Derivadas Conceitos, Propriedades e Cálculos

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1-Determine a derivada da função f(x) = 1-√1+cos^2(e^x)
RESPOSTA:
e^x cos(e^x)sen(e^x)/√1+cos^2(e^x)
EXPLICAÇÃO:
A questão pede a derivada da função f(x) = 1-√1+cos^2(e^x). Para encontrar a derivada, precisamos aplicar a regra da cadeia, que é uma técnica de diferenciação que permite derivar funções compostas. A alternativa correta é a letra C, que representa a derivada da função dada, calculada corretamente ao aplicar a regra da cadeia. A expressão 
e^x cos(e^x)sen(e^x)/√1+cos^2(e^x) é a derivada da função f(x) = 1-√1+cos^2(e^x).
2-Dada a função abaixo:
f(x)=sen(4x²)
Calcule z^2f/zx^2
RESPOSTA:
-64sen(4x²)x²+8cos(4x²)
EXPLICAÇÃO:
Para resolver essa questão, precisamos calcular a segunda derivada da função dada. A primeira derivada da função f(x)=sen(4x²) é 8cos(4x²).x. Para obter a segunda derivada, precisamos aplicar a regra do produto. A regra do produto, aplicada à primeira derivada, nos dá -64sen(4x²)x²+8cos(4x²), que é a alternativa A. Portanto, a segunda derivada da função f(x)=sen(4x²) é -64sen(4x²)x²+8cos(4x²).
3-Sabe-se que lny - x^2 - xy^2 = 2, com y dependendo da variável x. Determine o valor de dy/dx para x = 0.
RESPOSTA:
e^6
EXPLICAÇÃO:
A questão pede para determinar o valor de dy/dx para x = 0, dada a equação 
lny - x^2 - xy^2 = 2. Para resolver essa questão, é necessário aplicar as regras de derivação para funções logarítmicas e polinomiais. Ao fazer isso, encontramos que o valor de dy/dx para x = 0 é e^6, que corresponde à alternativa D.
4-Determine a equação da derivada da função h(x) = arc sen x / 1-x^2, para 0 < x < 1.
RESPOSTA:
√1-x^2+2x arc sen x / (1-x^2)^2
EXPLICAÇÃO:
A equação da derivada da função dada é obtida aplicando a regra do quociente e a derivada da função arcoseno. A regra do quociente é uma fórmula usada para encontrar a derivada de uma divisão de duas funções. A derivada da função arcoseno é 1/√1-x^2. Aplicando essas regras, obtemos a equação da derivada como √1-x^2+2x arc sen x / (1-x^2)^2, que corresponde à alternativa E.
5-Determinar o valor de m + 4p , reais, para que a função h(x) seja derivável em todos os pontos do seu domínio.
h(x)={	px^2 + 2, x < 2
	mx + 1, 2 <= x
RESPOSTA:
2
6-A regra do produto deve ser utilizada quando há produto entre funções em uma derivada. Calcule a derivada da função abaixo:
f(x) = sen(x).e^x
RESPOSTA:
cos(x)e^x + sen(x)e^x
EXPLICAÇÃO:
Para resolver essa questão, utilizamos a regra do produto na derivada. A regra do produto é uma fórmula que permite encontrar a derivada de um produto de duas funções. Nesse caso, temos as funções:
u = sen(x)
v = e^x
Aplicando a regra do produto, temos que a derivada do produto dessas duas funções é dada por u'.v +u.v'. Substituindo u e v por suas respectivas funções e calculando suas derivadas, obtemos a resposta correta: cos(x)e^x + sen(x)e^x
7-Seja g(x) = π ln(x^2 sen^2 x), definida para 0 < x < π/2. Determine o valor da taxa de variação de g(x) em relação a x no instante de x = π/4
RESPOSTA:
8 + 2π
EXPLICAÇÃO:
A questão pede a taxa de variação da função g(x) em relação a x no instante x = π/4. Para encontrar essa taxa, precisamos calcular a derivada da função g(x) e avaliá-la no ponto x = π/4. Ao realizar esses cálculos, encontramos que a taxa de variação é 8 + 2π, que corresponde a alternativa D.
8-Sempre que houver o quociente entre funções em uma derivada, deve-se aplicar a regra do quociente. Calcule a derivada abaixo:
f(x) = x/sen(x)
RESPOSTA:
sen(x) - x.cos(x) / sen^2(x)
9-Determine a taxa de crescimento da função f(x) = x^3 = 4x^2 + 2, em função de x, no ponto x = 2
RESPOSTA:
28
EXPLICAÇÃO:
Para determinar a taxa de crescimento da função, precisamos calcular a derivada da função em relação a x. A derivada de uma função representa a taxa de variação da função em um determinado ponto, ou seja, a inclinação da tangente à curva da função naquele ponto.
Calculando a derivada da função f(x) = x^3 + 4x^2 + 2, obtemos f'(x) = 3x^2 + 8x.
10-O crescimento de uma população de fungos foi acompanhado em um laboratório. Os cientistas conseguiram modelar a quantidade de fungos (QF), medida em unidade de milhares, pelo tempo (t), medido em dias. O tempo foi marcado a partir do início do experimento (t = 0). O modelo adotado foi QF(t) = 2 tg3 (t2) + 10, t ≥ 0. Foi também traçado um gráfico de QF pelo tempo para o intervalo entre 0 ≤ t ≤ 10. Assinale a alternativa que apresenta uma interpretação verdadeira para a derivada de QF, em relação ao tempo, no instante t = 5.
RESPOSTA:
Representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos, em milhares/dia, que existiu no quinto dia do experimento, como também, o valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de QF(t), no ponto t = 5.
EXPLICAÇÃO:
A derivada de uma função em um ponto específico representa a taxa de variação da função naquele ponto. No contexto desta questão, a derivada de QF em relação ao tempo, no instante t = 5, representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos no quinto dia do experimento. Isso significa que ela indica quantos milhares de fungos estão crescendo por dia neste momento específico. Além disso, a derivada também representa o valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de QF(t) no ponto t = 5. Isso significa que ela indica a inclinação da reta que toca o gráfico de QF(t) apenas no ponto t = 5, fornecendo uma visão da taxa de crescimento instantânea da população de fungos neste dia.