Aula 2 - Engenharia Civil - Concreto

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PROFESSOR: BRUNO BICA, ME.
Estruturas de Concreto
ESTRUTURAS DE CONCRETO
AULA 10: Dimensionamento de vigas sob flexão – Viga T
Vigas de seção transversal “T”
• As vigas de seções T podem ser pré-moldadas ou originadas “naturalmente” do trabalho conjunto entre vigas
retangulares e partes das lajes adjacentes a esta viga;
• Quando a viga sofre uma deformação, parte da laje adjacente a ela (em um ou nos dois lados) também se
deforma, comportando-se como se fosse parte da viga e colaborando com sua resistência;
• Dessa forma, a viga incorpora parte da laje e sua seção deixa de ser retangular, passando a ter a forma de um T;
Vigas de seção transversal “T”
• Apesar de ser uma solução que, em geral, resulta em grande economia de aço e concreto, parte dos
projetistas só lança mão da alternativa de considerar a seção T no cálculo de vigas com altura muito
reduzida, onde a seção retangular mostra-se inviável mesmo com armadura dupla;
Grande objetivo: as partes das lajes adjacentes às vigas colaborem com a resistência → maior
área de concreto comprimido (𝐴𝑐
′ );
Vigas de seção transversal “T”
• A espessura da mesa ℎ𝑓 é a altura da laje;
• Apenas a parte da laje mais próxima à viga colabora na resistência. A largura colaborante 𝑏𝑓 pode ser
calculada pela largura da viga (𝑏𝑤) acrescida de, no máximo, 10% da distância 𝑎 entre pontos de momento
fletor nulo, para cada lado da viga em que haja laje colaborante;
Vigas de seção transversal “T”
𝑎 pode ser estimada em função do comprimento do tramo considerado:
• 𝑎 = 𝑙 → viga simplesmente apoiada; • 𝑎 = 0,75 𝑙 → tramo com momento em uma extremidade;
• 𝑎 = 0,60 𝑙 → tramo com momentos nas duas 
extremidades;
• 𝑎 = 2 𝑙 → tramo em balanço;
Vigas de seção transversal “T”
• Deve-se respeitar os limites impostos de 𝑏1 e 𝑏3 dados por:
Vigas de seção transversal “T”
• Assim, temos as definições algébricas de 𝑏𝑓:
𝑏𝑓 = 𝑏𝑤 + 𝑏1 + 𝑏3 → para os casos de viga com parcela de laje em balanço em um dos lados da largura
colaborante;
𝑏𝑓 = 𝑏𝑤 + 2. 𝑏3 → para os casos de viga interna que suporte duas lajes que estejam em balanço;
𝑏3 está 
relacionado à 
lajes em balanço
𝑏1 está relacionado 
à lajes biapoiadas
Vigas de seção transversal “T”
No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções,
inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de
momentos positivos onde a largura resulte mínima.
Situações possíveis em seção transversal “T”
Uma viga de concreto armado só será considerada como seção T quando a mesa e parte da alma estiverem
comprimidas. Ou seja, a contribuição das lajes só pode ser considerada quando as lajes estão comprimidas
pelas tensões normais de flexão, aumentando significativamente 𝐴𝑐
′ .
Situações possíveis em seção transversal “T”
SEÇÃO T VERDADEIRA:
• Ainda, no caso de momentos positivos, a viga só será considerada seção T se a LN estiver passando pela
alma; caso contrário, a região de concreto comprimida será retangular, com largura igual a 𝑏𝑓, e não
haverá colaboração da alma e de parte da mesa, que estarão tracionadas;
Situações possíveis em seção transversal “T”
SEÇÃO T FALSA:
• No caso de atuação de momento fletor negativo, apenas a parte inferior da alma (de forma retangular)
estará comprimida, ou ainda,
• Mesmo na atuação de momento fletor positivo, existe a possibilidade de que apenas a parte superior da
mesa esteja comprimida (também de forma retangular);
Em ambos os casos, como as regiões tracionadas do concreto não trabalham, ou seja, não colaboram na
resistência, a viga será calculada como seção retangular.
