Variáveis Aleatórias Discretas

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CMIP- Centro de Metrologia e Inovação em ProcessosUFSC- UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Profª Andréa
VARIÁVEL ALEATÓRIA 
DISCRETAS
INTRODUÇÃO
Ao descrevemos o espaço amostral de um experimento não especificamos que um
resultado individual necessariamente seja um número.
Como por exemplo, ao descrever uma peça manufaturada, podemos empregar
apenas as categorias "defeituosa" e "não-defeituosa".
Em muitas situações experimentais, estaremos interessados na mensuração de
alguma coisa e no seu registro como número.
No caso considerado acima, podemos atribuir um número a cada resultado não
numérico do experimento.
Atribuindo o valor um as peças defeituosas e zero as perfeitas.
“Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é
determinado por fatores de chance.” Associa números aos eventos do espaço
amostral.
• X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;
S = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)} 
X: 
 
 0 1 2 
x 
VARIÁVEL ALEATÓRIA
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Exemplos
1. Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode
ser 0, 1, 2 ...10.
2. Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas, perguntam-se estes
compram um determinado produto.O número de pessoas que compram o
produto varia de 0 a 200.
3. Conta-se o nº de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado
prolongado. O número de acidentes em questão pode ser: 0, 1, 2… Como não
temos um valor que limite esse número, supomos que o número de acidentes é
qualquer inteiro não negativo.
4. Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de
tempo.
VARIÁVEL ALEATÓRIA
variável aleatória
contínua
os possíveis resultados 
abrangem todo um intervalo de 
números reais
discreta
os possíveis resultados estão 
contidos em um conjunto finito 
ou enumerável
0 1 2 3 4 ...
número de defeitos em ...
Ex.
0
Ex.
tempo de resposta de ...
A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, 
para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem 
ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.
Distribuição de Probabilidades
Seja a variável aleatória X = número obtido no lançamento de um 
dado comum. Se assumirmos o dado perfeitamente equilibrado, 
podemos alocar as seguintes probabilidades aos valores possíveis 
de X:
Distribuição de Probabilidades
Seja a variável aleatória X = número obtido no lançamento de um 
dado comum. Se assumirmos o dado perfeitamente equilibrado , 
podemos alocar as seguintes probabilidades aos valores possíveis 
de X:
Distribuição de Probabilidades
Valores Possíveis
x
Probabilidades
p(x)
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
Total 1
Ou, mais precisamente, p(j) = 1/6 (j =1, 2, 3, 4, 5, 6)
Seja uma urna com três bolas brancas e duas pretas. Extrair
aleatoriamente duas bolas, sendo uma após a outra, tal que repomos
na urna a primeira bola antes de extrairmos a segunda, ou seja com
reposição
Os possíveis resultados de X = número de bolas pretas na amostra
Sortear 2 bolas
com reposição
Distribuição de Probabilidades
3/5
2/5
3/5
2/5
3/5
2/5
x p(x)
0 9/25 (0,36)
1 12/25 (0,48)
2 4/25 (0,16)
(10) (20
)
Para se obter a probabilidade de X=0, calcula-se a probabilidade de ocorrer bola branca 
na primeira e bola branca na segunda., ou seja (3/5).(3/5)=9/25
Para se obter a probabilidade de X=2 é dada por (2/5).(2/5)=4/25
Para se obter a probabilidade de X=1 que ocorre quando acontecer a bola branca na 
primeira e bola preta na segunda [com probabilidade (3/5). (2/5)=6/25] ou, bola preta na 
primeira e bola branca na segunda [com probabilidade (2/5). (3/5)=6/25]
Logo a probabilidade de X=1 é 12/25
Distribuição de Probabilidades
3/5
2/5
2/4
2/4
3/4
1/4
Sortear 2 bolas
sem reposição
X = número de bolas 
pretas na amostra
x p(x)
0 6/20 (0,30)
1 12/20 (0,60)
2 2/20 (0,10)
(10) (20)
Distribuição de Probabilidades
Sortear 2 bolas
X = número de bolas 
pretas na amostra
x p(x)
0 0,30
1 0,60
2 0,10
Distrib. de X
sem reposição
Distrib. de X
com reposição
x p(x)
0 0,36
1 0,48
2 0,16
Distribuição de Probabilidades
Se X for discreta, com possíveis valores {x1, x2, ...},então a
distribuição de probabilidades de X pode ser chamada pela função
de probabilidade, que associa a cada valor possível xi a sua
probabilidade de ocorrência p(xi), ou seja:
p(xi) = p(X= xi) (i = 1, 2, ...)
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
a) p(xi) ≥ 0
b) Ʃp(xi) =1
Função de Probabilidade
Gráficos que representam a distribuição de probabilidade de uma
variável aleatória discreta.
