SED Unidade 1 - Lição 1 1 - Despoluindo um lago

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Lição 1.1 - Despoluindo um lago 
Tentativa: 1 
Vamos despoluir um lago ?!!! 
 
Olá aluno. 
Seja bem vindo a esta primeira lição da disciplina Séries e Equações Diferenciais. Esta atividade vale nota e frequência. 
Nesta lição vamos abordar um modelo hipotético de despoluição de um lago. 
Pense em um lago com grande volume de água represada. 
O lago recebe água límpida de seus afluentes e despeja suas águas em um riacho, através de uma comporta em sua barragem. 
A abertura da comporta é ajustada para que o volume do lago se mantenha sempre constante. 
Esta abertra determina uma taxa diária de escoamento das águas do lago; vamos denotar esta taxa por . 
Por exemplo, o valor significa que um décimo ou 10% do volume total do lago passa pela comporta num período exato de um dia. 
Em uma noite triste, exatamente a meia-noite, o lago recebe uma certa quantidade de poluente, que indicaremos por . 
Apesar desta quantidade ser insignificante frente ao volume de água no lago, o poluente é altamente tóxico e possui uma capacidade instantânea de diluição na água. 
A partir deste momento triste, 0h00 da noite triste, o lago fica poluído. 
Com o passar do tempo, a troca natural de água poluída por água limpa no lago faz com que a quantidade de poluente diminua, a uma taxa igual à taxa diária de escoamento das águas 
do lago. 
Modelando matematicamente esta situação, vamos denotar por: 
o : tempo após as 0h00 da noite triste; 
o : quantidade de poluente no lago no exato instante de tempo . 
Vamos medir o tempo em dias. Por exemplo, significa que se passaram exatos 3 dias do momento triste, enquanto 
que significa que se passaram exatos um dia e cinco horas do momento triste. 
Não indicaremos a unidade de medida da quantidade do poluente, que pode ser uma unidade de massa (quilogramas, toneladas, ...) ou uma unidade de volume (metros cúbicos, litros, ...). 
Observe que a quantidade de poluente no lago é uma função do tempo , satisfazendo como condição inicial . 
A velocidade com que ocorre a despoluição do lago é medida pela derivada da função , denotada por . 
É claro que você se lembra da operação derivada estudada no Cálculo 1, certo ?!, que mede a expectativa de variação de uma função e corresponde geometricamente ao valor das 
inclinações das retas tangentes ao gráfico da função. 
Como o poluente é escoado juntamente com a água do lago a uma taxa diária , a quantidade de poluente que permanece no lago possui taxa (expectativa) diária de variação dada 
por . 
Por exemplo, o valor significa que um décimo ou 10% da quantidade de poluente passa pela comporta num período exato de um dia, permanecendo no lago 90% 
correspondentes ao valor . 
Note que a expectativa de variação da poluição no lago é negativa, pois a poluição diminui com o passar do tempo, e determinada pela taxa diária com que poluente passa pela comporta. 
Assim 
 . 
A equação acima é chamada de equação diferencial, pois contém derivadas. 
A quantidade de poluente no lago é uma função que resolve tal equação, sendo uma solução da equação diferencial sujeita à condição inicial . 
Grande parte deste curso será voltado para o estudo de métodos de resolução de equações diferenciais. 
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Caro aluno, vejo você monitorando diariamente o nível de poluição no lago. 
No término do primeiro dia, no exato instante , a quantidade de poluição no lago será 
o 
indicando um nível de poluição de . Por exemplo, se então o nível de poluição indicado é 
de da população inicial . 
No término do segundo dia, no exato instante , a quantidade de poluição no lago será 
o 
indicando um nível de poluição de . Por exemplo, se então o nível de poluição indicado é 
de da população inicial . 
No término do terceiro dia, no exato instante , a quantidade de poluição no lago será 
o 
indicando um nível de poluição de . Por exemplo, se então o nível de poluição indicado é 
de da população inicial . 
No término de um dia qualquer , no exato instante , a quantidade de poluição no lago será 
o 
indicando um nível de poluição de . Por exemplo, se então o nível de poluição indicado é 
de da população inicial . 
Para saber quantos dias são necessários para que o nível de poluição desca a patamares inferiores a um nível de poliução aceitavel, que denotaremos por da 
população inicial , você deve encontrar o valor de para o qual 
 
