Lista 3 de Cálculo 3 (Integral Tripla e Cálculo Vetorial)

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologias Agroalimentar - CCTA
Unidade Acadêmica de Ciências e Tecnologia Ambiental - UACTA
Disciplina: Cálculo III
Professor: Paulo Pamplona
Lista de Exerćıcios 03: Integral Tripla e Cálculo Vetorial
Integral Tripla
Questão 1: Calcule as integrais triplas abaixo.
a)
∫ 1
0
∫ 2y
1
∫ x
0
(x+ 2z)dzdxdy
b)
∫ 2
0
∫ 1
−1
∫ 3
1
(z − xy)dzdydx
c)
∫ π
2
0
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
xcoszdydxdz
d)
∫ 2
1
∫ y2
y
∫ lnx
0
yezdzdxdy
Questão 2: Calcule as integrais triplas em cada região sólida T dadas abaixo.
a)
∫∫∫
T
x dV , T é o sólido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 25, e pelos planos x+ y+ z = 8 e z = 0.
b)
∫∫∫
T
y dV , T é o sólido delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
x
3
+
y
2
+ z = 1.
c)
∫∫∫
T
x2y2z2 dV , T é limitado pelos planos z = y + 1, y + z = 1, x = 0, x = 1, z = 0.
d)
∫∫∫
T
y2 dV , T é o tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano
2x+ 3y + z = 6.
e)
∫∫∫
T
(x2 + y2) dV , T é limitado pelo plano xy, pelo parabolóide z = x2 + y2 e pelo cilindro
x2 + y2 = 4.
f)
∫∫∫
T
(x2 + y2) dV , T é limitado inferiormente pelo cone z =
√
x2 + y2 e superiormente pelo plano
z = 2.
g)
∫∫∫
T
z dV , T é a região limitada superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 16 e inferiormente pelo
cone z =
√
x2 + y2.
h)
∫∫∫
T
x dV , T é a esfera sólida x2 + y2 + z2 ≤ a2.
i)
∫∫∫
T
√
x2 + y2 + z2 dV , T é a coroa esférica limitada por x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4.
2
Questão 3: Use integral tripla para determinar o volume do sólido dado em cada caso abaixo.
a) O sólido é limitado inferiormente por z = 3 − y
2
, superiormente por z = 6 e lateralmente pelo
cilindro vertical que contorna a região delimitada por y = x2 e y = 4;
b) O sólido é delimitado por y = 0, z = 0, y + z = 5 e z = 4− x2;
c) O sólido é limitado superiormente pelo ciĺındro parabólico z = 4 − y2 e é limitado inferiormente
pelo parabolóide eĺıptico z = x2 + 3y2;
d) O sólido é limitado superiormente pelo plano z = y e é limitado inferiormente pelo parabolóide
z = x2 + y2;
e) O sólido é limitado superiormente pelo cone z2 = x2+y2, inferiormente pelo plano xy e lateralmente
pelo hemisfério z =
√
4− x2 − y2;
f) O sólido é limitado pela superf́ıcie x2 + y2 + z2 = 2x(x2 + y2).
g) O sólido está acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = z.
Questão 4: Mostre que o volume de uma esfera de raio a é V = 43πa
3, usando integral tripla.
Questão 5: Determinar o centro de massa de um sólido, de densidade constante, que é limitado pelo
cilindro parabólico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1.
Cálculo Vetorial
Questão 6: Mostre as representações vetoriais, tendo ponto inicial em (x, y), dos vetores do campo
vetorial F em cada caso abaixo. Utilize os pontos (±1,±1), (±1,±2), (±2,±1) e (±2,±2).
a) F(x, y) = −y~i+ x~j b) F(x, y) = y~i− x~j.
