12.9 Vigas e eixos estaticamente indeterminados (método superposição) - Resistencia dos Materiais Hibbeler 7

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466 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
1 2 Vigas e eixos 
estaticamente 
i ndeterminados 
m étodo superposição 
O método da superposição foi usado anteriormente 
para resolver cargas redundantes em barras com cargas 
axiais e eixos com cargas de torção. Para aplicar esse 
método à solução de vigas (ou eixos) estaticamente in­
determinadas, em primeiro lugar é necessário identifi­
car as reações de apoios redundantes como explicado 
na Seção 12.6. Ao remover essas reações da viga, obte­
mos a denominada viga primária, que é estaticamente 
determinada e estável e submetida somente a carga ex­
terna. Se adicionarmos a essa viga uma sucessão de vigas 
apoiadas de maneira semelhante, cada qual carregada 
com uma reação redundante separada, pelo princípio da 
superposição, obtemos a viga carregada propriamente 
dita. Por fim, para resolver para as reações redundan­
tes, temos de escrever as condições de compatibilidade 
A 
A 
p i 
r--- f_�� f_ 2 2 Viga verdadeira 
(a) 
1 1 
p 
----- -------' Tvs 
I_ .... f_ L • --'--,------- 2 --+--- 2 -----1 B 
Reação redundante By removida 
(b) 
+ B 
• }'s 
A �, --------
L
����-------------�trl 
B Somente a reação redundante By aplicada Y 
(c) 
p Ay i .t41-"' i � 2 --+--- ; -�t l_ p 
(d) 16 
Figma 12.43 
que existem nos apoios sobre os quais cada uma das 
reações redundantes age. Visto que as forças redun­
dantes são determinadas diretamente dessa maneira 
esse método de análise é às vezes denominado méto: 
do da força. Uma vez obtidas as reações redundantes 
as outras reações sobre a viga são determinadas pela; 
três equações de equilíbrio. 
Para esclarecer esses conceitos, considere a viga 
mostrada na Figura 12.43a. Se escolhermos a reação B 
no rolete como a redundante, a viga primária é mostra� 
da na Figura 12.43b; a viga com a reação redundante 
B" agindo sobre ela é a mostrada na Figura 12.43c. o 
deslocamento no rolete tem de ser nulo e, uma vez que 
o deslocamento do ponto B sobre a viga primária é v8, 
e que B" provoca o deslocamento do ponto B a uma 
distâncià v' 
8 para cima, podemos escrever a equação 
de compatibilidade em B como 
(+t) 
Os deslocamentos v8 e v' 8 podem ser obtidos por 
meio de qualquer um dos métodos discutidos nas se­
ções 12.2 a 12.5. Aqui nós os obtivemos dirctamente da 
tabela no Apêndice C. Temos 
e 
Substituindo na equação de compatibilidade, obtemos 
Agora que BY é conhecida, as reações na parede se­
rão determinadas pelas três equações de equilíbrio apli­
cadas à viga inteira (Figura 12.43d) . Os resultados são 
Ax = O 
Como afirmamos na Seção 12.6, a escolha da rea­
ção redundante é arbitrária, desde que a viga primá­
ria permaneça estável. Por exemplo, o momento em A 
para a viga na Figura 12.44a também pode ser escolhido 
como a reação redundante. Nesse caso, a capacidade da 
viga de resistir a MA é removida e, portanto, a viga pri­
mária passa a ser uma viga apoiada no pino em A (Figu­
ra 12.44b ) . Além disso, a reação redundante em A age 
(a) A 
p t 
--�· ------ �,B 
�!::__ !::_--J 2 2 
Viga verdadeira 
1 1 
p ! 
