Matemática - 8º Ano - Caderno 04

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ano
8
Ensino 
Fundamental
4
caderno
MATEMÁTICA
PROFESSOR
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Luiz Roberto Dante
Matemática
Geometria
 Ponto de partida, 3
Circunferências e círculos, 4
1. Introdução, 4
2. Circunferência e círculo, 6
3. Gráfico de setores, 11
4. Divisão da circunferência em partes iguais 
e do círculo em setores iguais, 16
5. Posições relativas de uma reta 
e de uma circunferência, 22
6. Posições relativas entre um ponto 
e uma circunferência, 24
7. Posições relativas de duas circunferências, 25
8. Ângulos em uma circunferência, 27
 Ponto de chegada, 46
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Corrida de bicicletas
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 Ponto de partida
Sob a orientação do professor, converse com os colegas e responda 
às questões:
1. O contorno de uma roda pode ser representado por uma 
circunferência. Esse contorno é um polígono? Justifique. 
2. No modelo de bicicleta antiga, os raios de arame da roda maior 
dividem-na em 15 partes iguais. Quanto mede cada ângulo 
formado por dois raios consecutivos? 
3. Quantos pontos comuns podem ter duas circunferências de raios 
diferentes localizadas no mesmo plano? 
4. Suponha que a soma das medidas dos diâmetros de duas 
circunferências seja 1,60 m, e a diferença entre seus raios seja 0,60 m. 
Se x é o diâmetro da maior e y da menor, quanto valem x e y? 
MÓDULO
Geometria
Há milhares de anos, os seres humanos usam formas circulares 
em suas máquinas. Nos meios de transporte, por exemplo, elas 
são fundamentais. Estima-se que, dos tradicionais carros de 
boi aos modernos aviões, haja atualmente cerca de 5 bilhões de 
rodas girando pelo mundo. A imagem ao lado 
representa um modelo antigo de bicicleta, 
que apresenta rodas de tamanhos 
diferentes estruturadas com 
raios de arame.
representa um modelo antigo de bicicleta, 
Modelo antigo de bicicleta
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Circunferências 
e círculos
1 Introdução
É possível imaginar a humanidade sem a circunferência ou o círculo? Já pensou, 
por exemplo, como seria o mundo sem a roda?
A roda foi uma das maiores invenções da humanidade e surgiu há vários milênios.
O antigo povo egípcio já fazia uso de toras de madeira para transportar grandes 
pesos. Veja uma representação dessa situação.
Veículos com rodas puxados por animais já eram usados na antiga Mesopo-
tâmia. Um dos vestígios deixados pelas civilizações que habitaram essa região é 
uma pedra de argila, datada de 3500 a.C., com o desenho de uma carroça que 
usava discos de madeira como rodas.
Com o tempo, para que a roda se tornasse mais leve e veloz, foram -se fazen-
do aberturas, o que deu origem à roda com raios. Por volta de 2000 a.C., sumérios 
e persas usavam rodas feitas de madeira com aros e protegidas por uma circunfe-
rência de metal para evitar o desgaste.
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Representação da evolução da roda.
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Geometria4
 Objetivos:
• Reconhecer e interpretar as 
características e propriedades 
de uma circunferência e de um 
círculo. 
• Associar retas, pontos e 
circunferências com relação a 
suas posições no plano.
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A partir daí, a roda foi se desenvolvendo, encontrando-se cada 
vez mais diferentes aplicações para ela ao longo da História.
Atualmente, a roda continua presen-
te nas mais diversas situações do dia a dia.
Como você pôde ver, a circunferên-
cia e o círculo, que estão presentes não só 
na roda mas também em muitos outros 
objetos do cotidiano, são extremamente 
importantes na vida do ser humano. Neste 
módulo, vamos estudar as características 
e propriedades dessas figuras geométri-
cas, ampliando os conhecimentos que 
você tem sobre elas.
Roda -gigante às margens do 
lago Titiwangsa, Kuala Lumpur, 
Malásia. Foto de 2012.
Com seu movimento giratório, a roda tornou -se 
parte de engrenagens que movimentam 
máquinas e motores.
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No século XIX, surgem as bicicletas com raios de 
arame nas rodas.
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Fotografia realizada durante a filmagem de Tempos modernos, em 1936, mostra Charles 
Chaplin, no papel de Carlitos, lubrificando uma máquina cheia de engrenagens.
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Geometria 5
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2 Circunferência e círculo
Observe as fotografias abaixo.
Egídio está segurando uma bola que 
lembra a forma de uma esfera.
Regina está segurando um cilindro. 
A face que está apoiada na palma 
de sua mão lembra um círculo.
Caio está deslizando o dedo pela 
borda de um copo. Essa borda 
lembra a forma de uma circunferência.
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Uma circunferência 
é formada por todos os pontos 
de um plano cuja distância a um 
ponto do mesmo plano (centro) 
é sempre a mesma.
Todo segmento de reta
que liga dois pontos da 
circunferência e passa pelo centro é 
chamado de diâmetro da 
circunferência.
O centro 
não faz parte da 
circunferência.
Círculo 
é a região plana 
limitada por uma 
circunferência.
Todos os raios 
têm a mesma medida de 
comprimento.
Todo segmento de reta
que liga um ponto da circunferência 
ao centro é chamado de raio da 
circunferência.
Agora, leia as informações a seguir.
Todo diâmetro 
mede o dobro 
do raio.
Geometria6
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Exercícios 
 1. Observe a circunferência ao lado e os pontos assinalados com letras e responda às questões.
 a ) Qual desses pontos é o centro da circunferência?
O.
 b ) Quais desses pontos pertencem à circunferência? 
A, B, G, D e F.
 c ) Quais dos segmentos assinalados são raios da circunferência? 
 d ) Qual dos segmentos assinalados é um diâmetro da circunferência? 
 e ) Quanto mede o raio dessa circunferência? E o diâmetro? 
1,35 centímetros e 2,7 centímetros.
 2. Responda às questões:
 a ) Se o raio de uma circunferência mede 9 centímetros, quanto mede seu diâmetro? 
18 centímetros
 b ) Se o diâmetro de uma circunferência mede 9 centímetros, quanto mede seu raio? 
4,5 centímetros
, , , e .OB OG OD OF OA
AD .
 3. Há várias maneiras de traçar uma circunferência. Veja algumas delas.
Escolha a maneira que quiser e trace quatro circunferências de tamanhos diferentes. 
Alerte os alunos de que, para traçar 
uma circunferência com compasso, 
inicialmente, marcamos um ponto no 
papel, que é o centro da circunferência. 
Sempre que forem propostas 
atividades que envolvem construções 
geométricas, explique aos alunos 
como proceder. No Manual do 
Professor, há sugestões de textos e 
atividades que podem ser trabalhados 
com a classe.
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Resposta pessoal.
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 Para construir:
 Exercícios 1 a 8 (p. 7 a 9)
 Você sabia?
O símbolo olímpico é formado por 
cinco circunferências. Cada uma 
delas representa um dos cinco 
continentes.
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Geometria 7
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 4. Use duas moedas de tamanhos diferentes para traçar:
 a ) duas circunferências com dois pontos comuns. 
 b )
duas circunferências com um só ponto comum.
 c ) duas circunferências sem ponto comum. 
ou
ou
Destaque para os alunos que, nos itens b e c, há duas respostas.
Respostas pessoais. Exemplos: volante de 
automóvel, anel, tampa de panela ou o 
contorno dela, praças circulares ou seus 
contornos, etc.
 5. Marque um ponto O, que será o centro de uma circunferência. Use o compasso e trace uma circunferência com raio de 3 centí-
metros. Em seguida, marque também:
 a ) um raio OR;
 b ) um diâmetro AB;
 c ) uma corda LS (segmento de reta com extremidades na 
circunferência), mas que não seja um diâmetro. 
 6. Use o compasso e trace:
 a ) uma circunferência com raio de 2,5 cm.
 b ) uma circunferência com diâmetro de 6 cm.
 c ) duas circunferências concêntricas (de mesmo centro) e raios de 2 cm e 3 cm.
 d ) duas circunferências tais que o centro de uma seja ponto da outra.
 e ) duas circunferências tais que o diâmetro de uma seja o raio da outra. 
Possível resposta: L
S
A
B
R
O
2,5 cm
3 cm
3 cm
2 cm
 Bate-papo
Converse com seus colegas sobre 
diferentes objetos que têm a forma 
de circunferência ou círculo. Depois, 
registrem pelo menos três 
exemplos.
Geometria8
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 7. Geometria e arte
Veja os mosaicos construídos com circunferências. Use a malha quadriculada e compasso, copie um deles e crie mais alguns. 
Estimule a criatividade dos alunos, incentivando -os a “fazer arte” com Geometria.
 Você sabia?
O tiro com arco (arco e flecha) é um esporte olímpico. Conheça um pouco sobre ele:
• O alvo tem 1,22 metro de diâmetro.
• Nele, há dez circunferências de mesmo centro.
• A cada duas circunferências, há mudança de cor.
• O círculo amarelo é conhecido por mosca e tem 12,2 centímetros de diâmetro.
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O tiro com arco (arco e flecha) é um esporte olímpico. Conheça um pouco sobre ele:
Alvo utilizado no esporte 
arco e flecha.
 8. Quanto mede o raio do alvo citado no Voc• sabia acima? 
0,61 metro ou 61 centímetros
 
 Você sabia?
A vitória -régia, planta característica da Amazônia, possui folhas 
circulares e flutuantes que chegam a medir até 2 metros de diâmetro. 
Suas flores, as maiores das Américas, com 30 centímetros de diâmetro, 
possuem pétalas brancas ou rosadas que só se abrem à noite.
Vitória -régia
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Geometria 9
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Circunferência, ângulo central, 
círculo e setor circular
Analise as figuras abaixo.
O ângulo central em uma 
circunferência é todo ângulo 
que tem como vértice o centro 
dessa circunferência.
Circunferência Ângulo central em
uma circunferência
O
Círculo Setor circular
O
O setor circular é qualquer 
uma das partes do círculo 
determinadas por um 
ângulo central.
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Pizza cortada em fatias iguais.
Exercícios 
 9. Cálculo mental
Atividade em equipe
Em cada item, um aluno determina mentalmente as medidas indicadas pelas letras e justifica o procedimento. Os demais con-
ferem a resposta.
 a ) b ) c ) d ) 
 10. Usando régua, compasso e transferidor, construa:
 a ) uma circunferência com centro O e raio de 3 centímetros. Trace nela um raio OA.
20º
100º
80º
30º
x
 
x 5 130º (360 2 (30 1 
1 80 1 20 1 100)) 
50¼
x
y
z
x 5 50º (o.p.v.), 
y 5 130º (180 2 50), 
z 5 130º (z 5 y)
160º
120º
xx
x 5 40º (160 1 120 5 280, 
360 2 280 5 80, 80 : 2 5 40) 
x
xx
x 5 120º (360º ; 3)
 Para construir:
 Exercícios 9 e 10 (p. 10 e 11)
3 cm
A
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Geometria10
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3 Gráfico de setores
Os gráficos são importantes recursos para a transmissão de dados e informações. 
Por isso, é comum encontrarmos gráficos em jornais, revistas, na televisão ou na internet.
Existem vários tipos de gráfico; cada um é usado de acordo com a conveniência.
Veja os exemplos abaixo.
Rússia Canadá China
5
10
15
20
País
Milhões
de km2
Estados
Unidos
Brasil
17
 
