POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA

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POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
 
Potê ncia Instanta nêa 
𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡). 𝑖(𝑡)(𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠) 
Sêjam: 
𝑣(𝑡) = √2𝑉𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼) 
𝑖(𝑡) = √2𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛽) 
𝑉ê 𝐼 sa o os valorês êficazês da tênsa o ê da corrêntê. 
Enta o: 
𝑝(𝑡) = √2𝑉𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼)√2𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛽) 
𝑝(𝑡) = 2𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛽) 
Usando a idêntidadê; 
𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 =
1
2
cos(𝑎 − 𝑏) +
1
2
cos⁡(𝑎 + 𝑏) 
A êxprêssa o antêrior sê rêduz a: 
𝑝(𝑡) = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) + 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝛽) 
Dêfinindo 𝜑 = 𝛼 − 𝛽, podêmos êscrêvêr: 
𝑝(𝑡) = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝛽) 
A êxprêssa o dê 𝑝(𝑡) possui dois têrmos. 
O primêiro 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 ê indêpêndêntê do têmpo, ou sêja, ê uma 
parcêla constantê 
O sêgundo 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝛽) ê uma funça o sênoidal dê 
frêquê ncia dupla. 
A potê ncia êfêtivamêntê consumida pêlo circuito, dênominada 
“Potência Ativa” ê o “VALOR ME DIO” da potê ncia instanta nêa. 
Como o valor mê dio do têrmo 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝛽) ê nulo, por 
sêr uma funça o sênoidal no têmpo, rêsulta quê a potê ncia 
êfêtivamêntê consumida pêlo circuito (Potência Ativa) ê dada 
por: 
𝑃 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 
A “Potê ncia Ativa” ê mêdida êm Watts. E comum, êm 
instalaço ês dê grandê portê, o uso dê mu ltiplos, tais como kW 
(1000 W), MW (1.000 kW), GW (1000MW). 
Dênomina-sê fator de potência do circuito o têrmo: 
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟⁡𝑑𝑒⁡𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 
As figuras abaixo mostram a potê ncia instanta nêa para trê s 
valorês distintos dê fator dê potê ncia 
 
 
 
 
 
Obsêrvêm quê a curva ê a mêsma, a difêrênça êntrê êlas sa o os 
dêslocamêntos da origêm. 
Em um circuito elétrico a potência ativa é aquela 
dissipada nas resistências do circuito. 
A potência pulsante está associada aos armazenamentos 
de energia elétrica nos indutores e capacitores do 
circuito. 
Na figura supêrior o circuito têm caractêrí stica rêsistiva ê na 
figura infêrior a caractêrí stica ê indutiva. 
Na figura cêntral o fator dê potê ncia ê tal quê: 
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟⁡𝑑𝑒⁡𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑐𝑜𝑠45 = 0,71⁡𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 
 
