Resistencia dos Materiais Hibbeler - 13 Flambagem de colunas

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OBJETIVOS DO CAPÍTULO 
Neste capítulo, d iscut i remos o comportamento de co lunas e ind icaremos a lg u ns dos métodos usados para 
seu projeto . O capítu lo começa com uma d iscussão gera l sobre a flambagem, seg u ida pela determinação da 
carga axia l necessária para provocá-la em uma co luna idea l . Em seguida, faremos uma anál ise mais rea l ista, 
que considera qua lquer flexão na co luna . Além d isso, a flambagem ine lástica de uma co luna é apresentada 
como um tópico especia l . No fina l do capítulo, d iscut i remos a lguns dos métodos usados para projetar colu­
nas com cargas concêntricas e excêntricas feitas de materia is comuns na engenhari a . 
1 3 . 1 rga crítica 
Sempre que se projeta um elemento estrutural, é 
necessário que ele satisfaça requisitos específicos de 
resistência, deflexão e estabilidade. Nos capítulos an­
teriores discutimos alguns dos métodos usados para 
determinar a resistência e a deflexão de um elemento 
estrutural, considerando-o sempre em equilíbrio está­
vel. Todavia, alguns elementos estruturais podem estar 
sujeitos a cargas de compressão e, se forem compridos 
e esbeltos, a carga poderá ser grande o suficiente para 
provocar uma deflexão ou uma oscilação lateral. Mais 
especificamente, elementos estruturais compridos e 
esbeltos sujeitos a uma força de compressão axial são 
denominados colunas, e a deflexão lateral que ocor­
re é denominadaflambagem. Com muita frequência a 
flambagem de uma coluna pode resultar em uma falha 
repentina e dramática de uma estrutura ou mecanismo 
e, por isso, é preciso dedicar especial atenção ao proje­
to de colunas para que estas possam suportar com se­
gurança as cargas pretendidas sem sofrer flambagem. 
t 
Per 
(a) 
P > Per 
� 
\ 
t 
(b) 
Figura 13.1 
A carga axial máxima que uma coluna pode supor­
tar quando está na iminência de sofrer flambagem é 
denominada carga crítica, Per (Figura 13.la) . Qual­
quer carga adicional provocará flambagem na coluna 
e, portanto, deflexão lateral, como mostra a Figura 
13.lb. Para entender melhor a natureza dessa instabi­
lidade, considere um mecanismo composto por duas 
barras sem peso, rígidas e conectadas por pinos nas ex­
tremidades (Figura 13 .2a). Quando as barras estão na 
posição vertical, a mola, de rigidez k, não está esticada 
e uma pequena força vertical P é aplicada ao topo de 
uma delas. Podemos perturbar essa posição de equi­
líbrio deslocando o pino em A até uma pequena dis­
tância Ll (Figura 13 .2b ). Como mostra o diagrama de 
corpo livre do pino, quando as barras são deslocadas 
(Figura 13 .2c) , a mola produz uma força de recupera­
ção F = k!l, enquanto a carga aplicada P desenvolve 
duas componentes horizontais, Px = P tg 8, que ten­
dem a empurrar o pino (e as barras) ainda mais para 
fora da posição de equilíbrio. Visto que 8 é pequeno, 
Ll = 8(L/2) e tg 8 = 8. Assim, a força de restauração 
da mola torna-se F = k8L/2, e a força perturbadora 
2P = 2P8. X 
Se a força de restauração for maior que a força per-
turbadora, isto é, k8L/2 > 2P8, e observando que 8 é 
cancelado, poderemos resolver P, o que dá 
p < 
kL 
4 
equilíbrio estável 
Essa é uma condição para equilíbrio estável, visto 
que a força desenvolvida pela mola seria adequada 
para devolver as barras a suas respectivas posições 
verticais. Por outro lado, se k8L/2 < 2P8 , ou 
kL 
P > -
4 equilíbrio instável 
478 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
p 
(a) 
L 
2 
_l 
p 
(b) 
F 
Figura 13.2 
nesse caso, o mecanismo estaria em equilíbrio instá­
vel. Em outras palavras, se essa carga P for aplicada 
e ocorrer um leve deslocamento em A, o mecanismo 
tenderá a sair do equilíbrio e não retornar a sua posi­
ção original. 