Situações possíveis em seção transversal “T”
PORTANTO, para a determinação se a seção deverá ser calculada como retangular ou T:
1. Adota-se a hipótese inicial de que a LN passa pela mesa;
2. Verifica-se se a hipótese inicial é válida:
𝑥 ≤ ℎ𝑓 → hipótese inicial válida, LN passa pela mesa. Portanto: seção T falsa.
𝑥 > ℎ𝑓 → hipótese inicial não é válida, LN passa pela alma. Portanto: seção T verdadeira.
Cálculo em vigas de seção transversal “T”
NO CASO DE UMA SEÇÃO T VERDADEIRA, ou seja, nas situações de momento positivo e em que a LN passa
pela alma da seção, faz-se o cálculo da armadura em duas etapas:
• Primeiro, calcula-se o momento resistido pelas abas (𝑀1):
𝑀1 = 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 . ℎ𝑓 . 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 . 𝑑 −
ℎ𝑓
2
• O momento restante (𝑀2) é absorvido pela alma, como nas seções retangulares:
𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀1
Cálculo em vigas de seção transversal “T”
• A armadura total tracionada é obtida somando-se as armaduras necessárias para resistir a cada um dos
momentos determinados:
𝐴𝑠 =
𝑀1
𝑑 − 0,5ℎ𝑓 𝜎𝑠𝑑
+
𝑀2
𝑑 − 0,4 𝑥 . 𝜎𝑠𝑑
Lembrando: nos domínios em que o aço já escoou 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑;
o Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é
mostrada abaixo. A viga está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considere aço CA
50 e concreto C30:
• 1 - Determinação da posição da LN (Equação 11)
• Hipótese Inicial: A LN passa pela mesa da viga (seção retangular, bw = bf)
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Exercício 1
o Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A viga está
submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o 1 - Determinação da posição da LN (Equação 11)
Do enunciado: 𝑑 = 1,75 𝑚 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 = 30000 kN/m² (concreto C30)
𝑥 =
0,68 . 1,75 𝑚 ± 0,68.1,75 𝑚 2 − 4 . 0,272 .
6770 𝑘𝑁.𝑚
1,7 𝑚 .
30000 𝑘𝑁/𝑚²
1,4
0,544
𝑥 =
1,19 ± 0,028048
0,544
𝑥1 =
1,19 + 1,2139
0,544
= 4,21 𝑚 = 421 𝑐𝑚
𝑥2 =
1,19 − 1,2139
0,544
= 0,1623 𝑚 = 16,23 𝑐𝑚
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Exercício 1
⟶ Fora da seção transversal
⟶ Posição da LN
o Verificação da hipótese inicial:
𝑥 = 0,1623 𝑚 ~ 16,23 𝑐𝑚
𝑥 16,23 𝑐𝑚 < ℎ𝑓 ( = 20 𝑐𝑚)
A hipótese inicial É VÁLIDA → A LN passa pela mesa e a seção é retangular → T FALSA
Lembrando: nos domínios onde o aço já escoou 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
Exercício 1
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o 2 - Cálculo de As (Eq.12)
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 . 𝑧
Dados:
𝑀𝑑 = 6770 𝑘𝑁.𝑚 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (𝐶𝐴 − 50) 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
Braço de alavanca: 𝑧 = 𝑑 − 0,4. 𝑥 𝑑 = 1,75 𝑚 𝑥 = 0,1623 𝑚
𝐴𝑠 =
6770 𝑘𝑁.𝑚
50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
1,15
. (1,75 𝑚 − 0,4 . 0,1623 𝑚)
𝑨𝒔 = 𝟗𝟐, 𝟒𝟎 𝒄𝒎²
Exercício 1
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Fórmulas adimensionais para dimensionamento de seções retangulares
Como KX só admite valores entre 0 e 1, pode-se construir um quadro em que cada KX corresponde a um
valor de KMD, KZ, 𝜀𝑐 e 𝜀𝑠;
Quadro 3.1 (Livro do CHUST, p. 142 e 143) – Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções
retangulares para concretos até C50
O quadro contém valores referentes aos domínios 2, 3 e parte do 4, CONTUDO é importante ressaltar que
só tem validade os valores abaixo de 𝑲𝑿 = 𝒙/𝒅 = 𝟎, 𝟒𝟓, correspondente a 𝑲𝑴𝑫 ≈ 𝟎, 𝟐𝟓.
