Analise Combinatoria

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1-Conjuntos como conhecemos, são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Qual o número de subconjuntos do conjunto A={1;2;3}?
RESPOSTA: 
8
EXPLICAÇÃO:
Para determinar o número de subconjuntos de um conjunto, utilizamos a fórmula 2^n, onde N é o numero de elementos do conjunto. No caso do conjunto A={1;2;3}, temos 3 elementos. Substituindo na formula, temos 2^3, que resulta em 8. Portanto, o conjunto A possui 8 subconjuntos.
2-O princípio da casa dos pombos é, sem duvida, um dos enunciados mais simples e poderosos na soluçao de problemas de contagem, digamos, inusitados. Surpreendente, ele possibilita a soluçao elegante de problemas muitas vezes dificil abordagem. Tendo este principio em mente, uma caixa contem 7 bolas vermelhas, 8 azuis e 10 verdes. Qual o numero minimo de bolas que devemos retirar da caixa, sem olhar, para garantir que retiramos pelo menos duas bolas da mesma cor?
RESPOSTA:
4
EXPLICAÇÃO:
O principio da casa dos pombos, aplicado a este problema, nos diz que se temos tres "casas" (as cores das bolas) e queremos garantir que pelo menos uma delas tenha mais de um "pombo" (as bolas), precisamos de pelo menos uma bola a mais do que o numero de casas. Portanto, ao retirarmos quatro bolas, garantimos que pelo menos duas delas serão da mesma cor, pois temos apenas tres cores diferentes. Assim, a quarta bola retirada obrigatoriamente sera da mesma cor que uma das tres primeiras retiradas.
3-Conjuntos como conhecemos são uma coleçao ou grupos de objetos, ou simbolos aos quais chamamos de elementos. Analise a soma s(n) dos n primeiros numeros pares positivos. Qual das sentenças indicadas representa s(n)?
RESPOSTA:
n(n+1)
4-O principio da multiplicaçao é uma estrategia para contar o numero total de casos possiveis, em situaçoes em que ocorrem escolhas multiplas, porem independentes. Com os algarismos de 1 a 9, quantos sao os numeros de 4 algarismos diferentes que podemos formar, sabendo-se que necessariamente devemos usar pelo menos os algarismos 2 e 5?
RESPOSTA:
A9/4-A7/4
EXPLICAÇÃO:
Para resolver essa questao, devemos considerar que a quantidade desejada é equivalente a quantidade de arranjos que podemos obter com os 9 algarismos, 4 a 4. No entanto, como precisamos usar obrigatoriamente os algarismos 2 e 5, devemos descontar os arranjos que não usam esses dois algarismos. Isso corresponde a usar apenas os 7 demais algarismos.
5-Conjuntos, como conhecemos, sao uma coleçao ou grupos de objetos, ou simbulos aos quais chamamos de elementos. Dado o conjunto A = {1;2;3} e B = {2;3;4}, quantos sao os numeros diferentes que voce consegue gerar somando um elemento de A com um elemento de B?
RESPOSTA:
5
EXPLICAÇÃO:
Para resolver essa questao, devemos somar cada elemento do conjunto A com cada elemento do conjunto B, resultando em um total de 9 somas. Em seguida, devemos verificar quantos sao os valores diferentes obtidos.
6-Conjuntos como conhecemos sao uma coleçao ou grupos de objetos, ou simbolos aos quais chamamos de elementos. Ao escrevermos a sucessao de numeros 13;26; ...; 325, onde a diferença entre cada elemento e o anterior vale 13, quantos numeros foram escritos?
RESPOSTA:
25
EXPLICAÇÃO:
Basta perceber que os elementos da sucessao sao multiplos consecutivos de 13. Logo, dividindo todos os elementos da sucessao por 13, 325/13 = 25.
7-O princípio da casa dos pombos é, sem duvida, um dos enunciados mais simples e poderosos na soluçao de problemas de contagem, digamos, inusitados. Surpreendente, ele possibilita a soluçao elegante de problemas muitas vezes dificil abordagem. Tendo este princípio em mente, qual o numero minimo necessario de pessoas para garantir que pelo menos tres delas aniversariem no mesmo dia da semana?
RESPOSTA:
15
EXPLICAÇÃO:
O principio da casa dos pombos, aplicado a este problema, nos leva a considerar que temos 7 "caixas" (dias da semana) e queremos alocar "pombos" (pessoas) nessas caixas de tal forma que pelo menos uma caixa contenha 3 pombos. Na pior das hipoteses, poderiamos alocar 2 pessoas em cada dia da semana, totalizando 14 pessoas. No entanto, ao adicionarmos a 15 pessoa, inevitavelmente teriamos um dia da semana com 3 pessoas, pois ja teriamos esgotado todas as possibilidades de alocar 2 pessoas por dia. Portanto, o numero minimo necessario de pessoas para garantir que pelo menos tres delas aniversariem no mesmo dia da semana é 15.
8-Conjuntos como conhecemos sao uma coleçao ou grupos de objetos, ou simbolos aos quais chamamos de elementos. Se um conjunto A possui 10 elementoss e um conjunto B possui 7 elementos, qual o numero maximo de elementos do conjunto (A-B)U(B-A)?
RESPOSTA:
17
EXPLICAÇÃO:
Para entender a resposta, é util visualizar a situaçao com um diagrama de Venn. Nesse caso, estamos procurando o numero maximo de elementos no conjunto (A-B)U(B-A). Isso ocorre quando nao ha elementos em comum entre os conjuntos A e B. Portanto, o conjunto (A-B) é igual ao conjunto A, que possui 10 elementos, e o conjunto (B-A) é igual ao conjunto B, que possui 7 elementos. A uniao desses dois conjuntos, (A-B)U(B-A), é a soma dos elementos de ambos os conjuntos, ou seja, 10 + 7 = 17 elementos.
9-Conjuntos como conhecemos sao uma coleçao ou grupos de objetos, ou simbolos aos quais chamamos de elementos. Analise a soma s(n) dos n primeiros numeros impares positivos. Qual das sentenças indicadas representa s(n)?
RESPOSTA:
n^2
10-O princípio da casa dos pombos é, sem duvida, um dos enunciados mais simples e poderosos na soluçao de problemas de contagem, digamos, inusitados. Surpreendente, ele possibilita a soluçao elegante de problemas muitas vezes dificil abordagem. Tendo este princípio em mente, uma caixa contém 7 bolas vermelhas, 8 azuis e 10 verdes. Qual o numero minimo de bolas que devemos retirar da caixa, sem olhar, para garantir que retiramos, pelo menos, duas bolas de cores diferentes?
RESPOSTA:
11
EXPLICAÇÃO:
O principio da casa dos pombos nos ajuda a resolver este problema de uma maneira simples. Se considerarmos que a caixa contem o maior numero de bolas de uma unica cor, que sao as 10 bolas verder, podemos retirar todas essas 10 bolas verdes primeiro. No entanto, para garantir que tenhamos pelo menos duas bolas de cores diferentes, precisamos retirar mais uma bola. Essa bola adicional, independentemente de sua cor, sera diferente das bolas verdes que ja retiramos. Portanto, o numero minimo de bolas que precisamos retirar da caixa para garantir que tenhamos pelo menos duas bolas de cores diferentes é 11.