O valor intermediário de P, definido pelo requisito 
k8L/2 = 2P8, é a carga crítica. Aqui, 
kL Pcr = 4 equilíbrio neutro 
Essa carga representa um caso de mecanismo que 
está em equilíbrio neutro. Como Per é independente do 
(pequeno) deslocamento 8 das barras, qualquer leve 
perturbação aplicada ao mecanismo não fará com que 
ele se afaste mais do equilíbrio, nem que retorne a sua 
posição original. Em vez disso, as barras permanecerão 
na posição defletida. 
Esses três estados de equilíbrio são representados 
graficamente na Figura 13 .3 . O ponto de transição 
onde a carga é igual ao valor crítico P = Per é denomi­
nado ponto de bifurcação. Nesse ponto o mecanismo 
estará em equilíbrio para qualquer valor pequeno de 8 
medido para a direita ou para a esquerda da vertical. 
Em termos físicos, Per representa a carga sob a qual 
o mecanismo está na iminência de sofrer flambagem. 
p 
Equilíbrio l instável i 0onto de bifurcação 
Equilíbrio____J 
. . T neutro 1 
Equilíbrio p = kL 
----
e
-
st
-
á
-
ve
-
1
--�--�
�
-
cr
---
4
--------· e o 
Figma 13.3 
É bastante válido determinar esse valor considerando 
pequenos deslocamentos como fizemos aqui; contudo, 
é preciso entender que Per pode não ser o maior va­
lor de P que o mecanismo pode suportar. De fato, se 
uma carga maior for colocada nas barras, pode ser que 
o mecanismo tenha de sofrer uma deflexão adicional 
antes que a mola seja comprimida ou alongada o sufi­
ciente para manter o mecanismo em equilíbrio. 
Assim como ocorre com o mecanismo de duas bar­
ras que acabamos de discutir, podemos obter as car­
gas de flambagem críticas para colunas suportadas de 
vários modos, e o método usado para fazer isso será 
explicado na próxima seção. Embora no projeto de en­
genharia a carga crítica possa ser considerada como a 
maior carga que a coluna pode suportar, entenda que, 
assim como no mecanismo de duas barras, se uma co­
luna estiver em posição fletida ou flambada, ela poderá 
suportar uma carga maior ainda do que Per· Entretanto, 
infelizmente, essa carga pode exigir que a coluna sofra 
uma grande deflexão que, em geral, não é tolerada em 
estruturas de engenharia ou máquinas. Por exemplo, 
pode ser que apenas alguns newtons de força bastem 
para provocar flambagem em uma barra de medição, 
mas a carga adicional que ela pode suportar só pode 
ser aplicada após ela ter sofrido uma deflexão lateral 
relativamente grande. 
1 3 .2 Col una idea l com apoios 
de pi nos 
Nesta seção, determinaremos a carga crítica de 
flambagem para uma coluna suportada por pinos, 
como mostra a Figura 13.4a. A coluna a ser conside­
rada é uma coluna ideal, o que significa uma coluna 
perfeitamente reta antes da carga, feita de material 
homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide 
da seção transversal. Consideramos ainda que o mate­
rial comporta-se de uma maneira linear elástica e que 
• 
p 
(a) 
F 
(b) 
Figura 13.4 
(c) 
a coluna sofre flambagem ou flexão em um único pla­
no. Na realidade, as condições de perfeita retidão da 
coluna e aplicação de carga nunca são cumpridas; to­
davia, a análise a ser realizada em uma 'coluna ideal' é 
semelhante à usada para analisar colunas inicialmente 
fletidas (tortas) ou sobre as quais são aplicadas cargas 
excêntricas. Esses casos mais realistas serão discutidos 
mais adiante neste capítulo. 
