14- Raciocínio Lógico

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Raciocínio lógico-matemático: interpretação e analise de dados 
estatísticos 
 
 
 
 
 
 
Renata Fernandes 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
1. Operações Fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) ..... 02 
 2. Fração ........................................................................................................ 03 
 3. Radiciação .................................................................................................. 05 
Renata Fernandes 
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SUMÁRIO 
 
1. Operações Fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) ....... 02 
2. Fração .......................................................................................................... 02 
3. Definições de conjuntos ............................................................................... 05 
4. Razão e proporção ....................................................................................... 06 
5. Regra de três simples e composta ............................................................... 09 
7. Porcentagem ................................................................................................ 10 
8. Cálculo de juros (simples e composto) ......................................................... 10 
9. Média aritmética ........................................................................................... 12 
10. Polígonos ................................................................................................... 12 
11. Medida de circunferência ........................................................................... 13 
12. Ângulos ...................................................................................................... 14 
13. Coordenadas cartesianas ........................................................................... 15 
14. Equação do primeiro grau com uma variável ............................................. 17 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................. 19 
 
 
 
 
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1. OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
→ Adição: 
 
→ Subtração: 
 
→ Multiplicação: 
 
→ Divisão: 
 
Fonte: Dante, Luiz Roberto (vol. Único) 
 
2. FRAÇÕES 
 
Segundo o matemático Luiz Roberto Dante (em 2006, vol. único) “O 
símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. 
Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador. 
 Se a é múltiplo de b, então é um número natural”. 
Há algum tempo atrás, os números naturais foram os únicos conhecidos e 
usados. Após, surgiram situações em que números naturais não sanavam as 
questões, assim surgiu os números fracionários. 
 
Entendendo o porquê da fração 
 Quando temos uma situação em que não é considerado um número 
natural. Temos uma fração que abrange a seguinte ideia: decompor em 
partes iguais. 
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Exemplo: Débora consumiu de um chocolate, é como se Débora tivesse 
consumido 3 partes (das 4 partes do referido chocolate). 
 
Como classificamos as frações 
Roberto Dante nos ajuda a entender e classificar as frações: 
Fração própria: o numerador é menor que o denominador: 
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. 
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. 
Frações equivalentes 
 Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. 
 Exemplo: são equivalentes 
 Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o 
denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. 
 Exemplo: obter frações equivalentes à fração . 
 
 Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a 
 
Simplificação de frações 
 Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi 
obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Assim, 
consideramos que a fração é uma fração simplificada de . 
 A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração 
irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem 
nenhum fator comum 
 
Adição, subtração, multiplicação e divisão de números fracionários. 
 
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 Para adicionar frações com denominadores idênticos, é somente 
adicionar os numeradores e manter o denominador. Enquanto que para somar 
frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações 
equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das 
frações. 
 Já a subtração, também com os mesmos denominadores, é somente 
diminuir os numeradores e manter o denominador. 
Enquanto que a multiplicação de números fracionários, precisamos 
multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador. 
 E na divisão de números fracionários, necessitamos multiplicar a 
primeira fração pelo inverso da segunda. 
 
Potenciação e radiciação de números fracionários 
 
 Elevando um número fracionário a um dado expoente, sabemos que 
elevamos o numerador e o denominador a esse expoente. 
 
 Já na radiciação, aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, 
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. 
Exercícios de Frações (proposto em livro: Dante volume 01 – Contextos e 
aplicações. Pag. 17) 
 
 
1) Observe a figura: 
 
a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido? 
b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo? 
c) A parte pintada representa que fração do retângulo? 
 
 
2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte 
pintada: 
a) b) c) 
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3) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa: 
a) da pizza 
b) da pizza 
c) a pizza toda 
 
4) Se do que eu tenho são 195 reais, a quanto corresponde do que eu 
tenho? 
 
5) Encontre o resultado dos cálculos abaixo: 
a) b) c) 
 
 
3. DEFINIÇÕES DE CONJUNTOS 
 
Conjunto dos números naturais 
 
Composto por todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É 
representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos 
números naturais não-nulos excluindo o zero. 
 
