Função Densidade de Probabilidade

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Aula 5 Probabilidade e Estatística 101
quando a v.a. é contínua, as probabilidades devem ser calculadas em função de intervalo de 
valores e não em função de valores pontuais (um único ponto). Dessa forma, há necessidade 
de ser estabelecido um novo tipo de função que possa atender as especificidades de uma v.a. 
contínua. Essa nova função chama-se: função densidade de probabilidade. É o que veremos 
adiante.
Antes de definirmos formalmente uma função densidade de probabilidade, vamos fazer 
uma pequena viagem e rever os gráficos conhecidos como histograma, que estudamos 
na Aula 6 (Distribuição de frequências: apresentação gráfica) da disciplina Matemática e 
Realidade, lembra?
Naquela aula, vimos que o histograma é um gráfico muito útil, pois nos informa acerca 
do comportamento dos dados que organizamos e também serve para ilustrar a distribuição 
de frequências da variável contínua, associada a esses dados. As frequências utilizadas na 
construção desse gráfico podem ser simples ou acumuladas, assim como absolutas ou 
relativas. Para nosso propósito, focado na construção do conceito de função densidade de 
probabilidade, trabalharemos aqui com as frequências simples relativas (fr). A escolha por 
esse tipo de frequência deve-se exatamente ao fato de estarmos interessados em destacar 
que tal conceito, na teoria das probabilidades, possui estreita ligação com as frequências 
relativas. Você se lembra que uma das definições de probabilidade que estudamos baseia-se, 
justamente, na frequência relativa? Vamos então examinar a Tabela 1 apresentada a seguir. 
Ela trata da renda familiar mensal (em salários mínimos – s.m.) dos alunos de Matemática a 
distância de um determinado pólo.
Tabela 1 - Distribuição da renda familiar mensal, X, (em s.m.) dos alunos de Matemática à distância do pólo P.
X fr
1|– 2 0,05
2|– 3 0,10
3|– 4 0,20
4|– 5 0,30
5|– 6 0,20
6|– 7 0,10
7|– 8 0,05∑
1,00
A Tabela 1 nos revela como se comporta a variável que estudamos, X, associada à 
renda familiar mensal dos referidos alunos. Por exemplo, podemos ver que 30% (maior 
frequência) dos alunos possuem renda familiar entre 4 e menos de 5 s.m., podemos também 
perceber que a primeira e última classes representam cada uma apenas 5%, das famílias. 
Muitas outras conclusões ainda poderíamos tirar a partir da análise dessa tabela. 
Prob_Est_Livro.indb 101Prob_Est_Livro.indb 101 30/12/14 15:4430/12/14 15:44
A1
0,30
fr
x
0,20
0,10
0,05
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A2
A3
A4
A5
A6
A7
Aula 5 Probabilidade e Estatística102
Vamos agora construir o histograma para esses dados?
Figura 1 - Distribuição da renda familiar mensal, X, (em s.m.) dos alunos de Matemática à distância do pólo P.
Como já sabemos de informações anteriores, o histograma é um gráfico expresso 
através de retângulos justapostos. Nesse caso, as bases dos retângulos são todas iguais 
a 1 (bases unitárias) e as alturas correspondem às frequências relativas associadas às 
classes de renda. No entanto, se a distribuição de frequências se apresenta com classes 
diferentes, o histograma não deve ser feito considerando-se todas as bases dos retângulos 
como mesmo tamanho, mas essas bases deverão ter um tamanho de forma que a área 
associada à de cada retângulo corresponda à frequência da classe considerada. No caso 
desse exemplo particular, o histograma pode ser construído com todos os retângulos tendo 
a mesma base, porque nessa distribuição os intervalos são iguais e, daí, as bases podem 
ser consideradas iguais a 1. Portanto, podemos tomar cada frequência relativa como sendo 
a própria altura do retângulo. Esse procedimento implica que a frequência relativa de cada 
intervalo corresponderá ao resultado da área de cada retângulo (Ai), ou seja:
A
1
 = b
1
⋅h
1 = 1(0,05) = 0,05 ⇒ A
1
 = f
1
A
2
 = b
2
⋅h
2 = 1(0,10) = 0,10 ⇒ A
2
 = f
2
A
3
 = b
3
⋅h
3 = 1(0,20) = 0,20 ⇒ A
3
 = f
3
A
4
 = b
4
⋅h
4 = 1(0,30) = 0,30 ⇒ A
4
 = f
4
A
5
 = b
5
⋅h
5 = 1(0,20) = 0,20 ⇒ A
5
 = f
5
A
6
 = b
6
⋅h
6 = 1(0,10) = 0,10 ⇒ A
6
 = f
6
A
7
 = b
7
⋅h
7 = 1(0,05) = 0,05 ⇒ A
7
 = f
7
Fazendo analogia entre as frequências relativas e as probabilidades, temos, por exemplo, 
que P( 2 ≤ X < 5) é dada pela soma das áreas A
2
 + A
3
 + A
4
, isto é,
P( 2 ≤ X < 5) = 
4∑
i=2
Ai
 
= 0,10 + 0,20 + 0,30 = 0,60.
Prob_Est_Livro.indb 102Prob_Est_Livro.indb 102 30/12/14 15:4430/12/14 15:44