Visto que uma coluna ideal é reta, teoricamente a 
carga axial P poderia ser aumentada até ocorrer fa­
lha por ruptura ou escoamento do material. Contudo, 
quando a carga crítica P,, é atingida, a coluna está na 
iminência de tornar-se instável, de modo que uma pe­
quena força lateral F (Figura 13 .4b ) , fará com que ela 
permaneça na posição defletida quando Ffor removida 
(Figura 13.4c) . Qualquer ligeira redução na carga axial 
P em relação a P,� fará com que a coluna endireite-se, 
e qualquer ligeiro aumento em P, que ultrapasse P,,, 
provocará aumentos adicionais na deflexão lateral. 
O fato de a coluna continuar estável ou tornar-se 
instável quando sujeita a uma carga axial dependerá de 
sua capacidade de restauração, que é baseada em sua 
resistência à flexão. Por consequência, para determinar 
a carga crítica e a forma da coluna quando flambada, 
aplicaremos a Equação 12.10 que relaciona o momento 
interno na coluna com sua forma defletida, istoé, 
(13 .1) 
Lembre-se de que essa equação considera que a 
inclinação da curva elástica seja pequena* e que as de­
flexões ocorrem somente por flexão. Quando a coluna 
está em posição defletida (Figura 13.5a), o momento 
fletor interno pode ser determinado pelo método das 
' Se tivermos de considerar grandes defiexões, deveremos usar a 
equação diferencial 12.4,EJ(d'v/dx2)/[l + (dvldx2)]'12 = M, que é 
mais precisa. 
p --.----,---- ! 
L 
X 
(a) 
p 
� 
I i 
L 
L 
tp 
I 
X 
n = l 
v 
v 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 479 
i } M p 
(b) 
L 
2 
L 
P = 4P,, 
� 
1 
P = 4P,, 
(c) n = 2 
Figura 13.5 
seções. O diagrama de corpo livre de um segmento na 
posição defletida é mostrado na Figura 13 .5b. Aqui, 
tanto a deflexão v quanto o momento interno M são 
mostrados na direção positiva, de acordo com a con­
venção de sinal usada para estabelecer a Equação 13 .1 . 
Somando momentos, o momento interno é M = -Pv. 
Assim, a Equação 13 .1 torna-se 
(13.2) 
480 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de 
segunda ordem com coeficientes constantes. Podemos 
mostrar, pelo método das equações diferenciais ou 
por substituição direta na Equação 13.2, que a solu­
ção geral é 
As duas constantes de integração são determina­
das pelas condições de contorno nas extremidades da 
coluna. Visto que v = o em X = O, então c2 = O. E, 
considerando v = O em x = L, 
Essa equação é satisfeita se C1 = O; porém, v = O, o 
que é uma solução trivial que exige que a coluna per­
maneça sempre reta, ainda que a carga faça com que a 
coluna torne-se instável. A outra possibilidade é 
que é satisfeita se 
ou 
�L = mr 
n21r2EI 
P = L2 n = 1, 2, 3, . . . (13.4) 
O menor valor de P é obtido quando n = 1, de 
modo que a carga crítica para a coluna é, portanto, 
Essa carga às vezes é denominada carga de Eu­
leT; nome que se deve ao matemático suíço Leonhard 
Euler que foi o primeiro a resolver esse problema em 
1757. A forma flambada correspondente é definida 
pela equação 
1TJ v = c1 sen L 
Nessa expressão, a constante C1 representa a defle­
xão máxima vrnáx' que ocorre no ponto médio da coluna 
(Figura 13.5c.) Não é possível obter valores específicos 
para Cl' uma vez que a forma defletida exata da coluna 
é desconhecida após a flambagem. Porém, considera­
mos que essa deflexão seja pequena. 
