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CÁLCULLO 3 - LISTA 3

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estat́ıstica
Profa Rosane Gomes Pereira
rosanegope@ufg.br
Lista 3 - Cálculo 3A - 2019.2
Questão 1.
Calcule a integral de superf́ıcie.
a)
¼
S
x2yzdS, S é a parte do plano z � 1�2x�3y que está acima do retângulo r0, 3s�r0, 2s.
b)
¼
S
yzdS, S é a parte do plano x� y � z � 1 que está no primeiro octante.
c)
¼
S
yzdS, S é a superf́ıcie com equações paramétricas x � u2, y � u sin v, z � u cos v,
0 ¤ u ¤ 1 , 0 ¤ v ¤ π
2
.
d)
¼
S
x2z2dS, S é a parte do cone z2 � x2 � y2 que está entre os planos z � 1 e z � 3.
e)
¼
S
px2z � y2zqdS, S é o hemisfério x2 � y2 � z2 � 4, z ¥ 0.
f)
¼
S
pz � x2yqdS, S é a parte do cilindro y2� z2 � 1 que está entre os planos x � 0 e x � 3
no primeiro octante.
Questão 2.
Calcule a integral de superf́ıcie
¼
S
~F �d~S para o campo vetorial vecF e superf́ıcie orientada S. Em
outras palavras, determine o fluxo de ~F através de S. Para superf́ıcies fechadas, use a orientação
positiva (para fora).
a) ~F px, y, zq � xy~i � yz~j � zx~k, S é a parte do parabolóide z � 4 � x2 � y2 que está acima
do quadrado 0 ¤ x ¤ 1, 0 ¤ y ¤ 1, com orientação para cima.
b) ~F px, y, zq � xzey~i � xzey~j � z~k, S é a parte do plano x � y � z � 1 no primeiro octante,
com orientação para baixo.
c) ~F px, y, zq � x~i� y~j � z~k, S é a esfera x2 � y2 � z2 � 9.
d) ~F px, y, zq � y~j � z~k, S é formada pelo parabolóide y � x2 � z2, 0 ¤ y ¤ 1 e pelo ćırculo
x2 � z2 ¤ 1, y � 1.
e) ~F px, y, zq � x~i� 2y~j � 3z~k, S é o cubo com vértices p�1,�1,�1q.
Questão 3.
Um fluido tem densidade 870 kg{m3 e escoa com velocidade vecv � z~i� y2vecj � x2~k, onde x, y, z
são medidos em metros e as componentes de v em metros por segundo. Encontre a vazão para fora
do cilindro x2 � y2 � 4, 0 ¤ z ¤ 1.
Questão 4.
Se ~E é um campo elétrico, então a integral de superf́ıcie
¼
S
~E � d~S é chamada fluxo elétrico de ~E
através da superf́ıcie S. A Lei de Gauss diz que a carga total englobada por uma superf́ıcie S é
Q � �0
¼
S
~E � d~S
onde �0 é uma constante denominada permissividade no vácuo. Use a Lei de Gauss para achar a
carga contida no hemisfério sólido x2 � y2 � z2 ¤ a2, z ¥ 0, se o campo elétrico for
~Epx, y, zq � x~i� y~j � 2z~k.
Questão 5.
Suponha que a temperatura em um ponto px, y, zq em um corpo seja upx, y, zq. Então, o fluxo
de calor é definido como o campo vetorial
~F � �K∇u
onde K é uma constante determinada experimentalmente chamada condutividade da substância.
A taxa de transmissão de calor através da superf́ıcie S no corpo é então dada pela integral de
superf́ıcie ¼
S
~F � d~S � �K
¼
S
∇u � d~S.
A temperatura em um ponto px, y, zq em uma substância com condutividade K � 6, 5 é upx, y, zq �
2y2 � 2z2. Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superf́ıcie
ciĺındrica y2 � z2 � 6, 0 ¤ x ¤ 4.
Questão 6.
Use o Teorema de Stokes para calcular
¼
S
rot ~F � d~S.
a) ~F px, y, zq � x2z2~i � y2z2~j � xyz~k, S é a parte do paraboloide z � x2 � y2 que está dentro
do cilindro x2 � y2 � 4, orientado para cima.
b) ~F px, y, zq � xyz~i� xy~j � x2yz~k, S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo
fundo) do cubo com vértices p�1,�1,�1q, com orientação para fora.
Questão 7.
Use o Teorema de Stokes para calcular
³
C
~F � d~r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-
horário quando vista de cima.
a) ~F px, y, zq � px� y2q~i� py� z2q~j � pz � x2q~k, C é o triângulo com vértices p1, 0, 0q, p0, 1, 0q
e p0, 0, 1q.
b) ~F px, y, zq � yz~i� 2xz~j � exy~k, C é a circunferência x2 � y2 � 16, z � 5.
Questão 8.
Uma part́ıcula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos p1, 0, 0q, p1, 2, 1q, p0, 2, 1q
e de volta para a origem sob a influência do campo de forças
~F px, y, zq � z2~i� 2xy~j � 4y2~k
Encontre o trabalho feito.
Questão 9.
Se S é uma esfera e ~F satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que
¼
S
rot ~F � d~S � 0.
Questão 10.
Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superf́ıcie
¼
S
~F � d~S; ou seja, calcule o
fluxo de ~F através de S.
a) ~F px, y, zq � ex sin y~i � ex cos y~j � yz2~k, S é a superf́ıcie da caixa delimitada pelos planos
x � 0, x � 1, y � 0, y � 1, z � 0 e z � 2.
b) ~F px, y, zq � 3xy2~i�xez~j�z3~k, S é a superf́ıcie do sólido delimitado pelo cilindro y2�z2 � 1
e pelos planos x � �1 e x � 2.
c) ~F px, y, zq � xy sin z~i� cos pxzq~j � y cos z~k, S é o elipsóide x
2
a2
� y
2
b2
� z
2
c2
� 1.
d) ~F px, y, zq � pcos z�xy2q~i�xe�z~j�psin y�x2zq~k, S é a superf́ıcie do sólido limitado pelo
paraboloide z � x2 � y2 e pelo plano z � 4.
e) ~F px, y, zq � 4x3z~i� 4y3z~j � 3z4~k, S é a esfera com centro na origem e raio R.
Gabarito
Questão 1
a) 171
?
14
b)
?
3
24
c)
5
?
5
48
� 1
240
d)
364
?
2
3π
e) 16π
f) 12
Questão 2
a)
713
180
b)
�1
6
c) 108π
d) 0
e) 48
Questão 3
0kg{s
Questão 4
8
3
πa3�0
Questão 5
1248π
Questão 6
a) 0 b) 0
Questão 7
a) 1 b) 80π
Questão 8
3
Questão 10
a) 2
b)
9π
2
c) 0
d)
32π
3
e) 0