Conjunto dos números inteiros 
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus 
respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: 
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} 
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: 
- Inteiros não negativos 
Compostos pelos números inteiros não negativos. Logo percebemos que este 
conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. 
É representado por Z+: 
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …} 
- Inteiros não positivos 
Os números inteiros que não são positivos. É representado por Z
-
: 
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6 
Z
-
 = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
- Inteiros não negativos e não-nulos 
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} 
- Inteiros não positivos e não nulos 
Composto pelos números do conjunto Z
-
 excluindo o zero. Representa-se por 
Z*
-
. 
Z*
-
 = {… -4, -3, -2, -1} 
Conjunto dos números racionais: 
Segundo Dante, Os números racionais é um conjunto que engloba os 
números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os 
números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de 
algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também 
conhecidas como dízimas periódicas. 
Os racionais são representados pela letra Q. 
Conjunto dos números irracionais 
É desenvolvido pelos números decimais infinitos não-periódicos. 
Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas 
decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como 
a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …) 
4. RAZÃO E PROPORÇÃO 
Razão: 
Vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois 
números A e B, chamada por: 
A 
 
B 
 
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Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque: 
12 
 
3 
= 4 
 
A razão ainda pode ser apresentada na forma de divisão entre duas grandezas 
de algum sistema de medidas. 
Proporção: 
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a 
igualdade: 
A 
 
B 
= 
C 
 
D 
Vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma 
grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. 
Razão e proporção de segmentos 
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, 
respectivamente, por 2cm e 4cm. 
A________B, C ______________ D 
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas 
medidas. 
m(AB) 
 
m(CD) 
= 
2 
 
4 
Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou 
que CD está para AB na razão de 2 para 1. 
Polígonos semelhantes 
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes 
congruentes e os lados correspondentes proporcionais. 
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Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST. 
 
Imagem disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/razao-
proporcao/ em 28 de agosto de 2013. 
Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas 
medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são 
proporcionais. 
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2 
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e 
indicamos isto por : 
ABC ~ DEF 
 
Razão 
Denominamos de razão entre dois números racionais a e b, com b0, ao 
quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b. 
Lendo Razões, de acordo com Dante (vol. Único, 2006) 
 
 
Termos de uma Razão 
 
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Razões Inversas 
Analisando as seguintes razões: 
 
Perceba que o antecessor (5) da primeira é o consequente (5) da segunda. 
Veja também que o consequente (8) da primeira é o antecessor (8) da 
segunda. 
O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8 x 8/5 =1 
Assim, constatamos que as razões são inversas. 
5. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
É uma maneira de solucionar problemas envolvendo grandezas 
proporcionais. 
 
Regra de três simples 
De acordo com o matemático Roberto Dante (vol. Único, 2006) Quando, 
em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um 
problema e desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução 
utilizando os princípios da regra de três simples. Para isso, basta que 
multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si. 
Acompanhem: 
 
Regra de três composta 
Já, quando temos com três grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais e, em uma situação, existem seis valores, dos quais cinco são 
informados e apenas um desconhecido, pode-se encontrar o valor da incógnita 
através da regra de três composta. 
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 Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os 
valores: 
 
Imagem disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/regra-de-tres-
composta/ em 28 de agosto de 2013. 
7. PORCENTAGEM 
Também conhecida como razão centesimal refere-se as razões cujo 
termo consequente é igual a 100. Representamos a porcentagem através do 
símbolo "%". 10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos). 
 
8. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
 
JUROS SIMPLES 
 
 Temos o juros simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o 
valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos 
juros. Vejamos a formula de calcular juros simples: 
 J = P . i . n 
 
Onde: 
J= juros 
P= Principal (valor, capital) 
I= taxa de juros 
N= numero de períodos 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
Já o juros compostos é o mais frequente no sistema financeiro, assim, o mais 
comum de usarmos para os problemas do cotidiano. Seguindo as orientações, 
e anotações de Roberto Dante temos (vol. Único): 
Após três meses de capitalização, temos: 
 1º mês: M =P.(1 + i) 
 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M=Px (1 + i) x(1+i ) 
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 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + 
i) x (1 + i) 
 Simplificando, obtemos a fórmula: 
 
M = P . (1 + i)n 
 
 Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, 
ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. 
 Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao 
final do período: 
 
J = M - P 
 
 Explicando as taxas equivalentes, diz Dante (vol. Único 2006): 
 Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo 
Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos 
de capitalização, produzem o mesmo montante final. 
• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . 
• O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a ) 
• Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma 
taxa mensal im . 
• O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + 
im)12 . 
 Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’. 
 Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12 
 Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12 
 Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa 
mensal conhecida. 
 
