Lista_01_ESTÁTICA_2023

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1 
 
PME3100 - MECÂNICA I 
 
1a LISTA DE EXERCÍCIOS - SISTEMA DE FORÇAS E ESTÁTICA 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES AO LIVRO TEXTO (FRANÇA, MATSUMURA) 
 
1) Dado o sistema de forças 
jiF
rrr
+=1 aplicada no ponto O (0,0,0), 
kiF
rrr
+=2 aplicada no ponto A (1,0,1), 
kjF
rrr
−=3 aplicada no ponto B (0,1,1), 
a) determinar a resultante e o momento em relação ao ponto O e 
b) verificar se o sistema é redutível a uma única força. 
 
2) Uma força F
r
 é aplicada no ponto B, localizado na borda de 
uma placa circular de raio a, como indicado na figura. Pede-se: 
a) determinar o sistema equivalente a F
r
, constituído por u 
b) m binário e uma única força aplicada em D; 
c) determinaro o valor de θ para que o momento em relação a D 
seja máximo. 
 
Resposta do item b: 
2
2
tan =θ 
 
3) A figura abaixo mostra uma placa triangular de peso P. Sobre a placa age a força 
kPjnimF
rrrr
++= aplicada no ponto B e um binário de 
momento 
3
32 kmajbPiaP
M
rrr
r +−−= . Pede-se: 
a) determinar a resultante R
r
; 
b) determinar o momento BM
r
; 
c) mostrar que o sistema é redutível a uma única força. 
d) justificar por que a placa, sob ação do carregamento 
descrito, pode permanecer em equilíbrio estático 
vinculada apenas por um anel de eixo perpendicular ao 
plano da placa; 
e) determinar o lugar geométrico dos pontos da placa nos 
quais o anel pode ser posicionado. 
Resposta do item b: kamM B
rr
= 
 
4) Dado um sistema de forças, a sua resultante R
r
 pode ser paralela ao momento OM
r
 calculado em 
relação a um pólo O ? Justificar. 
 
 
 
 
a 
θ 
B 
D A O 
y 
x 
G 
A B 
C 
a 
b 
x 
y 
z 
P 
 
 
 
2 
 
5) A figura ao lado mostra um cubo homogêneo de peso kpP
rr
2−= 
e aresta a. Sobre o cubo agem a força kpF
rr
31 = aplicada no ponto H 
, a força jpipF
rrr
22 −−= aplicada no ponto O e um binário de 
momento kapjapiapM
rrrr
++−= 43 . Pede-se: 
a) determinar a resultante R
r
; 
b) determinar o momento OM
r
; 
c) verificar, apresentando a devida justificativa, se é possível 
reduzir o sistema a uma única força. 
 
6) A placa dobrada em L da figura abaixo está sujeita às forças ( )OipF ,1
rr
= , ( )AjpF ,22
rr
= e 
( )BkpF ,23
rr
= . Pede-se: 
a) determinar a resultante R
r
; 
b) determinar o momento OM
r
; 
c) verificar, apresentando a devida justificativa, se é possível 
reduzir o sistema a uma única força. 
 
Respostas 
• item b: japiapM O
rrr
102 −= 
• item c: não é possível. 
 
7) A barra ABCDEFG mostrada na figura ao 
lado é vinculada em C por um anel, em E por 
uma articulação e em F por um apoio simples. 
Aplicam-se à barra um binário iMM
rr
= e uma 
força ( )AjFF ,
rr
= . Determinar as reações 
externas utilizando o sistema de coordenadas 
indicado. 
 
Respostas: 
• 0== EE ZX FYE = 
• FYC 2−= 
a
aFM
ZC
2
+−= 
a
aFM
Z F
2
−= 
8) A roda dentada C, de raio 10a, e o pinhão D, de raio a, 
foram montados na árvore horizontal AB. As demais 
dimensões estão indicadas na figura. A força aplicada na roda 
C é horizontal e vale P. A força aplicada na roda D é vertical 
e vale Q. Determinar: 
a) a relação entre P e Q para que haja equilíbrio; 
b) as reações nos mancais (anéis) A e B em função de P, na 
condição de equilíbrio. 
 
