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PROFMAT: MA22 – FUNDAMENTOS DE CÁLCULO 2025.1
Terceira Lista de Exerćıcios - REVISÂO
1. Seja f : [0, 2] → R definida por f(x) = x2 + 1 se x ∈ [0, 1] e f(x) = 2
se x ∈ [1, 2]. Calcule
∫ 2
0
f(x)dx.
2. Seja f : [−1, 1] → R definida por f(x) = −x2 se x ∈ [−1, 0] e f(x) = x2
se x ∈ [0, 1]. Mostre que
∫ 1
−1
f(x)dx.
3. Seja f : [a, b] → R uma função integrável tal que m ≤ f(x) ≤ M para
todo x ∈ [a, b]. Mostre que m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤ M(b− a).
4. Se f : [a, b] → R é uma função constante, f(x) = c para todo x ∈ [a, b],
mostre que
∫ b
a
f(x)dx = c(b− a).
5. Seja f : [a, b] → R ser uma função integrável. Assumindo que |f | é
também integrável, use o fato que −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x), para cada
x ∈ [a, b], para deduzir: |
∫ b
a
f(x)dx| ≤
∫ b
a
|f(x)|dx.
6. Seja f : [a, b] → R ser uma função integrável. Para 0 0, usando Somas de Riemann.
12. DefinaG(x) =
∫ sen(x)
0
tndt para todo x ∈ R, onde n é um número inteiro
positivo. Mostre que G é derivável em R e G′(x) = cos(x) senn(x) para
todo x ∈ R.
13. Defina G(x) =
∫ x3
0
√
tdt para todo x ∈ [0,+∞). Mostre que G é
derivável em [0,+∞) e G′(x) = 3x2
√
x3 para todo x ∈ [0,+∞).
14. Calcule as integrais indefinidas abaixo:
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Lista de Revisão - PROFMAT/UENF Profa. Nancy Baygorrea
(i)
∫
dx
2x2 + 8x+ 20
(ii)
∫
1− senx
cosx
dx
(iii)
∫
3x2 + 4x+ 5
(x− 1)2(x− 2)
dx
(iv)
∫
3x2 + 4x+ 5
(x− 1)(x− 2)(x− 3)
dx
(v)
∫
x5 + x+ 1
x3 − 8
dx
(vi)
∫
x2
√
1− x2
x
dx
(vii)
∫
ln(x +
√
1 + x2) dx
(viii)
∫ √
x lnx dx
(ix)
∫
sen(lnx) dx
(x)
∫
x
x2 − 4
dx
(xi)
∫ √
a2 + b2x2 dx
(xii)
∫ √
x2 − 2x+ 2 dx
(xiii)
∫ √
3− 2x− x2 dx
(xiv)
∫
dx
(1 + x2)
√
1− x2
(xv)
∫
cos3 x dx
(xvi)
∫
sen5 x dx
(xvii)
∫
cos5 x
sen3 x
dx
(xviii)
∫
e2x dx
(xix)
∫
cos(7x) dx
(xx)
∫
tan(2x) dx
(xxi)
∫
7
x− 2
dx
(xxii)
∫
sen2 x cos5 x dx
(xxiii)
∫
dx
sen5 x cos3 x
(xxiv)
∫
tanx dx
(xxv)
∫
tan(3x) dx
(xxvi)
∫
x
1 + x2
dx
(xxvii)
∫
sen4 x dx
(xxviii)
∫
cos6(3x) dx
(xxix)
∫
cos2 x
sen6 x
dx
(xxx)
∫
dx
sen2 x cos4 x
(xxxi)
∫
arctg x dx
(xxxii)
∫
arctg x
x2
dx
(xxxiii)
∫
x2
√
2x− x2
dx
(xxxiv)
∫
4x2 − 3x+ 3
(x2 − 2x+ 2)(x+ 1)
dx
(xxxv)
∫
arcsenx dx
(xxxvi)
∫
sec3 x dx
(xxxvii)
∫
cos2 x dx
(xxxviii)
∫
sen2 x cos3 x dx
(xxxix)
∫
dx
1 + ex
(xl)
∫
arctg(
√
x) dx
(xli)
∫
ln(x+ 1)
x2
dx
(xlii)
∫
2x+ 1
x2 + 2x+ 2
dx
(xliii)
∫
x
1 + x4
dx
(xliv)
∫
x2
1 + x2
dx
(xlv)
∫
x√
1− x2
dx
(xlvi)
∫
secx dx
(xlvii)
∫
dx
x
√
1 + ln x
(xlviii)
∫
x2 5
√
x3 + 1 dx
(xlix)
∫
4x+ 8
2x2 + 8x+ 20
dx
(l)
∫ √
lnx
x
dx
3 08/06/25
Lista de Revisão - PROFMAT/UENF Profa. Nancy Baygorrea
(li)
∫
dx
(arcsinx)
√
1− x2
(lii)
∫
ex
1 + ex
dx
(liii)
∫
x7 + x2 + 1
x2
dx
(liv)
∫
tan(3x) sec2 x dx
(lv)
∫
sin3 x
cosx
dx
(lvi)
∫
x5e−x3
dx
15. Defina G(x) =
∫ x3
x2 cos(t)dt para todo x ∈ R. Mostre que G é derivável
em R e G′(x) = 3x2 cos(x3)− 2x cos(x2) para todo x ∈ R.
