CAL1-MCA501 Out2020 3B Gab Prova

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GABARITO 
DISCIPLINA 
MCA501 - Cálculo I 
APLICAÇÃO 
01/10/2020 
CÓDIGO 
DA PROVA P003/P004 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1.1 
Qual o valor de 𝐿 para que a função dada por 𝑓(𝑥) = {
𝑥2−16
𝑥−4
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 4
𝐿, 𝑠𝑒 𝑥 = 4
 seja contínua nesse ponto? 
a) 𝐿 = 4 
b) 𝐿 = 1 
c) 𝐿 = 8 
d) 𝐿 = 2 
e) 𝐿 = 0 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 𝐿 = 8 
 
Justificativa 
Para que a função seja contínua em 𝑥 = 4, é necessário que 𝐿 = 𝑓(4) = lim 
𝑥→4
𝑓(𝑥). 
Sendo assim, 
𝐿 = 𝑓(4) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥2 − 16
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)
(𝑥 − 4)
= lim
𝑥→4
(𝑥 + 4) = 8. 
 
 
Questão 1.2 – ANULADA (PONTUAÇÃO ATRIBUÍDA A TODOS OS ALUNOS) 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1) ∙ sen(𝑥). A equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝑃 =
(0,1) é: 
a) 𝑦 = 2𝑥 + 1 
b) 𝑦 = 𝑥 + 1 
c) 𝑦 = 3𝑥 + 3 
d) 𝑦 = 𝑥 − 1 
e) 𝑦 = 3𝑥 − 1 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 𝑦 = 𝑥 + 1 
 
Justificativa 
Sabemos que a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0) é dada por: 
(𝑦 − 𝑦0) = 𝑓’(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0). 
 
Como sabemos que 𝑃 = (0,1), precisamos calcular e inclinação da reta através da derivada de 𝑓. Para 
isso, vamos utilizar a regra do produto, temos: 
𝑓’(𝑥) = 2sen(𝑥) + (2𝑥 + 1)𝑐𝑜s(𝑥) 
𝑓’(0) = 2sen(0) + (0 + 1)𝑐𝑜s(0) = 1 
 
Logo, a equação da reta tangente é: 
(𝑦 − 1) = 1(𝑥 − 0) → 𝑦 = 𝑥 + 1. 
 
 
Questão 1.3 
Considere a seguinte integral: ∫ 𝑥 𝑒2𝑥𝑑𝑥
1
2
0
. Ela é igual a: 
a) 
e
4
 
b) 
e
2
+ 1 
c) 
1
2
 
d) −
1
4
 
e) 
1
4
 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 
1
4
 
 
Justificativa 
Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de integração por partes: 
𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 =
𝑒2𝑥
2
 
Logo, temos: 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = [𝑢𝑣]
0
1
2 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 = [
𝑥𝑒2𝑥
2
]
0
1
2
1
2
0
−
1
2
0
∫
𝑒2𝑥
2
𝑑𝑥 = [
𝑥𝑒2𝑥
2
]
0
1
2
− [
𝑒2𝑥
4
]
0
1
2
1
2
0
= 
[
𝑒
4
− 0] − [
𝑒
4
−
1
4
] =
1
4
 
 
 
Questão 1.4 
A derivada da função 𝑓(𝑥) =
𝑥2√2𝑥2+1
𝑥+1
 no ponto 𝑥 = 0 é: 
a) 𝑓’(0) = 1 
b) 𝑓’(0) = −1 
c) 𝑓’(0) = 0 
d) 𝑓’(0) = √2 
e) 𝑓’(0) = 2√3 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 𝑓’(0) = 0 
 
Justificativa 
Podemos reescrever a função dada como: 
𝑓(𝑥) =
𝑥2√2𝑥2 + 1
𝑥 + 1
= √2𝑥2 + 1
𝑥2
𝑥 + 1
. 
Sendo assim, para calcular a derivada, vamos aplicar a regra do produto: para a derivada da primeira 
função teremos que aplicar a regra da cadeira e na segunda função, a regra do quociente. Assim, 
temos: 
(√2𝑥2 + 1)
′
= 4𝑥
1
2
(2𝑥2 + 1)−
1
2 =
2𝑥
√2𝑥2 + 1
 
