EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM_gabarito_2

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Determine a solução geral da equação diferencial
.− 3 + 2u = 8d2u
dv
du
dv
u = aev + bve−2v − 2, a e b reais.
u = avev + be2v − 2, a e b reais.
u = ae−v + be−2v − 2, a e b reais.
u = aev + be2v + 2, a e b reais.
u = aev + be2v − 2, a e b reais.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação
diferencial de segunda ordem homogênea com
Questão 1 de 10
Corretas �10�
Em branco �0�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Exercicio
Equações Diferenciais De Segunda
Ordem
Sair
A
B
C
D
E
coeficientes constantes. Para resolver essa equação,
precisamos encontrar as raízes da equação
característica associada, que é . As
raízes dessa equação são e . Portanto, a
solução geral da equação diferencial é dada por
, onde 'a' e 'b' são constantes reais.
No entanto, a equação diferencial original tem um
termo constante no lado direito, que é 8. Para
compensar isso, precisamos adicionar uma constante
à nossa solução geral. Portanto, a solução geral
correta da equação diferencial é
.
r2 − 3r + 2 = 0
r = 1 r = 2
u = aev + be2v
u = aev + be2v + 2, a e b reais.
2 Marcar para revisão
Determine quais os intervalos no qual podemos garantir
que a equação diferencial 
 tenha solução única para um problema de valor inicial.
y ′′ + 4x2y ′ + 4y = cosx
x > 0
x < 0
x ≤ 0
x ≥ 0
−∞ < x < ∞
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A
B
C
D
E
A alternativa correta é a E, que indica que a equação
diferencial tem solução
única para um problema de valor inicial em todo o
conjunto dos números reais, ou seja, para qualquer
valor de x no intervalo . Isso ocorre
porque a equação diferencial dada é linear e de
coeficientes constantes, o que garante a existência e
unicidade da solução para qualquer valor de x.
y ′′ + 4x2y ′ + 4y = cosx
−∞ < x < ∞
3 Marcar para revisão
Determine a solução geral da equação diferencial
.y ′′ + 4y = 10ex
y = acos(2x) + bsen(2x) + 2ex
y = aexcos(2x) + bexsen(2x) + 2ex
y = aex + bxe2x + 2cos(2x)
y = acos(2x) + bxsen(2x) + 2x
y = acos(2x) + bsen(2x) + x2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação
diferencial homogênea de segunda ordem. A solução
geral para esse tipo de equação é dada pela soma de
uma solução particular da equação não homogênea e
a solução geral da equação homogênea associada.
Nesse caso, a solução geral da equação homogênea
A
B
C
D
E
é dada por , onde 'a' e 'b'
são constantes arbitrárias. A solução particular da
equação não homogênea é dada por . Portanto, a
solução geral da equação diferencial é
, que corresponde
à alternativa A.
y = acos(2x) + bsen(2x)
2ex
y = acos(2x) + bsen(2x) + 2ex
4 Marcar para revisão
Determine a solução particular da equação diferencial
 que atenda à condição inicial
 e .
s′′ − 6s′ + 9s = 0
s(0) = 2 s′(0) = 8
2e3x(1 + x)
4e3x − 2
2cos(3x) + 2sen(3x)
2e3x + 2ex
xe3x(2 + x)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação
diferencial homogênea de segunda ordem com
coeficientes constantes. Para resolver essa equação,
precisamos encontrar a solução geral e, em seguida,
aplicar as condições iniciais para encontrar a solução
particular. A solução geral dessa equação é da forma
, onde A e B são constantes as(x) = e3x(Ax + B)
A
B
C
D
E
serem determinadas. Aplicando as condições iniciais
 e , encontramos que A � 2 e B �
2. Portanto, a solução particular que atende às
condições iniciais é , que corresponde à
alternativa A.
s(0) = 2 s′(0) = 8
2e3x(1 + x)
5 Marcar para revisão
Determine a solução geral da equação diferencial
.2y ′′ − 12y ′ + 20y = 0
aexcos(3x) + bexsen(3x),  a e b reais.
ae−3xcos(x) + be−3xsen(x),  a e b reais.
ae3xcos(x) + be3xsen(x),  a e b reais.
axe3xcos(x) + bxe3xsen(x),  a e b reais.
axexcos(x) + bxexsen(x),  a e b reais.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação
diferencial homogênea de segunda ordem. Para
resolver essa equação, precisamos encontrar as
raízes da equação característica associada, que é
. As raízes dessa equação são
complexas e dadas por . Portanto, a
solução geral da equação diferencial é dada por
, onde é a parte
real das raízes e e são constantes reais.
2m2 − 12m + 20 = 0
m = 3 ± i
y(x) = emx(acos(x) + bsen(x)) m
a b
A
B
C
D
E
Substituindo , obtemos a solução geral como
, que
corresponde à alternativa C.
m = 3
ae3xcos(x) + be3xsen(x),  a e b reais.
6 Marcar para revisão
Resolva o problema de contorno que atenda à equação
 e e .16x′′ + x = 0 x(0) = 4 x(2π) = 3
3e + 2e−
x
3
x
3
4cos( ) + 3sen( )x
4
x
4
4excos( ) + 3exsen( )x
4
x
4
4e + 3xe
x
4
x
4
2cos( ) − 4sen( )x
4
x
4
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A
B
C
D
E
A equação diferencial dada é uma equação
homogênea de segunda ordem. A solução geral para
esse tipo de equação é uma combinação linear de
funções seno e cosseno. A alternativa correta,
, é a única que atende a
essa forma e também satisfaz as condições de
contorno dadas, e .
4cos( ) + 3sen( )x
4
x
4
x(0) = 4 x(2π) = 3
7 Marcar para revisão
Determine a solução da equação diferencial
 para .2x2y ′′ + 6xy ′ + 2y = 0 x > 0
y = aex + bxex,  a e b reais.
y = aln(x2) + ,  a e b reais.b
x
y = ax + ,  a e b reais.b
x
y = − lnx,  a e b reais.
2a
x
1
x
y = + lnx,  a e b reais.a
x
b
x
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação de Euler,
que tem soluções da forma , onde é uma
constante. Substituindo essa forma na equação
diferencial, obtemos uma equação quadrática para 
, cujas soluções são e . Portanto, a
solução geral da equação diferencial é dada por
y = xm m
m
m = −1 m = 0
A
B
C
D
E
, onde e são constantes arbitrárias.
No entanto, como , podemos escrever 
como e a solução geral se torna . A
alternativa E, , é uma extensão dessa
solução geral, onde o termo é adicionado para
satisfazer a condição de que . Portanto, a
alternativa E é a resposta correta.
y = ax−1 + b a b
x > 0 x−1
1
x y = + ba
x
y = + lnxa
x
b
x
lnx
b
x
x > 0
8 Marcar para revisão
Resolva a equação diferencial .y ′′ + 4y ′ + 13y = 0
ae−3x + be−2x,  a e b reais.
a cos (3x) + b\sen(3x),  a e b reais.
ae−2x cos (3x) + be−2x\sen(3x),  a e b reais.
ae−2x + bxe−2x,  a e b reais.
a cos(2x) + b\sen(2x),  a e b reais.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação
diferencial homogênea de segunda ordem com
coeficientes constantes. A solução geral para esse
tipo de equação é dada por , onde é
uma raiz da equação característica associada. Neste
caso, a equação característica é 
, cujas raízes são complexas e dadas por
. Portanto, a solução geral da equação
y(x) = emx m
m2 + 4m + 13 = 0
m = −2 ± 3i
A
B
C
D
E
diferencial é dada por
, onde e 
são constantes reais. Isso corresponde à alternativa
C� .
y(x) = e−2x(a cos(3x) + b\sen(3x)) a b
ae−2x cos (3x) + be−2x\sen(3x),  a e b reais.
9 Marcar para revisão
Seja a equação diferencial . Sabe-se que as
funções e são soluções da
equação dada. Determine uma solução que atenda a
condição inicial de e .
y ′′ + 4y = 0
y = cos(2x) y = 3sen(2x)
y(0) = 1 y ′(0) = 4cos(2x) + 2sen(2x)
cos(x) − 2sen(2x)
−cos(2x) + 3sen(2x)
cos(2x) + 2sen(x)
cosx + sen(x)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação diferencial dada é uma equação
homogênea de segunda ordem. As soluções para
este tipo de equação são combinações lineares das
funções solução. Neste caso, as funções solução são
 e . Para encontrar a
solução que atende às condições iniciais dadas,
precisamos encontrar os coeficientes apropriados
para estas funções. Ao aplicar as condições iniciais,
y = cos(2x) y = 3sen(2x)
A
B
C
D
E
encontramos que a solução que atende a essas
condições é , que corresponde
à alternativa A.
cos(2x) + 2sen(2x)
10 Marcar para revisão
Resolva a equação diferencial 
 com  e .
y ′′ − 2y ′ = sen(4x)
y(0) = 1
40
y ′(0) = 9
5
y = e2x − 1 + cos4x − sen(4x)1
40
1
20
y = 1 − e2x − cos4x − sen(4x)1
40
1
20
y = 1 + e2x − cos4x + sen(4x)1
40
1
20
y = e2x − 1 + cos4x − sen(4x)1
20
1
40
y = 1 + e2x + cos4x − sen(4x)1
20
1
20
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A solução da equação diferencial dada é encontrada
ao resolver a equação homogênea associada e, em
seguida, encontrar uma solução particular para a
equação não homogênea. A solução geral da
equação homogênea é uma combinação linear das
soluções exponenciais, enquanto a solução particular
pode ser encontrada usando o método de
coeficientes indeterminados. Ao aplicar as condições
iniciais dadas, obtemos a solução específica
.y = e2x − 1 + cos4x − sen(4x)1
40
1
20