Entenda que n na Equação 13.4 representa o núme­
ro de ondas na forma defletida da coluna. Por exemplo, 
se n = 2, então, pelas equações 13.3 e 13.4, aparecerão 
duas ondas na forma flambada (Figura 13.5c), e a co­
luna suportará uma carga crítica de 4Pc, imediatamen­
te antes da flambagem. Visto que esse valor é quatro 
vezes a carga crítica e a forma defletida é instável, na 
prática, essa forma de flambagem não existirá. 
Como ocorreu com o mecanismo de duas barras 
discutido na Seção 13.1, podemos representar as ca­
racterísticas da deflexão provocada por uma carga na 
coluna ideal pelo gráfico mostrado na Figura 13.6. O 
ponto de bifurcação representa o estado de equilíbrio 
neutro, ponto em que a carga crítica age sobre a colu­
na. Aqui, a coluna está na iminência da flambagem. 
Devemos observar que a carga crítica é indepen­
dente da resistência do material; mais exatamente, ela 
depende somente das dimensões da coluna (I e L) 
e da rigidez ou do módulo de elasticidade do mate­
rial, E. Por essa razão, no que diz respeito à flamba­
gem elástica, colunas feitas, por exemplo, de aço de 
alta resistência, não oferecem nenhuma vantagem 
em relação às feitas de aço de resistência mais baixa, 
uma vez que o módulo de elasticidade para ambos 
os materiais é aproximadamente o mesmo. Observe 
também que a capacidade de carga de uma coluna 
aumentará à medida que o momento de inércia da 
seção transversal aumentar. Assim, colunas eficientes 
são projetadas de modo que a maior parte da área da 
seção transversal da coluna esteja localizada o mais 
longe possível dos eixos principais do centroide da 
seção. É por isso que as seções ocas como tubos são 
mais eficientes do que as maciças. Além do mais, as 
seções de abas largas e colunas 'construídas' com per­
fis em U, cantoneiras, placas etc. são melhores do que 
as maciças e retangulares. 
p 
Equilíbrio \ , 
instável /Ponto de bifurcação 
Equilíbrio_) 
neutro 
Equilíbrio 
estável 
7r2EI f� L' -----"'--'-----'------- v 
o 
Figura 13.6 
p 
a 
Figura 13.7 
Também é importante entender que uma coluna 
sofrerá fiambagem em torno do eixo principal da seção 
transversal que tenha o menor momento de inércia (o 
eixo menos resistente). Por exemplo, uma coluna de 
seção transversal retangular, como uma barra de me­
dição, mostrada na Figura 13.7, sofrerá fiambagem em 
torno do eixo a-a e não do eixo b-b. O resultado é que 
os engenheiros normalmente tentam conseguir um 
equilíbrio mantendo os mesmos momentos de inércia 
em todas as direções. Então, em termos geométricos, 
tubos dariam excelentes colunas. Além disso, tubos 
quadrados ou formas para as quais I
r 
= IY também 
constituem formas constantemente selecionadas para 
colunas. 
Resumindo a discussão, a equação da fiambagem 
para uma coluna comprida e esbelta apoiada por pi­
nos pode ser rescrita, e os termos definidos da seguinte 
maneira: 
(13.5) 
onde 
P = carga crítica ou carga axial máxima na coluna c r 
imediatamente antes do início da fiambagem. 