Respostas 
a) PQ 10= 
b)
10
P
X A −= , PZ A 9−= , 
10
9P
X B −= , PZ B −= 
10a 
a 
8a 
a 
a 
x 
y 
z 
P 
Q 
A 
D 
C 
B 
A 
B 
C 
D 
E F 
G 
z 
y 
x 
a a 
a 
a a 
2a 
M 
F 
x 
y 
F 
E 
|H O 
z 
A 
D 
B 
C 
O B 
A 
3a 
4a 
5a 
x 
y 
z 
3F
r
 
2F
r
 
1F
r
 
 
 
 
3 
 
9) A barra ABCDEG mostrada na figura abaixo é vinculada em A por um apoio simples, em B por 
uma articulação e em E por um anel. 
Aplicam-se à barra as forças ( )GkPjP ,
rr
− e 
( )CiP ,
r
− conforme indicado na figura. 
Determinar as reações externas utilizando o 
sistema de coordenadas indicado. 
 
Respostas 
• 
2
3P
X B = , PYB 2= , 
4
P
ZB −= 
• 
2
P
XE −= , PYE 3−= 
• 
4
5P
ZA −= 
 
10) A figura abaixo mostra o cubo homogêneo ABCDEFHI de peso P e lado 2a, mantido em 
equilíbrio estático por meio de uma 
articulação em E, do anel pequeno 
anel em H e do fio em D, que forma 
45o em relação à aresta AD. Os fios e 
a polia têm peso desprezível e 
pertencem ao plano que contém a 
face ABCD. Sendo conhecidas as 
forças ( )GP,
r
, ( )AQ,
r
 e ( )BS ,
r
 
mostradas na figura e, utilizando o 
sistema de coordenadas indicado, 
determinar: 
a) a força de tração T no fio DK; 
b) as reações externas em E, H, J e 
K. 
 
 
 
Respostas 
• a) ( ) 




 += S
P
TDK
2
2 
• b) 
2
P
QX E −−= 
2
P
Z E = 
2
P
SQYE −−−= SZ H −= 
2
P
SQX H ++= 
 
2
P
SYJ += ( ) 




 ++= S
P
Z J
2
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C D 
E 
G 
z 
y 
x 
a 
2a 
a a 
2a 
P 
P 
P 
G 
F 
E 
D 
C 
B 
A 
I 
H 
P 
S 
Q 
x 
y 
z 
J 
K 
45o 
 
 
 
4 
 
11) A figura abaixo mostra a placa homogênea horizontal ABCD de peso P e lados 2a e 4a , 
mantida em equilíbrio estático por meio de uma articulação em D, a barra BG, ligada a B , as barras 
EA e FA, ligadas a A, e o fio ligado a C. Admite-se que as barras, os fios e as polias tenham peso 
desprezível. O bloco tem peso P22 e os fios e polias estão no plano Bzy. Determinar a reação na 
articulação D e as forças nas barras, indicando se são de tração ou de compressão. 
 
Respostas: 
2
P
FGB = (compressão) 
2
P
FEA = (tração) 
2
P
ZX DD −== PYD −= 
 
12) Um sistema de elevação de cargas é acionado por 
meio de um mecanismo que gira a polia de centro N, 
conforme indicado na figura. As barras ABC, CDE e AE, 
as polias e o fio têm pesos desprezíveis. Para a situação 
de equilíbrio indicada, a carga 3P está em repouso. Pede-
se: 
a) o diagrama de corpo livre das polias; 
b) as reações em A e em E. 
c) as forças que agem nas barras ABC, CDE e AE. 
 