(b) A ��, � B 
�!::__�-�!::__ 2 2 
Componente redundante MA removida 
+ 
Somente a componente redundante MA aplicada 
Figura 12.44 
sozinha sobre essa viga (Figura 12.44c ). Designando-se 
a inclinação em A provocada pela carga P por e A e in­
clinação em A provocada pela reação redundante MA 
por e�, a equação de compatibilidade para a inclinação 
em A exige 
(r+) o = eA + e�� 
Usando novamente a tabela no Apêndice C, temos 
e 
Logo, 
3 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 467 
lheremos as forças nos apoios de rolete B e C como 
redundantes. A viga primária (estaticamente deter­
minada) deforma-se como mostra a Figura 12.45b 
quando as forças redundantes são removidas. Cada 
força redundante deforma essa viga como mostram 
as figuras 12.45c e 12 .45d, respectivamente. Por su­
perposição, as equações de compatibilidade para os 
deslocamentos em B e C são 
(+ o 
(+ j, ) 
O = v8 + v!J + v'B 
O = Vc + v(: + v(: 
(12.22) 
Aqui as componentes do deslocamento v� e v� 
serão expressas em termos da incógnita BY, e as com­
ponentes v'� e v'�, em termos da incógnita CY. Quan­
do esses deslocamentos são determinados e substi­
tuídos na Equação 12.22, essas equações podem ser 
resolvidas simultaneamente para as duas incógnitas 
B)' e CY. 
Os seguintes exemplos ilustram a aplicação desse 
procedimento. Por questão de concisão, todos os des­
locamentos e inclinações foram determinados usando 
a tabela no Apêndice C. 
(a) A -·�(·i}., 
(b) A I 2"!., 
pl 
t 
pl 
t 
Pz 
B t c 
� 
Viga verdadeira 
1 1 
Pz 
B t c 
v8 Vc 
D 
D 
=7t 
Reações redundantes By e Cy removidas 
+ 
c D :=! 
. 
v8 v(; 
MA = - 16 P L Aplicada somente a reação redundante By 
Esse é o mesmo resultado calculado anteriormente. 
Aqui o sinal negativo para MA significa simplesmente 
que MA age no sentido contrário da direção mostrada 
na Figura 12.44c. 
Outro exemplo que ilustra esse método é dado 
na Figura 12.45a. Nesse caso, a viga é indeterminada 
de segundo grau e, portanto, serão necessárias duas 
equações de compatibilidade para a solução. Esco-
(d) A 
+ 
Cy 
B c± D 
t-; ;Jt 0J . . , 
vB v(; 
Aplicada somente a reação redundante Cy 
Figma 12.45 
468 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
O seguinte procedimento fornece um meio para aplicar o método da superposição (ou o método da força) para 
determinar as reações em vigas ou eixos estaticamente indeterminados. 
Linha elástica 
" Especifique as forças ou momentos redundantes desconhecidos que devem ser removidos da viga para que ela fique 
estaticamente determinada e estável. 
" U tilízando o princípio da superposição, desenhe a viga estaticamente indeterminada e represente-a como uma seq u­
ência de vigas estaticamente determinadas correspondentes. 
" A primeira dessas vigas, a primária, suporta as mesmas cargas externas que a estaticamente indeterminada, e cada 
uma das outras vigas 'adicionadas' à primária mostra aquela carregada com uma força ou momento redundante 
separado. 
" Faça um rascunho da curva de deflexão para cada viga e indique simbolicamente o deslocamento ou inclinação no 
ponto de cada força ou momento redundante. 
Equações de compatibilidade 
" Escreva uma equação de compatibilidade para o deslocamento ou inclinação em cada ponto onde há uma força 
redundante ou momento . 
.. Determine todos os deslocamentos ou inclinações utilizando um método adequado como explicado nas seções 12.2 
a 12.5 . 
.. Substitua os resultados nas equações de compatibilidade e resolva para as reações redundantes desconhecidas. 
" Se um valor numérico para uma reação redundante for positivo, ela terá o mesmo sentido de direção previsto ori­
ginalmente. De maneira semelhante, um valor numérico negativo indica que a reação redundante age em direção 
oposta ao sentido de direção previsto. 
Equações de equilíbrio 
" Uma vez determinadas as forças e/ou momentos redundantes, as reações desconhecidas restantes podem ser deter­
minadas pelas equações de equilíbrio aplicadas aos carregamentos mostrados no diagrama de corpo livre da viga. 