Essa carga não deve bastar para que a tensão na 
coluna exceda o limite de proporcionalidade 
E = módulo de elasticidade para o material 
I = menor momento de inércia para a área da se­
ção transversal da coluna 
L = comprimento da coluna sem apoio, cujas ex­
tremidades estejam presas por pinos 
Para a finalidade de projeto, a Equação 13.5 
também pode ser escrita de uma forma mais útil, se 
expressarmos I = Ar2, onde A é a área da seção trans­
versal e r o raio de giração da área da seção transver­
sal. Assim, 
ou 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 481 
380 
250 f--------; 
100 
Aço estrutural 
(cre = 250 MPa) 
Figura 13.8 
1T2E (}" = ---:-cr (L/r? (13.6) 
Nessa expressão, 
O" = tensão crítica, que é uma tensão média na co­cr 
luna imediatamente antes da fiambagem. Essa 
é uma tensão elástica e, portanto, O"cr :::; O" c 
E = módulo de elasticidade para o material 
L = comprimento da coluna sem apoio, cujas ex­
tremidades estejam presas por pinos 
r = menor raio de giração da coluna, determina­
do por r = vYiÃ, onde I é o menor momento 
de inércia da área da scção transversal da 
coluna, A 
A relação geométrica L/r na Equação 13 .6 é conhe­
cida como índice de esbeltez. É uma medida da flexi­
bilidade da coluna e, como discutiremos mais adiante, 
serve para classificar colunas como compridas, inter­
mediárias ou curtas. 
É possível representar a Equação 13.6 em gráfico 
usando eixos que representam a tensão crítica em relação 
ao índice de esbeltez. Exemplos desse gráfico para colu­
nas feitas de uma liga comum de aço estrutural e alumí­
nio são mostrados na Figura 13.8. Observe que as curvas 
são hiperbólicas e válidas somente para tensões críticas 
abaixo do limite de escoamento do material (limite de 
proporcionalidade), visto que o material deve se compor­
tar elasticamente. Para o aço, a tensão de escoamento 
482 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
.. Colunas são elementos estruturais longos e esbeltos, sujeitos a cargas axiais . 
.. A carga crítica é a carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando na iminência de sofrer tlambagem. 
Essas cargas representam um caso de equilíbrio neutro. 
" Uma coluna ideal é, de início, perfeitamente reta e feita de material homogêneo e tem a carga aplicada no centroicle 
de sua seção transversal. 
.. Uma coluna acoplada por pinos sofrerá flambagem em tomo do eixo principal da seção transversal que tenha 0 
menor momento de inércia. 
" O índice de esbeltez é L! r, onde r é o menor raio ele giração ela seção transversal. A tlambagem ocorrerá em torno do 
eixo no qual esse índice tiver o maior valor. 
é (cr ) = 250 MP a [E = 200 GP a] e, para o alumínio, é e aço aço(cr ) 1 = 190 MPa [E 1 = 70 GPa]. Substituindo cr = cr na e a a cr e 
Equação 13 .6, os menores índices de esbeltez aceitáveis 
para colunas de aço e de alumínio são, portanto, (L/r) aço = 
89 e (L/r)a1 = 60,5, respectivamente. Assim, para uma 
coluna de aço, se (L/r) aço ::::: 89, a fórmula de Euler pode 
ser usada para determinar a carga de ftambagem, visto 
que a tensão na coluna permanece elástica. Por outro 
lado, se (L/r) aço < 89, a tensão na coluna ultrapassará o 
limite de escoamento antes que possa ocorrer ftamba­
gem e, portanto, a fórmula de Euler não é válida nesse 
caso. 
Um tubo ele aço A-36 com 7,2 m ele comprimento e a 
seção transversal mostrada na Figura 13.9 eleve ser usado 
como uma coluna presa por pinos na extremidade. Deter­
mine a carga axial admissível máxima que a coluna pode 
suportar sem sofrer flambagem. 
G)Omm m 75 mm 
Figura 13.9 
SOLUÇÃO 
Usando a Equação 13.5 para obter a carga crítica com 
E aço = 200 GPa, 
7r2 [200(106) kN/m2 ]( i7T(75)4 - 17T(70)4)(1 m/1.000 mm)4 
(7,2 m)2 
= 228,2 kN Resposta 
Essa força cria uma tensão ele compressão média na coluna de 
p 
(T = ___g_ = cr A 
228,2 kN (1.000 N/kN) 
[ 7r(75)2 - 7r(70)2 ] mm2 
= 100,2 N/mm2 = 100 MPa 
Visto que crer < uc = 250 MPa, a aplicação ela equação de 
Euler é adequada. 