075 400
9
 
976 139 9
 
596 961 9
 
363
 
 520
8
 
514 876
Gráfico de colunas ou de barras
Fonte: IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Disponível em: <http://7a12.
ibge.gov.br/images/7a12/mapas/mundo/continentes.pdf>. Acesso em: 6 maio 2015.
Países mais extensos do mundo
Acesse o portal e veja o 
conteúdo “Trabalhando com 
gráficos”.
 b ) uma circunferência com centro M e raio de 4 centímetros. Trace nela um diâmetro EF .
 c ) uma circunferência com raio de 2 centímetros. Trace nela um ângulo central de 40º.
 d ) uma circunferência com raio de 2,5 centímetros. Pinte nela um setor circular com ângulo de 110º.
4 cm4 cm
FE
M
40º
2 cm
110º
2,5 cm
Geometria 11
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A construção de gráficos de setores requer conhecimentos que envolvem 
circunferência e ângulos, conforme veremos na situação a seguir.
A escola em que Paula estuda está organizando uma campanha de doação de 
livros para montar uma biblioteca em um bairro de João Pessoa, na Paraíba.
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Alunos organizando livros para doação.
Neste módulo, pela natureza do seu assunto, vamos abordar apenas os gráficos 
de setores (ou de pizza).
Parte orgânica
Parte gasosa
Parte líquida
Parte mineral
5%
45%
25%25%
Legenda:
Gráfico de setores
Fonte: Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária – Embrapa. Disponível em: <http://
sistemasdeproducao.cnptia.embrapa.br/FontesHTML/Melao/
SistemaProducaoMelao/manejo_do_solo.html>. Acesso em: 6 maio 2015.
Composição do solo ideal
Gráfico de segmentos
1950
50
19701960 1980 20001990 2010
70
95
100
145
170
190
200
Número
em milhões
Ano
Fonte: IBGE – Censo 2010. Disponível em: <www.censo2010.ibge.gov.br/index.php>. Acesso em: 6 maio 2015.
Crescimento da população brasileira de 1950 a 2010
Geometria12
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Foram doadas, de segunda -feira a sábado, as seguintes quantidades de livros: 
25 livros na segunda -feira, 20 na terça -feira, 35 na quarta -feira, 25 na quinta -feira, 45 
na sexta -feira e 50 no sábado.
Para registrar as doações, os professores de Matemática e os alunos montaram 
um gráfico de setores usando proporcionalidade.
Veja como ficou a distribuição das doações de livros durante a semana.
Inicialmente, calcularam o total de livros: 25 1 20 1 35 1 25 1 45 1 50 5 200.
Depois, determinaram os ângulos de cada setor e, usando transferidor, construí-
ram os setores.
200 livros 360º
20 livros 36º
5 livros 9º
Segunda -feira 5 ? 5 5 25 livros → 5 ? 9º 5 45º
Terça -feira 4 ? 5 5 20 livros → 4 ? 9º 5 36º
Quarta -feira 7 ? 5 5 35 livros → 7 ? 9º 5 63º
Quinta -feira 5 ? 5 5 25 livros → 5 ? 9º 5 45º
Sexta -feira 9 ? 5 5 45 livros → 9 ? 9º 5 81º
Sábado 10 ? 5 5 50 livros → 10 ? 9º 5 90º
: 10 : 10
: 4 : 4
Dados fictícios.
Quarta-feira
Quinta-feira
45º
63º36º
45º
90º 81º
Sexta-feira
Sábado
Segunda-feira
Terça-feira
Doação de livros durante a semana
Exercícios 
 11. Com base nas informações sobre os livros doados, faça o que se pede.
 a ) Calcule qual foi a média diária de livros doados. 
 b ) Responda e justifique:
• Em que dia da semana o número de doações foi maior? 
No sábado (50 livros).
• Em que dia da semana o número de doações corresponde a 10% do total? 
Na terça -feira (10% de 200 5 20).
• O número de livros doados na sexta -feira corresponde a quanto por cento do total? 
22,5%
Aproximadamente 33 livros por dia (200 : 6).
45 em 200 45
200
22,5
100
22,5%5 5 5


 Para construir:
 Exercícios 11 a 13 (p. 13 e 14)
Geometria 13
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 12. Observe o gráfico de setores abaixo.
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Distribuição
da população brasileira por 
regiões, de acordo com o Censo 2010
Fonte: IBGE. Censo Demográfico, 2010.
Converse com os colegas e depois, com base no gráfico, responda:
 a ) Qual é a região mais populosa? 
Região Sudeste.
 b ) Essa região detém mais ou menos do que 50% da população 
brasileira?
Menos.
 c ) Qual região é mais populosa: a Norte ou a Centro -Oeste?
As duas regiões apresentam aproximadamente a mesma população.
 d ) A região Nordeste reúne mais ou menos do que 25% da população brasileira?
Um pouco mais.
 e ) Considerando a população total do Brasil em aproximadamente 191 milhões de habitantes no ano de 2010, faça uma estima-
tiva da população da região Sudeste nesse ano. 
Resposta pessoal. Supõe -se que os alunos calcularão entre 40% e 45% de 191 milhões (a população exata da região Sudeste, em 2010, era 80 364 410 
habitantes, segundo o Censo 2010).
 f ) Analisando o gráfico e o mapa, a região mais populosa é a de maior área? 
Não (mais populosa: Sudeste; maior área: Norte).
 13. Na escola de Osvaldo, vão ser promovidos torneios esportivos. Para isso, a diretoria fez uma pesquisa entre os alunos, pergun-
tando: “Qual é o seu esporte favorito?”. Veja o resultado da votação na classe de Osvaldo e, a partir dele, construa o gráfico de 
setores correspondente.
0 600 1 200 km
ESCALA
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PR
SP
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MT
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PB
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ESOCEANO
PACÍFICO
0º
OCEANO
ATLÂNTICO
Região Nordeste
Região Norte
Região Centro-Oeste
Região Sudeste
Região Sul
Equador
Trópico de C
apricórnio
55º O
Brasil: divisão regional
Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro, 2012.
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Votantes: 16 1 8 1 12 1 4 5 40; 40 votos → 360º; 4 votos → 36º; futebol: 16 votos (4 ? 4) → 4 ? 36º 5 144º; 
vôlei: 8 votos → 72º (metade de 144º); tênis: 12 votos → 108º (3 ? 36º); basquete: 4 votos → 36º.
144º
36º
108º
72º
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Futebol:
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ck
Partida de basquete
Geometria14
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Gráfico de setores e porcentagem
Em uma eleição participaram três candidatos: A, B e C.
Veja o resultado da eleição em porcentagem de votos recebidos.
A: 35%
dos votos.
B: 25%
dos votos.
C: 30%
dos votos.
Analise como foi construído o setor referente ao candidato A.
35% de 360º 5 126º
35
100
7
20
5
 
360 20
220 18
160
2 160
0 
18
3 7
126
5
 
Votos
em branco
e votos
nulos
36º
126º
 Candidato A
108º
C
90º
B
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Votos em branco 
e votos nulos: 
10% dos votos.
Exercícios 
 14. Complete o gráfico de setores acima com as votações de B e C e com os votos em branco e os votos nulos. 
 15. Os 400 alunos do 6o ao 9o ano do período da tarde da escola de João estão distribuídos 
de acordo com o gráfico de setores ao lado.
Com base no gráfico, determine a porcentagem e o número de alunos correspondentes 
a cada ano. Registre esses dados na tabela a seguir:
Alunos do 6o ao 9o ano no período da tarde
Anos Porcentagem Número de alunos
6o 25%
100
25% de 400 5 100
7o 30%
120
30% de 400 5 120
8o 25% 100
9o 20%
80 
20% de 400 5 80
Dados fictícios.50% 2 20% 5 30%
B: 25% de 360o 5 90o
C: 30% de 360o 5 108o
Brancos e nulos: 10% de 360o 5 36o
 360º → 100%
 36º → 10%
 72º → 20% 
;10 ;10
32 32
25% de 400 5 100; 20% de 400 5 80; 50% 2 20% 5 
5 30%; 30% de 400 5 120.
Como montar 
o gráfico de setores com 
os resultados dessa 
elei•‹o?
Alunos do 6o ao 9o ano no 
período da tarde
Dados fictícios.
72°
6o ano
7o ano
8o ano
9o ano
 Para construir:
 Exercícios 14 a 16 (p. 15 e 16)
Geometria 15
M
A
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M
Á
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A
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1o) Efetuamos uma divisão para 
determinar a medida do ângulo 
central.
360º 5
235 72º
10
210
0
2o) Traçamos uma circunferência e, 
usando um transferidor, marca-
mos o ângulo central.
72¼
3o) Com o compasso, marcamos as 
demais divisões; ligando o cen-
tro com cada divisão, obtemos 
cinco setores iguais.
Vamos aprender a fazer essa divisão usando régua, compasso e transferidor.
Observe o exemplo com a divisão em cinco partes iguais.
 16. O gráfico de colunas ao lado registra a venda de livros de segunda a quinta -feira 
em uma livraria. Construa o gráfico de setores correspondente, porém indican-
do as porcentagens de cada dia.
Total de livros: 20 1 40 1 80 1 60 5 200
Porcentagens:
 • segunda-feira: 20 em 200 5 20
200
10
100
5 5 10%
 • terça-feira: 40 em 200 5 40
200
20
100
5 5 20%
 • quarta-feira: 80 em 200 5 40%
 • quinta-feira: 60 em 200 5 30%
Ângulos:
 • segunda-feira: 10% de 360º 5 36º
 • terça-feira: 20% de 360º 5 72º
 • quarta-feira: 40% de 360º 5 144º
 • quinta-feira: 30% de 360º 5 108º
10%
20%
30%
40%
144º
108º
72º
36º
segunda-
-feira
terça-feira
quarta-feira
quinta-feira
Venda de livros de segunda a quinta-feira
Dados fictícios.
segunda-
-feira
terça-
-feira
quarta-
-feira
quinta-
-feira
20
40
60
80
Dias da
semana
Número de
livros vendidos
4 Divisão da circunferência 
em partes iguais e do círculo 
em setores iguais
Constantemente surge a necessidade de dividir uma circunferência em partes 
iguais ou um círculo em setores iguais.
Roda do leme de barco.
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Vitral da Catedral de 
Estrasburgo, França. 
Foto de 2014. 
Geometria16
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Exercícios 
 17. Reproduza cada passo explicado acima para dividir a circunferência em cinco partes iguais.
 18. Reproduza, nos espaços abaixo:
 a ) a divisão de uma circunferência em dez partes iguais. 
 b ) a divisão de um círculo em seis setores iguais. Pinte cada um de uma cor. 
360º : 10 5 36º
360º : 6 5 60º
Construção de polígonos regulares
Para montar um jogo, Felipe precisava construir um pentágono regular, ou seja, 
um polígono de 5 lados que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos 
congruentes.
Felipe foi pedir ajuda à sua irmã mais velha, Mariana. Veja o que ela disse.
72¼
Fazemos a divisão de uma 
circunferência em cinco 
partes iguais.
Cada ponto da divisão é um 
vértice do polígono regular.
360º 5
235 72º
10
210
0
Use papel sulfite para fazer o exercício a seguir.
 Para construir:
 Exercícios 17 e 18 (abaixo)
 Para aprimorar:
 Conexões (p. 19 e 20)
 Jogo (p. 21)
Exercícios 
 19. Construa um hexágono regular no espaço abaixo. 
360º : 6 5 60º
60¡
 Para construir:
 Exercícios 19 a 23 (p. 17 e 18)
Geometria 17
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J
a
c
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k
/K
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 20. A estrela -do -mar é um animal invertebrado e carnívoro. Ela costuma se alimentar principalmente de moluscos, como mariscos 
e ostras. Com seus braços, ela força a abertura das conchas desses animais e se alimenta deles. Depois, ela permanece até dez 
dias em jejum. Geralmente, a estrela -do -mar é encontrada semienterrada no fundo do mar.
Observe a figura da estrela -do -mar e responda:
 a ) Que polígono será obtido ligando as “pontas” da estrela -do -mar?
Pentágono.
 b ) Quanto mede aproximadamente o ângulo destacado? 
 21. Construa uma placa como a representada na fotografia ao lado.
Depois, escreva uma frase referente ao respeito à sinalização de trânsito e leia para seus colegas. 
 22. Descubra e escreva qual é a medida do ângulo central cujos lados passam por dois vértices consecutivos de cada
polígono re-
gular indicado:
 a ) 
120º (360º ; 3)
?
Triângulo equilátero
(triângulo regular)
 b ) 
90º (360º ; 4)
?
Quadrado
(quadrilátero regular)
 c ) 
36º (360º ; 10)
?
Decágono
regular
 d ) Octógono regular 45º (360º ; 8)
 e ) Eneágono regular 40º (360º ; 9)
 f ) Dodecágono regular (12 lados) 30º (360º ; 12)
 g ) Icoságono regular (20 lados) 18º (360º ; 20)
 23. Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo central mede 24º? 
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 C
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m
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g
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Estrela -do -mar
72º (360º ; 5)
Resposta pessoal.
A construção da placa é feita com um octógono regular.
15 lados (360 ; 24 5 15; 24º “cabem” 15 vezes em 360º; é o pentadecágono)
Placa de trânsito em 
formato octogonal
Geometria18
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Conexões
 Ciências Humanas e suas Tecnologias
 Ciências da Natureza e suas Tecnologias
 Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
 Matemática e suas Tecnologias
 1. Calcule a redução em porcentagem dos casos de dengue de 2013 para 2014 e confira 
com a informação apresentada no título. 
 2. Construa uma tabela com os dados, por região, dos casos de dengue do período de 
janeiro e fevereiro de 2013 e de 2014.
 3. Construa dois gráficos de setores, um para os casos de dengue de 2013 e outro para 
os casos de dengue de 2014, por região do Brasil. Indique a porcentagem dos casos 
em cada região.
 4. De quanto foi a redução percentual nos casos de dengue em sua região?
Resposta pessoal.
1427 2 87 5 340; 340 em 427 5 340
427
 5 0,796 . 80%2
Aproximadamente 80%.
Casos de dengue por região do Brasil no 
período de janeiro e fevereiro de 2013 e 2014
Região
Casos de 
dengue em 
2013
Casos de 
dengue em 
2014
Sudeste 232,5 mil 36,9 mil
Centro-Oeste 122,8 mil 28,2 mil
Nordeste 29,6 mil 7,9 mil
Norte 22,3 mil 6,9 mil
Sul 20,3 mil 6,9 mil
Fonte: Portal Brasil.
Sul
5%
Norte
5%
Nordeste
7%
Sudeste
54%
Centro-
-Oeste
29%
Casos de dengue por região do Brasil no 
período de janeiro e fevereiro de 2013
Sul
8%
Norte
8%
Nordeste
9%
Sudeste
43%Centro-
-Oeste
32%
Casos de dengue por região do Brasil no 
período de janeiro e fevereiro de 2014
Casos de dengue caem 80% no primeiro bimestre de 2014
O Ministério da Saúde registrou 87 mil notificações entre janeiro e fevereiro de 
2014 contra 427 mil no mesmo período de 2013. A queda também foi observada em 
relação às ocorrências graves (84%) e óbitos (95%). Apesar da redução expressiva, o 
Ministério da Saúde ressalta a importância de manter o alerta e a necessidade de dar 
continuidade às ações preventivas.
Casos
Todas as regiões do país reduziram o número de casos no primeiro bimestre 
de 2014. A região Sudeste obteve a maior redução: passou de 232,5 mil notificações 
em 2013 para 36,9 mil [em 2014]. Em segundo lugar está o Centro-Oeste, que pas-
sou de 122,8 mil (2013) registros para 28,2 mil (2014), seguido do Nordeste, que teve 
queda de 29,6 mil (2013) para 7,9 mil (2014); Norte, de 22,3 mil (2013) para 6,9 mil 
(2014) e Sul, de 20,3 mil (2013) para 6,9 mil (2014).
Dez estados concentram 86% dos casos registrados em 2014. As cidades com 
o maior número são Goiânia (GO), 6 089; Luziânia (GO), 2 888; Aparecida de Goiânia 
(GO), 1 838; Campinas (SP), 1 739; Americana (SP), 1 692; Belo Horizonte (MG), 1 647; 
Maringá (PR), 1 540; São Paulo (SP), 1 536; Brasília (DF), 1 483; e Campo Belo (MG), 1 410.
Fonte: Portal Brasil. Disponível em: <www.brasil.gov.br/saude/2014/03/
casos-de-dengue-caem-80-no-primeiro-bimestre-de-2014>. Acesso em: 6 maio 2015.
Oriente os alunos na elaboração dos gráficos, 
que poderão ser feitos manualmente, com a 
utilização de um compasso e de um transferidor 
ou, caso julgue adequado, no computador, com 
o auxílio de uma planilha eletrônica.
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Aedes aegypti, mosquito 
transmissor da dengue.
Geometria 19
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 5. Todos devemos fazer nossa parte na prevenção contra a dengue!
Você sabe quais são os cuidados que devemos tomar para evitar a reprodução do 
mosquito transmissor da dengue? A melhor forma é combater os focos de acúmulo 
de água, locais propícios para a criação do mosquito transmissor da doença. Veja 
algumas dicas no cartaz abaixo.
 Depois de ler o cartaz, pesquise mais informações sobre a doença, como sintomas e 
formas de tratamento de uma pessoa infectada. Socialize as informações em sala de aula.
 6. Reúna-se com os colegas e realizem uma campanha de prevenção contra a dengue. 
Elaborem folhetos explicativos e cartazes para orientar as outras turmas e aproveitem 
para levar informações para vizinhos, famíliares e amigos. 
Resposta pessoal.
Oriente a turma na elaboração de cartazes informativos que poderão ficar expostos no mural da escola. 
Esses cartazes poderão ser produzidos em conjunto com a disciplina de Língua Portuguesa em forma de 
versos e poemas.
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Dia D contra a dengue mobiliza agentes de saúde em todo o país
Dia 6 de dezembro é o "Dia D de mobilização no combate à dengue", campanha 
nacional do Ministério da Saúde, que levou agentes às ruas de todo o país para 
conscientizar as pessoas sobre a importância de tomar cuidados e evitar a repro-
dução do Aedes aegypti, mosquito transmissor da doença.
Fonte: Jornal do Brasil. Disponível em: <www.jb.com.br/ciencia-e-tecnologia/noticias/2014/12/06/
dia-d-contra-a-dengue-mobiliza-agentes-de-saude-em-todo-o-pais>. Acesso em: 6 maio 2015.
Esta atividade poderá ser desenvolvida com o 
professor de Ciências, que certamente terá 
informações técnicas importantes quanto à 
proliferação do mosquito e à prevenção contra 
o vírus causador da doença. Sugestão de link 
para pesquisa: <www.dengue.org.br/dengue_
prevenir.html> (acesso em: 6 abr. 2015).
Aedes aegypti, mosquito transmissor da dengue. 
Fonte: Site da Dengue. Disponível em: <www.dengue.org.br/dengue_prevenir.html>. Acesso em: 6 maio 2015.
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o
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Mantenha a caixa 
d’água sempre fechada 
com tampa adequada.
Encha de areia até a 
borda os pratinhos dos 
vasos de planta.
Remova folhas, galhos 
e tudo que possa 
impedir a água de 
correr pelas calhas.
Se você tiver vasos de 
plantas aquáticas, troque a 
água e lave o vaso 
principalmente por dentro 
com escova, água e sabão 
pelo menos uma vez por 
semana.
Não deixe a água da 
chuva acumulada 
sobre a laje.
Guarde garrafas 
sempre de cabeça para 
baixo.
Lave semanalmente 
por dentro, com escova 
e sabão, os tanques 
utilizados para 
armazenar água.
Entregue seus pneus 
velhos ao serviço de 
limpeza urbana ou 
guarde-os sem água 
em local coberto e 
abrigados da chuva.
Mantenha bem 
tampados tonéis 
e barris d’água.
Coloque o lixo em 
sacos plásticos e 
mantenha a lixeira bem 
fechada. Não jogue lixo 
em terrenos baldios.
Geometria20
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Jogo
Junte setores
Número de participantes: 2
Material necessário: 5 círculos com raios de 2 centímetros cada um e de cores diferentes, construídos por cada participante.
Como jogar:
Cada participante deve dividir os círculos, respectivamente, em 2, 4, 5, 8 e 10 partes iguais e recortar todos os setores circulares. 
• Depois deve montar um círculo usando os setores. É necessário usar, no mínimo, 3 setores diferentes.
• O maior e o menor setor devem ser descartados e cada participante calcula a porcentagem correspondente à parte restante do 
círculo. Essa porcentagem definirá os pontos obtidos pelo participante na rodada.
Exemplo de uma rodada:
Ganha quem obtiver mais pontos ao final de três rodadas. Nesse caso, o participante 2 ganhou.
25%
25%
20%
20%
12,5%
PARTICIPANTE 1 PARTICIPANTE 2
37,5 pontos 65 pontos
Geometria 21
M
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A
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5 Posições relativas de uma reta 
e de uma circunferência
Em um mesmo plano, uma reta e uma circunferência podem ter um único ponto 
comum, dois pontos comuns ou não ter pontos comuns. Veja:
r
C
t
A reta t é tangente
à circunferência.
r
B
A
s
A reta s é secante
à circunferência.
r
u
A reta u é externa
à circunferência.
Qualquer reta tangente a uma cir-
cunferência é perpendicular ao raio no 
ponto de tangência: t .CT
C
T
t
Considera -se como distância d de
um ponto P a uma reta m a medida do
segmento de reta que vai desse ponto até
um ponto da reta, perpendicularmente.
P
d
m
Considere d a distância do centro da circunferência à reta dada, e r a medida do 
raio. Vamos comparar d e r nos três casos apresentados acima.
 a ) A reta é tangente à 
circunferência:
 b ) A reta é secante à 
circunferência:
 c ) A reta é externa à 
circunferência:
O
A 5 P
d 5 r
r
d
O
AB P
r
d
d , r
A
P
O
r
d
d . r
Geometria22
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Circunferência inscrita em um polígono e 
circunferência circunscrita a um polígono
Se todos os lados de um polígono são tangentes a uma circunferência, dizemos 
que a circunferência está inscrita no polígono.
Se todos os vértices de um polígono pertencem à circunferência, dizemos que a 
circunferência está circunscrita ao polígono.
Circunferência inscrita
no quadrado
Circunferência circunscrita
ao hexágono
Se a circunferência está inscrita no polígono, dizemos que o polígono está cir-
cunscrito à circunferência. E, se a circunferência está circunscrita ao polígono, dizemos 
que o polígono está inscrito na circunferência.
Exercícios 
 24. Atividade em dupla
Observem as figuras abaixo e respondam às questões.
 
 a ) O que é circunferência circunscrita a um triângulo? 
É a circunferência que passa pelos três vértices do triângulo.
 b ) O que é e como se obtém o circuncentro de um triângulo?
Circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Ele é obtido no encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.
 c ) O que é circunferência inscrita em um triângulo? 
É a circunferência que tem os três lados do triângulo tangentes a ela.
 d ) O que é e como se obtém o incentro de um triângulo?
Incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Ele é obtido no encontro das bissetrizes do triângulo.
 e ) Como se obtêm os pontos de tangência dos lados do triângulo com a circunferência inscrita? 
Ligando o incentro aos lados do triângulo, perpendicularmente.
 Para construir:
 Exercícios 24 a 27 (p. 23 e 24)
Geometria 23
M
A
T
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M
Á
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A
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 25. Pode -se dizer que na figura abaixo a circunferência está inscrita no quadrilátero? Por quê?
O
C
D
A B
Sim, pois os lados do quadrilátero são tangentes à circunferência.
 26. Sendo ePT PQ segmentos de reta congruentes e tangentes à circunferência, determine suas medidas sabendo que o raio da 
circunferência mede 3,5 centímetros e que o perímetro do quadrilátero PTOQ é de 28 centímetros. 
T
Q
O P
 27. A, B e C representam três bairros de uma cidade. Se uma escola for construída para atender aos três bairros, qual é sua locali-
zação ideal? 
Faça uma construção localizando o ponto em que deve ser construída a escola. 
10,5 cm 28 2 3,52 ?
2
( )
No circuncentro do nABC.
6 Posições relativas entre 
um ponto e uma circunferência
Em um mesmo plano, um ponto e uma circunferência podem estar nas seguintes 
posições:
O
P
O
P
O P
O ponto P é pertencente 
à circunferência.
O ponto P é interno à 
circunferência.
O ponto P é externo à 
circunferência.
P
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u
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 M
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A
B
C
E
Geometria24
SER_EF2_Matematica8_M4_C1_001_048.indd 24 07/04/16 09:51
Seja d a distância do centro da circunferência até o ponto P e r o raio da circunfe-
rência. Vamos comparar d e r nos três casos:
• P pertence à 
circunferência. • 
P é interno. • P é externo.
O
P
r
d
O
P
r
d
O
r
d
P
d 5 r d , r d . r
7 Posições relativas 
de duas circunferências
Duas circunferências que têm o mesmo centro são denominadas circunferências 
concêntricas.
Na figura ao lado, C
1
 (de centro O
1
) e C
2
 (de centro O
2
) são circunferências concên-
tricas, pois os dois centros coincidem (O
1
 ; O
2
).
Veja agora as diferentes posições de duas circunferências distintas, quando con-
sideramos o número de pontos comuns às duas:
1o caso: Circunferências com um só ponto comum (circunferências tangentes)
r
2
r
1
O
2
O
1
A
d
O
2
O
1
A
d
d é a distância entre os centros.
 