Gráfico da Distribuição de Probabilidades
Outra forma de representar uma distribuição de probabilidades de
uma variável aleatória é através sua função de distribuição
acumulada, que é definida por:
Função de Distribuição Acumulada
A função de distribuição acumulada descreve a probabilidade de
ocorrer um valor até x.
Altura de cada salto equivale ao valor da probabilidade naquele ponto.
Função de Distribuição Acumulada
Considere uma variável aleatória X e sua distribuição de
probabilidades. A média ou valor esperado de uma variável
aleatória X é dado por:
Variável Aleatória Discreta: Valor Esperado
Considere uma variável aleatória X e sua distribuição de
probabilidades. A média ou valor esperado de uma variável
aleatória X é dado por:
Variável Aleatória Discreta: Valor Esperado
Considere uma variável aleatória X e sua distribuição de
probabilidades. A variância de uma variável aleatória X é dada
por:
Variável Aleatória Discreta: Variância e Desvio Padrão
Seja a variável aleatória X = número obtido no lançamento de um
dado comum, em que a função de probabilidade é dada por:
p(j) = 1/6 (j =1, 2, 3, 4, 5, 6). Calcular o valor esperado e a variância.
Valor Esperado e Variância
Seja a variável aleatória X = número obtido no lançamento de um
dado comum, em que a função de probabilidade é dada por:
p(j) = 1/6 (j =1, 2, 3, 4, 5, 6). Calcular o valor esperado e a variância.
E(X) = 1.(1/6) + 2.(1/6) + 3.(1/6) + 4.(1/6) + 5.(1/6) + 6.(1/6) = 3,5
E(X2)=12.(1/6)+22.(1/6)+32.(1/6)+42.(1/6)+52.(1/6)+62.(1/6) = 15,167
Assim V(X) = E(X2) – μ2 = 15,167 – (3,5) 2 = 2,92
Podemos interpretar o valor esperado como a média aritmética
dos resultados da variável aleatória se o experimento pudesse ser
repetido infinitas vezes. Assim se pudéssemos lançar o dado
infinitas vezes, obteríamos, em média, 3,5 pontos por lançamento.
Valor Esperado e Variância
j
k
j
j pxE 
=
==
1
(X) 
=
==
k
j
jj
pE x
1
22)(X
EXEMPLO 
Considere que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre
alguma falha.
Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = 
número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação 
de três dias. 
x
0
1
1
1
2
2
2
3
Possibilidades
BBB
BBR
BRB
RBB
BRR
RBR
RRB
RRR
Probabilidade
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096
0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
EXEMPLO 
x p(x)
0 0,064
1 0,288
2 0,432 
3 0,216
Total 1
0,064
0 1 2 3
0,216
0,432
0,288
Distribuição de probabilidade de X:
EXEMPLO 
X = número de dias com falhas na rede.
( ) == ii pxXE
E(X) = 0(0,064) + 1(0,288) + 2(0,432) + 3(0,216) = 1,8
x p(x)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
EXEMPLO 
X = número de dias com falha na rede.
x p(x)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
V(X) = (0 – 1,8)2(0,064) + (1 – 1,8)2(0,288) +(2 –
1,8)2(0,432) + (3 – 1,8)2(0,216) = 0,72
( ) ( ) −==
ii
pxXV
22 
EXEMPLO 
Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos
num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir:
Exercícios de Aplicação
Nº de 
Acidentes
0 1 2 3 4
Nº de dias 12 18 10 8 2
Designe por X a variável aleatória que conta onúmero de acidentes diários nesse 
local.
a) Defina a sua função de probabilidade;
b) Deduza a função acumulada ou F(x);
c) Calcule o valor esperado, variância e desvio padrão;
Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos
num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir:
Exercícios de Aplicação
Nº de 
Acidentes
0 1 2 3 4
Nº de dias 12 18 10 8 2
a) A função de probabilidade da variável X é dada por:
f(0) = 12/50= 0,24 f(1) =18/50= 0,36 f(2)=10/50=0,20
f(3)=8/50=0,16 f(4)=2/50= 0,04
xi 0 1 2 3 4
p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04
Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos
num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir:
Exercícios de Aplicação
xi 0 1 2 3 4
p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04
Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos
num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir:
Exercícios de Aplicação
xi 0 1 2 3 4
p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04
Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos
num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir:
Exercícios de Aplicação
c) Calcule o valor esperado, variância e desvio padrão;
xi 0 1 2 3 4
p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04
Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos
num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir:
Exercícios de Aplicação
c) Calcule o valor esperado, variância e desvio padrão;
xi 0 1 2 3 4
p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04
V(x)= 𝑬 𝒙𝟐 − 𝐸 𝑥 𝟐 = 1,28 ∴ V(x)= 1,28 
σ x =1,13