Resolução de Sistemas de Equações

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9o
Matemática
Ensino Fundamental: Anos Finais
Resolução do sistema de equações – Parte 1
2o bimestre – Aula 19 – Sequência de Atividades 7 
ANO
2024_AF_V1
Sistema de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas.
Resolver sistemas de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas.
Conteúdo
Objetivos
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(EF08MA08) Resolver e elaborar situações-problemas que possam ser representadas por sistemas de equação do primeiro grau com duas incógnitas e interpretá-las, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso. 
Sugestão de tempo
Apresentação: 2 minutos
Para começar: 3 minutos
Foco no conteúdo: 10 minutos
Na prática: 20 minutos
Aplicando: 7 minutos
O que aprendemos hoje: 3 minutos
Em uma fazenda, há cabras e galinhas, totalizando 64 cabeças. Quantas são as cabras e quantas são as galinhas?
Virem e conversem
Para começar
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Espera-se que os estudantes concluam que há muitas possibilidades de solução e que não é possível determinar quantos animais de cada há.
https://pixabay.com/pt/photos/galinhas-felizes-ao-ar-livre-aves-3524423/
https://pixabay.com/pt/photos/cabras-mar-chifres-escalar-declive-7495294/
A situação anterior pode ser representada por uma equação com duas incógnitas que admite várias soluções, por exemplo:
Cabras: 
Galinhas: 
Algumas soluções: 
; ; ; 
A informação dada não é suficiente para determinarmos quantas são, exatamente, as cabras e as galinhas. Necessitamos de mais informação.
Para começar
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Docente, explore a ideia de par ordenado como uma notação para soluções de equações de duas variáveis.
Repare na alteração do problema inicial:
Em uma fazenda, há cabras e galinhas, totalizando 64 cabeças e 180 patas. Quantas são as cabras e quantas são as galinhas?
Escreva uma equação para representar o número total de cabeças e uma para o número total de patas.
Cabras: 
Galinhas: 
Esse “combinado” de equações com mesmas incógnitas é chamado de sistema de equações.
Foco no conteúdo
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Considere a problematização anterior. Assinale a alternativa que contém a quantidade total de galinhas e de cabras dessa fazenda.
Atividade 1
30 cabras e 34 galinhas
34 cabras e 30 galinhas
26 cabras e 38 galinhas
38 cabras e 26 galinhas
Na prática
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Espera-se que os estudantes testem as alternativas para chegar à solução.
30 cabras e 34 galinhas
34 cabras e 30 galinhas
26 cabras e 38 galinhas
38 cabras e 26 galinhas
Atividade 1 – Correção
Cabras: 	Galinhas: 
1a equação: no de cabeças
2a equação: no de patas
Devemos escolher a alternativa que contém solução única para as duas equações. Testemos o número de patas, já que todas as opções atendem à condição para número de cabeças.
Na prática
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Espera-se que os estudantes testem as alternativas para chegar à solução.
Para resolução de sistemas, utilizaremos a seguinte estratégia:
Adicionar as duas equações membro a membro, com a finalidade de eliminar uma incógnita e resolver (método da adição).
Passo 1: rearranjar o sistema com uma única equação com uma incógnita que seja equivalente, escolhendo um dos métodos:
Isolar uma incógnita em uma das equações, substituir na outra e resolver (método da substituição).
Passo 2: obtendo o valor de uma das incógnitas pelo passo 1, voltar a uma das equações para determinar o valor da outra.
Foco no conteúdo
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NOTA: multiplicando ou dividindo membro a membro uma equação por uma constante (na divisão, não pode ser zero), obtemos uma equação equivalente. 
Determine o valor de para cada equação abaixo e verifique a equivalência entre elas.
Foco no conteúdo
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Exemplo: Método da adição
Reflita: observe o sistema abaixo. Queremos adicionar essas equações de maneira que uma incógnita seja eliminada. Que operação podemos executar, primeiramente, para encontrar uma equivalente, a fim de atingir o que desejamos? 
 
Passo 1
Passo 2
S: conjunto solução
Foco no conteúdo
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Docente, chame a atenção para o fato de multiplicar por um número negativo, pois queremos “eliminar” uma letra utilizando a soma de opostos.
Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 56 veículos e 160 rodas. Quantas são as motos? E os carros?
Atividade 1
Adaptado de: Aprender Sempre (2024. p. 194)
Faça de novo
Na prática
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Correção
carros: 
motos: 
 
Passo 1
Passo 2
Há 24 carros e 32 motos.
 
Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 56 veículos e 160 rodas. Quantas são as motos? E os carros?
Na prática
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Exemplo: Método da substituição
Observe que, nesse sistema, temos uma incógnita isolada.
Substituição
Passo 1
Passo 2
Foco no conteúdo
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Docente, chame atenção para o fato de cada passo usar uma equação diferente.
O perímetro de um retângulo é 48 cm e a medida de seu comprimento é igual ao dobro da sua largura. Qual é o valor dos lados desse retângulo?
Adaptado de: Aprender Sempre (2024. p. 196)
Atividade 2
Na prática
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C
L
SUBSTITUIÇÃO
Passo 1
Passo 2
O comprimento é 16 cm e a largura é 8 cm.
Correção
Na prática
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Voltemos à atividade inicial para resolvê-la utilizando algum método.
Em uma fazenda há cabras e galinhas, totalizando 64 cabeças e 180 patas. Quantas são as galinhas?
Adaptado de: Aprender Sempre (2024. p. 196)
Faça de novo
Aplicando
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Aprender Sempre, Atividade 1.
Cabras: 
Galinhas: 
Em uma fazenda há cabras e galinhas, totalizando 64 cabeças e 180 patas. Quantas são as galinhas?
 
Passo 1
Passo 2
Há 26 cabras e 38 galinhas.
Correção
 
Aplicando
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Gabriel tem dez cédulas, umas de 20 reais e outras de 10 reais, perfazendo um total de 130 reais. Quantas são as cédulas de 20 reais?
Solo silêncio
Aprofundando
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https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A9dula_de_vinte_reais#/media/Ficheiro:20_Brazil_real_Second_Obverse.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A9dula_de_dez_reais#/media/Ficheiro:10_Brazil_real_Second_Obverse.jpg
Gabriel tem dez cédulas, umas de 20 reais e outras de 10 reais, perfazendo um total de 130 reais. Quantas são as cédulas de 20 reais?
Correção
: cédulas de 20 reais
: cédulas de 10 reais
1a equação: no de cédulas
2a equação: valor monetário
 
 
São três cédulas de 20 reais.
Solo silêncio
Aprofundando
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Vimos como representar situações-problemas por meio de sistemas de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas;
Conhecemos alguns procedimentos para a resolução de sistemas.
O que aprendemos hoje?
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LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2024. Matemática, 9o ano – Ensino Fundamental, v. 1.
Lista de imagens
Slide 3 – https://pixabay.com/pt/photos/galinhas-felizes-ao-ar-livre-aves-3524423/
https://pixabay.com/pt/photos/cabras-mar-chifres-escalar-declive-7495294/
Slide 18 – https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A9dula_de_vinte_reais#/media/Ficheiro:20_Brazil_real_Second_Obverse.jpg 
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A9dula_de_dez_reais#/media/Ficheiro:10_Brazil_real_Second_Obverse.jpg 
Referências
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