Resistencia dos Materiais Hibbeler - 9.5 Tensão em eixos provocada por carga axial e torção

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(a) 
r (MPa) 
(b) 
5,66MPa 60° 
12,2 MPay 
x' 
(c) 
Figura 9.22 
Essas duas componentes de tensão agem na face BD do elemen­
to mostrado na Figura 9 .22c, visto que o eixo x' para essa face está 
orientado a 30° em sentido anti-horário em relação ao eixo x. 
As componentes de tensão que agem na face adjacente 
DE do elemento, que está a 60° em sentido horário em rela­
ção ao eixo x positivo (Figura 9.22c ), são representadas pelas 
coordenadas do ponto Q no círculo. Esse ponto encontra-se 
na linha radial CQ, que está a 180° em relação a CP. As co­
ordenadas do ponto Q são 
ux, = 2 + 11 ,66 cos 29,04° = 12,2 MPa 
7x'y' = -(11,66 sen 29,04°) = -5,66 MPa (confirme) Resposta 
OBSERVAÇÃO: Aqui, rx'J" age na direção -y' . 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 345 
9.5 Tensão em eixos p rovocada 
por carga axia l e torção 
Às vezes, eixos circulares estão sujeitos aos efeitos 
combinados de carga axial e torção. Contanto que o 
material permaneça linear elástico e esteja sujeito ape­
nas a pequenas deformações, podemos usar o princípio 
da superposição para obter a tensão resultante no eixo 
provocada por ambas as cargas. Desse modo, as ten­
sões principais podem ser determinadas por meio das 
equações de transformação de tensão ou pelo círculo 
de Mohr. 
Uma força axial de 900 N e um torque de 2,50 N · m são 
aplicados ao eixo como mostra a Figura 9.23a. Se o diâme­
tro do eixo for 40 mm, determine as tensões principais em 
um ponto P sobre sua superfície. 
SOLUÇÃO 
Cargas internas. As cargas internas consistem no torque 
de 2,50 N·m e na carga axial de 900 N (Figura 9.23b ). 
Componentes de tensão. As tensões produzidas no pon­
to P são, portanto, 
Te 2,50 N · m(0,02 m) 
r = - = = 198 9 kPa 
1 f (0,02 m)4 
' 
u = p = 
900 N 
= 716 2 kPa A 1r(0,02 m)2 ' 
O estado de tensão definido por essas duas componentes é 
mostrado no elemento em P na Figura 9.23c. 
Tensões principais. As tensões principais podem ser de­
terminadas pelo círculo de Mohr (Figura 9.23d) .Aqui, o cen­
tro do círculo C encontra-se no ponto 
o + 716,2 
O'méd = 2 = 358,1 kPa 
Marcando o ponto C (358,1, O) e o ponto de referência 
A (0, 198,9), vemos que o raio do círculo é R = 409,7. As 
tensões principais são representadas pelos pontos B e D. 
Portanto, 
u1 = 358,1 + 409,7 = 767,7 kPa 
u2 = 358,1 - 409,7 = -51 ,5 kPa 
Resposta 
Resposta 
O ângulo em sentido horário 2(JP2 pode ser determinado pelo 
círculo. Ele é 2(} 2 = 29,1 o. O elemento está orientado de 
modo tal que o efxo x' ou u2 está dirigido no sentido horário 
(} = 14 5o em relação ao eixo x como mostra a Figura 9.23e. 
pi ' 
346 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS 
(a) 
716,2 kPa 
kPa 
1 
(c) 
(b) 
r (kPa) (d) 
767,7 kPa 
(e) 
Figura 9.23 
N·m 
N·m 
9 . 6 Variações de tensão 
ao longo de uma viga 
prismática 
Como as vigas resistem a cargas internas de cisalha­
mento e momento, sua análise de tensão requer a apli­
cação das fórmulas do cisalhamento e da flexão. Aqui, 
discutiremos os resultados gerais obtidos quando essas 
equações são aplicadas a vários pontos de uma viga em 
balanço que tem seção transversal retangular e supor­
ta uma carga P em sua extremidade (Figura 9 .24a) . 
Em geral, em uma seção arbitrária a-a ao longo 
do eixo da viga (Figura 9.24b ) , o cisalhamento interno 
V e o momento M são desenvolvidos de uma distri­
buição de tensão de cisalhamento parabólica e uma 
distribuição de tensão normal linear (Figura 9.24c). 
p ! 
(a) 
p 
(b) 
Distribuição da Distribuição da 
tensão de cisalhamento tensão de flexão 
(c) 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
Componentes x-y da tensão Tensões principais 
(d) (e) 
Figura 9.24 
O resultado é que as tensões que agem sobre elemen­
tos localizados nos pontos 1 a 5 ao longo da seção serão 
como mostra a Figura 9 .24d. Observe que os elementos 
1 e 5 estão sujeitos apenas à tensão normal máxima, ao 
passo que o elemento 3, que está sobre o eixo neutro, 
está sujeito apenas à tensão de cisalhamento máxima. 
