Para encontrar a equação da trajetória da curva espacial definida pela função \( \vec{G}(u) = (u + 4, u \cos(2u), 2u \sen(2u)) \), precisamos expressar as variáveis \( x \), \( y \) e \( z \) em termos de \( u \). Identificando as componentes: - \( x = u + 4 \) - \( y = u \cos(2u) \) - \( z = 2u \sen(2u) \) Agora, vamos expressar \( u \) em termos de \( x \): \[ u = x - 4 \] Substituindo \( u \) nas expressões de \( y \) e \( z \): - \( y = (x - 4) \cos(2(x - 4)) \) - \( z = 2(x - 4) \sen(2(x - 4)) \) Agora, precisamos analisar as alternativas dadas para encontrar a que corresponde à trajetória. Analisando as opções: A) \( 4x^2 - 4y^2 - z^2 - 32x + 64 = 0 \) B) \( x^2 - y^2 + z^2 + 64 = 0 \) C) \( 4x^2 + y^2 - 4z^2 - 16x + 4 = 0 \) D) \( 4x^2 + 4y^2 + z^2 + 32x + 64 = 0 \) E) \( x^2 - 4y^2 - 4z^2 - 32y + 16 = 0 \) Para determinar a equação correta, precisamos verificar qual delas se ajusta à forma que encontramos. A equação que melhor se ajusta à forma da trajetória, considerando as relações entre \( x \), \( y \) e \( z \), é a alternativa A. Portanto, a alternativa correta é: A) \( 4x^2 - 4y^2 - z^2 - 32x + 64 = 0 \).