SOLUÇÃO 
Determine as reações no apoio de rolete B da viga mos­
trada na Figura 12.46a e trace os diagramas de força cortan­
te e momento fietor. E! é constante. 
8 kN 
Princípio da superposição. Por inspeção, a viga é estati­
camente indeterminada de primeiro grau. O apoio de rolete 
em B será escolhido como a reação redundante, portanto 
BY será determinada diretamente. As figuras 12.46b e 12.46c 
mostram a aplicação do princípio da superposição. Aqui con­
sideramos que Bl' age para cima na viga. 
�1,5 m-:1_ 6 kN/m 
t t t t tf t t t t t t t t 
(a) A B 
(b) 
(c) 
1----- 3 m ------1 
Viga verdadeira 
1 1 
8 kN t:== 1 ,5 m-:1_ 6 kN/m 
' t H H H f H H H H 
Ivs 
1------- 3 m ----1 B 
Reação redundante By removida 
+ 
B 
. }É 
1----- 3 m ------lt By 
Somente a reação redundante By aplicada 
Equação de compatibilidade. Considerando o deslocamen­
to positivo para baixo, a equação de compatibilidadeem B é 
O = v8 - v's (1 ) 
8 kN 
1 6,75 kN J_ 6 kN/m 
(dJ o��!=!::f-HJ-:�f-i:I:f!!::J� 
1 1 ,25 kN·ml---1 ,5 m-------l- 1 ,5 m--T 
9,25 kN 
V (kN) (kN) 
16,75 1 
1
7,75 x (m) 
-0,25 -9,25 
(e) M (lcN·m) 
- l i "' 
7, 125 . 
I x (m) 
1 ,5 
Figura 12.46 
Esses deslocamentos podem ser obtidos diretamente da ta­
bela no Apêndice C. 
wL4 5PL3 
v = + --B SEI 4SEI 
6 kN/m · (3 m)4 
+ 
5(S kN)(3 m)3 = S3,25 kN·m3 J_ 
SEI 4SEI E! 
PL3 v' = -- = B 3EI 
Substituindo na Equação 1 e resolvendo, obtemos 
O = S3,25 _ 
9By 
E! E! 
By = 9,25 kN 
Resposta 
Equações de equilíbrio. Utilizando esse resultado e apli­
cando as três equações de equilíbrio, obtemos os resultados 
mostrados no diagrama de corpo livre da viga na Figura 
12.46d. Os diagramas de força cortante e momento fletor são 
mostrados na Figura 12.46e. 
Determine as reações na viga mostrada na Figura 12.47a. 
Devido à carga e à má construção, o apoio de rolete em B 
cede 12 mm. Considere E = 200 GPa e I = S0(106)mm4• 
SOLUÇÃO 
Princípio da superposição. Por inspeção, a viga é inde­
terminada de primeiro grau. O apoio de rolete em B será 
escolhido como a reação redundante. O princípio da super­
posição é mostrado nas figuras 12.47b e 12.47c. Aqui consi­
deramos que BY age para cima na viga. 
Equação de compatibilidade. Com referência ao ponto 
B, utilizando unidades métricas, exige-se que 
(+ o 0,012 m = v8 - v8 (1) 
Utilizando a Tabela no Apêndice C, os deslocamentos são 
_ 5wL4 _ 5(24 kN/m) (S m)4 _ 640 kN · m3 l 
va - 768EI - 76SEI - E! 
