P2 B

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Probabilidade e Estatística: 00001 2
1. Questão
Considere a seguinte função definida em partes.
f (x) =

0 se x < 0,
Cx se 0 ≤ x ≤ 0.6,
5(1− x) se 0.6 ≤ x ≤ 1,
0 se x > 1.
Caso f (x) represente a densidade de uma variável aleatória X , então dizemos que X tem
distribuição triangular no intervalo [0, 1]. Qual valor deve ter a constante C para que f (x)
seja de fato uma densidade?
(a) 4.00
(b) 0.60
(c) 5.00
(d) 3.33
(e) 1.20
Solução
Pelas propriedades das funções de densidade, temos que
1 =
∫ ∞
−∞
f (x)dx
=
∫ 0
−∞
0dx +
∫ 0.6
0
Cxdx +
∫ 1
0.6
5(1− x)dx +
∫ ∞
1
0dx
= C
∫ 0.6
0
xdx + 5
∫ 1
0.6
(1− x)dx
= C
[
x2
2
]0.6
0
+ 5
[
x − x
2
2
]1
0.6
= C
0.36
2
+ 5
(
1− 1
2
− 0.6 + 0.36
2
)
Resolvendo-se em C, obtemos C = 3.33.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
2. Questão
A tabela de distribuição conjunta exibida abaixo apresenta os dados fornecidos por uma
empresa da indústria imobiliária. X e Y denotam, respectivamente, o número de quartos e
o número de banheiros das casa disponíveis no mercado. Os valores na tabela represen-
tam a proporção de casas com cada uma das possíveis configurações. Supondo que uma
dessas residências seja selecionada aleatoriamente, determine P(X ≥ 4|Y = 4).
(a) 0.542
(b) 0.163
(c) 0.511
Probabilidade e Estatística: 00001 3
Y \ X 2 3 4
2 0.077 0.074 0.076
3 0.135 0.026 0.049
4 0.002 0.154 0.163
5 0.053 0.138 0.053
Y \ X 2 3 4 P(Y = y )
2 0.077 0.074 0.076 0.227
3 0.135 0.026 0.049 0.21
4 0.002 0.154 0.163 0.319
5 0.053 0.138 0.053 0.244
P(X = x) 0.267 0.392 0.341 1
(d) 0.319
(e) 0.317
Solução
Primeiro, devemos calcular as distribuições marginais de X e Y .
Daí, segue que
P(X ≥ 4|Y = 4) = P(X ≥ 4, Y = 4)
P(Y = 4)
=
∑4
x=4 p(x , 4)
P(Y = 4)
=
0.163
0.319
= 0.511.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
3. Questão
Suponha que a proporção de alunas de uma faculdade seja de 0.54. Se uma amostra piloto
de 47 alunos for selecionada de forma aleatória, qual a probabilidade de que a proporção
de alunas na amostra difira da proporção na população por menos que 0.143?
(a) 0.9500
(b) 0.6141
(c) 0.7190
(d) 0.7768
(e) 0.1312
Solução
Inicialmente, observe que a distribuição da proporção amostral é, pelo T.L.C., aproximada-
mente Normal com parâmetros µ = 0.54 e σ =
√
0.54×0.46
47 . Portanto, temos que
P (|p̂ − p| < 0.143) = P (−0.143 < p̂ − p < 0.143)
= P
(
−0.143
0.073
<
p̂ − p
σ
<
0.143
0.073
)
= P (−1.96 < Z < 1.96)
= 0.95.
Probabilidade e Estatística: 00001 4
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
4. Questão
Uma máquina está calibrada para encher embalagens com 117 gramas de amendoim tor-
rado. O desvio padrão do número de amendoins em cada embalagem é de 2 gramas.
No último teste de controle de qualidade, uma amostra aleatória com 130 embalagens foi
verificada, tendo apresentado média de 115 gramas. Assinale a única alternativa correta.
(a) A variância teórica de µ é σ2/n.
(b) A média teórica de X é 115.
(c) A média populacional é dada por X .
(d) Z =
√
n(X − µ)/σ tem variância igual a 1.
(e) O desvio padrão da média amostral é maior que 2 gramas.
Solução
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
5. Questão
Sabe-se que o tempo de vida útil dos refis de uma certa marca de purificadores de água é
exponencialmente distribuído com média de 4 anos. Gustavo já usou seu refil da referida
marca por 3 anos seguidos. Qual é a probabilidade de que Gustavo não necessite trocar o
refil de seu purificador de água nos próximos 2 ano(s)?
(a) 0.184
(b) 0.788
(c) 0.607
(d) 0.472
(e) 0.393
Solução
Seja X a variável aleatória que representa o tempo de vida útil dos refis, então, como
E(X ) = 4, sabemos que X ∼ Exp(1/4). Como a função de distribuição da variável aleatória
X é F (x) = 1 − e−0.250x , segue, pela propriedade de perda de memória da Exponencial,
que a probabilidade desejada é dada por
P(X > 3 + 2|X > 3) = P(X > 2)
= 1− F (2)
= 1− (1− e−0.250×2)
= 0.607
Probabilidade e Estatística: 00001 5
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
6. Questão
Considere uma cidade onde as famílias têm no máximo duas crianças. Seja X o número
de meninos na família e Y o número de meninas. A distribuição de probabilidades conjunta
de X e Y é dada por:
X / Y 1 2
0 0.03 0.1
1 0.11 0.35
2 0.18 0.23
Sabendo que E(X ) = 1.28, E
(
X 2
)
= 2.1, E(Y ) = 1.68 e E
(
Y 2
)
= 3.04, assinale a alterna-
tiva correspondente à correlação entre as variáveis X e Y .
(a) −0.05
(b) −0.17
(c) −0.19
(d) −0.06
(e) 0.81
Solução
Primeiramente devemos completar a tabela com as probabilidades marginais de X e Y :
X / Y 1 2 P(X=x)
0 0.03 0.1 0.13
1 0.11 0.35 0.46
2 0.18 0.23 0.41
P(Y=y) 0.32 0.68 1
Em seguida, calculamos
Var(X ) = E
(
X 2
)
− [E(X )]2 = 2.1− (1.28)2 = 0.46
Var(Y ) = E
(
Y 2
)
− [E(Y )]2 = 3.04− (1.68)2 = 0.22
A distribuição do produto é dada por
k 0 1 2 4
P(XY = k) 0.13 0.11 0.53 0.23
De modo que
E(XY ) = 0× 0.13 + 1× 0.11 + 2× 0.53 + 4× 0.23 = 2.09
e, portanto,
Corr(X , Y ) =
Cov(X , Y )√
Var(X )
√
Var(Y )
=
E(XY )− E(X )E(Y )√
Var(X )
√
Var(Y )
= −0.19
Probabilidade e Estatística: 00001 6
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
7. Questão
A temperatura com que um meteorito atinge o solo é uma variável aleatória com função de
distribuição acumulada
F (x) =