POTÊNCIA COMPLEXA 
Podêmos opêrar com a potê ncia dê um circuito êlê trico êm 
corrêntê altêrnada na forma complêxa. 
Assim, dêfinê-sê “Potê ncia Complêxa” ao produto; 
�̇� = �̇�. 𝐼∗̇ 
Na qual 𝐼∗̇rêprêsênta o “Complexo Conjugado” do fasor da 
corrêntê. 
Sêndo quê: 
�̇� = 𝑉𝑒𝑗𝛼 
𝐼̇ = 𝐼𝑒𝑗𝛽 
Rêsulta: 
�̇� = �̇�. 𝐼∗̇ = 𝑉𝑒𝑗𝛼 . 𝐼𝑒−𝑗𝛽 
Ou ainda: 
�̇� = �̇�. 𝐼∗̇ = 𝑉𝐼𝑒𝑗(𝛼−𝛽) = 𝑉𝐼𝑒𝑗𝜑 
Finalmêntê: 
�̇� = 𝑉𝐼𝑒𝑗𝜑 
Esta êxprêssa o ê um nu mêro complêxo na forma polar, cujo 
mo dulo ê 𝑆 = 𝑉𝐼 ê a fasê ê 𝜑. 
O produto 𝑆 = 𝑉𝐼 ê dênominado “Potê ncia Aparêntê”. Sua 
unidadê, para difêrênciar da Potê ncia Ativa, ê o Volt-Ampê rê 
(VA). Tambê m sê usa os mu ltiplos kVA, MVA ê GVA. 
A potê ncia complêxa podê sêr rêprêsêntada na forma 
cartêsiana, como sêguê: 
�̇� = 𝑉𝐼𝑒𝑗𝜑 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛𝜑 
A partê rêal da potê ncia complêxa nada mais ê do quê a 
“Potê ncia Ativa”, ou sêja: 
𝑃 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑⁡⁡⁡(𝑊) 
A partê imagina ria: 
𝑄 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛𝜑⁡⁡(𝑉𝐴𝑟) 
ê dênominada “Potência Reativa”. Esta potê ncia êsta 
associada as ênêrgias armazênadas nos indutorês ê 
capacitorês prêsêntês na instalaça o. Para difêrênciar êsta 
potê ncia das dêmais, sua unidadê dê mêdida ê o Volt-Ampê rê-
Rêativo (Var). O uso dê mu ltiplos tambê m ê comum nas 
grandês instalaço ês (kVAr, MVAr). 
A figura a sêguir mostra o tria ngulo das potê ncias. No êixo 
Rêal têmos a potê ncia ativa ê no êixo Imagina rio a potê ncia 
rêativa. A hipotênusa dêstê tria ngulo ê a potê ncia aparêntê. 
 
O a ngulo 𝜑 do fator dê potê ncia ê tal quê: 
−90𝑜 ≤ 𝜑 ≤ 90𝑜 
Dê modo quê a potê ncia ativa ê sêmprê POSITIVA. 
Quanto a potê ncia rêativa, êla podê sêr positiva ou nêgativa, 
dêpêndêndo da naturêza da carga. 
Para −90𝑜 ≤ 𝜑 < 0 a naturêza da carga ê “Capacitiva” ê a 
potê ncia rêativa ê negativa, pois a corrêntê êsta adiantada da 
tênsa o. 
Para 0 < 𝜑 ≤ 90𝑜 a naturêza da carga ê “Indutiva” ê a 
potê ncia rêativa ê positiva, pois a corrêntê êsta atrasada da 
tênsa o. 
Para 𝜑 = 0 a naturêza da carga ê “Rêsistiva” ê a potê ncia 
rêativa ê nula, pois a corrêntê êsta êm fasê com tênsa o. 
 
POTÊNCIAS NOS ELEMENTOS DE CIRCUITO 
1. Resistor 
 
A rêlaça o êntrê a tênsa o ê a corrêntê no Rêsistor ê dada por: 
�̇� = 𝑅𝐼 ̇
Dê modo quê a tênsa o ê a corrêntê êsta o êm fasê, isto ê , 𝜑 = 0. 
Assim, para a potê ncia ativa podêmos êscrêvêr: 
𝑃 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠0𝑜 = 𝑉𝐼 
Aplicando a Lêi dê Ohm, podêmos êscrêvêr tambê m: 
⁡𝑃 =
𝑉2
𝑅
= 𝑅𝐼2⁡(𝑊) 
Quanto a potê ncia rêativa no rêsistor rêsulta: 
𝑄 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛0𝑜 = 0⁡⁡(𝑉𝐴𝑟) 
2. Indutor 
 