Os elementos intermediários 2 e 4 resistem a ambas, 
tensão normal e tensão de cisalhamento. 
fo 
t r< 
r e 
eJ 1 
se 
el l 
e l 1 
o r 
/III 
111 1 
1111 
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I nu 
so 
C ar 
det 
Fig 
r 
Trajetórias das tensões 
para uma viga em balanço 
Figma 9.25 
Em cada caso, o estado de tensão pode ser trans­
formado em tensões principais pelas equações de 
transformação de tensão ou pelo círculo de Mohr. Os 
resultados são mostrados na Figura 9.24e. Aqui, cada 
elemento sucessivo, 1 a 5 , sofre uma orientação no 
sentido anti-horário. Especificamente em relação ao 
elemento 1, que consideramos estar na posição oo , o 
elemento 3 está orientado a 45o e o elemento 5 está 
orientado a 90°. Além disso, a tensão de tração máxi­
ma, que age nas faces verticais do elemento 1 torna-se 
menor nas faces correspondentes de cada um dos ele­
mentos sucessivos, até chegar a zero nas faces horizon­
tais do elemento 5. De modo semelhante, a tensão de 
compressão máxima nas faces verticais do elemento 5 
reduz-se a zero nas faces horizontais do elemento 1 . 
Se essa análise for estendida a muitas seções verti­
cais ao longo da viga, exceto a seção a-a, um perfil dos 
resultados poderá ser representado por curvas deno­
minadas trajetórias de tensão. Cada uma dessas curvas 
indica a direção de uma tensão principal que tem valor 
constante. A Figura 9.25 mostra algumas dessas traje­
tórias para a viga em balanço. Nessa figura, as linhas 
cheias representam a direção das tensões principais de 
tração e as tracejadas, a direção das tensões principais 
de compressão. Como esperado, as linhas interceptam 
o eixo neutro a ângulos de 45°, e as linhas cheias e tra­
cejadas sempre se interceptam a 90°. Por quê? Saber 
qual é a direção dessas linhas pode ajudar os engenhei­
ros a decidir onde reforçar uma viga de modo que ela 
não falhe nem se torne instável. 
E*EMI\fltí<Wl Sl�ÍB " :h="'= 2\ 
A viga mostrada na Figura 9.26a está sujeita ao carre­
gamento distribuído w = 120 kN/m. Determine as tensões 
principais na viga no ponto P, que se encontra na parte su­
perior da alma. Despreze o tamanho dos filetes e as concen­
trações de tensão nesse ponto. I = 67,4(10-6)m4• 
SOLUÇÃO 
Cargas internas. A reação de apoio sobre a viga em B é 
determinada, e o equilíbrio da viga secionada mostrado na Figura 9.26b produz 
V = 84 kN M = 30,6 kN·m 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 347 
f.--�---':.c::_:=-� 2 m -����--! 
(a) 
15 mm 
j___ 
36 kN 
0,15 m 
r-- --, 
I I 
I I , 
200 mm r-;y=�� �c:!.I::J10 mm 
�H 
I 1. )M = 30,6 kN·m 
,, ,lj 
15 mm 175 mm 
120 kN 
(b) 
-- 35,2 MPa 
V = 84 kN 
45,4 MPa 
-
(c) 
r (MPa) 
(d) 
19,2 MPa 
(e) 
Figura 9.26 
Componentes de tensão. No ponto P, 
-My 30,6( 103) N · m(0,100 m) 
O" = -- = = -45 4 MPa 
I 67,4(10-6) m4 ' 
Resposta 
VQ 84(103) N[(0,1075 m) (0,175 m)(0,015 m)] 
r = lt = 67,4(10-6) m4(0,010 m) 
= 35,2 MPa Resposta 
Esses resultados são mostrados na Figura 9.26c. 
348 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Tensões principais. As tensões principais em P podem ser 
determinadas pelo círculo de Mohr. Como mostra a Figura 
9.26d, o centro do círculo encontra-se em ( -45,4 + 0)/2 = 
-22,7 e as coordenadas do ponto A são A( -45,4, -35,2). 
Mostre que o raio é R = 41,9 e, portanto, 
0'1 = (41,9 - 22,7) = 19,2 MPa 
0'2 = - (22,7 + 41,9) = -64,6 MPa 
O ângulo em sentido anti-horário 20P2 = 57,2°, de modo 
que 
opz = 28,6° 
Esses resultados são mostrados na Figura 9.26e. 