0, x < 0,
x3, 0 ≤ x < 1,
1, x ≥ 1.
(1)
Segundo esse modelo, qual é a proporção de meteoritos que atingem o solo com temper-
atura entre 0.4 e 1.6?
(a) 0.064
(b) 0.729
(c) 0.512
(d) 0.936
(e) 0.917
Solução
Basta observar que tal proporção é dada por
P(0.4 ≤ X ≤ 1.6) = F (1.6)− F (0.4) = 0.936.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
8. Questão
Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a
restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis
meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição
Normal. No tipo A, a média e o desvio padrão são de, respectivamente, 19 e 3 meses.
No tipo B, a média e o desvio padrão são de 17 e 5 meses. Os televisores de tipo A e
B são produzidos com lucro de 1100 e 2200, respectivamente. Caso haja restituição, não
há lucro (o lucro é zero). Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os
televisores do tipo B.
(a) A : 1100, B : 2169
(b) A : 1100, B : 2200
(c) A : 1277, B : 1020
(d) A : 1277, B : 1112
(e) A : 1277, B : 2200
Probabilidade e Estatística: 00001 7
Solução
Cosidere as seguintes variáveis aleatórias:
TA: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo A.
TB: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo B.
Pelo enunciado da questão, TA ∼ N(µ = 19,σ2 = 9) e TB ∼ N(µ = 17,σ2 = 25). Daí,
P(Nao restituicao de A) = 1− P(Restituicao de A)
= P(Z < (6− 19)/3) = P(Z < −4.33) = 1.
e
P(Nao restituicao de B)
= P(Z < (6− 17)/5) = P(Z < −2.2) = 0.9861.
Portanto, o lucro médio de é de 1100 x 1 = 1100 Reais, e o lucro médio de B é de 2200 x
0.9861 = 2169 Reais.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Questão
Suponha que em uma fábrica de aparelhos de TV, um funcionário inspecione um lote de
200 TVs. Suponha também que a probabilidade de uma TV ser defeituosa em cada in-
speção é de 0.50 (fixa) e que as TVs têm defeito ou não de forma independente umas das
outras. Obtenha a probabilidade (aproximada) do número de TVs defeituosas estar entre
92 e 104 (incluindo os extremos). (Não utilizar correção de continuidade.)
(a) 0.873
(b) 0.586
(c) 0.284
(d) 0.002
(e) 0.871
Solução
Se Xn denota o número de defeitos obtidos após as 200 inspeções, temos que
Xn ∼ Bin(200, 0.5).
Queremos calcular
P(92 ≤ Xn ≤ 104) ≈ Φ
(
104− 100
7.071
)
− Φ
(
92− 100
7.071
)
= Φ(0.57)− Φ(−1.13)
= Φ(0.57)− (1− Φ(−1.13))
= Φ(0.57) + Φ(−1.13)− 1
= 0.716 + 0.129− 1
= 0.586.
Note que
√
np(1− p) = 7.071 e np = 100.
Probabilidade e Estatística: 00001 8
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
10.Questão
Seja X o tempo (em minutos) por dia durante o qual um equipamento elétrico é utilizado
em carga máxima. Sua função de densidade é dada a seguir.
fX (x) =

x
(200)2 , se 0 ≤ x ≤ 200;
− (x−400)(200)2 , se 200 < x ≤ 400;
0, caso contrário.
Qual é o tempo esperado de utilização em carga máxima desse equipamento em um dia?
(a) 177
(b) 133
(c) 200
(d) 207
(e) 267
Solução
E(X ) =
∫ ∞
−∞
xf (x)dx
=
1
2002
(∫ 200
0
x2dx +
∫ 400
200
x(400− x)dx
)
=
1
2002
([
x3
3
]200
0
+
[
400
x2
2
]400
200
−
[
x3
3
]400
200
)
= 200 minutos.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso