Funções Matemáticas

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CÁCULO I 
CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO 
 
 
 
THILENE FALCÃO LUIZ 
 
 
FUNÇÕES 
 
Introdução: Em muitas situações da vida prática, o valor de uma grandeza depende do 
valor de uma segunda grandeza. Por exemplo, a demanda de carne pode depender do 
preço do produto, a poluição do ar em uma cidade pode depender do número de veículos 
nas ruas... Relações como esta muitas vezes podem ser representadas matematicamente 
através de funções. 
 
Definição: Uma função f é uma lei a qual para cada elemento x em um conj. A faz 
corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B. 
 
Ou seja, função é uma regra que associa a cada objeto de um conjunto A um e apenas um 
objeto de um conjunto B. 
Em geral, consideramos as funções para quais A e B são conjuntos de números reais. O 
conjunto A é chamado de domínio da função e o B, de contradomínio. O número f(x) é o 
valor de f em x e lê-se "f de x". 
A imagem f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia por todo o 
domínio. Neste caso, f(x) é denominado de variável dependente e x é a variável 
independente. Outro exemplo é no cálculo da área A de um círculo que depende do raio r, 
dada por A = πr2. Aqui o r é independente e A, a variável dependente (de r). 
Uma das formas de se visualizar a função é por diagrama de flechas. 
 
Cada flecha conecta um elemento de A com um elemento de B. A flecha indica que f(x) está 
associado a x, f(a) a a etc. 
Exemplos: 
1) Se f(x) = √𝑥 − 2, encontre f(27), f(2), f(5) e f(1). 
 
2) Determine f (−1
2⁄ ), f(1) e f(2), para: 
𝑓(𝑥) = {
1
𝑥⁄ , para 𝑥 < 1
3𝑥2 , para 𝑥 ≥ 1
 
 
Determinação do domínio: A menos que seja especificado de outra forma, se uma 
expressão é usada para definir uma função f, o domínio de f é o conjunto de todos os 
números para os quais f(x) é definida (como um número real). Este é o chamado domínio 
natural de f e para determiná-lo é preciso excluir, em geral, os números x que resultam 
em divisão por 0 ou na raiz quadrada de um número negativo. 
 
Exemplos: Determinar o domínio das seguintes funções: 
a) f(x) = 
1
𝑥−3
 b)𝑔(𝑡) = √𝑡 − 2 
 c)ℎ(𝑥) = √𝑥2 − 25
4
 d)𝑓(𝑦) =
3𝑦
𝑦2+3
 
 
Composição de funções 
Existem muitas situações nas quais uma grandeza é dada como uma função de uma 
variável que, por sua vez, pode ser escrita como uma função de outra variável. Este 
processo é conhecido como composição de funções. 
 
DEFINIÇÃO: Dadas as funções f(u) e g(x), a composição f(g(x)) é a função formada 
substituindo u por g(x) na expressão de f(u). 
Exemplos: Dadas as funções 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 3 e 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥2+ 1
 Determine: 
a)f(g(0)); d)f(g(x)); 
 
b)f(f(2)); e)g(f(g(x))); 
 
c)g(f(g(-1))); 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de uma função: O gráfico de uma função f nos dá uma imagem proveitosa do 
comportamento da mesma. Quando y = f(x), podemos entender o valor f(x) como a altura 
do ponto no gráfico acima de x. 
Ou seja, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,y), onde x é o domínio de f e y = 
f(x). Todos os pontos tem a forma (x, f(x)). 
 
O Gráfico de f também nos permite visualizar o domínio sobre o eixo x e a imagem sobre o 
eixo y. 
 
 
Exemplo: 1)O gráfico de f é dado pela seguinte figura: 
 
 
a) Determine f(1), f(4) e f(7); 
b) Como são o domínio e imagem de f? 
2) Esboce o gráfico e encontre o domínio e imagem de cada função. 
 
a) f(x) = 2x-1 (função linear →RETA) 
 
x y 
0 -1 
1
2⁄ 0 
 
D = Im =  (todos os números reais) 
 
b) f(x) = -x2 + x + 2 (função quadrática → PARÁBOLA) 
 
Vértice: 
−𝐵
2𝐴
 = 
−1
2(−1)
 = 
1
2
 D =  e Im = ( -:2,25] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ) f(x) = x3 (função cúbica → CÚBICA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y 
3 -4 
2 0 
0,5 2,25 
-1 0 
-2 -4 
x y 
1 1 
1
2⁄ 1
8⁄ 
0,5 2,25 
−1
2⁄ −1
8⁄ 
-1 -1 
1.5 - FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
 
O gráfico abaixo se eleva de A para B, cai de B para C, e sobe novamente de C para D. 
Dizemos que a função f é crescente em [a,b], decrescente em [b,c] e novamente crescente 
em [c,d]. Observe que x1 e x2 forem dois números quaisquer entre a e b com x1 < x2, então 
f(x1) < f(x2). Usaremos isso como propriedade que define uma função crescente. 
 
Def: Uma função f é chamada de crescente em um intervalo I se 
f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2 em I; 
 Uma função f é chamada de decrescente em um intervalo I se 
f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2 em I. 
 
1.6 - Simetria 
 
Função par é a função que satisfaz a condição: f(x) = f(-x) para todo o x do seu domínio. 
Seu gráfico é simétrico ao eixo y. 
Função ímpar é a função que satisfaz a condição: f(x) = - f(-x) para todo o x do seu domínio. 
Seu gráfico é simétrico em relação a origem. 
 
Exemplo: Determine se a função f é par, ímpar ou não tem paridade. 
a) f(x) = x2; 
b) f(x) = x3; 
c) f(x) = x5 + x; 
d) f(x) = 1 - x4; 
e) f(x) = 2x - x2; 
 
 
1.7 - Funções Trigonométricas 
 
Em cálculo convencionamos usar sempre a medida de ângulos em radianos. Logo, os 
gráficos da função seno e cosseno são dadas por: 
 
Observe que para ambas funções o domínio é (-,) e a imagem é [-1, 1]. 
 
1.8 - Funções Exponenciais 
 
Estas funções são da forma f(x) = ax, onde a base a é uma constante positiva. 
 
Def: Se a é um número positivo diferente de 1, existe uma e apenas uma função chamada 
função exponencial de base a, definida como f(x) = ax 
 
 
Propriedades básicas: dadas as bases a e b (a > 0 e b > 0) e os números reais x e y, temos: 
a) regra da igualdade: bx = by se somente se x = y; 
b) regra do produto: bx . by = bx + y; 
c) regra do quociente: 
𝑏𝑥 
𝑏𝑦
 = bx - y; 
d) regra da potência: (bx)y = bxy; 
e) regra da multiplicação: (ab)x = ax bx; 
f) regra da divisão: (
𝑎 
𝑏
)
𝑥
= 
𝑎𝑥 
𝑏𝑥
. 
Exemplos: Calcule o valor das expressões exponenciais. 
a) 32. 33; d) (
2 
3
)
−2
; 
b) (23)2; e) (
4 
7
)
3
2⁄
 
c) 
23 
25
; f) (4)
−1
2⁄ 
Se 𝑓(𝑥) = 5𝑥2+ 2𝑥 , determine todos os valores de x para os quais f(x) = 125. 
 
1.9 - Função Logarítmicas 
 
Estas funções são 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥, onde a base a é uma constante positiva. 
 
 
Em cada caso o domínio é (0,) e a imagem (-,). As funções crescem vagarosamente 
quando x > 1. 
 
Def: Se x é um número positivo, o logaritmo de x na base a (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), representado 
pelo símbolo 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥, é o número y tal que: 
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 se e somente se ay = x, para x > 0. 
 
 
Exemplos: Calcule: 
a) 𝑙𝑜𝑔101000 b) 𝑙𝑜𝑔232 c) 𝑙𝑜𝑔5(1
125⁄ ) 
d) 𝑙𝑜𝑔4(1
64⁄ ) e) 𝑙𝑜𝑔 0,1 f) 𝑙𝑜𝑔1
2⁄ 16 
 
Propriedades: Seja a (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 ) qualquer base logarítmica. Nesse caso, 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎1 = 0 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎𝑟 = 𝑟 
 
e se u e v são números positivos, temos: 
 
a) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑣 , se somente se u = v; 
b) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑢𝑣) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑣; 
c) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝑢
𝑣
) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑣; 
d) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢𝑟 = 𝑟 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢 , para qq número real r; 
 
Exemplos: Sabendo que 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 5 e 𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 3, calcule: 
 
a) 𝑙𝑜𝑔 𝑥5𝑦4 b) 𝑙𝑜𝑔 √𝑥
𝑦4⁄ c) 𝑙𝑜𝑔 𝑥3𝑦2 
 
 
1.10 – Logaritmo Natural 
 
No cálculo diferencial e integral, a base logarítmica mais usada é o número e. Neste caso 
particular 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥 é chamado de logaritmo natural de x e é representado por ln 𝑥. 
Assim, para 𝑥 > 0, temos: 
y = ln 𝑥 se e somente se 𝑒𝑦 = 𝑥 
È importante ressaltar que todas as propriedades de logaritmos também são 
válidas para ln. 
 
Exemplos: 1) Determine. 
a) ln 𝑒 b) ln 1 c) ln √𝑒 
 
2) Determine ln √𝑎𝑏, sabendo que ln 𝑎 = 3 e ln 𝑏 = 7. 
 
 
 
1.11 – Relação entre 𝐥𝐧 𝒙 e 𝒆𝒙 
 
Duas funções são consideradas inversas entre si quando seus respectivos gráficossão simétricos em relação a reta 𝑦 = 𝑥. 
Um exemplo disso é: 
 
Ou seja, 
 
𝑒ln 𝑥 = 𝑥 para todo 𝑥 > 0 e ln 𝑒𝑥 = 𝑥 para todo 𝑥. 
 
Exemplos: Determine o valor de x: 
a)2𝑥 = 𝑒3 b) 3 = 𝑒20𝑥 c) 2 ln 𝑥 = 1 
 
Fórmula de conversão para logaritmos: Se a e b são números positivos com b ≠ 1, 
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 = 
ln 𝑎
ln 𝑏
 
Exemplo: Determine 𝑙𝑜𝑔53,172 
𝑙𝑜𝑔53,172 = 
ln 3,172
ln 5
≈
1,1544
1,6094
≈ 0,7172