 
 
 
 
 
13) Uma barra homogênea AB de peso P, engastada na parede com 
um ângulo α, tem um comprimento livre b (descontando a parte 
engastada). Conforme indicado na figura, ela sustenta um cilindro 
de peso Q cujo contato E com a barra dista a do ponto A na parede. 
Considere o cilindro simplesmente apoiado na barra e na parede, 
isto é, despreze as forças de atrito. Faça os diagramas de corpo 
livre e calcule as reações no engastamento. 
 
Respostas: 
α
α
bsen
P
sen
a
QM A
2
+




= αcotQX A −= QPYA += 
 
 
G 
E D 
B 
A 
F 
2a 
C 
x 
y 
z 
J 
45o 
4a 
a 
a 
a 
H 
P22 
E 
D 
A 
C 
B 
3P 
O 
R 
N 
M 
r 
L 
L 
0,75L 
A 
B 
b 
a 
E 
α 
 
 
 
5 
 
14) A estrutura em forma de T, de peso 
desprezível, é mantida em equilíbrio 
articulada em A, apoiada em um apoio 
simples em B (plano de apoio Bxz) e ligada a 
um pequeno anel em D. Os esforços ativos 
são a força ( )CjQ ,
r
 e o binário iM
r
. Pede-se: 
a) o diagrama de corpo livre da estrutura; 
b) as reações externas; 
c) um esquema da estrutura, indicando os 
esforços ativos e as reações. 
 
Respostas 
• b) 0==== DDAA ZYZX 
L
M
QYA += 
L
M
QYB −−= 2 
 
15) O sistema mostrado na figura é constituído pela 
barra AD e pela placa triangular BCD, ambas de 
peso desprezível. O sistema é vinculado por 
articulações em A e em D e por apoios simples em 
B e em C. Aplicam-se à placa a força ( )EQ,
r
 e à 
barra o binário M
r
 ortogonal ao plano da figura. 
Pede-se: 
a) o diagrama de corpo livre de cada elemento; 
b) determinar as reações externas ao sistema; 
c) determinar a relação entre Q
r
 e M
r
 para que a 
reação em C seja nula. 
 
16) Uma pequena caixa de peso P é mantida em equilíbrio sobre o plano inclinado ABD ligada ao 
fio CP e sujeita à força horizontal H, paralela ao eixo Oz. A caixa é apoiada sobre rodízios, de modo 
que a reação de apoio é normal ao plano inclinado. Dados BC = 2L, BD = BO = 3L e AO = PD = 
4L, pede-se: 
a) desenhar o diagramade corpo livre da caixa; 
b) determinar a tração no fio. 
c) determinar a força horizontal H. 
 
Resposta do item b: 
 
• ( )kjiPT
rrrr
48,071,051,072,0 ++−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
z 
y 
A 
C 
B 
D 
E 
Q 
M 
L 
L 
L 
L 
A 
C 
B 
D 
Q 
M 
L L 
L 
L/2 
E 
x 
y 
z 
A 
B 
C 
D 
P 
O 
H 
 
 
 
6 
 
17) A placa de peso P, dotada de um furo circular de centro B e raio r , e demais dimensões 
indicadas na figura, é articulada em A. Determine a força 
Q necessária para que a placa se mantenha em equilíbrio na 
posição indicada. 
 
Resposta 
 
• ( )





−+
−=
222
2
4
1
rRR
r
PQ
π
π
 
 
18) O pedal mostrado na figura ao lado é constituído por três elementos rigidamente ligados: a 
alavanca CED, o eixo AEB e a haste 
DG. O pedal é sustentado por uma 
articulação em A e por um pequeno 
anel em B. Quando se aplica uma 
força ( )CF ,
r
, o sistema é equilibrado 
por uma força ( )GT ,
r
 vertical. 
Admitindo-se que se aplique ao ponto 
C a força kPjPiPF
rrrr
52 −+−= , 
pede-se determinar, utilizando o 
sistema de coordenadas indicado, 
a) o valor da força ( )GT ,
r
; 
b) as reações nos vínculos A e B. 
 