PL3 By(S m)3 10,67 m3 By VÊ = 4SEI = 4SEI = E! i 
Assim, a Equação 1 torna-se 
0,012EI = 640 l0,67By 
Expressando E e I nas unidades kN/m2 e m\ respectivamen­
te, temos 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 469 
c 
Viga verdadeira 
1 1 
c 
Reação redundante By removida 
+ 
Somente a reação redundante By aplicada 
96 kN 
Figma 12.47 
0,012(200) (106) [80(10-6)] = 640 - 10,67 By 
By = 42,0 kN i Resposta 
Equações de equilíbrio. Aplicando esse resultado à viga 
(Figura 12.47d), podemos calcular as reações em A e C utili­
zando as equações de equilíbrio. Obtemos 
-96 kN(2 m) + 42,0 kN( 4 m) + Cy(S m) 
Cy = 3,00 kN i Resposta 
+i 2-Fy = O; Ay - 96 kN + 42,0 kN + 3,00 kN = O 
Ay = 51 kN i Resposta 
A viga na Figura 12.48a está engastada na parede 
em A e a copiada por um pino a uma haste de 12 mm de 
diâmetro BC. Se E = 210 GPa para ambos os elemen­
tos estruturais, determine a força desenvolvida na haste 
devido à carga. O momento de inércia da viga em torno 
de seu eixo neutro é I = 186 x 106 mm4• 
470 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS 
40 kN 
A A Vs A 
Viga e haste verdadeiras 
(a) 
Reação F se redundante removida Somente a reação F se redundante aplicada 
(c) (b) 
40 kN 
A B A A 
Viga e haste verdadeiras 
(d) 
Reação redundante F se removida 
(e) 
Somente a reação redundante F se aplicada 
(f) 
Figura 12.48 
SOLUÇÃO I 
Princípio da superposição. Por inspeção, esse problema 
é indeterminado de primeiro grau. Aqui B sofrerá um des­
locamento desconhecido v�, visto que a haste será esticada. 
A haste será tratada como redundante e, por consequência, 
sua força é removida da viga em B (Figura 12.48b ), e então 
reaplicada (Figura 12.48c). 
Equação de compatibilidade. No ponto B, exige-se 
<+ n v'B = v8 - VÊ (1) 
Os deslocamentos v8 e v� são determinados pela tabela no 
Apêndice C. v� é calculado pela Equação 4.2. Trabalhando 
em Newtons e milímetros, temos 
PL F8c(3 m)(103 mm/m) v� - -A-E - (7T/4)(12 mm)2[(210)(103) N/mm2 ] 
_ 5PL3 _ 5(40 kN)(103 N/kN)[(4 m) (103 mm/m)]3 
Vs - 48EI - 48[(210)(103) N/mm2]186(106) mm 
v� = 6,83 mm J, 
v� = 1,067 X 10-3 F8c I 
Assim, a Equação 1 torna-se 
( + ! ) 1 ,26 X 10-4 Fsc = 6,83 - 1,067 X 10-3 Fsc 
F8c = 5,725(103) N = 5,725 kN Resposta 
SOLUÇÃO 1 1 
Princípio d a superposição. Também podemos resolver 
esse problema removendo o apoio do pino em C e mantendo 
a haste acoplada à viga. Nesse caso, a carga de 40 kN deslo­
cará os pontos B e C à mesma distância v c para baixo (Figu­
ra 12.48e), visto que não existe nenhuma força na haste BC. 
Quando a força redundante F se é aplicada no ponto C, provo­
ca o deslocamento v� da extremidade C da haste para cima e o 
deslocamento v� da extremidade B da viga para cima (Figura 
12.48f). A diferença entre esses dois deslocamentos, v se' re­
presenta o alongamento da haste devido a F se' de modo que 
v� = v se + v�. Por consequência, pelas figuras 12.48d, 12.48e e 
12.48f, a compatibilidade de deslocamento no ponto C é 
(+ t ) O = vc - (vsc + vn) (1) 
Pela Solução I, temos 
Vc = Vs = 6,83 mm ! 
V se = v'B = 1,26 X 10-4 mm i 
VÍJ = 1 ,067 X 10-3 Fsc i 
Portanto, a Equação 2 torna-se 
( + ! ) O = 6,83 - (1,26 X 10-4 Fsc + 1,067 X 10-3 Fsc) 
Fsc �5.725 N = 5,725 kN Resposta 
Determine o momento em B para a viga mostrada na Figu­
ra 12.49a. EI é constante. Despreze os efeitos da carga axial. 