A rêlaça o êntrê a tênsa o ê a corrêntê no Indutor ê dada por: 
�̇� = 𝑗𝑋𝐿𝐼 ̇
Dê modo quê a tênsa o ê a corrêntê êsta o dêfasadas dê 90𝑜, 
isto ê , 𝜑 = 90𝑜. 
Assim, para a potê ncia ativa podêmos êscrêvêr: 
𝑃 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠90𝑜 = 0 
Quanto a potê ncia rêativa no indutor rêsulta: 
𝑄 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛90𝑜 = 𝑉𝐼⁡⁡(𝑉𝐴𝑟) 
E, quanto a potê ncia aparêntê 
𝑆 = 𝑉𝐼 = 𝑉𝐼⁡⁡(𝑉𝐴) 
Como 𝑉 = 𝑋𝐿𝐼, podêmos êscrêvêr tambê m quê: 
𝑆 = 𝑄 =
𝑉2
𝑋𝐿
= 𝑋𝐿𝐼
2⁡⁡(𝑉𝐴𝑟) 
Observe que a potência reativa no indutor é sempre 
positiva. 
 
3. Capacitor 
 
A rêlaça o êntrê a tênsa o ê a corrêntê no Capacitor ê dada por: 
�̇� = −𝑗𝑋𝑐𝐼 ̇
Dê modo quê a tênsa o ê a corrêntê êsta o dêfasadas dê −90𝑜, 
isto ê , 𝜑 = −90𝑜. 
Assim, para a potê ncia ativa podêmos êscrêvêr: 
𝑃 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠(−90𝑜) = 0 
Quanto a potê ncia rêativa no indutor rêsulta: 
𝑄 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛(−90𝑜) = −𝑉𝐼⁡⁡(𝑉𝐴𝑟) 
E, quanto a potê ncia aparêntê 
𝑆 = 𝑉𝐼 = 𝑉𝐼⁡⁡(𝑉𝐴) 
Como 𝑉 = 𝑋𝐿𝐼, podêmos êscrêvêr tambê m quê: 
𝑄 = −
𝑉2
𝑋𝐿
= −𝑋𝐿𝐼
2⁡⁡(𝑉𝐴𝑟) 
Observe que a potência reativa no capacitor é sempre 
negativa. 
Quanto a potência aparente, é positiva em todos os 
elementos de circuito, pois: 
𝑺𝟐 = 𝑷𝟐 + 𝑸𝟐 
Podêmos rêsumir êstês rêsultados na tabêla quê sê sêguê: 
Elemento Potência 
Ativa 
Potência Reativa 
 
 
 
𝑃 =
𝑉2
𝑅
= 𝑅𝐼2 
 
 
 
𝑄 = 0⁡⁡ 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 
𝑄 =
𝑉2
𝑋𝐿
= 𝑋𝐿𝐼
2
 
 
 
 
0 
 
𝑄 = −
𝑉2
𝑋𝐿
= −𝑋𝐿𝐼
2
 
 
 
 
Exêrcí cio 1 
 
O circuito RL da figura ê a rêprêsêntaça o simplificada dê um 
motor dê induça o êm opêraça o. Nêstas condiço ês dêtêrminê: 
 
a. A impêda ncia êquivalêntê do circuito êm mo dulo ê fasê. 
b. A corrêntê do circuito êm mo dulo ê fasê 
c. A potê ncia ativa 
d. A potê ncia rêativa 
ê. A potê ncia aparêntê 
f. Dêsênho o tria ngulo das potê ncias. 
Soluça o: 
a. Impêda ncia êquivalêntê 
�̇�𝑒𝑞 = 30 + 𝑗40⁡⁡(Ω) 
Na forma polar: 
𝑍𝑒𝑞 = √302 + 402 = 50⁡(Ω) 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
40
30
= 53,13𝑜 
�̇�𝑒𝑞 = 50∠53,13⁡(Ω) 
Como 0 < 𝜑 < 90𝑜 a naturêza da carga ê indutiva. 
b. Corrêntê do circuito 
𝐼̇ =
�̇�
�̇�𝑒𝑞
=
200∠0𝑜
50∠53,13
= 4∠ − 53,13𝑜(𝐴) 
c. Potê ncia ativa 
𝑃 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 = 200 × 4 × cos(53,13) = 480⁡(𝑊)⁡⁡⁡ 
d. Potê ncia Rêativa 
𝑄 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛𝜑 = 200 × 4 × 𝑠𝑒𝑛(53,13) = 640⁡𝑉𝐴𝑟⁡⁡ 
ê. Potê ncia Aparêntê 
𝑆 = 𝑉𝐼 = 200 × 4 = 800⁡(𝑉𝐴) 
 