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados da inequação acima (você se lembra da função , inversa da exponencial estudada no Cálculo 1, certo !?) temos 
 
Usando propriedades da função logaritmo, temos 
 
ou, equivalentemente, 
 
ou, equivalentemente, 
 
ou, equivalentemente, 
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javascript:void(0)
 . 
Por exemplo, assumindo uma taxa de escoamento de e um nível aceitável de poluição de (2% da poluição inicial ) teremos 
 
ou, equivalentemente, 
 
ou, equivalentemente, 
 
ou, equivalentemente, 
 . 
Usando uma calculadora encontramos . 
Logo você conclui que serão necessários pelo menos 38 dias para que os níveis de poluição no lago desçam a patamares inferiores a 2% da quantidade inicial de poluente. 
Caro aluno, espero que você tenha entendido o exposto acima. 
Para continuar nesta lição você deve concluir quantos dias serão necessários para que os níveis de poluição no lago desçam a patamares inferiores a 1% da quantidade inicial de poluente, 
considerando a mesma taxa diária de escoamento. 
40 dias 
44 dias ok 
46 dias 
42 dias 
 
Você completou 0% da lição 
0% 
Monitorando a poluição instantaneamente 
 
Muito bem, aluno. 
Considerando uma taxa de escoamento ou 10%, são necessários 44 dias para que os níveis de poluição deçam a patamares inferiores a 1% da quantidade inicial de 
poluente. 
Lembre-se que a função que mede a quantidade de poluente no lago é , onde é medido em dias e a poluição inicial é . 
Lembre-se também que a velocidade com que ocorre a despoluição do lago é medida pela derivada , que satisfaz a equação diferencial 
 . 
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Esta derivada mede a expectativa de variação diária da quantidade de poluente no lago, que é negativa e determinada pela taxa diária de poluente que deixa o lago pelo escoamento 
natural de suas águas. 
Isto significa que, após um período completo de um dia, vezes a poluição que existia vai embora, e vezes a poluição que existia continua presente no lago. 
Caro aluno, vejo você mais preocupado com a poluição do lago, passando a monitorar a quantidade de poluente mais de perto. 
Vejo você fazendo medições ao dia, em intervalos de tempos iguais. Por exemplo, quando vejo você fazendo medições de hora em hora; 
quando vejo você fazendo medições de minutoem minuto; 
quando vejo você fazendo medições de segundo em segundo. 
No término da primeira medição, no exato instante , a quantidade de poluição que existia inicialmente e foi embora é calculada pela fração da taxa diária de 
escoamento, continuando presente no lago a quantidade 
o 
No término da segunda medição, no exato instante , a quantidade de poluição que existia na medição anterior e foi embora também é calculada pela fração da taxa 
diária de escoamento, continuando presente no lago a quantidade 
o 
No término da terceira medição, no exato instante , a quantidade de poluição que existia na medição anterior e que foi embora também é calculada pela fração da taxa 
diária de escoamento, continuando presente no lago a quantidade 
o 
Continuando suas medições, no término da medição , no exato instante , a quantidade de poluição presente no lago será 
 