O
1
 ; O
2
r
2
r
1
C
2
C
1
Tangentes externas:
d 5 r
1
 1 r
2
Tangentes internas:
d 5 r
1
 2 r
2
, com r
1
 . r
2
Os dois centros e o ponto 
de tangência são sempre 
colineares.
2o caso: Circunferências com dois pontos comuns (circunferências secantes)
O
2
O
1
r
1 r
2
A
B
d
r
1
 2 r
2
 , d , r
1
 1 r
2
, com r
1
 > r
2
3o caso: Circunferências sem ponto comum
O
2
O
1
r
1
r
2
A B
d
O
2
O
1
B
A
d
Externas: d . r
1
 1 r
2
Internas: d , r
1
 2 r
2
 , com r
1
 . r
2
Geometria 25
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
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Exercícios 
 28. Quais são as posições relativas das duas circunferências em cada caso?
 a ) c ) e ) 
 b ) d ) f ) 
 29. Observe, na figura a seguir, as circunferências tangentes externas duas a duas. Sabendo que os raios medem 4, 3 e 2 centíme-
tros, calcule as medidas dos lados do triângulo O
1
O
2
O
3
 com vértices nos centros das circunferências. Depois, classifique esse 
triângulo quanto às medidas de seus lados.
2
2
3
3
4
4
O
2
O
1
O
3
 30. Duas circunferências de centros O e P são secantes e seus raios medem 4 centímetros e 9 centímetros. Determine os possíveis 
valores da distância entre O e P. 
 31. Duas circunferências tangenciam -se externamente e a distância entre os centros é de 10 centímetros. A medida do raio da cir-
cunferência menor é 23 da medida do raio da circunferência maior. Quanto medem esses raios?
Secantes. Tangentes externas 
Sem ponto comum 
e externas.
 Tangentes internas. 
Sem ponto comum, 
internas e concêntricas.
Sem ponto comum, internas 
e não concêntricas.
7 centímetros, 6 centímetros, 5 centímetros; triângulo escaleno.
Maior do que 5 cm (9 2 4) e menor do que 13 cm (9 1 4).
6 centímetros e 4 centímetros 2
3
10 2 3 30 6x x x x x1 5 1 5 5⇒ ⇒( )
 Para construir:
 Exercícios 28 a 31 (abaixo)
Geometria26
SER_EF2_Matematica8_M4_C1_001_048.indd 26 07/04/16 09:51
8 Ângulos em uma circunferência
Ângulo central
Você já estudou o que é um ângulo central.
AOB
ˆ é um ângulo central.
Suas características são:
• o vértice O é o centro da circunferência;
• seus lados determinam dois raios da circunferência )( e .OA OB
Examine este exemplo:
• :AOB
ˆ ângulo central de medida x
• »AB (em azul): arco de medida angular x
• ¼ASB (laranja): arco de medida angular 360º 2 x
Uma aplicação do ângulo central: 
traçado do hexágono regular
Na página 16, você estudou como construir polígonos regulares utilizando trans-
feridor. Vejamos agora como construir um hexágono regular sem o uso de transferidor.
A figura ao lado mostra um hexágono regular inscrito em uma circunferência. 
Ligando o centro O aos vértices, obtemos seis triângulos. 
Analisando o nAOB, deduzimos que ele é um triângulo equilátero, porque o ân-
gulo central AOBˆ mede 60º (360º ; 6), e AO> ,BO pois são raios. Logo, o nAOB é 
isósceles de base .AB
Então, m OABˆ( ) 5 5
2° °
m
180 60
2
OBA
ˆ( ) 5 60º, ou seja, o nAOB é isósceles 
equilátero.
Analogamente, os outros triângulos também são equiláteros.
Se os seis triângulos são equiláteros, a medida do lado do hexágono regular é 
igual à medida do raio.
Acompanhe as etapas que devemos seguir.
A
B
O
AS
B
x360º 2 x
O
A
O
B
Assim, fica fácil traçar
um hexágono regular com
lado de medida
, em uma 
circunferência.
Quando traçamos um 
ângulo central, ficam 
determinados dois arcos. 
Se o ângulo tem medida x, 
dizemos que os arcos têm 
medidas angulares x e 
360º 2 x.
 a ) Traçamos com compasso 
uma circunferência cujo raio 
mede ,.
,
 b ) Com a mesma abertura do 
compasso, dividimos a cir-
cunferência em seis partes 
iguais.
,
 c ) Ligamos os pontos obtidos a 
fim de traçar um hexágono re-
gular cujo lado mede ,.
,,
,
,
,
,
Geometria 27
M
A
T
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M
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IC
A
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Exercícios 
 32. Observe a figura abaixo e responda: Qual é a medida do arco ¼AMB ? 
B
A
M
270º (360º 2 90º)
 33. Em cada caso, calcule a medida do ângulo central determinado pelos ponteiros destes relógios que marcam horas exatas.
 a ) 
12
6
39
10 2
8 4
11 1
7 5
 b ) 
12
6
39
10 2
8 4
11 1
7 5
 c ) 
12
6
39
10 2
8 4
11 1
7 5
 d ) 
12
6
39
10 2
8 4
11 1
7 5
 34. Usando régua e compasso, construa um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência com 4 centímetros de raio. (Sugestão: 
faça a construção do hexágono regular e escolha os vértices adequadamente.) 
Il
u
s
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a
ç
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C
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 T
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o
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a
 e
d
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o
ra
Traçamos uma circunferência com 4 centímetros de raio e, com essa mesma abertura, marcamos seis pontos na circunferência. Escolhendo, alternadamente, 
um ponto sim e outro não, teremos os três vértices do triângulo equilátero. Basta ligá -los.
 Para construir:
 Exercícios 32 a 36 (p. 28 e 29)
150º 90º 90º 30º
Geometria28
SER_EF2_Matematica8_M4_C1_001_048.indd 28 07/04/16 09:52
 35. Geometria e arte
Use sua criatividade e construa um mosaico com hexágonos regulares. Pinte sua obra como quiser. Veja dois exemplos.
 36. Construindo uma rosa dos ventos
Para este exercício, você vai precisar de compasso, lápis de cor e esquadro.
Desenhe dois círculos com o mesmo centro (círculos concêntricos): um com 1,5 centí-
metro de raio e outro com 3 centímetros de raio.
Trace um segmento de reta que contenha o diâmetro do círculo menor e o do círcu-
lo maior. Com o esquadro, faça outro diâmetro que seja perpendicular ao primeiro. 
Desenhe agora outros dois diâmetros formando ângulos de 45º com os dois primei-
ros que você já traçou. Marque as extremidades dos diâmetros dos dois círculos e 
ligue essas extremidades, obtendo assim o desenho da rosa dos ventos com os 
pontos cardeais e colaterais. Apague as linhas desnecessárias e pinte -o
como quiser. (Este exercício foi extraído e adaptado de: SEE -SP/CENP. Experiências 
matemá ticas — 6a série. São Paulo, 1994.)
N
S
LO
Vamos construir 
uma rosa dos 
ventos com seus 
pontos cardeais e 
colaterais!
Geometria 29
M
A
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Ângulo inscrito
EF̂G é um ângulo 
inscrito de arco 
correspondente EGº .
Suas características são:
• o vértice F é um ponto da circunferência;
• os lados determinam duas cordas na circunferência )( e ;FE FG
• o arco »EG correspondente não contém o vértice.
E
G
F
Exercícios 
 37. Use régua, compasso e transferidor para construir:
 a ) um ângulo central de 100º em uma circunferência com 2 centímetros de raio.
 b ) um ângulo inscrito de 30º em uma circunferência de 3 centímetros de raio.
Agora responda: No item a, quais são as medidas angulares dos dois arcos determinados pelo ângulo central? 
100º e 260º
100º
2 cm
a)
30° 3 cm
b)
 Para construir:
 Exercícios 37 a 39 (p. 30 e 31)
Geometria30
SER_EF2_Matematica8_M4_C1_001_048.indd 30 07/04/16 09:52
 38. Atividade em dupla
Em cada uma destas figuras, estão assinalados um ângulo central e um ângulo inscrito, com o mesmo arco correspondente em 
circunferências de centro O. Observem as três figuras, troquem ideias e respondam: Qual é a relação entre as medidas desses 
dois ângulos?
O
120º
60º
O
40º
80º
O
50º
25º
 Bate-papo
Converse com um colega sobre as conclusões a que vocês chegaram nas atividades 38 e 39. Como garantir a validade dessas conclusões 
para todas as situações análogas? Fazendo as demonstrações.
A medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
 39. Examine os dois primeiros exemplos. Depois, determine as medidas nas outras duas figuras. Responda: Como são as medidas 
dos dois ângulos inscritos de mesmo arco correspondente nas quatro figuras?
40º 40º
100º
100º
55º
? 55º
?
?
90º
90º
Resposta pessoal. Espera -se que os alunos respondam que são iguais.
Geometria 31
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Relação entre ângulo central e 
ângulo inscrito de mesmo arco
Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência têm o mesmo arco 
correspondente, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
Podemos demonstrar essa propriedade analisando três situações que envolvem 
os ângulos inscrito e central de mesmo arco.
1a) Vamos considerar a situação em que um dos lados do ângulo 
inscrito determina um diâmetro da circunferência.
 Assim:
 ˆCOB é um ângulo central de arco »BC e medida x.
 ˆCAB é um ângulo inscrito também de arco »BC e medida y.
 AC é um diâmetro da circunferência.
 O nAOB é isósceles, pois OA >OB (raios). Logo, ˆABO também mede y.
 Como ˆCOB é um ângulo externo do nAOB, sua medida x é igual à soma das me-
didas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele (y 1 y).
 Logo, x 5 y 1 y ou x 5 2y , como queríamos demonstrar.
2a) Agora, vamos analisar esta outra situação, em que o ângulo inscrito e o ângulo 
central de mesmo arco estão em outra posição.
A
B
C
O
x
y
A
B
C
D
O
x
y
w
z
Para demonstrar a propriedade nesse caso, traçamos o diâmetro AD e usamos duas 
vezes o mesmo raciocínio da situação anterior:
z 5 2w e x 1 z 5 2(y 1 w)
Substituindo z por 2w na segunda igualdade, temos:
x 1 2w 5 2y 1 2w
Portanto, x 5 2y , como queríamos demonstrar.
3a) Finalmente, analisaremos esta situação:
A
O
y
x
CB
A
O
a b
c d
D
CB
 Traçamos o diâmetro AD de modo que a 1 b 5 y e c 1 d 5 x.
x
y
A
B
O
C
Geometria32
SER_EF2_Matematica8_M4_C1_001_048.indd 32 07/04/16 09:52
Os triângulos AOB e AOC são isósceles, pois têm dois lados de mesma medida 
(raios). Nos triângulos isósceles, os ângulos da base têm a mesma medida. Daí, ˆABO 
mede a e ˆACO mede b.
ˆBOD é um ângulo externo ao nAOB. Então, c 5 2a.
ˆCOD é um ângulo externo ao nAOC. Então, d 5 2b.
Adicionando membro a membro, temos:
c 1 d 5 2a 1 2b
1 5 1
↘ ↙
{{
2( )c d a b
 x 5 2y , como queríamos demonstrar.
Exercícios 
 40. Meça os ângulos e confira a relação entre o ângulo inscrito e o central para os itens abaixo.
 a ) 
O
20º?
40º
 b ) 
?
O
45º
90º
 c ) 
?
?
O
180º
90º
 41. Considerando o que foi demonstrado, prove mais esta importante propriedade, cuja descoberta é atribuída a Tales de Mileto 
(c. 580 a.C.):
?
O
C
A B
 
Se AB é um diâmetro e C é um ponto qual-
quer da circunferência, distinto de A e B, então o 
nABC é retângulo em C, isto é, ˆC é reto.
AOB
µ é um ângulo central de arco correspondente AB» e medida de 180º. AC Bµ é um ângulo inscrito de mesmo arco correspondente AB
». Pelo que foi 
demonstrado, AC Bµ mede a metade de AOBµ , ou seja, 180º
2
 5 90º. Se AC Bµ mede 90º, o nACB é retângulo em C.
40º 5 2 ? 20º 90º 5 2 ? 45º 180º 5 2 ? 90º
 Para construir:
 Exercícios 40 a 46 (p. 33 e 34)
Geometria 33
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 42. Ainda usando o que foi demonstrado, prove que:
Se dois ângulos inscritos 
têm o mesmo arco corresponden-
te, então suas medidas são iguais.
O
x
y
A
D
C
B
a
(Sugestão: compare x e y com a medida do ângulo central de arco »BC .) 
A
µ
 e D
µ
 são ângulos inscritos de mesmo arco BC» , sendo m A
µ( ) 5 x e m Dµ( ) 5 y. Se o ângulo central de arco BC» mede a, então, pelo que foi demonstrado,
x 5 a
2
 
e y 5 a
2
. Daí, podemos concluir que x 5 y.
 43. Considere O o centro da circunferência. Qual é o valor de x? 
 44. Calcule a medida x assinalada na figura. 
 45. Na figura, AC e BD são diâmetros. Prove que o quadrilátero ABCD é um retângulo. 
O
A B
D C
100º
50º
50º
80º80º
50º
50º
40º40º
40º 40º
100°
Como DOCµ e AOBµ medem 100º, então DACµ , DBC$ , ACB
µ e ADBµ medem 50º cada um (100º ; 2). Como AODµ e BOC
µ medem 80º, então ACDµ , ABD$ , BACµ e BDCµ 
medem 40º cada um (80º ; 2). Então, Aµ , B
$
, Cµ e Dµ são retos, pois 50º 1 40º 5 90º. Logo, ABCD é um retângulo. Comente que ABCD é retângulo, mas não é 
quadrado, pois as diagonais não são perpendiculares.
 46. Em um octógono regular, o perímetro é de 96 centímetros. Calcule a medida de um lado, a medida de um ângulo interno e a 
medida de um ângulo central. 
x 5 144º (2 ? 108 5 216; 360 2 216 5 144) 108¼
x
O
x 5 40º (x 1 50 5 90 ⇒ x 5 40)
x
50º
50º
12 centímetros, 135º e 45º 96 8 12;
6 180
8
1 080
8
135; 360 8 45; ;5
?
5 5 5