"' � � � � "' "' �-"' = � 
�R®B·�� · · 
� � � ;; '"0 """'"' 
'9.56. Resolva o Problema 9.4 usando o círculo de Mohr. 
9.57. Resolva o Problema 9.2 usando o círculo de Mohr. 
9.58. Resolva o Problema 9.3 usando o círculo de Mohr. 
9.59. Resolva o Problema 9.10 usando o círculo de Mohr. 
*9.60. Resolva o Problema 9.6 usando o círculo de Mohr. 
9.61. Resolva o Problema 9.11 usando o círculo de Mohr. 
9.62. Resolva o Problema 9.13 usando o círculo de Mohr. 
9.63. Resolva o Problema 9.14usando o círculo de Mohr. 
*9.64. Resolva o Problema 9.16 usando o círculo de Mohr. 
9.65. Resolva o Problema 9.15 usando o círculo de Mohr. 
9.66. Determine o estado de tensão equivalente se um 
elemento estiver orientado a zoo em sentido horário em 
relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no 
elemento. 
3 MPa 
Problema 9.66 
9.67. Determine o estado de tensão equivalente se um ele­
mento estiver orientado a 60° em sentido anti-horário em 
relação ao elemento mostrado. 
Problema 9.67 
*9.68. Determine o estado de tensão equivalente se um ele­
mento estiver orientado a 30° em sentido horário em relação 
ao elemento mostrado. 
Problema 9.68 
9.69. Determine o estado de tensão equivalente, se um ele­
mento estiver orientado a 30° em sentido horário em relação 
ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento. 
7 MPa 
Problema 9.69 
9.70. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Es­
pecifique a orientação do elemento em cada caso. 
Problema 9.70 
'J 
c 
fl 
!),' 
c i � 
pc 
Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
<,h,,m,tau.vmáxima no plano e a tensão normal média. Es­
a orientação do elemento em cada caso. 
Problema 9.71 
'9.72. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Es­
pecifique a orientação do elemento em cada caso< 
Problema 9.72 
9.73. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Es­
pecifique a orientação do elemento em cada caso. 
Problema 9.73 
9.74. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Es­
pecifique a orientação do elemento em cada caso. 
45 MPa 
Problema 9.74 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 349 
9.75. A chapa quadrada de metal tem espessura de 12 mm 
e está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as ten­
sões principais desenvolvidas no aço. 
3,2 kN/m 
*9. 76. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Es­
pecifique a orientação do elemento em cada caso. 
--� 105MPa 
-35 MPa 
Problema 9.76 
9.77. Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos 
seguintes estados de tensão. 
30MPa 
30MPa 
(a) (b) 
Problema 9.77 
9.78. Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos 
seguintes estados de tensão. 
2 MPa 
(a) (b) (c) 
Problema 9.78 
350 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
9. 79. Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito a dois es­
tados de tensão sucessivos como mostra a figura. Determine 
o estado de tensão resultante com referência a um elemento 
orientado como mostrado na parte inferior da figura. 
kPa 
45 kPa 
+ 
18 kPa 
Problema 9.79 
*9.80. O círculo de Mohr para o estado de tensão na Figura 
9.15a é mostrado na Figura 9.15b. Mostre que determinar as 
coordenadas do ponto P( ux'' rx'y') no círculo dá o mesmo va­
lor que as equações de transformação de tensão (equações 
9.1 e 9.2). 
9.81. A barra retangular em balanço está sujeita à força de 
25 kN. Determine as tensões principais no ponto A. 
40mm 
25 kN 
Problema 9.81 
9.82. Resolva o Problema 9.81 para as tensões principais 
no ponto B. 
40mm 
25 kN 
Problema 9.82 
9.83. Os degraus da escada rolante estão apoiados nos dois 
lados pelo pino móvel em A e pelo rolete em B. Se um ho­
mem que pesa 1 .500 N ( = 150 kg) estiver em pé no centro 
do degrau, determine as tensões principais desenvolvidas na 
seção transversal no ponto C. Os degraus movem-se à velo­
cidade constante. 
Problema 9.83 
'9.84. A manivela do pedal de uma bicicleta tem a seçüo 
transversal mostrada na figura. Se ela estiver presa à engre­
nagem em B e não girar quando submetida a uma força de 
400 N, determine as tensões principais no material na seçüo 
transversal no ponto C. 
7,5 mm 
Problema 9.84 
9.85. A estrutura suporta a carga distribuída de 200 N/m 
Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamenlo 110 
ponto D que agem nos sentidos perpendicular e paralelo à; 
fibras, respectivamente. Nesse ponto, as fibras formam um 
ângulo de 30° com a horizontal, como mostra a figura. 
4 m 
_l_ • 50 mm � � 
100 mm 
Problema 9.85 
H 
]zoo mm 
lOO mm 
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