O elemento estrutural W200 x 46 de aço A-36 mostrado 
na Figura 13.10 eleve ser usado como uma coluna acoplada 
por pinos. Determine a maior carga axial que ele pode su­
portar antes ele começar a sofrer tlambagem ou antes que 
o aço escoe. 
X 
y+y 
4 m 
X 
Figma 13.10 
SOLUÇÃO 
Pela tabela no Apêndice B, a área ela seção transversal 
da coluna e os momentos de inércia são A = 5.890 mm2, 
I, = 45,5 x 106 mm4 e IY = 15,3 x 106 mm4• Por inspeção, ocor­
rerá fiambagem em torno do eixo y-y. Por quê? Aplicando a 
Equação 13.5, temos 
11'2 El 11'2 [200(106) kN/m 2 ](15,3(104 ) mm4 )(1 m/1.000 mm)4 p = -- = ..:.:_!==.::'--'--'---!_---'-0::.:��"-=�'-'=--=:!....C:.:..::..::_-=--==-cr I} (4 m)2 
= 1.887, 6 kN 
Quando totalmente carregada, a tensão de compressão mé­
dia na coluna é 
= 
Per = 
1 .887, 6 kN (1.000 N/kN) = 320 5 N/mm2 
OCr A 5.890 mm2 ' 
Visto que essa tensão ultrapassa a tensão de escoamento 
(250 N/mm2), a carga P é determinada por compressão simples: 
250 N/mm2 p 
5.890 mm2 ; P = 1.472,5 kN Resposta 
Na prática, um fator de segurança seria imposto a essa carga. 
1 3 .3 Col u nas com vários tipos 
de a poio 
Na Seção 13.2, deduzimos a carga de Euler para uma 
coluna com extremidades acopladas por pinos ou livres 
para girar. Todavia, muitas vezes as colunas podem ser 
apoiadas de algum outro modo. Por exemplo, considere 
o caso de uma coluna engastada na base e livre no topo 
(Figura 13.11a) .A determinação da carga de flambagem 
nessa coluna segue o mesmo procedimento usado para 
a coluna presa por pinos. Pelo diagrama de corpo livre 
na Figura 13.11b, o momento interno na seção arbitrária 
é M = P( 8 - v). Por consequência, a equação diferencial 
para a curva de deflexão é 
d2v EI 
dx2 = P(8 - v) 
d2v P P - + -v = -8 dx2 EI EI 
(13.7) 
Diferentemente da Equação 13 .2, essa é não homo­
gênea por causa do termo não nulo no lado direito. A 
solução consiste em uma solução complementar, bem 
como uma solução particular, a saber, 
v = C1 sen ( [f x) + C2 cos( [f x) + 8 
As constantes são determinadas pelas condições 
de contorno. Em X = o, v = O, de modo que c2 = -8. 
Além disso, 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 483 
Em X = o, dvldx = O, de modo que cl = o. A curva 
de deflexão é, portanto, 
(13.8) 
Considerando que a deflexão no topo da coluna é 
8, isto é, em x = L, v = 8, exige-se 
A solução trivial 8 = O indica que não ocorre ne­
nhuma flambagem, independentemente da carga P. 
Em vez disso, 
ou 
A menor carga crítica ocorre quando n 1, de 
modo que 
1r2EI p cr = --2 (13.9) 4L 
Por comparação com a Equação 13.5, vemos que 
uma coluna engastada na base e livre no topo supor­
tará apenas um quarto da carga crítica que pode ser 
aplicada a uma coluna apoiada por pinos em ambas as 
extremidades. 
X 
L M 
(b) 
(a) 
Figura 13.11