Questão 7: Mostre que os campos vetoriais são conservativos, determinando suas funções potenciais.
a) F = (y2 + 2x+ 4)~i+ (2xy + 4y − 5)~j
b) F =
1
y
~i− x
y2
~j
c) F = 2x~i+ 3y~j + 4z~k
d) F = ey+2z~i+ xey+2z~j + 2xey+2z~k
e) F = (excosy + yz)~i+ (xz − exseny)~j + (xy + z)~k
f) F = (z2 + 1)~i+ 2yz~j + (2xz + y2)~k
Questão 8: Calcule a integral de linha em cada caso abaixo.
a)
∫
C(x+ y) ds, onde C é o segmento de reta de (0, 1, 0) a (1, 0, 0).
b)
∫
C(x− y + z − 2) ds, onde C é o segmento de reta de (0, 1, 1) a (1, 0, 1).
c)
∫
C(x+ y + z) ds, onde C é o segmento de reta de (1, 2, 3) a (0,−1, 1).
d)
∫
C 3xyds, onde C é o triângulo de vértices A(0, 0), B(1, 0) e C(1, 2) no sentido anti-horário.
e)
∫
C(x+ 2y)ds, onde C é a metade superior do ćırculo x
2 + y2 = 9.
f)
∫
C 4xydx+ (2x
2 − 3xy)dy, onde C é a curva formada pelo segmento de reta de (−3,−2) até (1, 0)
e pelo arco da circunferência x2 + y2 = 1 no primeiro quadrante de (1, 0) até (0, 1).
g)
∫
C ysenz ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações
x(t) = cos t, y(t) = sent, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π.
h)
∫
C ydx + zdy + xdz, onde C é formada pelo segmento de reta C1 que une os pontos (2, 0, 0) a
(3, 4, 5) e pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) até (3, 4, 0).
i)
∫
C 3xdx+ 2xydy + zdz, onde C é a hélice circular dada pelas equações
x(t) = cos t, y(t) = sent, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π.
j)
∫
C xyds, onde C é a interseção das superf́ıcies x
2 + y2 = 4 e y + z = 8.
3
Questão 9: Use o Teorema de Green para determinar as integrais de linha em cada caso abaixo.
a)
∮
C(x− y)dx+ (y − x)dy, onde C é o quadrado limitado por x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1.
b)
∮
C(y
2 − x2)dx+ (x2 + y2)dy, onde C é o triângulo limitado por x = 0, x = 3, y = 0 e y = x.
c)
∮
C xydx+ y
2dy, onde C é a região limitada pelas curvas y = x2, y = x no primeiro quadrante.
d)
∮
C y
2dx+ x2dy, onde C é o triângulo limitado por x = 0, x+ y = 1 e y = 0.
e)
∮
C y
2dx+ 2x2dy, onde C é o triângulo de vértices A(0, 0), B(1, 2) e C(0, 2), no sentido anti-horário.
f)
∮
C y
2dx+ 4xydy, onde C é a curva fechada formada pelo arco de parábola y = x2 de (0, 0) a (2, 4)
e pelo segmento de reta de (2, 4) a (0, 0).
g)
∮
C(x
4 − 3y)dx+ (2y3 + 4x)dy, onde C é a elipse x
2
9
+
y2
4
= 1.
h)
∮
C y
2dx+3xydy, onde C é a fronteira da região semi-anular D contida no semiplano superior entre
os ćırculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
i)
∮
C(4x
2 − 9y)dx + (9xy +
√
y2 + 1)dy, onde C é a circunferência x2 + (y − 1)2 = 1 no sentido
anti-horário.
j)
∮
C(6y + x)dx+ (x+ 2y)dy, onde C é a circunferência (x− 2)
2 + (y + 3)2 = 4.
k)
∮
C 5xydx+ x
3dy, onde C é a curva fechada formada pelo arco de parábola y = x2 de (0, 0) a (2, 4)
e pelo segmento de reta de (2, 4) a (0, 0).
Questão 10: Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial em cada caso abaixo.
a) F(x, y, z) = xyz~i− x2y~k
b) F(x, y, z) =~i+ (x+ yz)~j + (xy −
√
z)~k
c) F(x, y, z) = exsen y~i+ ex cos y~j + z~k
d) F(x, y, z) = ln(x)~i+ ln(xy)~j + ln(xyz)~k
Questão 11: Calcule a integral de superf́ıcie em cada caso abaixo.
a)
∫∫
S
x2dS, onde S é a superf́ıcie do plano x+ y + z = 1 no primeiro octante.
b)
∫∫
S
x2z2dS, onde S é a parte do cone x2 + y2 = z2 entre os planos z = 1 e z = 2.
c)
∫∫
S
(z − x2 + xy2 − 1)dS, onde S é a superf́ıcie paramétrica
r(u, v) = u~i+ v~j + (u2 + 1)~k, 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 5.