SOLUÇÃO 
Princípio da superposição. Visto que a carga axial sobre 
a viga é desprezada, haverá uma força vertical e um momen­
to em A e B. Aqui há somente duas equações de equilíbrio 
disponíveis (2,M = O, 2,FY = O) e, portanto, o problema é 
(a) A 
Viga verdadeira 
1 1 
Reações redundantes Ms e By removidas 
+ 
Somente a reação redundante By aplicada 
+ 
Somente a reação redundante By aplicada 
Figma U.49 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 4 7 1 
indeterminado de segundo grau. Consideraremos que BY e 
M8 são reações redundantes de modo que, pelo princípio da 
superposição, a viga é representada como em balanço, carre­
gada separadamente pela carga distribuída e reações BY e M8 
(figuras 12.49b, 12.49c e 12.49d). 
Equações de compatibilidade. Com referência ao deslo­
camento e à inclinação em B, exige-se 
o = vs + vB + v'é 
(1) 
(2) 
Utilizando a tabela no Apêndice C para calcular as inclina­
ções e deslocamentos, temos 
wL3 ()B = -- = 48EI 
9kN/m (4 m) 3 
48EI 
12 
J EI 
7wL4 VB = -- = 384EI 
7(9 kN/m)( 4 m)4 = 42 t 
384EI EI 
PL2 
e� = -- = 2EI 
By (4 m)2 
= 
SBY 
2EI EI J 
PL3 
v' = -- = B 3EI 
By(4 m)3 _ 21,33By t 
ML 
e; = -- = EI 
ML2 
vi == -- = 2EI 
3EI EI 
Ms(4 m)2 
= 
8MB J_ 
2EI EI 
Substituindo esses valores nas equações 1 e 2 e cancelando o 
fator comum EI, obtemos 
O = 12 + SBy + 4MB 
O = 42 + 21 ,33By + SMs 
Resolvendo essas equações simultaneamente, temos 
By = -3,375 kN 
ME = 3 ,75 kN·m Resposta 
472 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
12.121. Determine as reações nos apoios A e B. EI é constante. 
Problema 12.121 
12.122. Determine as reações nos apoios de manca! A, B 
e C do eixo; a seguir, trace os diagramas de força cortante e 
momento fletor. EI é constante. Cada manca! exerce somen­
te reações verticais sobre o eixo. 
400 N 400 N 
Problema 12.122 
12.123. A viga e a haste de aço A-36 são usadas para su­
portar a carga de 40 kN. Se for exigido que a tensão normal 
admissível para o aço seja uactm = 125 MP a e a deflexão máxi­
ma não ultrapasse 1 ,25 mm, determine o menor diâmetro da 
haste a ser usado. A viga é retangular, com 125 mm de altura 
e 75 mm de espessura. 
A 
B 
!--- 1,2 m� 
40 kN 
Problema 12.123 
'''12,124. Determine as reações nos apoios A, B e C; a seguir, 
trace os diagramas de força cortante e momento fletor. EI é 
constante. 
Problema 12.124 
12.125. Determine as reações no apoio C EI é constante 
para ambas as vigas. 
Problema 12.125 
12.126. Determine as reações em A e B. Considere que o apoio 
em A exerce somente um momento sobre a viga. El é constante. 
p 
A �-�-J -f--� R 
Problema 12.126 
12.127. Determine as reações nos apoios A e B. EI é 
constante. 
IV 
Problema 12.127 
L 
2 
*12.128. Cada um dos dois elementos estruturais é feito 
de alumínio 6061-T6 e tem seção transversal quadrada de 
25 mm x 25 mm. Suas extremidades estão engastadas por 
pino, e um macaco é colocado entre eles e aberto até que a 
força que ele exerce em cada elemento estrutural seja igual a 
2,5 kN. Determine a maior força P que pode ser aplicada ao 
centro do elemento estrutural superior sem provocar escoa­
mentoem nenhum dos dois elementos. Para a análise, de>­
preze a força axial em cada elemento estrutural. Considere 
que o macaco é rígido. 