16. Seja f : [0, 1] → R uma função cont́ınua tal que x2 ≤ f(x) ≤ 2x2 + 1
para todo x ∈ [0, 1]. Mostre que 1/3 ≤
∫ 1
0
f(x)dx ≤ 5/3.
17. Sendo f(x) = sen(3x), calcule a área da região compreendida entre o
gráfico de f , o eixo das abcissas e as retas x = 0 e x = π/3.
18. Use o TVM para integrais para mostrar que
∫ 2
0
1
x2+3
dx ≤ 2/3.
19. Calcule a área da região interna formado pela curva y2 = x2(x+ 3).
20. Calcule a área da região do plano limitada pela elipse x2
a2
+ y2
b2
= 1.
21. Esboce a região e ache a área da região compreendida entre:
a) os gráficos de f(x) = x2, g(x) = 1− x2 e a reta y = 2;
b) o gráfico de f(x) =
√
x, y = 0 e x = a, onde a > 0 é arbitrário.
c) os gráficos de f(x) = 1/x2, g(x) = x2/16 e h(x) = x2 para x > 0.
22. Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de f(x) = sec(x) tan(x),
e o eixo das abcissas e as retas x = −pi/4 3 x = π/4.
23. Mostre que 3π/24 ≤
∫ π/3
π/4
(1 + sen2(x))dx ≤ 7π/48.
24. Seja f : R → R uma função cont́ınbua e defina H(x) =
∫ x
0
xf(t)dt para
todo x ∈ R. Mostre qye H é derivável em R e H ′(x) =
∫ x
0
f(t)dt +
xf(x), para todo x ∈ R.
25. Calcule o volume do sólido cuja base é a astróide x2/3 + y2/3 = a2/3,
com seções transversais quadradas.
26. Seja A a região delimitada por y ≥ 0 e x2
a2
+ y2
b2
≤ 1. Calcule o volume
gerado pela rotação de A em torno do eixo x.
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Lista de Revisão - PROFMAT/UENF Profa. Nancy Baygorrea
27. Calcule o comprimento do gráfico de f(x) = ln(cos x), para x ∈ [0, π/4].
28. Calcule o comprimento da astróide x2/3 + y2/3 = a2/3.
29. Determine o volume do sólido obtido pela rotação do conjunto A em
torno do eixo x:
(a) A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ xy ≤ 2, x2 + y2 ≤ 5 e x > 0}
(b) A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥
√
x e (x− 1)2 + y2 ≤ 1}
(c) A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2 e e−x ≤ y ≤ ex}
(d) A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y ≤ 1 e 1/x ≤ y ≤ 4/x2}
(e) A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≥ 4}
30. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = 3
da região delimitada pelas parábolas y = x2 e y = 2− x2.
31. Seja A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 e ln(x + 1) + 2 ≤ y ≤ ex + 4}.
Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da
reta y = 2.
32. O disco x2 + y2 ≤ a2 é girado em torno da reta x = b, com b > a, para
gerar um sólido com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro.
Calcule seu volume.
33. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno eixo y:
(a) A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 + x2/2, y ≥ x2 − 1}
(b) A = {(x, y) : x2 ≤ y ≤ 4, x ≥ 0}
(c) A = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ lnx}
(d) A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 3
√
x}
(e) A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, y ≥
√
x− 1, 0 ≤ y ≤ x2}
34. Calcule o volume da região delimitada pelas curvas abaixo:
(a) y = x2 − x− 6 e y = 0
(b) y = 20− x2 e y = x2 − 12
(c) y = ex − 1, y = x2 − x e x = 1
(d) x+ y = 0 e x = y2 + 3y
(e) y =
√
x, y = x2 e x = 2
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