TAXAS NOMINAIS 
 A taxa nominal refere-se ao período de formação e incorporação dos juros 
ao Capital não coincide com a taxa está referida. 
 
TAXAS EFETIVAS 
 Já a taxa Efetiva refere-se ao período de formação e incorporação dos juros 
ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. 
 Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da 
operação. 
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9. MÉDIA ARITMÉTICA 
Imagem disponível em: http://matematicos.com/media-aritmetica acessado em 
28 de agosto de 2013. 
10. POLÍGONOS 
A palavra Polígono vem do grego e significa Poli (muitos) + gono (ângulos). 
 O número de lados de um polígono coincide 
com o número de ângulos. 
Roberto Dantes (Vol. Único, 2006) 
Os polígonos classificam-se em função do número de lados. Abaixo estão os 
principais polígonos: 
Nome Polígono Nº de lados 
Triângulo 
 
3 
Quadrilátero 
 
4 
Pentágono 
 
5 
Hexágono 
 
6 
Heptágono 
 
7 
Octógono 
 
8 
Decágono 
 
10 
Imagem disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/poligono/ em 28 
de agosto de 2013. 
Média aritmética de dois ou mais termos é o quociente do resultado da divisão 
da soma dos números dados pela quantidade de números somados. 
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Os polígonos possuem: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e 
diagonais. Dos elementos citados vamos dar ênfase no significado de 
diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer. 
11. MEDIDA DE CIRCUNFERÊNCIA 
Comprimento: Consideremos uma circunferência de centro O e raio R, como 
na figura: 
Para determinar o comprimento de uma circunferência basta medir o contorno 
da região circular com um barbante. 
 
É possível optar por duas expressões matemáticas no cálculo do comprimento 
da circunferência: 
 
Com base no diâmetro: C = d * π 
 
Com base no raio: C = 2 * r * π 
 
Área 
Para saber a área de uma circunferência, observe o desenho: 
 
Imagem disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/circunferencia/ 
em 28 de agosto de 2013. 
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expressão: . 
 
Assim, a área da circunferência será: 
 
12. ÂNGULOS 
São áreas formadas por duas semi-retas com um ponto O em comum 
chamado origem. Os dois princi-pais sistemas de medidas são: 
 
Circular 
A principal unidade é o radiano (rad); tem como base o ângulo central de uma 
circunferência cujo arco tem a mesma medida do raio. 
 
Sexagesimal 
A principal unidade é o grau ( º ); sua base é a divisão da circunferência em 
360 partes iguais, sendo cada uma dessas partes um grau. 
Possui os submúltiplos minuto( ’ ) e segundo ( " ), cujas equivalências são: 1º = 
60’ e 1’ = 60". 
 
Relação entre os sistemas 
 
 
Tipos de Ângulos 
De acordo com GIOVANNI JÚNIOR, JOSÉ RUY; CASTRUCCI, BENEDICTO 
(Coleção a conquista da matemática, 209): 
a) Ângulo Agudo: 0º < A < 90º 
b) Ângulo Reto: A = 90º 
c) Ângulo Obtuso: 90º < A < 180º 
d) Ângulo Raso ou Meia Volta: A = 180º 
e) Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV): São congru-entes os ângulos AOC e 
BOD. 
f) Ângulos Consecutivos: Possuem um lado e um vértice em comum. 
Exemplos: ângulos AOB e AOC; AOB e BOC. 
g) Ângulos Adjacentes: São ângulos consecutivos que não possuem pontos 
internos em comum. 
Exemplo: ângulos AOB e BOC. 
h) Ângulos Complementares: Ângulos que somados resultam em 90º. 
OBS: Complemento de um ângulo é o valor que falta para a soma completar 
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90º. 
i) Ângulos Suplementares: Ângulos que somados seu valor resulta em 180º. 
OBS: Suplemento de um ângulo é o valor que falta para a soma completar 
180º. 
j) Ângulos Replementares: Ângulos que somados resultam em 360º. 
OBS: Replemento de um ângulo é o valor que falta para a soma completar 
360º. 
 
