Integração por Substituição

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Cálculo I - 2023-4 
Prática de Exercícios 30 - Integração por Substituição
Lista de Monitoria
1
Universidade Federal do Pará
36. Calcule
∫
(2x+ 1)3 dx por dois métodos:
a) expandindo o (2x+ 1)3 pelo teorema do binômio
b) tomando u = 2x+ 1
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)
37. Calcule
∫
x(x2 + 2)2 dx por dois métodos:
a) expandindo o (x2 + 2)2 e multiplicando o resultado por x
b) tomando u = x2 + 2
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)
38. Calcule
∫
(
√
x− 1)2√
x
dx por dois métodos:
a) Expandindo o (
√
x− 1)2 e multiplicando o resultado por x− 1
2
b) Tomando u =
√
x− 1
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b)
39. Calcule
∫
x2
√
x− 1 dx por dois métodos:
a) Tomando u = x− 1;
b) Tomando v =
√
x− 1;
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b);
Cálculo I - 2023-4
2
Atividade de Monitoria 30
40. Calcule 2 sen(x) cos(x) dx por três métodos:
a) Tomando u = sen(x)
b) Tomando v = cos(x)
c) Usando a identidade 2 sen(x) cos(x) = sen(2x)
d) Explique a diferença entre as respostas de (a), (b) e (c).
Solução Para u = sen(x), temos du = cos(x) dx, logo :∫ ∫
(2 sen(x) cos(x)) dx = 2 u du
= u2 +K1
= sen2(x) +K
Agora para v = cos(x) temos, dv = − sen(x) dx, logo:∫
(2 sen(x) cos(x)) dx = −2
∫
v dv
= −v2 + C1
= − cos2(x) + C
Também vamos realizar o método de substituição utilizando a identidade trigonométrica:∫ ∫
2 sen(x) cos(x) dx = sen(2x) dx
Para a resolução, vamos tomar que w = 2x, sendo assim dw/2 = dx, logo:
2
dw =
2
+G1 =
∫
sen(w) − cos(w) − cos(2x)
2
+G1
Com isso, percebe-se que determinadas integrais indefinidas podem gerar diferentes expressões
dependendo do método utilizado. Contudo, essas expressões diferem apenas por uma constante.
Para fazer essa verificação basta apenas utilizar as identidades: sen2 (x) + cos2 (x) = 1 e
cos (2x) = cos2 (x)− sen2 (x) nas expressões encontradas. Fim Solução
3
Cálculo I - 2023-4 Atividade de Monitoria 30
41. Calcule
∫
cossec2(x) cotg(x) dx por dois métodos:
a) Tomando u = cotg(x)
b) Tomando v = cossec(x)
c) Tomando cossec2(x) =
1
sen2(x)
e cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
d) Explique a diferença entre as respostas de (a), (b) e (c)
42. Resolva a integral pela técnica de integração por substituição:
∫
s√ ds.
A
√
s3 + 1
2
+ C
B
√
3s2 + 1
3
+ C
C
1 + s3
s
+ C
D
√ 3s2 + 1
3s2 + 1 + C
E
s
3s2 + 1
+ C
43. Resolva a integral pela técnica de integração por substituição:
∫
2r
(1− r)7
dr.
A
6r − 1
15(1− r)6
+ C
B
r
(1− r)4
+ C
C 15(1− r)6 + C
D
√
6r − 1 + C
E − 1
(1− r)6
+ C
44. Calcule a integral procurando utilizar a técnica de integração por substituição.
Exemplo
∫
x(x2 + 1)
√
4− 2x2 − x4 dx
Solução Podemos efetuar a distributiva para ficarmos com:∫
(x3 + x)
√
4− 2x2 − x4 dx
4
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Utilizando a substituição u = 4− 2x2 − x4 temos:
du
dx
= (−4x− 4x3) = −4(x+ x3) ⇒ −du
4
= (x+ x3) dx.