(
𝑥2
𝑥 + 1
)
′
=
2𝑥(𝑥 + 1) − 𝑥2
(𝑥 + 1)2
=
𝑥2 + 2𝑥
(𝑥 + 1)2
 
𝑓′(𝑥) = (√2𝑥2 + 1)
′
∙
𝑥2
x + 1
+ √2𝑥2 + 1. (
𝑥2
𝑥 + 1
)
′
=
2𝑥
√2𝑥2 + 1
∙
𝑥2
x + 1
+ √2𝑥2 + 1.
𝑥2 + 2𝑥
(𝑥 + 1)2
. 
Assim, para o ponto 𝑥 = 0, temos: 
𝑓′(0) =
0
1
∙
0
1
+ 1.
0
1
= 0. 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 2 
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 + 𝑥2. 
a) Indique os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
b) A função admite pontos de máximo e/ou mínimo local? Se sim, quais são? 
 
RESOLUÇÃO 
a) Indique os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
Para indicarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos de um estudo do 
sinal da primeira derivada da função. 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 9𝑥2 + 2𝑥 = 0 → 𝑥(4𝑥2 − 9𝑥 + 2) = 0 → 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 =
1
4
. 
Daí, temos que: 
𝑓’(𝑥) > 0, em ]0,
1
4
[ e em ]2, +∞[. 
𝑓’(𝑥) < 0,em ]−∞, 0[ e em ]
1
4
, 2[ 
Logo, como a função é contínua, segue que é crescente em [0,
1
4
] e em [2, +∞[, e é decrescente 
em ]−∞, 0] e em [
1
4
, 2]. 
 
b) A função admite pontos de máximo e/ou mínimo? Se sim, quais são? 
Já vimos, pelo item a) que: 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 9𝑥2 + 2𝑥 = 0 → 𝑥(4𝑥2 − 9𝑥 + 2) = 0 → 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 =
1
4
. 
Logo, os pontos críticos da função são 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 =
1
4
. Vamos, através da segunda 
derivada da função, analisar se são pontos de mínimo ou máximo local. Seja: 
𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2 − 18𝑥 + 2, 
então: 
𝑓′′(0) = 2 > 0, logo, 𝑥 = 0 é mínimo local. 
𝑓′′(2) = 14 > 0, logo, 𝑥 = 2 é mínimo local. 
𝑓′′ (
1
4
) = −
7
4
< 0, logo, 𝑥 =
1
4
 é máximo local. 
 
Rubricas | critérios de correção 
Item a) considerar 10% se o aluno encontrou a primeira derivada e as raízes do polinômio resultante, 
10% para os intervalos onde a função é positiva, 10% para os intervalos onde a função é negativa e 
20% para a conclusão. 
Item b) considerar 20% se encontrou os pontos críticos da função e 30% para a indicação se os pontos 
são máximo ou mínimo (nesse caso, 10% para cada ponto crítico correto). 
 
 
Questão 3 
Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥, 
considerando 1 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
 
RESOLUÇÃO 
Como sabemos que o intervalo de integração vai de 1 até 2, precisamos definir qual função limita 
superior e qual limita inferiormente o gráfico. 
 
Fazendo um esboço do gráfico, podemos verificar que a função 𝑦 = 𝑥 limita superiormente a região de 
interesse e 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 limita inferiormente, logo, calcularemos a área através da seguinte integral: 
∫ 𝑥 − (𝑥2 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ −𝑥2 + 2𝑥𝑑𝑥 = [−
𝑥3
3
+ 𝑥2]
1
2
= (−
8
3
+ 4) − (−
1
3
+ 1) =
2
3
 .
2
1
2
1
 
 
Rubricas | critérios de correção 
Considerar 30% se o aluno indicou corretamente a função a ser integrada (indicou a função superior e 
inferior e as subtraiu). Considerar 70% se realizou o cálculo da integral de maneira correta. Descontar 
20% caso tenha errado algum cálculo mais simples (como sinal ou substituição dos intervalos de 
integração).