 Imagem disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/angulos/ em 28 
de agosto de 2013. 
13. COORDENADAS CARTESIANAS 
 
Seguindo a explicação de SOUZA, JOAMIR ROBERTO DE; PATARO, 
PATRÍCIA ROSANA MORENO (Coleção vontade de saber, 2009) temos: 
O sistema de coordenadas cartesianas é composto de duas retas 
perpendiculares ao plano. Uma é escolhida como sendo horizontal e a outra 
como vertical. Essas retas tocam num ponto 0, chamado de origem. A reta 
horizontal é chamada eixo x , e a reta vertical é chamada eixo y . Uma escala 
numérica é colocada ao longo dos eixos x e y . Um ponto no plano pode ser 
representado de modo único no sistema de coordenadas por um par ordenado 
( x, y ), onde x é o primeiro número e y é o segundo. 
 
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Figura - O Sistema de Coordenadas Cartesianas 
O primeiro número é representado no eixo x e o segundo no eixo y . no 
par ordenado (x, y), o x é chamado de abscissa ou coordenada x , o y é 
chamado de ordenada ou coordenada de y , x e y conjuntamente são 
chamados de coordenadas do ponto P . Veja os gráficos a seguir: 
 
Figura - Um par ordenado (x,y). 
 
Figura - Vários pontos do plano cartesiano 
 
Distância entre dois pontos Definido um sistema de eixos coordenados, 
cada ponto do plano está associado a um par ordenado. Dados dois 
pontos e . Então, a distância entre esses dois pontos pode ser 
calculada mediante o uso da seguinte fórmula: 
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A distância d entre dois pontos e no plano é dada por 
 
Veja a figura abaixo: 
 
Imagem disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/plano-
cartesiano/ em 28 de agosto de 2013. 
14. EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL 
De acordo com a afirmação e explicação de José Ruy e José Roberto Bonjorno 
(Matemática Fundamental: uma nova abordagem: ensino médio: volume único. 
São Paulo: FTD, 2002) temos: 
Observe exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita: 
x + 1 = 6 
2x + 7 = 18 
4x + 1 = 3x – 9 
10x + 60 = 12x + 52 
Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas 
matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas 
técnicas. 
VAMOS RESOLVER!! 
1-Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes 
medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: 
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; 
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto. 
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Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, 
A) 0,23 e 0,16. 
B) 2,3 e 1,6. 
C) 23 e 16. 
D) 230 e 160. 
E) 2 300 e 1 600. 
 
2-Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e se calcificando 
desde a infância até a idade adulta. No fim da puberdade, os hormônios 
sexuais (testosterona e estrógeno) fazem com que essas extremidades 
ósseas (epífises) se fechem e o crescimento seja interrompido. Assim, 
quanto maior a área calcificada entre os 
ossos, mais a criança poderá crescer ainda. A expectativa é que durante os 
quatro ou cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 
centímetros. 
Revista Cláudia. Abr. 2010 (adaptado). 
De acordo com essas informações, um garoto que inicia a puberdade com 
1,45 m de altura poderá chegar ao final dessa fase com uma altura 
 
A) mínima de 1,458 m. 
B) mínima de 1,477 m. 
C) máxima de 1,480 m. 
D) máxima de 1,720 m. 
E) máxima de 1,750 m. 
 
3-Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto 
receberia se tivesse trabalhando 8dias a mais? 
 
 
a) R$ 12.300,00 
b) R$ 10.400,00 
c) R$ 11.300,00 
d) R$ 13.100,00 
e) R$ 13.200,00 
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4-No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta 
uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 
130 m de altura? 
 
a) 290m 
b) 390m 
c) 490m 
d) 590m 
e) 690m 
 
5-Resolva as seguintes proporções: 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
e) f) 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
SOUZA, JOAMIR ROBERTO DE; PATARO, PATRÍCIA ROSANA 
MORENO. Vontade de saber matemática, 8° ano. São Paulo: FTD, 2009. – 
(Coleção vontade de saber) 
GIOVANNI JÚNIOR, JOSÉ RUY; CASTRUCCI, BENEDICTO. – Ed. Renovada. 
– São Paulo: FTD, 2009. – (Coleção a conquista da matemática). 
DANTE,Luiz Roberto. Contexto & Aplicações: ensino médio: volume único. São 
Paulo: Editora Ática, 2001 
GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR., José Ruy. 
Matemática Fundamental : uma nova abordagem: ensino médio: volume único. 
São Paulo: FTD, 2002. 
Site: http://www.infoescola.com/matematica acessado em 28 de agosto de 
2013,às 13h.