A B 
c I E 
�� I F 
c 
D 
I 2 m I 2 m I 
Problema 12.128 
12.129. Determine as reações nos apoios e trace os dia­
gramas de força cortante e momento fletor. EI é cons­
tante. 
Jd ! ! ! I tE} I I l ll 
1----- L L -----1 
Problema 12.129 
12.130. A viga é suportada por um pino em A, uma mola 
com rigidez k em B e um rolete em C. Determine a força que 
a mola exerce sobre a viga. EI é constante. 
Problema 12.130 
12.131. A viga AB tem momento de inércia I = 200(106) 
mm4 e suas extremidades repousam sobre apoios lisos. Uma 
haste CD de 18 mm de diâmetro está soldada ao centro da 
viga e ao apoio fixo em D. Se a temperatura da haste dimi­
nuir 80°C, determine a força desenvolvida na haste. A viga e 
a haste são feitas de aço A-36. 
1---- 1,5 m ---+----1-- 1 ,5 m ----j 
Problema 12.131 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 473 
*12,132. Determine a deflexão na extremidade B da tira de 
aço A-36. A rigidez da mola é k = 2 N/mm. 
t------200 mm ------
A 10 mm k = 2 Njmm 
Pmblema 12.132 
12.133. A viga é feita de um material elástico macio com EI 
constante. Se ela estiver originalmente à distância ll da su­
perfície do apoio de sua extremidade, determine a distância 
a à qual a extremidade da viga repousará sobre esse apoio 
quando for submetida à carga uniforme IV0, que é grande o 
suficiente para que isso aconteça. 
Problema 12.133 
12.134. A estrutura em caixão é submetida a uma carga uni­
formemente distribuída IV ao longo de cada um de seus lados. 
Determine o momento desenvolvido em cada canto. Despre­
ze a deflexão provocada pela carga axial. EI é constante. 
Problema 12.134 
4 7 4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
urva da lin�a elástica representa a deflexão na linha 
ral de uma viga ou eixo. Sua forma pode ser determi­
a por meio do diagrama de momento. Os momentos 
positivos resultam em uma linha elástica côncava para 
cima e os negativos em uma linha elástica côncava para 
baixo. O raio de curvatura em qualquer ponto é determi­
nado por 
1 M 
p EI 
A equação da linha elástica e sua inclinação podem ser 
obtidas determinando-se, em primeiro lugar, o momen­
to interno no elemento em função ele x. Se várias cargas 
agirem sobre o elemento estrutural, deve-se determinar 
funções ele momento separadas entre cada uma das car­
gas. Integrando essas funções uma vez utilizando EI(cf2vl 
dx2) = M(x), obtemos a equação para a inclinação da linha 
elástica, e integrando novamente, obtemos a equação para a 
deflexão. As constantes ele integração são determinadas pe­
las condições ele contorno nos apoios ou, em casos nos quais 
estão envolvidas vádas funções de momento, a continuidade 
de inclinação e deflexão nos pontos onde essas funções se 
unem eleve ser satisfeitas . . 
Funções de descontinuidade permitem expressar a equa­
ção ela linha elástica como uma função contínua, indepen­
dentemente elo número de cargas sobre o elemento estru­
tural. Esse método elimina a necessidade ele se usarem as 
condições ele continuidade, visto que as duas constantes 
de integração podem ser determinadas exclusivamente 
pelas duas condições ele contorno. 
O método dos momentos de área é uma técnica parcial­
mente gráfica para determinar a inclinação de tangentes 
ou o desvio vertical de tangentes em pontos específicos 
sobre a linha elástica. Requer determinar segmentos de 
área sob o diagrama MIEI, ou o momento desses segmen­
tos em torno de pontos sobre a linha elástica. O método 
funciona bem para diagramas MIEI compostos por formas 
simples, tais como os produzidos por forças concentradas 
e momentos conjugados. 
M 
�------------------------------------ x 
Diagrama de momento 
. 
