Gráfico Função Polinomial

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1ª SÉRIE
Aula 17 – 3º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Tecnologia digital: plotagem de um gráfico de uma função polinomial de segundo grau
Esboço gráfico de uma função polinomial de segundo grau.
Construir, explorar e analisar o gráfico de funções polinomiais no plano cartesiano, utilizando ou não tecnologias digitais.
Conteúdo
Objetivo
Habilidade: (EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Estimativa de tempo para o desenvolvimento das seções:
Para começar: 10 min.
Foco no conteúdo: 10 min.
Na prática 1: 5 min.
Na prática 2: 5 min.
Na prática 3: 5 min.
Aplicando: 10 min.
Tabelas e gráficos...
Uma operadora de telefonia móvel oferece um plano de internet em que o assinante paga, pela velocidade média de download, em megabite por segundo, fornecida pela empresa durante o período de contratação. A tabela ao lado informa os valores a serem cobrados:
	Velocidade média de download (Mbps)	Valor a ser pago em R$
	10	2
	20	8
	30	18
	40	32
	50	50
	60	72
Técnica: “Virem e conversem”.
Tempo: 10 min.
Para começar
Tabelas e gráficos...
	Velocidade média de download (Mbps)	Valor a ser pago em R$
	10	2
	20	8
	30	18
	40	32
	50	50
	60	72
Sabendo-se disso, determine:
A lei de formação que fornece o valor a ser pago (y) em função da velocidade média de downloads (x). 
O esboço do gráfico da função obtida no item anterior.
Para começar
Correção
Reescrevendo os dados informados, podemos observar que existem, tanto na primeira coluna como na segunda duas constantes de proporcionalidade distintas. 
	Velocidade média de download (Mbps)	Valor a ser pago em R$
	10	2
		
		
		
		
		
Para começar
Correção
	Velocidade média de download (Mbps)	Valor a ser pago em R$
	10	2
		
		
		
		
		
