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Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estat́ıstica Profa Rosane Gomes Pereira rosanegope@ufg.br Lista 3 - Cálculo 3A - 2019.2 Questão 1. Calcule a integral de superf́ıcie. a) ¼ S x2yzdS, S é a parte do plano z � 1�2x�3y que está acima do retângulo r0, 3s�r0, 2s. b) ¼ S yzdS, S é a parte do plano x� y � z � 1 que está no primeiro octante. c) ¼ S yzdS, S é a superf́ıcie com equações paramétricas x � u2, y � u sin v, z � u cos v, 0 ¤ u ¤ 1 , 0 ¤ v ¤ π 2 . d) ¼ S x2z2dS, S é a parte do cone z2 � x2 � y2 que está entre os planos z � 1 e z � 3. e) ¼ S px2z � y2zqdS, S é o hemisfério x2 � y2 � z2 � 4, z ¥ 0. f) ¼ S pz � x2yqdS, S é a parte do cilindro y2� z2 � 1 que está entre os planos x � 0 e x � 3 no primeiro octante. Questão 2. Calcule a integral de superf́ıcie ¼ S ~F �d~S para o campo vetorial vecF e superf́ıcie orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de ~F através de S. Para superf́ıcies fechadas, use a orientação positiva (para fora). a) ~F px, y, zq � xy~i � yz~j � zx~k, S é a parte do parabolóide z � 4 � x2 � y2 que está acima do quadrado 0 ¤ x ¤ 1, 0 ¤ y ¤ 1, com orientação para cima. b) ~F px, y, zq � xzey~i � xzey~j � z~k, S é a parte do plano x � y � z � 1 no primeiro octante, com orientação para baixo. c) ~F px, y, zq � x~i� y~j � z~k, S é a esfera x2 � y2 � z2 � 9. d) ~F px, y, zq � y~j � z~k, S é formada pelo parabolóide y � x2 � z2, 0 ¤ y ¤ 1 e pelo ćırculo x2 � z2 ¤ 1, y � 1. e) ~F px, y, zq � x~i� 2y~j � 3z~k, S é o cubo com vértices p�1,�1,�1q. Questão 3. Um fluido tem densidade 870 kg{m3 e escoa com velocidade vecv � z~i� y2vecj � x2~k, onde x, y, z são medidos em metros e as componentes de v em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro x2 � y2 � 4, 0 ¤ z ¤ 1. Questão 4. Se ~E é um campo elétrico, então a integral de superf́ıcie ¼ S ~E � d~S é chamada fluxo elétrico de ~E através da superf́ıcie S. A Lei de Gauss diz que a carga total englobada por uma superf́ıcie S é Q � �0 ¼ S ~E � d~S onde �0 é uma constante denominada permissividade no vácuo. Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido x2 � y2 � z2 ¤ a2, z ¥ 0, se o campo elétrico for ~Epx, y, zq � x~i� y~j � 2z~k. Questão 5. Suponha que a temperatura em um ponto px, y, zq em um corpo seja upx, y, zq. Então, o fluxo de calor é definido como o campo vetorial ~F � �K∇u onde K é uma constante determinada experimentalmente chamada condutividade da substância. A taxa de transmissão de calor através da superf́ıcie S no corpo é então dada pela integral de superf́ıcie ¼ S ~F � d~S � �K ¼ S ∇u � d~S. A temperatura em um ponto px, y, zq em uma substância com condutividade K � 6, 5 é upx, y, zq � 2y2 � 2z2. Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superf́ıcie ciĺındrica y2 � z2 � 6, 0 ¤ x ¤ 4. Questão 6. Use o Teorema de Stokes para calcular ¼ S rot ~F � d~S. a) ~F px, y, zq � x2z2~i � y2z2~j � xyz~k, S é a parte do paraboloide z � x2 � y2 que está dentro do cilindro x2 � y2 � 4, orientado para cima. b) ~F px, y, zq � xyz~i� xy~j � x2yz~k, S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices p�1,�1,�1q, com orientação para fora. Questão 7. Use o Teorema de Stokes para calcular ³ C ~F � d~r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti- horário quando vista de cima. a) ~F px, y, zq � px� y2q~i� py� z2q~j � pz � x2q~k, C é o triângulo com vértices p1, 0, 0q, p0, 1, 0q e p0, 0, 1q. b) ~F px, y, zq � yz~i� 2xz~j � exy~k, C é a circunferência x2 � y2 � 16, z � 5. Questão 8. Uma part́ıcula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos p1, 0, 0q, p1, 2, 1q, p0, 2, 1q e de volta para a origem sob a influência do campo de forças ~F px, y, zq � z2~i� 2xy~j � 4y2~k Encontre o trabalho feito. Questão 9. Se S é uma esfera e ~F satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que ¼ S rot ~F � d~S � 0. Questão 10. Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superf́ıcie ¼ S ~F � d~S; ou seja, calcule o fluxo de ~F através de S. a) ~F px, y, zq � ex sin y~i � ex cos y~j � yz2~k, S é a superf́ıcie da caixa delimitada pelos planos x � 0, x � 1, y � 0, y � 1, z � 0 e z � 2. b) ~F px, y, zq � 3xy2~i�xez~j�z3~k, S é a superf́ıcie do sólido delimitado pelo cilindro y2�z2 � 1 e pelos planos x � �1 e x � 2. c) ~F px, y, zq � xy sin z~i� cos pxzq~j � y cos z~k, S é o elipsóide x 2 a2 � y 2 b2 � z 2 c2 � 1. d) ~F px, y, zq � pcos z�xy2q~i�xe�z~j�psin y�x2zq~k, S é a superf́ıcie do sólido limitado pelo paraboloide z � x2 � y2 e pelo plano z � 4. e) ~F px, y, zq � 4x3z~i� 4y3z~j � 3z4~k, S é a esfera com centro na origem e raio R. Gabarito Questão 1 a) 171 ? 14 b) ? 3 24 c) 5 ? 5 48 � 1 240 d) 364 ? 2 3π e) 16π f) 12 Questão 2 a) 713 180 b) �1 6 c) 108π d) 0 e) 48 Questão 3 0kg{s Questão 4 8 3 πa3�0 Questão 5 1248π Questão 6 a) 0 b) 0 Questão 7 a) 1 b) 80π Questão 8 3 Questão 10 a) 2 b) 9π 2 c) 0 d) 32π 3 e) 0
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