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Exercício 1
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Para 
d = 1,75 m
bw = 1,7 m
fcd = 30 MPa
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤.𝑑
2.𝑓𝑐𝑑
𝐾𝑀𝐷 =
6770 𝑘𝑁.𝑚
1,7 𝑚 𝑥 1,752𝑚 𝑥 30000/1,4 𝑘𝑁/𝑚²
𝐾𝑀𝐷 = 0,0607 ~ 0,0650
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Podemos resolver o mesmo exercício utilizando a TABELA KMD
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Pela Tabela
𝐾𝑀𝐷 = 0,0650
KX = 0,0995
KZ = 0,9602
𝜺𝒄 = 1,1056
𝜺𝒔 = 10Exercício 1
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Pela Tabela
𝐾𝑀𝐷 = 0,0650
KX = 0,0995
x/d = KX → x = KX . D
x = 0,0995 x 1,75 
x = 0,174 m ~ 17,4 cm
17,4 cm < hf ( =20 cm )
Exercício 1
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
A hipótese inicial É VÁLIDA → A LN passa pela mesa 
e a seção é retangular → T FALSA
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Cálculo da Armadura (As)
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 . 𝑑. 𝜎𝑠𝑑
𝐴𝑠 =
6770
0,9602 .1,75 .50/1,15
= 92,7 cm²
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Exercício 1
o Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é
mostrada abaixo. A viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço
CA 50 e concreto C30:
• 1 - Determinação da posição da LN (Equação 11)
• Hipótese Inicial: A LN passa pela mesa da viga (seção retangular, bw = bf)
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Exercício 2
o Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A viga está
submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o 1 - Determinação da posição da LN (Equação 11)
Do enunciado: 𝑑 = 1,75 𝑚 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 = 30000 kN/m² (concreto C30)
𝑥 =
0,68 . 1,75 𝑚 ± 0,68.1,75 𝑚 2 − 4 . 0,272 .
10000 𝑘𝑁.𝑚
1,7 𝑚 .
30000 𝑘𝑁/𝑚²
1,4
0,544
𝑥 =
1,19 ± 1,1174
0,544
𝑥1 =
1,19 + 1,1174
0,544
= 4,130 𝑚 = 413 𝑐𝑚
𝑥2 =
1,19 − 1,1174
0,544
= 0,244 𝑚 = 24,4 𝑐𝑚
Exercício 2
⟶ Fora da seção transversal
⟶ Posição da LN
o Verificação da hipótese inicial:
𝑥 = 0,244 𝑚 ~ 24,4 𝑐𝑚
𝑥 = 24,4 𝑐𝑚 > ℎ𝑓 ( = 20 𝑐𝑚)
A hipótese inicial NÃO É VÁLIDA → A LN passa pela alma → T VERDADEIRA
Assim, será necessário determinar a parcela do momento resistido pelas abas e pela alma da seção e a As total.
Lembrando: nos domínios onde o aço já escoou 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o Cálculo do momento resistido pelas abas M1:
𝑀1 = 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 . ℎ𝑓 . 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 . 𝑑 −
ℎ𝑓
2
𝑀1 = 0,85 .
