Aula 1 - Fração, razão e proporção

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Matemática e Tecnologia
Aula 1 – Fração, razão e proporção
Números Reais
Números Naturais: N = {0,1,2,3,4,5...} - todos os números inteiros positivos incluindo o zero.
Números Inteiros: Z = {-2,-1,0,1,2...} - números inteiros negativos, positivos e o zero.
Números Racionais: Q = {-1; -5/4; 
 2/3;-15/7; 2,3...} 
Números Irracionais: I = {... √2, π...} - números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números que possui muitas casas decimais, mas que não tem um período.
Frações
Todo número que possa ser escrito na forma A/B, onde B ≠ 0 (NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO);
Em toda fração, o termo superior é chamado de numerador e o termo inferior chamamos de denominador;
Exemplos: 5/2, 1/3, 4/2... 
O Significado de uma Fração
Fração é a representação da parte de um todo; Envolve a seguinte ideia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
Leitura de Frações
Classificação de Frações
Fração própria: o numerador é menor que o denominador: 2/3, ¼, 3/5;
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador: 4/3, 3/3, 15/2;
Exercício Proposto 1
B) A minha sala de aula é composta por 49 alunos, dos quais 3/7 são de meninas. Quantos meninos há em minha classe?
A) Determine a fração colorida em cada figura:
Simplificação de Frações
Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o denominador através da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números.
Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si.
Simplificação de Frações
Exemplo: pode-se simplificar uma fração por partes:
Ou pode-se simplificar a fração uma única vez. Para isso, deve identificar o máximo divisor comum aos dois termos.
Exercício Proposto 2
Simplificar as seguintes frações:
A)
B)
C)
Adição e Subtração de Fração
Quando os denominadores forem iguais devemos somar ou diminuir os numeradores e conservar os denominadores.
Exemplos:
Exemplos
Quando os denominadores forem diferentes é preciso torná-los iguais antes de resolver a operação, encontrando o mmc (mínimo múltiplo comum).
Exemplo: somar as frações 4/5 e 5/2
Exercício Proposto 3
Calcule as somas ou diferenças:
a) 1/5 + 4/5 =
b) 7/3 – 4/3 =
c) 2/3 + 6/5 =
d) 1/10 - 4/15 =
e) 1/3 + 3/2 - 12/5 =
Multiplicação de Frações
Multiplica-se os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores.
Exemplos:
Divisão de Frações
Para dividir frações é necessária a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador, seguido pela multiplicação das novas frações.
Exemplo:
Potenciação de Frações Numéricas
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplos 
Radiciação de Frações Numéricas
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador.
Exemplos
Múltiplas Operações
Em algumas sentenças envolvendo frações é preciso o conhecimento adequado de técnicas de resolução:
Inicia-se resolvendo o que estiver entre parênteses
A multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração.
Exemplos
Resolver a seguinte expressão:
1º Passo: Resolver o que se encontra dentro dos parênteses (soma e subtração).
3º Passo: Multiplicar e, se possível, simplificar a resposta.
=
= - 7/8
Exercício Proposto 4
Carlos fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcule quantos quilômetros Carlos percorreu a cavalo. 
Razão
A razão entre dois números a e b é a relação a/b, onde a e b são números reais com b ≠ 0. Sendo assim, razão é uma fração utilizada no intuito de comparar grandezas. 
A razão pode ser representada por uma fração, um número na forma decimal, porcentagem ou até mesmo por uma divisão.
Exercício Proposto 5
Em uma turma de preparatório para o vestibular, o número de mulheres é igual a 50 e o número de homens é 40. Determine:
a razão entre o número de homens e o número de mulheres.
Temos 40 homens para 50 mulheres, então: 40/50 que simplificado fica 4/5. Concluímos que para cada cinco mulheres existem quatro homens.
b) a razão entre o número de homens e de mulheres na forma de porcentagem.
40/50 = 0,8 = 80%
Exercício Proposto 6
Em uma prova de testes, Carlos acertou 28 questões e errou 12. Escreva na forma de fração:
a razão entre o número de acertos e o número de erros.
28/12, simplificando = 7/3
b) a razão entre o número de erros e o número de acertos.
12/28, simplificando = 3/7
c) a razão entre o número de acertos e o número total de questões (e em porcentagem).
28/40, simplificando = 7/10 (70%)
Exercício Proposto 7
A distância entre duas cidades é de aproximadamente 500 km. Determine a velocidade média de um veículo que faz esse percurso em 8 horas e 30 minutos.
Proporções
Proporção é uma igualdade entre duas razões;
Proporções
As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: “em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios (regra de três simples com variáveis diretamente proporcionais)”
Exercício Proposto 8
Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha?
Exercício Proposto 9
Se com 40 laranjas é possível fazer 26 litros de suco, quantos litros de suco serão obtidos com 25 laranjas?
Regra de três simples com variáveis inversamente proporcionais
Exemplo: Ontem, 2 caminhões transportaram mercadorias do porto para o depósito. Hoje, 3 caminhões, iguais aos de ontem, terão que fazer 6 viagens para transportar a mesma quantidade de mercadorias do depósito para o shopping center. Quantas viagens os caminhões tiveram que fazer ontem?
Exercício Proposto 10
Para a confecção das provas de um concurso, uma gráfica dispunha de 15 impressoras, que demorariam 18 horas para imprimir todas as provas. No preparo para o início do trabalho, foi diagnosticado que só havia 10 impressoras funcionando. Qual é o tempo, em horas, que será gasto para a confecção de todas as provas do concurso?
Resposta: 27 h.
Regra de três composta
Exemplo: "Uma construtora foi contratada para realizar a reforma de todas as escolas de um município. As escolas são construídas com formado e tamanho padrão nessa cidade, logo o muro externo possui a mesma medida. Sabendo que 4 pintores levariam 8 dias para pintar 6 escolas, quanto tempo 8 pintores levariam para pintar 18 escolas?
Exercício Proposto 11
Em uma fábrica de peças para caminhão, para produzir uma determinada peça, sabemos que 3 máquinas, trabalhando durante 5 dias, ligadas durante 4 horas, conseguem produzir 4.000 peças, que é a demanda mensal da fábrica. Durante o processo, uma das máquinas estragou, o que fez com que a fábrica decidisse por aumentar a quantidade de dias de produção para 6 dias, e o tempo de trabalho das máquinas para 8 horas. Qual será a quantidade de peças produzidas nessa situação?
Resposta: 6400 peças.
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