Cálculo - Derivada (Resumo)

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Derivada 
Definição geral: 
A derivada de uma função y=f(x) em um ponto x0, 
denotada por 𝑓′(𝑥), é 𝑓′(𝑥0)= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥0+ℎ)− 𝑓(𝑥0)
ℎ
 
dado que o limite exista. 
O processo de cálculo de uma derivada é denominado 
de diferenciação. 
Exemplo: 
𝑓(x) = 𝑥2 
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 
𝑑 (𝑥2)
𝑑𝑥
 
𝑓(x) = 𝑥𝑛 → 𝑓′(x) = n.𝑥𝑛−1 
𝑓′(x) = 2x 
 
A derivada fornece: 
1) uma maneira de encontrar a reta tangente 
ao gráfico f no ponto (x0, y0); 
2) a taxa da variação instantânea de uma 
função. 
Definição: A inclinação da curva y = f(x), no ponto P 
(x0, f(x0)) é o número: 
m= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥0+ℎ)− 𝑓(𝑥0)
ℎ
, 
dado que o limite exista. 
 
Problema: 
Qual a equação da 
reta que passa no 
ponto (1, 3) da 
curva de y=4-x2? 
 
 
Equação da tangente: 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 3 = −2 (𝑥 − 1) 
𝑦 = −2𝑥 + 2 + 3 
𝑦 = −2𝑥 + 5 
 
Taxa média de variação 
A derivada de uma função em um ponto 𝑥0, 
denotada por 𝑓′(𝑥0) é 
𝑓′(𝑥0) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥0+ℎ)− 𝑓(𝑥0)
ℎ
 
 
𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Se x variar de 𝑥1 para 𝑥2, ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1, a 
variação correspondente em y será ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 . 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1), então 
Δ𝑦
Δ𝑥
= 
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
, 
este quociente é denominado Taxa Média de 
Variação de y em relação a 𝑥, no intervalo [𝑥1, 𝑥2]