Questão 12: Use o Teorema de Stokes para determinar
∫
C
F.dr em cada caso abaixo.
a) F(x, y, z) = −4y~i+ 2z~j + 3x~k e C é a curva fronteira orientada da superf́ıcie que consiste na parte
do parabolóide z = 10− x2 − y2 acima do plano z = 1.
b) F(x, y, z) = xz~i + xy~j + y2~k e C é a curva fronteira orientada da superf́ıcie que consiste na parte
do cilindro z = 4 − x2 no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano
y = 3.
c) F(x, y, z) = x2z~i+xy2~j+ z2~k e C é a curva de interseção do plano x+ y+ z = 1 com com o cilidro
x2 + y2 = 9 com orientação no sentido anti-horário quando vista de cima.
4
Questão 13: Use o Teorema da divergência para determinar
∫∫
S
F.dS em cada caso abaixo.
a) F(x, y, z) = 5z~k e S é a esfera x2 + y2 + z2 = 16.
b) F(x, y, z) = x2y~i+ y2~j + xz~k e S é o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados
e pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1.
c) F(x, y, z) = (2x− z)~i+ x2~j − xz2~k e S é a superf́ıcie exterior do cubo limitado pelos planos coor-
denados e pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1.
d) F(x, y, z) = xy~i+(y2+exz
2
)~j+sen(xy)~k e S é a superf́ıcie da região sólida E limitada pelo cilindro
parabólico z = 1− x2 e pelos planos z = 0, y = 0 e y + z = 2.
e) F(x, y, z) = 3x~i+ xy~j + 2xz~k e S é o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e
z = 1.
f) F(x, y, z) = xy~i+ yz~j + xz~k e S é o cilindro sólido x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
Respostas
Questão 1: a)
2
3
, b) 16, c)
1
3
, d)
47
24
Questão 2: a) −625π
4
b)
1
2
c)
1
270
d)
12
5
e)
64π
3
f)
16π
5
g) 32π h) 0 i) 15π.
Questão 3: a)
96
5b)
544
15
c) 4π d)
1
32
π e)
8π
√
2
3
f)
2π
15
g)
π
8
.
Questão 5: (57 , 0,
5
14).
Questão 7:
a) f(x, y) = xy2 + x2 + 4x+ 2y2 − 5y +K, onde K é uma constante qualquer.
b) f(x, y) =
x
y
+K, onde K é uma constante qualquer.
c) f(x, y, z) = x2 +
3y2
2
+ 2z2 +K, onde K é uma constante qualquer.
d) f(x, y, z) = xey+2z +K, onde K é uma constante qualquer.
e) f(x, y, z) = excosy + xyz +
z2
2
+K, onde K é uma constante qualquer.
f) f(x, y, z) = xz2 + x+ y2z +K, onde K é uma constante qualquer.
Questão 8:
a)
√
2 b) −
√
2 c) 3
√
14 d) 6 + 2
√
5 e) 36 f) 25 g)
√
2π h)
19
2
i) 2π2 j) 0
Questão 9:
a) 0 b) 9 c) − 1
12
d) 0 e) −4
3
f)
64
15
g) 42π h)
14
3
i) 18π j) −20π k) −28
15
Questão 10:
a) −x2~i+ 3xy~j − xz~k e yz b) (x− y)~i− y~j + ~k e z − 1
2
√
z
c) 0 e 1 d)
1
y
~i− 1
x
~j +
1
x
~k e
1
x
+
1
y
+
1
z
Questão 11:
a)
√
3
12
b)
21π√
2
c)
125(17
√
17− 1)
36
Questão 12:
a) 36π b) 45π c)
81π
2
Questão 13:
a)
1280π
3
b) 2 c)
3
2
d)
184
35
e)
9
2
f)
π
2