\p d • . fi -onto e m exao 
Curva da linha elástica 
fJ = O 
v = O v = O 
� tg B Bs;A tg A 
__.._--LL__ tg � . ...i:J.._ 
----.J!!!JA 
tg A 
M 
EI fJs;A = Área �I_( __,[�X 
M 
A B 
El ts;A = x'(Área) �------�:---1 1 ---+--Lx'-+::--JB ' 
----------------------------ii---------------------
A deflexão ou inclinação em um ponto sobre um elemento 
estrutural submetido a uma combinação ele cargas pode ser 
determinada por meio elo método ela superposição. A tabe­
la no final elo livro está disponível para essa finalidade. 
Vigas e eixos estaticamente indeterminados têm mais 
reações de apoios desconhecidas do que as equações 
de equilíbrio disponíveis. Para resolvê-las, em primeiro 
lugar identificamos as reações redundantes. Então, po­
demos usar o método da integração ou os teoremas dos 
momentos de área para resolver as reações redundantes 
desconhecidas. Também é possível determinar as rea­
ções redundantes utilizando o método da superposição, 
no qual consideramos as condições de continuidade na 
reação redundante. Nesse caso, o deslocamento devido à 
carga externa é determinado com a reação redundante 
removida e, novamente, com a reação redundante apli­
cada e a carga extema removida. As tabelas no final do 
livro podem ser usadas para determinar esses desloca­
mentos necessários. 
12.135. Determine a equação da curva da linha elástica 
para a viga. Especifique a inclinação e o deslocamento em 
A. EI é constante. 
Problema 12.135 
'12.136. A viga de madeira está sujeita à carga mostrada na 
figura. Considere que o apoio em A é um pino e em B, um 
rolete. Determine a inclinação em A e o deslocamento em C. 
Use o teorema dos momentos de área. EI é constante. 
IV 
Problema 12.136 
12.137. Determine a deflexão máxima entre os apoios A e 
B. EI é constante. Use o método da integração. 
IV 
Problema 12.137 
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 475 
12.138. Se os mancais em A e B exercerem somente reações 
verticais sobre o eixo, determine a inclinação em B e a deflexão 
em C. EI é constante. Use os teoremas elos momentos ele área. 
1---- a --4-------
Problema 12.138 
12.139. A viga com perfil W200 x 36 simplesmente apoiada 
é submetida à carga mostrada na figura. Utilizando o método 
da superposição, determine a deflexão em seu centro C. A 
viga é feita de aço A-36. 
lOO kN/m 
AjJi l l l l l l l
1 C 
i: 
�-- 2,4 m ---+�-- 2,4 m ----1 
Problema 12.139 
"'12.140. O eixo é sustentado por um manca! em A, que exer­
ce somente reações verticais sobre o eixo, e por um manca! de 
encosto em B, que exerce reações horizontais e verticais sobre 
o eixo. Trace o diagrama de momento fletor para o eixo e, por 
esse diagrama, faça o rascunho ela deflexão ou da linha elástica 
para a linha central do eixo. Determine as equações da curva da 
linha elástica utilizando as coordenadas x1 e x2• EI é constante. 
400 N 
A 
476 RESISTÊNCii-\ DOS Mi-\TERii-\15 
12.141. O aro do volante tem espessura t, largura b e peso 
específico y. Se estiver girando a uma taxa constante w, de­
termine o momento máximo desenvolvido no aro. Considere 
que os raios não se deformam. Dica: Devido à simetria da 
carga, a inclinação do aro em cada raio é nula. Considere 
que o raio é suficientemente grande para que o segmento 
AB possa ser considerado como uma viga reta engastada em 
ambas as extremidades e carregada com uma força centrífu­
ga uniforme por unidade de comprimento. Mostre que essa 
força é w = btyw2rlg. 
A 
Problema 12.141 
12.142. Determine as reações ao momento nos apoios A e 
B. Use o método da integração. EI é constante. 
Wo 
Problema 12.142 
12.143. Utilizando o método da superposição, determine 0 
valor de M0 em termos da carga distribuída w e da dimensão 
a, de modo que a deflexão no centro da viga seja nula. EI é 
constante. 
Mo Mo 
Problema 12.143