Relações Métricas em Polígonos Regulares

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Etapa Ensino Fundamental
Anos Finais
Pitágoras – Aplicação 
de relações métricas 
em polígonos 
regulares: quadrado
9º ANO –
Aula 16 – 3º Bimestre
Matemática
● Polígonos regulares 
inscritos na circunferência;
● Teorema de Pitágoras: 
Aplicação nas relações 
métricas de polígonos 
inscritos.
● Calcular e resolver problemas 
utilizando o teorema de 
Pitágoras em polígonos 
inscritos numa circunferência;
● Calcular a medida do 
perímetro e área de um 
quadrado inscrito numa 
circunferência.
Conteúdo Objetivos
Para começar
Qual a característica comum entre um 
triângulo equilátero e um quadrado? 
Como podemos denominar figuras com 
todos os lados de mesma medida? 
Foco no conteúdo
Tanto o triângulo equilátero quanto 
o quadrado são figuras planas que 
possuem as medidas de seus lados 
iguais.
Por terem essa característica, são 
também chamados de polígonos 
regulares.
Foco no conteúdo
Quando divide-se uma 
circunferência em n arcos 
congruentes (com n > 2), as 
cordas consecutivas delimitam 
um polígono regular inscrito, de 
n lados, nessa circunferência.
Mas o que é corda?
Corda Raio Diâmetro
É todo segmento de reta 
cujas extremidades são 
partes da circunferência.
Foco no conteúdo
Em uma circunferência dividida em três 
arcos congruentes, as três cordas 
consecutivas delimitam um triângulo 
equilátero inscrito.
Em uma circunferência dividida em quatro 
arcos congruentes, as quatro cordas 
consecutivas delimitam um quadrado 
inscrito.
r
A
CB
O
O
A
CB
D
r
Foco no conteúdo
O quadrado inscrito
No quadrado inscrito temos:
- l é o lado do quadrado;
- a refere-se ao apótema do quadrado. 
Apótema de um polígono regular é um
segmento de reta que parte do seu centro até 
um de seus lados de forma perpendicular.
- r o raio da circunferência.
r
r
a
l
Na prática
Atividade 1
Respondam no caderno
Aplicando o teorema de Pitágoras, 
relacionem o lado do quadrado com o raio 
da circunferência, considerando o ∆COD.
a
l
r
A
B C
D
M
O
r
Na prática Correção
Em duplas e aplicando o teorema de Pitágoras, 
relacionem o lado do quadrado com o raio da 
circunferência, considerando o ∆COD
r
a
r
A
B C
D
M
O
𝒍2 = 𝒓2 + 𝒓2
𝒍2 = 𝟐𝒓2
𝒍 = 𝟐𝒓²
𝒍 = 𝒓 𝟐
l
Atividade 1
Na prática
Atividade 2
Determinem a medida do perímetro e 
área de um quadrado inscrito em uma 
circunferência, com medida do raio igual a 
10 cm (considerem 2 = 1,4).
Respondam no caderno
r
l
A
B C
D
Na prática
Atividade 2
Correção
Lado:
𝒍 = 𝒓 𝟐
𝒍 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟏, 𝟒
𝒍 = 𝟏𝟒 𝒄𝒎
Perímetro:
𝑷 = 𝟒 ∙ 𝒍
𝑷 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟒
𝑷 = 𝟓𝟔 𝒄𝒎
Área:
𝑨 = 𝒍²
𝑨 = 𝟏𝟒 𝟐
𝑨 = 𝟏𝟗𝟔 𝒄𝒎² r
l
A
B C
D
Foco no conteúdo
Em relação ao apótema, 
vamos considerar o 
∆MOC.
𝑟2 = 𝑎2 +
𝑙
2
2
𝑟2 = 𝑎2 +
𝑙²
4
, temos 𝑙 = 𝑟 2
𝑟2 = 𝑎2 +
𝑟 2
2
4
𝑟2 = 𝑎2 +
2𝑟2
4
𝑟2 = 𝑎2 +
𝑟²
2
2𝑟²
2
=
2𝑎²
2
+
𝑟²
2
2𝑎2 + 𝑟2 = 2𝑟2
𝑎2 =
𝑟²
2
𝑎 =
𝑟²
2
=
𝑟
2
𝑎 =
𝑟
2
∙
2
2
𝒂 =
𝒓 𝟐
𝟐
Aplicando
Mostrem a alternativa correta
A área de um quadrado inscrito numa circunferência e apótema com 
medida igual a 5 2 𝑐𝑚 é:
a. 200 cm²
b. 10 cm²
c. 10 2 cm²
d. 200 cm
𝒂 =
𝒓 𝟐
𝟐
𝒍 = 𝒓 𝟐
𝑳𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆𝒎 − 𝒔𝒆
Aplicando Correção
A área de um quadrado inscrito numa circunferência e apótema com 
medida igual a 5 2 𝑐𝑚 é:
Dado: 𝒂 = 𝟓 𝟐 𝒄𝒎
Para calcular a área 
temos que determinar 
a medida do lado desse 
quadrado.
𝟓 𝟐 =
𝒓 𝟐
𝟐
𝒓 =
𝟏𝟎 𝟐
𝟐
∴ 𝒓 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎
𝒍 = 𝒓 𝟐
𝒍 = 𝟏𝟎 𝟐 𝒄𝒎
𝑨 = 𝒍𝟐
𝑨 = 𝟏𝟎 𝟐
𝟐
= 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟐
𝑨 = 𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒎²
Alternativa a.
a. 200 cm²
b. 10 cm²
c. 10 2 cm²
d. 200 cm
O que aprendemos hoje?
● Aplicando o teorema de Pitágoras, relacionamos o 
lado e o apótema de um quadrado com o raio da 
circunferência;
● Calculamos a medida da área e/ou perímetro de 
quadrados inscritos numa circunferência.
𝒍 = 𝒓 𝟐 𝒂 =
𝒓 𝟐
𝟐
Tarefa SP
Localizador: 100170
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http://tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br/
http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
Referências
SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação. Currículo Paulista 
do Ensino Fundamental. São Paulo, 2019. 
LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a 
gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
PARANÁ (ESTADO). Secretaria da Educação. Material de Apoio ao 
Professor. Paraná, 2022.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slides 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 – Imagens elaboradas pelo 
autor.
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