Geometria34
SER_EF2_Matematica8_M4_C1_001_048.indd 34 07/04/16 09:52
Ângulo de segmento
Um ângulo com o vértice na circunferência, um dos lados sobre uma tangente e o 
outro sobre uma secante, determinando uma corda, é chamado ângulo de segmento.
Na figura abaixo, ˆABC é um ângulo de segmento, e o arco correspondente é » .AB
O
B
A
C
Os matemáticos 
já provaram que um 
ângulo de segmento e um 
ângulo inscrito têm 
medidas iguais quando o 
arco correspondente é o 
mesmo.
Exercícios 
 47. Justifique a seguinte afirmação: a medida de um ângulo de segmento é a metade da medida do ângulo central de mesmo arco. 
O ângulo de segmento tem a medida igual à do ângulo inscrito de mesmo arco. Esse ângulo inscrito mede a metade do ângulo central. Logo, o ângulo de 
segmento mede a metade do ângulo central de mesmo arco.
 48. Calcule a medida x do ângulo de segmento de cada figura.
 a ) 
x
80¼
 b ) x
88¼
O
 c ) 
O
x
130¼
 49. Responda:
 a ) Qual é a medida x do ângulo de segmento assinalado na figura ao lado? 
x 5 45º
 b ) Qual é a medida c do ângulo central? 
c 5 90º
x 5 80º x 5 44º (88 : 2) x 5 115º (360 2 130 5 230; 
x 5 230 : 2 5 115)
O
45¼
c
x
 Para construir:
 Exercícios 47 a 51 (p. 35 e 36)
 Para praticar:
 Tratamento da informação 
(p. 37 e 38)
 Outros contextos (p. 39 a 41)
 Praticando um pouco mais 
(p. 42 e 43)
 Revisão cumulativa (p. 44 e 45)
Geometria 35
M
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 50. Em uma circunferência de centro O, a reta AB é tangente em A, o segmento de reta AC é uma corda e ˆCAB mede 50º. Calcule as 
medidas de ˆOAB e ˆ .COA 
 51. Projeto em equipe
Reúna -se com seus colegas para realizar as seguintes atividades.
 a ) Reproduzam em cartolina um gráfico de setor retirado de jornal ou revista e exponham -no para a classe, formulando cinco 
questões sobre ele.
 b ) Realizem uma pesquisa com a finalidade de coletar dados estatísticos. Reproduzam esses dados em um gráfico de setores 
abaixo.
90º e 100º (2 ? 50)
 Para aprimorar:
 Raciocínio lógico (abaixo)
Raciocínio lógico
Reproduza a figura ao lado e trace mais duas circunferências de tal modo que cada ponto fique isolado em 
uma das dez regiões formadas.
Geometria36
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Tratamento da informação
Interpretação de gráficos de setores 
 52. Urbanização da população brasileira
Como acontece com qualquer país que se desenvolve, o Brasil está passando por um acentuado processo de urbanização 
de sua população. Observe, nos gráficos abaixo, a proporção entre a população urbana e a população rural no Brasil em 
1940, 1950 e 2010.
Vista aérea da zona urbana de Manaus (AM). Foto de 2014.
Urbanização da população brasileira - 1940 a 2010
Fonte: IBGE. Dados aproximados. Disponível em: <http://seriesestatisticas.ibge.gov.br/series.aspx?vcodigo=POP122>. Acesso em: 6 maio 2015.
População urbana
População rural
1940 1950 2010
31%
69%
36%
64%
84%
16%
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37Geometria
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Analise os gráficos da página anterior e resolva as atividades a seguir.
 a ) Em que ano foi registrado o menor valor percentual da população urbana em relação à população do Brasil? De quanto por cento?
1940; 31%.
 b ) Sabendo que a população brasileira em 1940 era de aproximadamente 41 000 000 de habitantes, calcule quantos destes 
residiam na zona rural. 
 c ) Em 2010, a população brasileira alcançou cerca de 191 000 000 de habitantes. Qual a população rural do Brasil nesse ano? E 
a urbana?
Rural: 30 560 000 habitantes (16% de 191 000 000 5 30 560 000); urbana: 160 440 000 habitantes (84% de 191 000 000) ou (191 000 000 2 
2 30 560 000).
 d ) Determine o ângulo central correspondente aos valores percentuais da população rural e da população urbana em 1940 e 
em 2010.
 e ) Que fração irredutível corresponde ao valor percentual da população rural em 1950? E da população urbana? 
 
28 290 000 habitantes (69% de 41 000 000 5 28 290 000).
1940 rural: 69% 248º 24’ e urbana: 31% 111º 36’.
2010 rural: 16% 57º 36’ e urbana: 84% 302º 24’.
360º 5 100%, 36º 5 10% e 3º 36’ 5 1% ⇒ 
Rural: 16
25
 64% 64
100
16
25
5 5( ); urbana: 9
25
 36% 36
100
9
25
5 5( ).
Geometria38
SER_EF2_Matematica8_M4_C1_001_048.indd 38 07/04/16 09:52
Outros contextos
 53. Matemática e eclipses
Um eclipse acontece sempre que um corpo celeste projeta sua sombra sobre outro. Assim, quando a Terra projeta sua sombra 
sobre a Lua, ocorre um eclipse lunar. Já quando a Lua projeta sua sombra sobre a Terra, acontece um eclipse solar. Em ambos 
os casos, sempre são definidas duas regiões de sombra: a umbra e a penumbra. A umbra é a região que não recebe luz nenhuma 
do Sol; a penumbra é a região que recebe luz de alguns pontos do Sol.
Observe como isso se dá nas duas figuras abaixo, que representam eclipses lunares.
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Sol
Terra
Lua
penumbra
umbra
Figura 1
Fonte: Astronomia e Astrofísica – UFRGS -RS.
 Disponível em: <http://astro.if.ufrgs.br/eclipses/eclipse.htm>. 
Acesso em: 6 maio 2015.
posição 1
posição 2
posição 3
posição 5
posição 4
LuaLuaLua
Lua Lua
penumbra
umbra
Figura 2
Considere a figura 2. Classifique as posições relativas das circunferências que aparecem nessa figura para cada um dos 
casos abaixo.
 a ) Lua na posição 1 e penumbra.
Tangentes externas.
 b ) Lua na posição 1 e umbra.
Externas.
 c ) Lua na posição 2 e penumbra.
Internas não concêntricas.
 d ) Lua na posição 2 e umbra.
Secantes.
 e ) Lua na posição 3 e umbra.
Internas não concêntricas.
 f ) Lua na posição 4 e penumbra.
Tangentes internas.
 g ) Lua na posição 5 e penumbra.
Externas.
39Geometria
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 54. Publicidade
A Geometria é muito utilizada na publicidade, sobretudo na criação de logomarcas.
A figura a seguir representa a logomarca de uma corretora de imóveis. A forma básica dessa logomarca é constituída por um 
círculo e quatro quadriláteros não convexos congruentes, cujos lados menores têm medidas iguais.
 a ) Qual é a medida dos ângulos A e B do quadrilátero OACB? 
 b ) A área em cor azul corresponde a que fração da área do círculo? 
1
3
 55. Deslocamento
Um cachorro está preso por uma corda de 7 metros à quina de uma construção quadrada de 4 metros de lado, como mostra a 
figura a seguir. Com a ajuda de um compasso, determine a superfície sobre a qual o cão pode se deslocar. Pinte a região que 
corresponde a essa superfície.
m( )ˆA 5 35º e m( )ˆB 5 35º 
7 m
4 m
3 m
3 m
3 m
3 m
4 m
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
60º
ax
y
b
130º
A
B
C
O
 56. Reciclagem
Em 2015, uma cidade
contabilizou a quantidade de material reciclável coletado. Observe a tabela a seguir.
Valor percentual de cada material em relação ao total reciclado
% em relação ao total reciclado
Latas de alumínio 25
Papelão 20
Garrafas PET x
Papel y
Vidro 15
Dados fictícios.
Geometria40
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Sabe -se que, nesse ano, o total coletado de garrafas PET foi o triplo do total coletado de papel.
 a ) Descubra as porcentagens de garrafas PET e de papel, usando três caminhos diferentes:
• sem usar equações;
• usando equação com uma incógnita;
• usando sistema com duas equações e duas incógnitas.
 b ) Construa um gráfico de setores que registre as porcentagens dos cinco materiais.
 c ) Responda: Quantas toneladas de papel foram coletadas no caso de terem sido coletadas 6 toneladas de papelão?
Foram coletadas 4,5 toneladas de papel.
 57. Realidade como modelo
Observe que os pés das crianças da fotografia estão justapostos, formando uma circunferência, e a partir dela podemos criar 
um modelo matemático. Todo modelo matemático é uma interpretação da realidade e tem como finalidade a facilitação do cál-
culo e da análise numérica.
Portanto, temos:
Crianças do povo pigmeu Baka formando uma circunferência com os 
pés justapostos. Foto de 2009.
Realidade Modelo matemático
Na fotografia temos 22 crianças. Suponha que cada pé tenha 7,85 centímetros de largura.
 a ) Qual é o comprimento dessa circunferência?
345,4 centímetros
 b ) Se o comprimento C 5 2pr e p . 3,14, qual é a medida aproximada do raio dessa circunferência?
55 centímetros
Garrafas PET: 30% e papel: 10%
36º
108º 72º
54º
(25%)
(15%)
(10%)
(30%)
(20%)
Latas
Vidro
Papel
Garrafas PET
Papelão
w
w
w
.i
p
la
y
.c
o
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.b
r/
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Geometria 41
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Praticando um pouco mais
 1. (Inep) Exatamente no centro de uma mesa redonda com 1 metro de raio, foi colocado um prato de 30 centímetros de diâmetro, 
com doces e salgados para uma festa de final de ano. Qual a distância entre a borda desse prato e a pessoa que se serve dos 
doces e salgados?
 a ) 115 centímetros
 b ) 85 centímetros
 c ) 70 centímetros
 d ) 20 centímetros
 2. (UFPR) O gráfico de setores abaixo ilustra como a massa de um homem de 80 quilogramas está distribuída entre músculos, 
gordura, ossos e outros. O ângulo de cada setor está mostrado em graus. Com base nesse gráfico, responda às perguntas:
Gordura
Músculos
63º
135º
72º
Outros
Ossos
 a ) Quantos quilogramas de músculos esse homem possui?
30 quilogramas
 b ) Juntos, gorduras e ossos representam que percentual da massa desse homem?
37,5%
 3. Paulo convidou seus amigos para comemorar seu aniversário em uma pizzaria. Para isso pediu 
ao garçom 3 pizzas grandes. Em determinado instante, Paulo estimou que ainda restavam 
algumas fatias de tamanhos diferentes a serem consumidas, a saber:
• 1 fatia de pepperoni na forma de um setor circular de ângulo 608 (ver figura).
• 1 fatia de calabresa na forma de um setor circular de ângulo 908.
• 1 fatia de portuguesa na forma de um setor circular de ângulo 308.
As fatias que ainda faltam ser consumidas equivalem a que fração de uma pizza?
 a ) 1
2
 b ) 1
3
 c ) 1
4
 d ) 1
5
X (100 centímetros 2 15 centímetros 5 85 centímetros)
X (60o 1 90o 1 30o 5 180o. Portando, metade de uma pizza.)
M
au
ro
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42 Geometria
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 4. (Fuvest-SP) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:
35¼A
D
C
O
B
 a ) 125º.
 b ) 110º.
 c ) 120º.
 d ) 100º.
 e ) 135º.
 5. De acordo com a figura abaixo, o valor de a 1 b é:
α
40¼
A B
O
β
 a ) 80º.
 b ) 70º.
 c ) 60º.
 d ) 50º.
 e ) 40º.
 6. Os ponteiros do relógio abaixo medem 10 centímetros (ponteiro dos minutos) e 7 centímetros (ponteiro das 
horas). Após 30 minutos a extremidade do ponteiro dos minutos terá percorrido qual distância?
 a ) 5p centímetros
 b ) 10p centímetros
 c ) 15p centímetros
 d ) 20p centímetros
 7. (Inep/PDE) Na figura abaixo, há um conjunto de setores circulares, cujos ângulos centrais são de 90o. Cada setor está com a medida 
do seu raio indicada.
4
3
4
5
6
4
5
3
5
4
5
6
Agrupando -se, convenientemente, esses setores, são obtidos:
 a ) 3 círculos.
 b ) no máximo um círculo.
 c ) 2 círculos e 2 semicírculos.
 d ) 4 círculos.
X (arco BC 5 70
o; 
arco AB 5 180o, 
arco AC 5 250o; 
ângulo inscrito:
ADC 5 
250
2
o
 5 125o)
X (a 1 b 5 40o 1 40o 5 80o)
2 10
2
10� �? 5( )
12
6
39
10 2
8 4
11 1
7 5
X
(Um círculo de raio 4, um círculo 
de raio 5, um semicírculo de raio 
3 e um semicírculo de raio 6.)
X
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Revisão cumulativa
 1. Rogério gravou 4 DVDs, colocou -os em caixas com cores diferentes e arrumou -os na pratelei-
ra da estante como indicado na figura. Se quiser variar a posição das caixas na prateleira, quan-
tas arrumações diferentes Rogério pode fazer? 
24 arrumações (4 ? 3 ? 2 ? 1)
 2. (UNIBH-MG) Se 120 operários constroem 600 metros de estrada em 30 dias de trabalho, o número de operários necessários 
para construir 300 metros de estrada em 300 dias é:
 a ) 6.
 b ) 24.
 c ) 240.
 d ) 600.
 e ) 2 400.
 3. Descubra a medida de um ângulo sabendo que a soma das medidas do seu complemento e do seu suplemento é 130º. 
 4. Qual é a solução da equação 
2
5
13 1
2
2 11
3
?
x x
 