 
Exêrcí cio 2 
 
O circuito RLC da figura ê o circuito êquivalêntê dê um motor 
sí ncrono sobrê-êxcitado. Para êsta condiça o dêtêrminê: 
 
a. A impêda ncia êquivalêntê do circuito êm mo dulo ê fasê. 
b. A corrêntê do circuito êm mo dulo ê fasê 
c. A potê ncia ativa 
d. A potê ncia rêativa 
ê. A potê ncia aparêntê 
Soluça o: 
a. Impêda ncia êquivalêntê 
�̇�𝑒𝑞 = 40 + 𝑗30 − 𝑗70 = 40 − 𝑗40⁡⁡(Ω) 
Na forma polar: 
�̇�𝑒𝑞 = 56,6∠−45𝑜(Ω) 
Como −90𝑜 < 𝜑 < 0𝑜 a naturêza da carga ê capacitiva. 
b. Corrêntê do circuito 
𝐼̇ =
�̇�
�̇�𝑒𝑞
=
200∠0𝑜
56,6∠ − 45
= 3,53∠45𝑜(𝐴) 
c. Potê ncia Ativa 
𝑃 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 = 200 × 3,53 × cos(−45) = 500⁡(𝑊)⁡⁡⁡ 
d. Potê ncia Rêativa 
𝑄 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛𝜑 = 200 × 3,53 ×𝑠𝑒𝑛(−45) = −500⁡(𝑉𝐴𝑟)⁡⁡ 
ê. Potê ncia Aparêntê 
𝑆 = 𝑉𝐼 = 200 × 3,53 = 706⁡(𝑉𝐴) 
 
 
Exêrcí cio 3 
 
Uma pêquêna oficina dê manutênça o ê alimêntada pêla 
concêssiona ria com uma tênsa o dê 380V-60Hz. Esta oficina 
possui um motor êlê trico quê absorvê 30 kW sob fator dê 
potê ncia 0,8 indutivo ê um forno dê induça o quê absorvê 20 
kW sob fator dê potê ncia 0,6 indutivo. 
 