30000
1,4
. 0,2 . 1,70 − 0,18 . 1,75 −
0,2
2
𝑀1 = 3642,857 . 1,52 . 1,65
𝑀1 = 9136,28 kN . m
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o Cálculo do momento resistido pela alma M2:
𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀1
𝑀2 = 10000 − 9136,28
𝑀2 = 863,70 kN . m
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o Cálculo da armadura As
𝐴𝑠 =
𝑀1
𝑑 − 0,5ℎ𝑓 𝜎𝑠𝑑
+
𝑀2
𝑑 − 0,4 𝑥 . 𝜎𝑠𝑑
Lembrando: nos domínios em que o aço já escoou 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑;
A armadura As refere-se a soma das parcelas referentes ao momento resistido pelas abas 
(M1) e o momento resistido pela (M2). A segunda parcela é calculada considerando uma 
seção retangular com bw = 0,18 cm (cortada pela LN)
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o Cálculo da armadura As
𝐴𝑠 =
𝑀1
𝑑 − 0,5ℎ𝑓 𝜎𝑠𝑑
+
𝑀2
𝑑 − 0,4 𝑥 . 𝜎𝑠𝑑
Lembrando: nos domínios em que o aço já escoou 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑;
Dados:
𝑀1 = 9136,28 𝑘𝑁.𝑚
𝑀2 = 863,70 𝑘𝑁.𝑚 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (𝐶𝐴 − 50) 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
Braço de alavanca: 𝑧 = 𝑑 − 0,4. 𝑥 𝑑 = 1,75 𝑚 𝑥 = 0, 244 𝑚
Exercício 2
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o Cálculo da armadura As
𝐴𝑠 =
𝑀1
𝑑 − 0,5ℎ𝑓 𝜎𝑠𝑑
+
𝑀2
𝑑 − 0,4 𝑥 . 𝜎𝑠𝑑
𝐴𝑠 =
9136,28
1,75 − 0,5 . 0,2 . 50/1,15
+
863,70
1,75 − 0,4 . 0,244 . 50/1,15
𝐴𝑠 = 127,35 + 12,02 
𝑨𝒔 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟑𝟕 𝒄𝒎²
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Fórmulas adimensionais para dimensionamento de seções retangulares
Como KX só admite valores entre 0 e 1, pode-se construir um quadro em que cada KX corresponde a um
valor de KMD, KZ, 𝜀𝑐 e 𝜀𝑠;
Quadro 3.1 (Livro do CHUST, p. 142 e 143) – Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções
retangulares para concretos até C50
O quadro contém valores referentes aos domínios 2, 3 e parte do 4, CONTUDO é importante ressaltar que
só tem validade os valores abaixo de 𝑲𝑿 = 𝒙/𝒅 = 𝟎, 𝟒𝟓, correspondente a 𝑲𝑴𝑫 ≈ 𝟎, 𝟐𝟓.
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Exercício 2
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Para 
d = 1,75 m
bw = 1,7 m
fcd = 30 MPa
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤.𝑑
2.𝑓𝑐𝑑
𝐾𝑀𝐷 =
10000 𝑘𝑁.𝑚
1,7 𝑚 𝑥 1,752𝑚 𝑥 30000/1,4 𝑘𝑁/𝑚²
𝐾𝑀𝐷 = 0,0896 ~ 0,0900
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Resolvendo através da TABELA KMD
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Pela Tabela
𝐾𝑀𝐷 = 0,0900
KX = 0,1403
KZ = 0,9439
𝜺𝒄 = 1,6308
𝜺𝒔 = 10
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Pela Tabela
𝐾𝑀𝐷 = 0,0900
KX = 0,1403
x/d = KX → x = KX . D
x = 0,1403 x 1,75 
x = 0,2455 m ~ 24,55 cm
24,55 cm > hf ( =20 cm )
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
A hipótese inicial NÃO É VÁLIDA → A LN passa pela 
alma → T VERDADEIRA
o Cálculo do momento resistido pelas abas M1:
O Cálculo dos momentos é o mesmo!
𝑀1 = 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 . ℎ𝑓 . 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 . 𝑑 −
ℎ𝑓
2
𝑀1 = 0,85 .