 
 
 
19) Na figura abaixo representa-se um avião com distribuição de massa simétrica em relação ao 
plano Oxz voando com velocidade horizontal constante. As forças atuantes no avião estão 
representadas na figura. Supondo conhecidas as forças de sustentação L atuantes nas asas principais, 
a força de arrasto aerodinâmico D e o peso próprio P, determine: 
a) a força de empuxo E de cada turbina; 
b) a coordenada x do centro de massa e a força de sustentação aerodinâmica F de cada asa 
posterior. 
 
Respostas: 
(a) 
2
D
E = b) ( ) ( )
P
caDLPb
x
+−−= 2 L
P
F −=
2
 
 
c a 
L 
P 
x 
E 
b 
O x 
z 
D 
F 
y 
z 
F F 
L L d d 
g 
P 
O 
i
r j
r
k
r
 
2P 
P 
5P 
4a 
2a 
2a 
2a 
a 
30o 
T 
C 
A 
B 
E 
D 
G 
A 
B 
Q 
R r 
R 
2R 
x 
y 
g 
 
 
 
7 
 
20) O arame da figura tem peso específico γ e área transversal 
S. O trecho reto AB tem comprimento L e forma um ângulo reto 
com o plano que contém o trecho BCD, de raio R. Pede-se 
determinar o ângulo θ que o trecho AB forma com a vertical na 
posição de equilíbrio estático. 
 
Resposta 
• 












+
=
RL
L
R
π
πθ
2
2
2
arctan
2
2
 
 
 
 
 
21) Uma haste semicircular de raio R e massa m é sustentada por um anel 
A. Um corpo de massa m e dimensões desprezíveis é ligado à haste no 
ponto C. Pede-se determinar: 
a) os centros de massa da haste e do conjunto; 
b) a função ( )αθθ = ; 
c) o valor de θ quando α = 90o. 
 
Respostas: 
• centro de massa da haste: 




 −−= R
R
G ;
2
π
 
• item b: 












+
+
=
α
α
πθ
cos2
2
arctan
sen
 
22) Os elementos da estrutura de barras ilustrada na figura abaixo têm peso desprezível. Dados AF 
= FB = 2L, BG = 6L, CG = 5L, R = 2L, BE = 10L, DB = 4L e sabendo-se que A é um apoio 
simples e B, C e E são articulações, pede-se: 
a) determinar as reações externas; 
b) desenhar o diagrama de corpo 
livre de cada elemento da 
estrutura; 
c) determinar as forças na polia; 
d) determinar as forças que agem 
nas barras AC e DE. 
e) desenhar os diagramas de corpo 
livre adotando os sentidos 
corretos das reações e forças 
internas calculadas nos itens 
anteriores. 
Resposta do item a: 
5
4Q
XX CA −=−= QYC = 
 
 
R 
L 
A 
B 
C 
D 
θ 
A 
θ 
α 
R 
C B 
x 
y 
A 
B 
C 
F 
G 
D E 
Q 
 
 
 
8 
 
23) No sistema em equilíbrio estático 
mostrado na figura ao lado, todos os 
elementos têm pesos desprezíveis à exceção 
da barra homogênea AB, de peso 2P. Sabendo 
que as polias têm o mesmo raio, que o peso Q 
é conhecido e usando o sistema de 
coordenadas indicado, determine: 
a) as reações em O e nos vínculos A e B; 
b) as forças nas barras CB, CD e AD; 
c) as forças na barra AB. 
Obs.: quando pertinente, indique se as forças 
são de tração ou de compressão. 
 
Respostas: ( )12 −= QFCD ; 0=ADF 
 
 
24) A treliça mostrada na figura ao lado, de peso 
desprezível e dimensões indicadas, está sujeita à força Q 
horizontal e está vinculada por articulações em A e em B. 
Calcule as reações externas e as forças em todas as 
barras, indicando se são de tração ou de compressão. 
 
Respostas: 
 
QFAC 2= (tração) 
QFBD −= 
QFBC 2−= 
 
 
 
 
 
 
25) O sistema de barras AF, DB e DF, de pesos 
desprezíveis e unido pelas articulações D, E e F, está 
vinculado externamente pela articulação A e pelo 
apoio simples B. Aplica-se a força vertical P na barra 
DF, distante b da articulação D. Pede-se: 
a) desenhar o diagrama de corpo livre de cada barra; 
b) calcular as reações externas; 
c) calcular as forças internas em E; 
d) determinar a distância b para minimizar o esforço 
em E. 
 
Resposta do item d: b= a/2 
 
 
 
Q 
A B C 
D 
a 
a 
a/2 a/2 
O 
x 
y 
2P 
Q 
A B 
C D 
E F 
L 
L 
L 
D 
E 
F 
P 
A B 
a 
a 
b 
 
 
 
9 
 
 
 
26) A placa quadrada ABCD, 
homogênea de peso Q, está presa em 
A por um anel pequeno e articulado 
em B e D. A barra DE está articulada 
em E. O raio da polia é r. Sendo 
aplicada ao sistema a força F, como 
mostrado na figura, pede-se 
determinar as forças de reação em A, 
B e D. 
 
 
 
 
 
27) Determinar a resultante do sistema de forças 
mostrado na figura e o seu momento em relação 
ao ponto C. Verificar se o sistema é redutível a 
uma única força. Em caso positivo, determinar as 
intersecções da linha de ação da resultante com as 
barras CD e AC. 
 
 
 
28) A estrutura ilustrada na figura ao lado é 
formada pelas barras AC, BD e CE, de peso 
desprezível. A polia e o fio, ideais, também têm 
peso desprezível. O fio sustenta um bloco de 
peso P. Pede-se: 
a) desenhar os diagramas de corpo livre da polia 
e da estrutura formada pelas barras. 
b) determinar as reações vinculares em A e em 
E. 
c) determinar as forças que atuam nas barras 
AC, BD e CE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
z 
y A 
C 
B 
D 
E 
α 
P 
a 
a/2 
a/2 
F 
A B C 
D 
10F 
3F 
F 
M = 10Fh 
2h h 
1,5h 
2a 2a 
a 
2a 
2a 
A 
B 
C 
D 
E 
P 
y 
x 
r 
 
 
 
10 
 
29) Aplica-se uma força F horizontal a um sólido 
homogêneo de massa m, conforme indicado na figura. 
Sabe-se que o coeficiente de atrito entre o sólido e o solo 
é µ. Pede-se: 
a) desenhar o diagrama de corpo livre do sólido; 
b) calcular a força F máxima para que não ocorra 
escorregamento e nem pivotamento em torno do 
ponto O; 
c) determinar a relação entre a, µ, h para que o início 
dos eventos de escorregamento e pivotamento em 
torno do ponto O aconteçam simultaneamente. 
 
30) O disco homogêneo de peso P e raio r é mantido em equilíbrio sob a ação de contato de duas 
barras iguais, de peso desprezível, submetidas a 
forças horizontais de mesma magnitude aplicadas 
em A e em B. O coeficiente de atrito entre as 
barras e o disco é µ. Sendo conhecidos o ângulo 
α e a distância a, pede-se: 
a) demonstrar que, em geral, existem valores 
máximo e mínimo de Q compatíveis com o 
equilíbrio na posição indicada; 
b) calcular esses valores. 
 
Resposta do item b: 






+
=
αµα cos
1
2
min
sena
Pr
Q 






−
=
αµα cos
1
2
max
sena
Pr
Q 
 
 
31) Sabendo que o coeficiente de atrito entre a barra e o disco mostrados na figura abaixo vale µ = 
0,5, determine, em função de P, os valores máximo e mínimo de Q compatíveis com o equilíbrio do 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta 
9
2
min
P
Q = 
3
2
max
P
Q = 
 
 
 
a 
Q Q 
r 
B 
A 
α 
a 
a 
a 2a 
a 
2a 
h 
F 
g 
O 
B 
A 
P 
C r 
Q 
2a a 
 
 
 
11 
 
32) O sistema representado na figura ao lado 
é constituído por duas barras de pesos 
desprezíveis e por dois blocos retangulares 
iguais, cada qual de peso P. Entre ambos os 
blocos e entre o bloco inferior e o solo o 
coeficiente de atrito é µ = 0,25. A barra 
inclinada está articulada no bloco superior, 
conformea figura. Determine, em função de 
P, o valor máximo de Q que mantém o 
sistema em equilíbrio. 
 
Resposta 
 
13
3P
Q = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4a 
3a 
3a 
a 
5a 
Q 
O A 
B 
 
 
 
12 
 
Exercícios – Hidrostática 
 
(H.1) Um canal de água doce tem largura 15b (perpendicular ao plano da figura) e está bloqueado por uma 
placa retangular, mostrada por sua seção ACD. 
As escoras horizontais BC de suporte estão 
espaçadas de uma distância b, ao longo da 
largura 15b. Determine a compressão em cada 
escora BC. Suponha que o peso da placa seja 
desprezível, comparado com as outras forças 
atuantes. 
 
 
 
 
 
 
(H.2) Um tubo cilíndrico de comprimento L tem como seção uma semicircunferência de raio r e está 
submetido, na sua face externa, à pressão da água, conforme indica 
a figura. Reduzir o sistema de forças de pressão a uma única força 
, determinando seu módulo, direção e sentido e linha de ação. É 
dado o peso específico ρg da água. 
Resposta: F = ρg r2L (2 - π/2) 
 
 
(H.3) Um tubo cilíndrico de comprimento L tem como seção uma semicircunferência de raio r e está 
submetido, na sua face externa, à pressão da água, conforme indica a figura. 
Reduzir o sistema de forças de pressão a uma única força , determinando 
seu módulo, direção, sentido e linha de ação. É dado o peso específico ρg da 
água. 
 
Resposta: H = 2ρg r2L; V = π ρg r2L /2, 
 
 
 
 
(H.4) Uma canalização tem comprimento L (normal ao plano da figura) e seção constituída de um segmento 
de reta AB e de um arco de circunferência BC, conforme o esquema. 
Seja ρg o peso específico do líquido e a resultante das forças de 
pressão do líquido sobre a superfície curva da canalização. Pede-se, 
em função de ρg, r e L: 
1) a componente horizontal de (módulo e sentido); 
2) a componente vertical de (módulo e sentido). 
 
 
 
(H.5) Esquematize o volume das pressões sobre cada uma das superfícies submersas indicadas por Si nos 
diagramas da figura a seguir. Calcule, também, a resultante das forças sobre Si, indicando seu ponto de 
aplicação. Admita que todas as superfícies têm largura L na direção normal ao plano da figura, e que o fluido 
tem peso específico γ =ρg. Quando existirem dois fluidos – água e óleo, admita pesos específicos γa (água) e 
γo (óleo). Despreze a pressão atmosférica. 
 
 
 
 
 
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Exercícios – Centros de massa 
 
B.1) Determine a posição do centróide da superfície plana da figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B.2) Um arame homogêneo ABCD é dobrado , como se vê na figura. Em C o fio é preso por uma articulação. 
Determine o comprimento L para que a parte BD fique em posição 
horizontal. 
 
Resposta: 120mm 
 
 
 
 
 
B.3) Determine a coordenada y do centro de massa da peça da figura abaixo. 
 
B.4) Um colar de bronze de comprimento h = 60mm está montado em um eixo de alumínio de 100mm de comprimento. 
Localize o centro de massa do corpo composto. (Massas específicas: do 
bronze = 8,47 x 10
3
 kg/m
3
, do alumínio = 2,80 x 10
3
 kg/m
3
). 
 
 
 
Resposta: 33mm acima da base