Para êsta instalaça o dêtêrminê; 
a. A corrêntê absorvida pêlo motor êlê trico, pêlo forno dê 
induça o ê pêla instalaça o 
b. A potê ncia rêativa absorvida pêlo motor êlê trico, pêlo 
forno dê induça o ê pêla instalaça o 
c. A potê ncia aparêntê absorvida motor êlê trico, pêlo forno 
dê induça o ê pêla instalaça o 
d. Dêsênhê os tria ngulos das potê ncias para o motor, para o 
forno ê para a instalaça o 
Soluça o: 
Itêm a: 
Corrêntê do Motor: 
𝑃 = 30.000𝑊 
𝑉 = 380⁡𝑉 
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,8⁡𝑖𝑛𝑑 
𝜑 = 36,9𝑜 
𝐼𝑚 =
𝑃
𝑉𝑐𝑜𝑠𝜑
=
30.000
380 × 0,8
= 98,7(𝐴) 
Adotando �̇� = 380∠0𝑜(𝑉), rêsulta 𝐼�̇� = 98,7∠ − 36,9𝑜(𝐴) 
Nota: Na carga indutiva a corrêntê êsta atrasada êm rêlaça o a 
tênsa o. Na capacitiva a corrêntê êsta adiantada êm rêlaça o a 
tênsa o. 
Corrêntê do Forno dê Induça o 
𝑃 = 20.000𝑊 
𝑉 = 380⁡𝑉 
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,6⁡𝑖𝑛𝑑 
𝜑 = 53,13𝑜 
𝐼𝑓 =
𝑃
𝑉𝑐𝑜𝑠𝜑
=
20.000
380 × 0,6
= 87,7∠ − 53,13𝑜 
Como �̇� = 380∠0𝑜(𝑉), rêsulta 𝐼�̇� = 87,7∠ − 53,13𝑜(𝐴) 
Corrêntê da Instalaça o 
𝐼̇ = 𝐼�̇� + 𝐼�̇� = 87,7∠ − 53,13𝑜 + 98,7∠ − 36,9𝑜 
𝐼̇ = 184,7∠ − 44,6𝑜⁡(𝐴)(𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑟𝑎𝑚⁡𝑒𝑠𝑡𝑒⁡𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜) 
Potê ncia Rêativa do motor 
𝑄𝑚 = 𝑉𝐼𝑚𝑠𝑒𝑛𝜑 = 380 × 98,7 × 𝑠𝑒𝑛36,9 
𝑄𝑚 = 22,5⁡𝑘𝑉𝐴𝑟⁡(22500𝑉𝐴𝑟) 
Potê ncia Rêativa do Forno dê Induça o 
𝑄𝑓 = 𝑉𝐼𝑓𝑠𝑒𝑛𝜑 = 380 × 87,7 × 𝑠𝑒𝑛53,13 
𝑄𝑓 = 26,7⁡𝑘𝑉𝐴𝑟⁡(26700𝑉𝐴𝑟) 
Potê ncia Rêativa da Instalaça o 
𝑄 = 𝑄𝑚 + 𝑄𝑓 = 49,2⁡𝑘𝑉𝐴𝑟 
altêrnativamêntê, podêmos calcula -la como sêguê: 
𝑄 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛𝜑 = 380 × 184,7 × 𝑠𝑒𝑛44,6𝑜 = 49,3⁡𝑘𝑉𝐴𝑟 
Potê ncia Aparêntê do Motor 
𝑆𝑚 = 𝑉𝐼𝑚 = 380 × 98,7 = 37,5𝑘𝑉𝐴 
Potê ncia Aparêntê do Forno 
𝑆𝑓 = 𝑉𝐼𝑓 = 380 × 87,7 = 33,3⁡𝑘𝑉𝐴 
Potê ncia Aparêntê da Instalaça o 
𝑆 = 𝑉𝐼 = 380 × 184,7 = 70,2⁡𝑘𝑉𝐴 
Notê quê 𝑆 ≠ 𝑆𝑚 + 𝑆𝑓 
 
 
Atividadê para sêr êntrêguê no dia 01/11/2023 
 
Uma êmbarcaça o aprêsênta um conjunto dê cargas cuja 
rêlaça o ê a constantê na sêguintê planilha. 
Carga Potência 
Ativa 
Potência 
Aparente 
Fator de 
Potência 
Iluminaça o 
60 lumina rias 
150 W cada 0,7 
Motor dê 
Popa 
250 kW 0,8 
Motor dê 
Proa 
150 kw 0,75 
Motor do 
Guindastê 
35 kW 0,85 
Forno a 
rêsistê ncia 
para cozinha 
20 kw 
Forno a 
induça o 
 50 kVA 0,6 
Rêfrigêrador 60 kVA 0,7 
 
O gêrador da êmbarcaça o supri as nêcêssidadês das cargas 
rêlacionadas com tênsa o dê 440V – 60Hz. 
Para êsta êmbarcaça o dêtêrminar; 
a. A corrêntê absorvida pêlas cargas rêlacionadas. 
b. A corrêntê total absorvida pêla instalaça o. 
c. O fator dê potê ncia da instalaça o 
d. A potê ncia aparêntê êm kVA do gêrador nêcêssa rio para 
atêndêr êsta dêmanda. 
ê. Dêtêrminar a capacidadê o capacitor nêcêssa rio para 
corrigir o fator dê potê ncia dêsta instalaça o para opêrar 
com 0,9 indutivo.