Prova de Geometria e Álgebra

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Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Matemática - ICEx
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear – 1a. Prova –14/09/2023 – 13:00-14:40
OBS.: Não é permitido uso de calculadoras e celulares. Respostas sem justificativa não
serão consideradas.
Nome:
Questão 1: (15 pontos) Considere a seguinte matriz:
A =

1 0 1 1
1 −1 1 1
1 1 0 1
0 0 1 1
 .
(a) Determine detA.
(b) Determine, caso exista, A−1.
(c) Determine as soluções do sistema AX =

1
0
0
1
.
Questão 2: (11 pontos) Considere a seguinte famı́lia de sistemas lineares nas incógnitas x, y e z em
função de dois parâmetros reais a e b: 
x + 2y − 3z = 4
3x− y + 5z = b
4x + y + az = 0
Determine todos os valores de a e b para os quais os sistemas correspondentes:
(a) não tem solução;
(b) têm uma única solução;
(c) têm infinitas soluções. Neste caso, encontre a solução geral do sistema correspondente.
Questão 3: (9 pontos) Marque verdadeiro ou falso, justificando sua resposta (ou seja, prove se for
verdadeira ou dê um exemplo se a afirmativa for falsa).
(a) ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que A2 − 4A + I = 0 então A−1 = 4I − A.
(b) ( ) Uma matriz An×n é ortogonal quando A · AT = I. Se A é ortogonal, então det(A) = 1?
(c) ( ) Um sistema homogêneo de 4 equações e 3 incógnitas, tem apenas a solução trivial.