30000
1,4
. 0,2 . 1,70 − 0,18 . 1,75 −
0,2
2
𝑀1 = 3642,857 . 1,52 . 1,65
𝑀1 = 9136,28 kN . m
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o Cálculo do momento resistido pela alma M2:
𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀1
𝑀2 = 10000 − 9136,28
𝑀2 = 863,70 kN . m
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o Cálculo da armadura As
𝐴𝑠 =
𝑀1
𝑑 − 0,5ℎ𝑓 𝜎𝑠𝑑
+
𝑀2
𝐾𝑍 . 𝑑 . 𝜎𝑠𝑑
Lembrando: nos domínios em que o aço já escoou 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑;
A armadura As refere-se a soma das parcelas referentes ao momento resistido pelas abas (M1) e o 
momento resistido pela (M2). A segunda parcela é calculada considerando uma seção retangular com bw
= 0,18 cm utilizando o valor de KZ (TABELA) referente ao momento M2
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Exercício 2
UC 019 ESTRUTURASDE CONCRETO
Para 
M2 = 863,70 kN.m
d = 1,75 m
bw = 0,18 m
fcd = 30 MPa
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀2
𝑏𝑤.𝑑
2.𝑓𝑐𝑑
𝐾𝑀𝐷 =
863,70 𝑘𝑁.𝑚
0,18 𝑚 𝑥 1,752𝑚 𝑥 30000/1,4 𝑘𝑁/𝑚²
𝐾𝑀𝐷 = 0,0731 ~ 0,0750
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Resolvendo através da TABELA KMD
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
Pela Tabela
𝐾𝑀𝐷 = 0,0750
KX = 0,1156
KZ = 0,9537
𝜺𝒄 = 1,3077
𝜺𝒔 = 10
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o Cálculo da armadura As
𝐴𝑠 =
𝑀1
𝑑 − 0,5ℎ𝑓 𝜎𝑠𝑑
+
𝑀2
𝐾𝑍 . 𝑑 . 𝜎𝑠𝑑
Lembrando: nos domínios em que o aço já escoou 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑;
Dados:
𝑀1 = 9136,28 𝑘𝑁.𝑚
𝑀2 = 863,70 𝑘𝑁.𝑚 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (𝐶𝐴 − 50) 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
Braço de alavanca: 𝐾𝑍 𝑑 = 1,75 𝑚 𝑥 = 0, 244 𝑚
Exercício 2
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
o Cálculo da armadura As
𝐴𝑠 =
𝑀1
𝑑 − 0,5ℎ𝑓 𝜎𝑠𝑑
+
𝑀2
𝐾𝑍 . 𝑑 . 𝜎𝑠𝑑
𝐴𝑠 =
9136,28
1,75 − 0,5 . 0,2 . 50/1,15
+
863,70
0,9537. 1,75 . 50/1,15
𝐴𝑠 = 127,35 + 11,90 
𝑨𝒔 = 𝟏𝟑𝟗, 𝟐𝟓 𝒄𝒎²
Exercício 2
Calcule a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual a 30 m. A seção é mostrada abaixo. A
viga está submetida a um momento Md = 10000 kN.m. Considere aço CA 50 e concreto C30:
Calcular a armadura para a viga cuja seção é apresentada na figura abaixo. Considere a viga submetida a um
momento fletor de M = 80 kNm, aço CA-50 e concreto C25. Utilize 𝑑 = ℎ − 5 𝑐𝑚. Dimensões estão em cm.
Exercício 3
Para a viga de uma ponte esquematizada abaixo, calcular a armadura longitudinal necessária. Considere os seguintes dados:
d = 1,7 m
CA 50
Fck = 30 MPa
Carregamento distribuído p = 600 kN/m
Resp.:
bf = 190 cm
As = 94,19 cm² (T FALSA)
Exercício 4
Para a viga de uma ponte esquematizada abaixo, calcular a armadura longitudinal necessária. Considere os seguintes dados:
d = 1,7 m
CA 50
Fck = 30 MPa
Carregamento distribuído p = 1450 kN/m
Resp.:
bf = 190 cm
As = 236,75 cm² (T VERDADEIRA)
Exercício 5
Para a viga de uma ponte esquematizada abaixo, calcular a armadura longitudinal necessária. Considere os seguintes dados:
d = 1,7 m
CA 50
Fck = 30 MPa
Carregamento distribuído p = 1000 kN/m
450
Resp.:
bf = 190 cm
As = ???
Exercício 6