Analisando os dados da tabela, podemos constatar que na coluna referente à velocidade existe um valor constante (10), multiplicado por um determinado valor referente à velocidade média de download.
Já na coluna referente ao valor a ser pago, constatamos que existe outro valor constante (2), multiplicado pela velocidade média de download elevada ao quadrado. A seguir, calcularemos a taxa média de variação entre essas grandezas. 
Para começar
Correção
	x		y
	10	100	2
	20	400	8
	30	900	18
	40	1600	32
	50	2500	50
	60	3600	72
Chamando de x a velocidade média de download e de y o valor a ser pago em R$, temos:
Para começar
Correção
	x		y
	10	100	2
	20	400	8
	30	900	18
	40	1600	32
	50	2500	50
	60	3600	72
Pelos valores obtidos anteriormente, temos:
Para começar
Correção
	x	y
	10	2
	20	8
	30	18
	40	32
	50	50
	60	72
b.
Para começar
Utilizando um software de geometria dinâmica para explorar as características principais da função polinomial do segundo grau
A seguir, propomos a elaboração de um aplicativo cujo intuito seria a aplicação de alguns referenciais teóricos vistos até aqui, utilizando um software de geometria dinâmica. 
Clique no link a seguir e siga a orientação contida no tutorial: 
https://curt.link/Z1HepyP 
Tempo: 10 min.
Foco no conteúdo
Professor, seria interessante enviar aos estudantes esse link, para que eles já preparem esse aplicativo antecipadamente. 
Explorando o aplicativo – Parte 1
Acesse o aplicativo que você acabou de construir e responda às questões a seguir.
Varie o coeficiente “a”, movendo o controle deslizante, fazendo que assuma diferentes valores, e responda: 
O que acontece com o gráfico quando a = 0?
O que acontece com o gráfico quando a > 0 (positivo)?
O que acontece com o gráfico quando a < 0 (negativo)?
Técnica: “Todo mundo escreve”.
Tempo: 5 min.
Na prática
Explorando o aplicativo – Parte 1
Varie o coeficiente “b”, movendo o controle deslizante, fazendo que o assuma diferentes valores, e responda: 
O que acontece com o gráfico quando b = 0?
O que acontece com o gráfico quando b > 0 (positivo)?
O que acontece com o gráfico quando b < 0 (negativo)?
Na prática
Explorando o aplicativo – Parte 1
Varie o coeficiente “c”, movendo o controle deslizante, fazendo que o assuma diferentes valores, e responda: 
O que acontece com o gráfico quando c = 0?
O que acontece com o gráfico quando c > 0 (positivo)?
O que acontece com o gráfico quando c < 0 (negativo)?
Na prática
Correção
Varie o coeficiente “a”, movendo o controle deslizante, fazendo que o assuma diferentes valores, e responda: 
Quando a = 0, o esboço gráfico obtido é uma função polinomial do primeiro grau.
Quando o coeficiente a assume valores positivos, a concavidade da parábola fica voltada para cima e a abertura da parábola fica menor a partir do momento em que se aumenta o valor absoluto de a. 
Quando o coeficiente a assume valores negativos, a concavidade da parábola fica voltada para baixo e a abertura da parábola fica menor a partir do momento em que se aumenta o valor absoluto de a. 
Na prática
Correção
Varie o coeficiente “b”, movendo o controle deslizante, fazendo que o assuma diferentes valores, e responda: 
Quando b = 0, o eixo de simetria da parábola coincidirá com o eixo y do plano cartesiano.
Quando o coeficiente b assume valores positivos, percebe-se que a parábola intercepta o eixo y no ramo crescente e o vértice da parábola estará localizado sempre do “lado” esquerdo da parábola. 
Quando o coeficiente b assume valores negativos, percebe-se que a parábola intercepta o eixo y no ramo decrescente e o vértice da parábola estará localizado sempre do “lado” direito da parábola. 
Na prática
Correção
Varie o coeficiente “c”, movendo o controle deslizante, fazendo que o assuma diferentes valores, e responda: 
Quando c = 0, uma das raízes sempre será a origem do plano cartesiano.
Quando o coeficiente c assume valores positivos, o ponto de intersecção da parábola com o eixo y aumenta em valores absolutos de acordo com os valores absolutos desse eixo. 
Quando o coeficiente c assume valores negativos, o ponto de intersecção da parábola com o eixo y diminui em valores absolutos de acordo com os valores absolutos desse eixo. 
Na prática
Explorando o aplicativo – Parte 2
Varie os coeficientes “a, b e c”, observe o valor de e responda: 
Quantas vezes o gráfico intercepta o eixo x quando (positivo)?
Quantas vezes o gráfico intercepta o eixo x quando ? 
Quantas vezes o gráfico intercepta o eixo x quando ?
Técnica: “Todo mundo escreve”.
Tempo: 5 min.
Na prática
Correção
Uma das possibilidades do valor de ser igual a zero seria: 
a = 1, b = 0 e c = 0. Nesse caso, o vértice da parábola seria a origem do plano cartesiano. 
Quando o valor de assume valores positivos a parábola intercepta o eixo x duas vezes. 
Quando o valor de assume valores negativos, a parábola não intercepta o eixo x. 
Varie os coeficientes “a, b e c”, observe o valor de e responda: 
Na prática
Explorando o aplicativo – Parte 3
Quais as coordenadas do vértice das seguintes funções do segundo grau? Ele é ponto de mínimo ou de máximo?
Dica: movimente os controles deslizantes de a, b e c, de acordo com os coeficientes das funções. 
Técnica: “Todo mundo escreve”.
Tempo: 5 min.
Na prática
Correção
Na prática
Resolvendo questões com o GeoGebra
A nossa proposta agora será a utilização da calculadora gráfica do GeoGebra (https://www.geogebra.org/calculator?lang=pt-PT) para a resolução de uma questão do Enem.
Analise a questão no próximo slide, crie o gráfico da função abordada e procure a alternativa correta. 
Técnica: “Mostre-me”.
Tempo: 10 min.
Aplicando
(ENEM – 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função (em que t é expresso em dias e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e quetal expressão só é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.
A Secretaria da Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.
Aplicando
A segunda dedetização aconteceu no:
dia 19
dia 20
dia 29
dia 30
dia 60 
Aplicando
Correção
1. Digitar
2. Clicar
Aplicando
Correção
Clicar
Aplicando
Correção
Ajustar a escala
Ajustar a escala
Aplicando
Correção
Aplicando
Correção
Analisando o gráfico da função, verifica-se que o primeiro dia em que chegou a 1 600 dias refere-se ao dia 20, portanto a alternativa correta é a “b”. 
Aplicando
Construir, explorar e analisar o gráfico de funções polinomiais no plano cartesiano, utilizando ou não tecnologias digitais.
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 98271
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
30
LEMOV, Doug. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 9 – Elaborada pelo autor.
Slide 24 – Elaborada pelo autor. 
Slide 25 – Elaborada pelo autor.
Slide 26 – Elaborada pelo autor.
Slide 27 – Elaborada pelo autor.
Referências
Material 
Digital
1
1
2
1
2
2
2
2
3
3
2
3
4
4
2
4
5
5
2
5
y
826
T.M.V0,02
400100300
x
y
18810
T.M.V0,02
900400500
x
y
321814
T.M.V0,02
1600900700
x
y
503218
T.M.V0,02
25001600900
x
y
725022
T.M.V0,02
360025001100
x
D
-
====
-
D
D
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D
D
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2
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2
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2
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(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
a. fx2x4x3
V1,1 Ponto de mínimo.
b. gx2x4x3
V1,1Ponto de máximo.
c. hxx4
V0,4 Ponto de máximo.
=-+
Þ
=---
--Þ
=-+
Þ
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
d. ixx3x
V1,5;2,25 Ponto de mínimo.
e. jxx
V0,0 Ponto de mínimo.
=+
--Þ
=
Þ