge 
assintoticamente à parcela referente a r2. 
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Resposta de sistemas de 2ª ordem a entradas periódica / Resposta em Frequência 
Em um sistema é forçado, caso de todos os sensores quando em funcionamento, qi(t) ≠ 0. A 
resposta no tempo, solução da EDO (#1), vai apresentar dois termos, o homogêneo e o termo 
particular. Enquanto que o termo homogêneo deve atenuar com o tempo (para sistemas 
amortecidos), o termo particular é o que representa a resposta de regime do sensor. 
O caso de uma fonte de excitação harmônica permite observar fenômenos e 
caraterísticas de sensores sem a perda de generalidade. Sendo assim, admite-se uma função 
forçante de entrada: 
 
de forma que a resposta particular (de regime) da EDO (#1) para um sistema linear, deve ter a 
mesma natureza da entrada, resultando em: 
 
 
seja por meio da transformada de Laplace ou pela observação direta dos termo dependentes da 
frequência de excitação ω, é possível avaliar a função de resposta em frequência para este 
sistema, razão entre a amplitude de resposta X(ω) e a entrada f0(ω) 
 
(#4) 
 
 A função H(ω) = X(ω) / f0(ω) na Eq. (#4) permite avaliar que: 
 Trata-se de uma grandeza complexa, dado o denominador com partes real e 
imaginária; 
 O fenômeno de ressonância fica claro ao analisar-se o termo (𝜔𝑛
2 − 𝜔2 ) 
 O termo imaginário no denominador é o que limita a amplitude da resposta próximo à 
ressonância 
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 Por se tratar de uma grandeza complexa, oriunda da relação entre duas funções (dois 
sinais – entrada e saída) são necessários dois gráficos para descreve-la (parte Real e 
Imaginária ou Amplitude e Ângulo de Fase – Bode) 
 
A visualização gráfica destas grandezas traz mais intuição no comportamento dinâmico 
destes sistemas e estão ilustradas a seguir. A princípio, observa-se o comportamento apenas do 
denominador (D), sua parte real e imaginária, em seguida a função H, nas duas formas 
apresentadas acima. 
 
Parte real e imaginária 
do denominador da FRF. 
Dados: 
𝜔𝑛 = 10 rd/s 
ζ = 5% 
m = 1; k = 100 
 
obs. 
Parte real R{D} cruza o 
zero em 𝜔 = 𝜔𝑛 
Na mesma freq. Parte 
imaginária I{D} = 10 
 
Analisando-se as partes 
real e imag. de H: 
 
R{H} = 0 em 𝜔 = 𝜔𝑛 
 
I{H} = 0,1 em 𝜔 = 𝜔𝑛 
 
De outra forma, em um 
diagrama de bode, pode-
se observar a amplitude 
de H e seu ângulo de 
fase. 
A amplitude de H parte 
de 0,1 (inverso da 
rigidez), apresenta um 
pico próximo a 𝜔𝑛 , e 
inversão de fase de 0 
para –π rd/s e 
decaimento de 20dB/dec 
acima da ressonância. 
 
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Do ponto de vista do desempenho dinâmico de sensores, modelados a partir de um 
sistema de 2ª ordem, pode-se concluir que existe uma faixa de frequência em que a resposta 
mantém uma certa regularidade (proporcionalidade) com relação à entrada, ou seja, o sinal 
proveniente do transdutor mantém uma relação de proporcionalidade linear com a fonte de 
excitação. Por exemplo, o sinal proveniente de um cristal piezelétrico (reposta) é proporcional 
à grandeza medida (deformação), o que não é somente desejável, mas muitas vezes necessário, 
para viabilizar o uso deste princípio de transdução. Este comportamento é claramente 
observado em baixas frequências (com relação à frequência de ressonância do sistema) – nesta 
faixa, o ângulo de fase entre a entrada e saída se aproxima de zero, enquanto a razão de 
amplitudes é praticamente constante e inversamente proporcional ao termo a0 = k (rigidez no 
caso de sistemas mecânicos). Esta, por fim, pode ser interpretada como uma das sensibilidades 
do sensor S = 1/k, de forma que um sensor ‘mais rígido’ apresentaria menor resposta para uma 
dada entrada que uma versão ‘mais flexível’. 
O termo a1 = c (amortecimento) é outro fator importante, pois influencia dois 
parâmetros da resposta em frequência: amplitude do pico de ressonância e ângulo de fase. No 
caso de um sensor cujo comportamento se aproxime de um sistema de 2ª ordem, que seja 
excitado por fenômenos periódicos (ou transientes) que excitem sua ressonância fundamental, 
o nível de amplificação deste pico determina o nível global do sinal de saída, assim, seria 
interessante ter um sistema com um bom nível de amortecimento, de forma a limitar este valor. 
Por outro lado, quanto maior o fator de amortecimento, maior o ângulo de fase observado na 
resposta em frequências mais baixas, o que pode introduzir erro na medida, como ilustra a figura 
abaixo, que apresenta 3 casos, com diferentes fatores de amortecimento ζ = 0.5%, 5% e 120%. 
Regras de uso sugerem a faixa útil para estes sistemas no intervalo { 0 ≤ ω ≤ 0,2.ωn} . 
 
Sumário e Conclusões 
Este texto dissertou sobre características estáticas e dinâmicas de instrumentos de medida. 
Após uma introdução ao tema e contextualização, discutiram-se conceitos fundamentais e 
definições de instrumentos e cadeias de medição, calibração estática e conceitos estatítisticos 
(valor médio e valor real, erro, incerteza, intervalo de confiança e propagação de incertezas). 
Em seguida, trataram-se, de forma analítica, a modelagem de sensores como sistemas 
dinâmicos para fomentar a discussão do seu desempenho dinâmico, através do qual se 
introduzem conceitos como atraso na resposta, ganho e sensibilidade, resposta transiente e de 
regime, erro de regime, efeitos de 1ª e 2ª ordem, resposta em frequência, linearidade e faixa 
de operação. A fundamentação teórico foi pontuada com exemplos práticos de aplicação que 
EESC-USP 29 Prof.Dr. Leopoldo P.R. de Olvieira 
 
demonstram o valor do uso da filosofia de dinâmica de sistemas no estudo e interpretação do 
desempenho de sensores e sistemas de medida.