Aplicando as substituições na integral:∫ ∫
−
√
u
4
du = −1
4
∫
u1/2 du = −1
4
2
3
u3/2 = −1
6
u3/2.(x3 + x)
√
4− 2x2 − x4 dx =
Por fim, voltando para a variável x:
−1
6
u3/2 = −1
6
(4− 2x2 − x4)3/2 + c, c ∈ R. Fim Solução
i)
∫ √
1− 4y dy
ii)
∫
3
√
3x− 4 dx
iii)
∫
3
√
6− 2x dx
iv)
∫ √
5r + 1 dr
v)
∫
x
√
x2 − 9 dx
vi)
∫
3x
√
4− x2 dx
vii)
∫
x2(x3 − 1)10 dx
viii)
∫
x(2x2 − 1)6 dx
ix)
∫
3
√
x)
∫
xi)
∫
5x (9− 4x2)2 dx
(x2 − 4x+ 4)
4
3 dx
x4
√
3x5 − 5 dx
xii)
∫
x
√
x+ 2 dx
xiii)
∫
t√
t+ 3
dt
xiv)
∫
xv)
∫
xvi)
∫
x3(2− x2)12 dx
x2
√
3− 2x dx
x5(x3 + 3)
1
4 dx
xxix)
∫
(tg(2x) + cotg(2x))2 dx
xxx)
∫ 1
2
cos(1
4
x)√
sen(1
4
x)
dx
xxxi)
∫
cos(3x)√ dx
xxxii)
1− 2 sen(3x)∫
sec2(3
√
t)√
t
dt
5
Cálculo I - 2023-4 Atividade de Monitoria 30
xvii)
xviii)
∫
6x2 sen(x3) dx∫
1
2
t cos(4t2) dt
xix)
∫
y cossec(3y2) cotg(3y2) dy
xx)
∫
r2 sec2(r3) dr
xxi)
∫
cos(x)(2 + sen(x))5 dx
xxii)
∫
4 sen(x)
(1 + cos(x))2
dx
xxiii)
∫ (√
1 +
1
3x
)
1
x2
dx
xxiv)
∫ (√
1
t
− 1
)
1
t2
dt
xxv)
∫
2 sen(x) 3
√
1 + cos(x) dx
xxvi)
∫
sen(2x)
√
2− cos(2x) dx
xxvii)
∫
cos2(t) sen(t) dt
xxviii)
∫
sen3(x) cos(x) dx
xxxiii)
∫
(x2 + 2x)√ dx
xxxiv)
∫ x3 + 3x2 + 1
x(x2 + 1)
√
4− 2x2 − x4 dx
xxxv)
∫
x(3x2 + 1)
(3x4 + 2x2 + 1)2
dx
xxxvi)
xxxvii)
∫ √
3 + s(s+ 1)2 ds∫
(y + 3)dy
(3− y)
2
3
xxxviii)
∫
(2t2 + 1)
1
3 t3 dt
xxxix)
∫
(r
1
3 + 2)4
3
√
r2
dr
xl)
∫ (
t2 + 1
t
) 3
2
(
t2 − 1
t2
)
dt
xli)
∫
x3
(x2 + 4)
3
2
dx
xlii)
∫
x3
√
1− 2x2
dx
xliii)
∫
sen(x) sen(cos(x)) dx
xliv)
∫
sec(x) tg(x) cos(sec(x)) dx
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Cálculo I - 2023-4 Atividade de Monitoria 30
45. Avalie a integral.
a)
∫ 1
0
cos
πt
2
dt
b)
∫ 1
0
(3t− 1)50 dt
c)
∫ 1
0
3
√
1 + 7x dx
d)
∫ 3
0
1
5x+ 1
dx
e)
∫ π
0
sec2 (
t
4
) dt
f)
∫ 1/2
1/6
cossec (πt) cotg (πt) dt
g)
∫ 2
1
e1/x
x2
dx
h)
∫ 1
0
xe−x2
dx