 5. Na figura abaixo, temos AB >DC e AC > .BD Prove que m(1) m(2).$ $5
A
1 2
D
B C
 6. Considerando uma circunferência e uma reta, qual é a afirmação falsa?
 a ) Elas podem não ter ponto comum.
 b ) Elas podem ter um só ponto comum.
 c ) Elas podem ter dois pontos comuns.
 d ) Elas podem ter três pontos comuns.
 7. Quantas faces triangulares tem uma pirâmide de base hexagonal?
 a ) 6.
 b ) 12.
 c ) 7.
 d ) 8.
X
70º
x 5 5
X
X
120
300x
x
600 300
30
65 ?
?
5⇒( )
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44 Geometria
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 8. Usando moedas de R$ 0,50, R$ 0,25 e R$ 0,10, de quantas maneiras diferentes podemos fazer um pagamento de R$ 1,00?
 a ) Seis.
 b ) Quatro.
 c ) Três.
 d ) Cinco.
 9. Na circunferência da figura abaixo, O é o centro, ˆMRH mede 2x 2 1º e ˆMOH mede 3x 1 18º.
OR
M
H
O valor de x é:
 a ) 35º.
 b ) 20º.
 c ) 18º.
 d ) 27º.
 10. (Vunesp) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele 
num gráfico, obtemos a figura abaixo.
50
1
10
2
Altura
(cm)
Tempo
(dias)
Se for mantida sempre essa relação entre tempo e altura, a planta terá, no 30o dia, uma altura igual a:
 a ) 5 centímetros.
 b ) 6 centímetros. 
 c ) 3 centímetros.
 d ) 15 centímetros.
 e ) 30 centímetros.
 11. Girando o ponteiro desta roleta, qual é a probabilidade de ele parar no amarelo?
 a ) 20%
 b ) 50%
 c ) 40%
 d ) 2%
 12. (UFRGS -RS) A razão entre a base e a altura de um retângulo é de 3 para 2 e a diferença entre elas é de 10 centímetros. A área 
desse retângulo é de:
 a ) 200 cm2.
 b ) 300 cm2.
 c ) 500 cm2.
 d ) 600 cm2.
X
[3x 1 185 2(2x 2 1) ⇒ x5 20]
X
X (30 ; 5 5 6)
X
2 em 5 2
5
40
100
40%5 5 5



b
a
b a a b a
3
2
e 10 20 e 30;5 2 5 5 5 ?⇒ 20 30 600b5 ? 5( )
X
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 Ponto de chegada
A Matemática no texto
Geometria e Arte
Sabe-se que os artistas renascentistas usaram muitos conceitos geométricos para compor suas peças. Leonardo Da Vinci, por 
exemplo, possui um estudo de caso em que verifica as proporções do rosto humano. Um estudioso renascentista, Lucca Paccioli, 
denomina a divisão proporcional de “proporção divina”, mais tarde chamada por Da Vinci de seção áurea ou número de
ouro. 
Em obras como A procissão de São Marco , de Gentile Bellini, pode-se observar que as proporções podem ser medidas, por 
exemplo, pela altura do quadro e dos objetos figurativos que compõem a imagem. A proporção na imagem é de 1 :2, ou seja, a largura 
da tela é o dobro de sua altura, e assim por diante.
Trabalhando com os textos
 1. Explique com suas palavras a ideia principal do texto.
Resposta pessoal. 
 2. Pesquise a imagem citada no texto. Tente medir a razão e as proporções entre os elementos figurativos que a compõem: a basílica, as 
figuras humanas, etc. Isso se comprova?
A razão entre as figuras se confirma como sendo 1 :2. A altura da catedral compõe metade do plano, a fileira da procissão, em relação à catedral, metade da 
metade do plano, etc. 
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P
Q
5x 2 21º
3x 1 7º
B
A
A
BC Q
2x 1 4
x 1 1
x 2 2
O
P
R
Verifique o que estudou
 1. De acordo com os dados da figura ao lado, calcule x e as medidas dos ângulos µAPB e µ .AQB 
 2. Na figura ao lado, a circunferência está inscrita no triângulo ABC, sendo P, Q e R pontos 
de tangência. As medidas estão em centímetros.
 a ) Calcule o valor de x para que o perímetro do triângulo seja 54 centímetros e deter-
mine a medida dos lados. 
 b ) Para x 5 10 cm, qual é o perímetro desse triângulo? 
 c ) Se O é o centro da circunferência, o que o ponto O é do triângulo? 
O incentro.
 3. Em uma circunferência, µAPB , de medida 3(x 1 1), é um ângulo inscrito, e µAOB , de medida 7x 2 1, é um ângulo central. Descubra as 
medidas de µAPB e µAOB . 
x 5 14; APAPBBµµ 5 AQAQBBµµ 5 49º.
x 5 6 cm; lados: 20 cm, 11 cm e 23 cm.
86 cm (AB 5 19 cm, BC 5 35 cm e AC 5 32 cm) 
m( )( )APAP( )BB( )µµ( ) 5 24º e m µµ( )( )AOAO( )BB( )µµ( ) 5 48º (7x 2 1 5 6(x 1 1) ⇒ x 5 7; 
3(7 1 1) 5 3 ? 8 5 24 e 7 ? 7 2 1 5 49 2 1 5 48)
ATENÇÃO!
Retome os assuntos que você estudou neste módulo. Verifique em quais teve dificuldade e converse com seu professor, buscando formas de 
reforçar seu aprendizado.
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Quadro de ideias
Uma publicação
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Gerência editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Ronaldo Rocha (coord.), Cibeli Chibante Bueno e 
André Luiz Ramos de Oliveira (estag.)
Colaboração: Anderson Félix Nunes, Elizangela 
Marques, Mariana Almeida
Organização didática: Patrícia Montezano
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle 
Modesto, Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, 
Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Fabiana Manna da Silva
Edição de arte: Catherine Saori Ishihara
Iconografia: Sílvio Kligin (superv.), Roberta Freire 
Lacerda (pesquisa), Cesar Wolf e Fernanda Crevin 
(tratamento de imagem)
Ilustrações: Casa de Tipos, Giz de Cera, Mauro Souza, 
Paulo Manzi e Suryara Bernardi
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Cartografia: Eric Fuzii, Marcelo Seiji Hirata, Márcio 
Santos de Souza, Robson Rosendo da Rocha e Allmaps 
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Ilustração de capa: Roberto Weigand
Projeto gráfico de miolo: Andréa Dellamagna 
(coord. de criação)
Editoração eletrônica: Casa de Tipos, 
Dito e Feito Comunicação e JS Design Comunicação 
Visual (guia do professor)
 
