Modelagem de Problemas Clássicos de Contagem

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1-Uma senha é constituída de quatro caracteres, dois dos quais devem ser algarismos e dois devem ser letras (maiúsculas ou minúsculas, dentre as 26 letras disponíveis). Se é permitida a repetição de seus caracteres, o número possível de senhas é:
RESPOSTA:
10^2.52^2
EXPLICAÇÃO:
Para resolver essa questão, precisamos considerar que temos 10 opções para cada um dos dois dígitos numéricos (0 a 9), totalizando \(10^2\) combinações. Além disso, temos 26 letras maiúsculas e 26 letras minúsculas disponíveis, totalizando 52 opções para cada uma das duas letras, resultando em \(52^2\) combinações. Como a repetição de caracteres é permitida, o número total de senhas possíveis é o produto dessas duas quantidades, ou seja, \(10^2.52^2\).
2-Quantas são as formas de presentear três filhos com um dos cinco best-sellers disponíveis em uma livraria, supondo que podemos dar o mesmo livro para mais de um dos filhos?
RESPOSTA:
C7/3
EXPLICAÇÃO:
A situação descrita na questão é um exemplo de combinações com repetição. Nesse caso, estamos considerando a distribuição de cinco livros (best-sellers) para três filhos, onde um mesmo livro pode ser dado para mais de um filho. A fórmula para combinações com repetição é dada por CR r/n = C(r+n-1)/n, onde 'n' é o número de itens a serem distribuídos (neste caso, os livros) e 'r' é o número de grupos (neste caso, os filhos). Substituindo os valores na fórmula, temos CR 5/3 = C (5+3-1)/3 = C 7/3. Portanto, existem C 7/3 maneiras de distribuir os livros entre os filhos.
3-Quantas soluções possui a equação x + y + z = 7, se x, y e z são números inteiros não negativos?
RESPOSTA:
36
EXPLICAÇÃO:
Uma forma de modelar esse problema clássico é imaginar o esquema X#Y#Z, indica que X, Y e Z são sequências de x bolinhas |, seguida do sinal +, seguida de y bolinhas | seguida do sinal + e finalmente, seguido de z bolinhas |. Ou seja, o esquema +||||+||| significa uma das soluções possiveis, com x=0, y=4 e z=3. Ou seja, dispomos de 2+7=9 posições para inserir 2 objetos: o sinal # e a bolinha |. Logo há PR 7,2^9 = 36
4-Em uma prova há 10 questões, das quais 4 são de matemática. De quantas maneiras é possível editar essa prova de forma a que não ocorram duas questões de matemática seguidas?
RESPOSTA:
C 7/4 x 6! x 4!
EXPLICAÇÃO:
Para resolver esse problema, utilizamos o primeiro lema de Kaplansky. Imagine as 6 questões que não são de matemática como se fossem bolinhas. Precisamos inserir as 4 questões de matemática em 4 das posições indicadas por um #. Veja: #|#|#|#|#|#|#
Isso nos dá C 7/4 maneiras.
No entanto, podemos permutar as 4 questões de matemática entre si, assim como as 6 questões de outras disciplinas.
5-Uma empresa possui 150 funcionários, dos quais 80 são homens e 70 são mulheres. Dentre esses funcionários, há 8 gerentes homens e 7 gerentes mulheres. Deseja-se formar uma comissão constituída de doze funcionários da empresa. É exigido que haja pelo menos um gerente homem e uma gerente mulher além de mais dez, sendo cinco homens e cinco mulheres. Qual o número de comissões distintas que podem ser formadas?
RESPOSTA:
7.8.C 79/5.C 69/5
EXPLICAÇÃO:
A escolha da gerente e do gerente pode ser realizada de 8×7 formas diferentes.
Então, restam escolher as demais mulheres da comissão, selecionando-se 5 mulheres dentre as 69 ainda disponíveis (C_5^69) e 5 homens, dentre os 79 disponíveis (C 6/4 9).
6-Dentre os subconjuntos do conjunto {1; 2; 3; 4; 5; 6} com 3 elementos, quantos são os que não possuem dois números consecutivos?
RESPOSTA:
4
7-Em uma sorveteria, o triplo especial permite que você escolha três bolas de sorvete em uma taça. Quantos triplos especiais podem ser forma¬dos se há oito sabores disponíveis? 
RESPOSTA:
C 10/3
EXPLICAÇÃO:
CR 8/3 = C 8+3-1/3 = C 10/3
8-De quantas formas seis casais constituídos de um homem e uma mulher podem dançar ao mesmo tempo em uma festa, de tal forma que não haja nenhum casal dançando com seu próprio(a) companheiro(a)?
RESPOSTA:
265
EXPLICAÇÃO:
PC 6 = 6!
9-Seis crianças desejam brincar de roda. De quantas maneiras elas podem se organizar para formarem "rodas" diferentes?
RESPOSTA:
120
EXPLICAÇÃO:
Para resolver essa questão, precisamos entender o conceito de permutação circular. A permutação circular é utilizada quando a ordem dos elementos em um círculo importa, mas não há um ponto de início fixo. No caso das crianças brincando de roda, a posição de cada criança em relação às outras é importante, mas não há uma "primeira" ou "última" criança. Portanto, o número de maneiras diferentes que as crianças podem se organizar é dado pela fórmula da permutação circular, que é (n-1)!, onde n é o número de crianças. No nosso caso, temos 6 crianças, então a permutação circular é (6-1)!, ou seja, 5!, que resulta em 120. Portanto, existem 120 maneiras diferentes das crianças se organizarem para brincar de roda.
10-Dispondo dos algarismos de 1 a 9, quantos são os números de 4 algarismos diferentes que podemos formar, sabendo-se que devemos usar pelo menos o algarismo 2 e o algarismo 5?
RESPOSTA:
C 7/2 x 4!
EXPLICAÇÃO:
Para resolver essa questão, precisamos considerar que os algarismos 2 e 5 já estão definidos para serem usados. Portanto, precisamos escolher mais 2 algarismos dos 7 restantes (1, 3, 4, 6, 7, 8, 9) para formar um número de 4 algarismos. A quantidade de combinações possíveis para escolher 2 algarismos de um conjunto de 7 é dada por 
C 7/2 = 7.6/2.1 = 21.
Após escolher os 2 algarismos adicionais, precisamos considerar todas as permutações possíveis desses 4 algarismos para formar os números. Como temos 4 algarismos, o número de permutações é dado por 4!, que é igual a 24. Portanto, o número total de números de 4 algarismos diferentes que podemos formar é 21 x 24 = 504.