o 
Observando que podemos reescrever esta quantidade na forma 
 
o 
A noção matemática do monitoramento instantâneo da poluição passa pela idéia de se aumentar indefinidamente o valor da freqüência diária das medições: de hora em hora, de minuto 
em minuto, de segundo em segundo, de milésimos de segundo em milésimos de segundo, ... 
Matematicamente isto equivale a realização do seguinte limite: 
o 
O limite em questão se transforma, após uma mudança de variável do tipo , no segundo limite fundamental visto no Cálculo 1 (você se lembra !?) 
o 
Você pode concluir, então, que o monitoramento instantâneo da poluição no lago é realizado pela função 
o 
O monitoramento instantâneo do lago descreve realmente o que ocorre com a quantidade de poluente no lago com o passar do tempo, e é mais preciso do que os monitoramentos discretos. 
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Da mesma forma que na página anterior, podemos calcular o exato instante de tempo necessário para que o nível de poluição no lago desca a patamares aceitáveis, inferiores 
a da poluição inicial. 
Basta encontrar o valor de para o qual 
o 
Assim 
o 
ou, aplicando em ambos os lados, 
 
o 
ou, usando as propriedades do , 
 
o 
ou, equivalentemente, 
 
o 
ou, equivalentemente, 
 
o . 
Por exemplo, quando e (2%) obtemos 
 
o 
Logo você conclui que, no modelo real (instantâneo), com uma taxa diária de escoamento, serão necessários pelo menos 39 dias e algumas horas 
para que os níveis de poluição no lago descam a patamares inferiores a 2% da quantidade inicial de poluente. 
Caro aluno, espero que você tenha entendido o exposto acima. 
Para continuar nesta lição você deve concluir quanto tempo será necessário para que os níveis de poluição no lago descam a patamares inferiores a 1% da quantidade inicial de poluente, 
considerando a mesma taxa diária de escoamento. 
42 horas, exatamente. 
46 dias e poucas horas OK 
44 dias e algumas horas 
48 dias e muitas horas 
 
Você completou 67% da lição 
67% 
Monitorando a poluição via equação diferencial 
 
Muito bem, aluno. 
Vamos tratar agora o problema da despoluição do lago de forma puramente matemática. 
Considere a equação diferencial 
 
onde é um parâmetro fixado, é uma variável dependente de outra variável livre, digamos , e denota a derivada de em relação à variável . 
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Observe que a equação diferencial acima é idêntica à equação diferencial que modela a despoluição de nosso lago hipotético, a saber, . Como 
vimos, a função resolve a equação diferencial em questão. 
Pergunta 1: quais são as funções que resolvem a equação diferencial em questão? 
Pergunta 2: como encontrar a função a partir das funções que resolvem a equação diferencial ? 
Para responder à pergunta 1 devemos recorrer ao Cálculo 1, onde aprendemos que a função exponencial é a única função cuja derivada é ela mesma. 
Logo, assumindo 
o 
onde e são constantes, temos 
 
o 
e, evidenciando a constante na derivação, 
 
o 
e, derivando a exponencial em cadeia, 
 
o 
e, evidenciando a constante na derivação, 
o 
e, usando que a derivada de é 1, 
o 
ou, equivalentemente, 
 
o 
Portanto a resposta da primeira pergunta é , onde é uma constante qualquer. 
Note que o valor da constante corresponde ao valor de no instante , já que . 
Portanto a resposta da segunda pergunta é , isto é, a função que modela a despoluição de nosso lago hipotético é a solução da equação 
diferencial que satisfaz a condição inicial . 
Chegamos ao final desta primeira lição. 
Nela vimos como uma equação diferencial é usada na modelagem matemática para medir a despoluição natural de um lago. 
A teoria das equações diferenciais é muito usada para modelar matematicamente várias situações reais, provenientes de fenômenos físicos, ambientais, sociológicos ou econômicos. 
Ao longo desta disciplina vamos estudar métodos genéricos para resolução de certas equações diferenciais bem como aplicar estes métodos na modelagem matemática de fenômenos reais 
relacionados à dinâmica populacional, propagação de doenças, concentração de misturas, reações químicas, circuitos elétricos e leis físicas em geral (movimento, resfriamento, 
amortecimento). 
Até a próxima lição. 
Continuar
 
Você completou 67% da lição 
67% 
 
 
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	Lição 1.1 - Despoluindo um lago
	Tentativa: 1
	Vamos despoluir um lago ?!!!
	Monitorando a poluição instantaneamente
	Monitorando a poluição via equação diferencial