Todos os direitos reservados por SOMOS Educação S.A.
Avenida das Nações Unidas, 7221 – Pinheiros
São Paulo – SP – CEP 05425-902
(0xx11) 4383-8000
© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Circunferências 
e círculos
Gráficos de setores
Divisão da 
circunferência em 
partes iguais
Posições relativas 
de uma reta, um 
ponto de uma 
circunferência e de 
duas 
circunferências
Ângulo central, 
inscrito e de 
segmento
Ângulo central e 
porcentagem do 
setor circular
Construção de 
polígonos regulares
Retas e 
circunferências 
tangentes e 
secantes
Geometria
Inscrição e 
circunscrição em um 
polígono
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino fundamental II,
8º ano : caderno 4 : matemática : professor /
Luiz Roberto Dante. -- 1. ed. -- São Paulo :
Ática, 2016.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
16-02159 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
2016
ISBN 978 85 08 18024-0 (AL)
ISBN 978 85 08 18011-0 (PR)
1ª edição
1ª impressão
Impressão e acabamento
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Ensino Fundamental – 8º- ano
Geometria – 20 aulas
MATEMÁTICA
GUIA DO PROFESSOR
Luiz Roberto Dante
Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual Paulista (Unesp) de Rio Claro, SP. Doutor em 
Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela Pontifícia 
Universidade Católica de São Paulo. Mestre em Matemática 
pela Universidade de São Paulo. Pesquisador em Ensino e 
Aprendizagem da Matemática pela Unesp de Rio Claro, SP. 
Ex-professor da rede estadual dos Ensinos Fundamental e 
Médio de São Paulo. Autor de vários livros, entre os quais: 
Formulação e resolução de problemas de Matemática: teoria 
e prática; Didática da Matemática na pré-escola; Projeto Ápis: 
Natureza e Sociedade, Linguagem e Matemática (Educação 
Infantil – 3 volumes); Projeto Ápis Matemática (1ºº- ao 5ºº- ano); 
Projeto Voaz Matemática (Ensino Médio – volume único); 
Projeto Múltiplo – Matemática (Ensino Médio – 3 volumes).
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Geometria
Circunferências e círculos
Aula 1 Páginas: 3 a 5
• TEMAS: “Ponto de partida” e “Introdução”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: A circunferência e o círculo 
ao longo da história da humanidade.
Objetivos
• Reconhecer e identificar a circunferência e o círculo.
• Perceber a presença da circunferência e do círculo ao lon-
go da história da humanidade.
• Explorar intuitivamente algumas propriedades das cir-
cunferências.
Estratégias
Inicie a aula por meio da leitura da seção Ponto de par-
tida (página 3) e peça aos alunos para pensarem sobre ou-
tros exemplos de formas circulares que aparecem no dia a 
dia. Enfatize que até o fim da aula esses exemplos serão ex-
postos e discutidos.
Na questão 1 da seção, pergunte aos alunos a definição 
de polígono, já estudado. Caso encontrem dificuldade, cons-
trua o significado dessa palavra, que é oriunda do grego, em 
que polí quer dizer “muitos” e gonos, “lados e/ou ângulos”. 
Na questão 2, pergunte-lhes quantos graus tem uma cir-
cunferência e dê dicas para auxiliá-los na resposta. Na ques-
tão 3, oriente os alunos a desenhar duas circunferências 
com raios diferentes em uma mesma face de uma folha de 
papel, buscando descobrir o que pede o enunciado. Realize 
os procedimentos com o auxílio de um compasso (se possí-
vel de ponta segura, com menor inclinação). Na questão 4, 
permita que os alunos tirem dúvidas quanto à interpretação 
do enunciado e então tentem resolvê-lo.
Após perceber que os alunos conseguiram responder 
às quatro questões propostas inicialmente, comece a leitura 
da “Introdução” (página 4). Em seguida, discuta o fato de a 
roda provavelmente ser a percursora da circunferência e do 
círculo na vida humana e sua importância para o desenvolvi-
mento da humanidade. Neste momento, peça também aos 
alunos que contem as situações pensadas por eles no início 
da aula, sobre a presença da circunferência e do círculo no 
dia a dia.
Provavelmente, alguns alunos devem estar se pergun-
tando qual a diferença entre a circunferência e o círculo, se é 
que essa pergunta não foi feita no decorrer da aula. Saben-
do que essa diferenciação será abordada nas próximas aulas, 
apenas para possibilitar uma reflexão, defina circunferência 
como o contorno de uma forma circular e círculo como uma 
forma circular preenchida. No fim da aula, peça aos alunos 
que não se esqueçam
do compasso e da régua nas aulas 
seguintes e, para a próxima, que providenciem duas moedas 
de tamanhos diferentes e um pequeno objeto circular.
Orientação para o uso do compasso: marcar inicial-
mente um ponto, abrir o compasso, colocar a ponta-seca no 
ponto inicial e dar uma volta completa com a outra ponta.
Para casa
Solicite a realização das seguintes atividades:
 1. Pesquise em jornais, revistas, livros e na internet sobre o 
filme “Tempos modernos”, cuja fotografia de uma das ce-
nas aparece na página 5. Se possível, assista a trechos 
desse filme e busque encontrar situações em que a cir-
cunferência e o círculo aparecem.
Esta atividade tem como objetivo levar os alunos a perceber 
a presença da circunferência e do círculo na vida moderna e 
como isso está fortemente ligado ao avanço tecnológico e ao 
desenvolvimento da humanidade desde os tempos mais re-
motos, como foi visto no texto da página 4, mas também nos 
dias de hoje.
 Plano de aulas sugerido
• Carga semanal de aulas: 5
• Número total de aulas do módulo: 20
2 Geometria
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 2. Trace:
 a ) uma circunferência com diâmetro de 3,5 cm, centro M 
e um diâmetro AB.
A B
M
3,5 cm
 b ) uma circunferência com raio de 2,5 cm, centro O e um 
raio OS.
SO
2,5 cm
Aula 2 Páginas: 6 a 8
• TEMA: “Circunferência e círculo”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Características das 
circunferências e dos círculos.
Objetivos
• Entender a diferença entre círculo e circunferência.
• Consolidar algumas propriedades básicas das circunfe-
rências.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo 
dúvidas. Em seguida, utilize o conteúdo da página 6 para 
apresentar o tema. Converse com os alunos sobre o que é 
observado nas fotografias do topo da página, citando e exem-
plificando as diferenças entre esferas, círculos e circunferên-
cias. Continuando a leitura, enumere os balões de fala das 
personagens (por exemplo, no sentido horário) e peça a par-
ticipação de alguns voluntários para realizar a leitura, de ma-
neira que cada personagem seja representada por um aluno 
diferente. Após, destaque os conceitos de centro, centro de 
uma circunferência, diâmetro, raio e círculo, pedindo a outros 
alunos que expliquem o que entenderam de cada um deles.
Solicite aos alunos que realizem as atividades 1 a 4 da 
seção Exercícios (páginas 7 e 8). Antes de iniciar a resolução, 
pode-se enfatizar que, ao utilizar o compasso, o raio da cir-
cunferência equivale à medida da distância entre as pontas 
dele e que todos os pontos que formam a circunferência es-
tão no mesmo plano e têm a mesma distância em relação ao 
centro. No exercício 1, item e, será necessária a utilização de 
uma régua, que será utilizada nas próximas aulas com o 
compasso. No exercício 3, os alunos podem utilizar o com-
passo, as duas moedas de tamanhos diferentes e o peque-
no objeto circular solicitado na aula anterior para traçar as 
circunferências. No exercício 4, também serão utilizadas as 
duas moedas de tamanhos diferentes.
Por fim, com base no boxe “Você sabia?” e “Bate-papo”, 
promova uma discussão apresentando o símbolo olímpico 
(Rio 2016. O Movimento Olímpico. Disponível em: ,www.
rio2016.com/educacao/sites/default/files/midiateca/
aulas/movolimpico_aula2.pdf. Acesso em: 5 mar. 2016). Os 
alunos também poderão citar outros símbolos e objetos em 
que é possível visualizar uma circunferência ou um círculo.
Para casa
Solicite a realização das seguintes atividades:
 1. Faça uma lista de dez objetos e/ou partes de objetos em 
que o círculo e a circunferência podem ser visualizados no 
dia a dia.
Esta atividade tem como objetivo levar os alunos a perceber 
a presença da circunferência e do círculo no dia a dia, como foi 
visto nas figuras da página 6.
 2. Escolha um desses objetos e, com o auxílio de uma régua 
milimetrada, meça o diâmetro. Encontre o centro da cir-
cunferência e, a partir dele, meça os raios em cinco pontos 
diferentes. Quais foram os valores encontrados?
Esta atividade tem como objetivo levar os alunos a perceber, 
em objetos, medidas de diâmetro e de raio; e observar que, 
em um mesmo objeto, raios medidos em diferentes pontos 
da circunferência apresentam valores iguais.
Aula 3 Páginas: 8 e 9
• TEMA: “Circunferência e círculo”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Características das 
circunferências e dos círculos.
Objetivo
• Reconhecer propriedades básicas das circunferências.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo 
possíveis dúvidas. Em seguida, solicite aos alunos que façam 
3
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Geometria
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as atividades 5 a 8 da seção Exercícios (páginas 8 e 9). Se ne-
cessário, retome as orientações dadas nas aulas anteriores, 
em relação ao uso do compasso. Para complementar a ativi-
dade 7, estimule a criatividade dos alunos e sugira que cons-
truam mosaicos, painéis e faixas decorativas usando polígo-
nos e circunferências. Uma exposição desses trabalhos seria 
muito interessante. Nesta atividade poderão ser utilizados 
diversos materiais, de acordo com a disponibilidade.
Após finalizarem as atividades, peça aos alunos que 
descrevam as etapas de formação dos mosaicos, painéis e 
faixas decorativas com polígonos e circunferências. Deve-
-se citar, por exemplo, se foi traçado um ponto central, mé-
dias de lados, raios e diâmetros, a abertura do compasso, 
quais regiões foram pintadas, etc., a fim de que se outra pes-
soa fosse ler essa descrição conseguisse chegar ao mesmo 
resultado. Seria interessante fazer o seguinte teste: um alu-
no trocar com o colega a descrição e ambos compararem o 
resultado. Verifique a disponibilidade de tempo. A exposição 
dos trabalhos pode ser feita em sala de aula, em um corre-
dor ou no pátio da escola.
No fim da aula, solicite que tragam um transferidor para 
as próximas aulas.
Para casa
Solicite a realização das seguintes atividades:
 1. Quanto mede, em metros, o raio da mosca de um alvo 
(consulte a página 9)?
0,061 metro.
 2. Calcule o raio da folha e o raio das flores da vitória-régia 
citada na página 9.
1 metro; 15 centímetros.
Aula 4 Páginas: 10 e 11
• TEMA: “Circunferência e círculo”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Conceitos de ângulo central 
e setor circular.
Objetivo
• Identificar um ângulo central e um setor circular.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do possíveis dúvidas. Em seguida, leia com a turma o texto 
“Circunferência, ângulo central, círculo e setor circular” (pá-
gina 10). Analise as figuras do topo da página, enfatize as de-
finições apresentadas e converse com os alunos sobre o 
que eles entenderam. Como exemplo de ângulo central, po-
de-se citar um compasso aberto.
Discuta se a imagem da pizza que aparece na página 10 
possui algum setor circular e ângulo central. Provavelmente 
os alunos chegarão à conclusão de que as fatias da pizza são 
setores circulares, pois bem, todas as fatias são setores cir-
culares e, consequentemente, todos eles são determinados 
por um ângulo central, porém também podemos considerar 
que a região da pizza que está faltando um pedaço possui 
um ângulo central, caso imaginemos o contorno da circun-
ferência de mesmo raio que a pizza.
Organize a turma em grupos com quatro alunos e soli-
cite que façam as atividades 9 e 10 da seção Exercícios (pá-
ginas 10 e 11). Antes, relembre que uma circunferência tem 
360 e oriente-os quanto ao uso do transferidor. Para isso, 
siga as orientações abaixo e faça cada passo com eles:
 1. Trace uma linha reta. A linha de referência e primeira reta 
do ângulo será usada para determinar a posição na qual 
você desenhará a segunda reta dele. Geralmente, é mais 
fácil traçar a linha na horizontal do papel.
 2. Coloque o centro do transferidor em um ponto da reta. O 
ponto será o vértice do seu ângulo.