C1 Lista Semanal 2 - 2023_4 (Com Gabarito)

Prévia do material em texto

CÁLCULO I
Prof. Emerson Veiga e Prof. Raimundo Leão
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 02
Questão 1. Considere g(x) =
3
1− sen(x)
. Qual o menor valor possível que esta
função pode assumir? E se, ao invés de Seno, tivermos Cosseno?
Solução: Sabe-se que o valor de uma fração fica cada vez menor quando o de-
nominador aumenta e o numerador continua o mesmo, portanto, devemos pensar qual
o maior valor possível para o denominador de g(x). Lembre que a função Seno está
limitada por 1 e −1, portanto estes são nossos candidatos a resposta. Se optarmos por
sen(x) = 1, teremos uma indeterminação, portanto devemos escolher sen(x) = −1,
assim
g(x) =
3
1− (−1)
g(x) =
3
2
.
Logo, o menor valor que g(x) pode assumir é
3
2
.
No caso de cos(x), a função também está limitada por 1 e −1, logo teríamos o
mesmo valor mínimo.
Questão 2. Verifique a paridade das funções Tangente Hiperbólico e Secante Hiper-
bólico.
Solução: Como tanh(x) =
ex−e−x
2
ex+e−x
2
, veja que
tanh(−x) =
e−x−e−(−x)
2
e−x+e−(−x)
2
=
− ex−e−x
2
ex+e−x
2
= − tanh(x).
Portanto a função Tangente Hiperbólico é ímpar.
Agora, como sech(x) =
1
cosh(x)
, veja que
sech(−x) =
1
cosh(−x)
=
1
cosh(x)
= sech(x).
Portanto a função Secante Hiperbólico é par.
1
Cálculo I Lista de Exercícios 02
Questão 3. Materiais radioativos ao longo do tempo podem desintegrar sua massa
radioativa. O tempo necessário para que metade da sua massa radioativa se desintegre
é chamado de meia-vida. A porção de material radioativo de um determinado elemento
em função do tempo é dada por
R(t) = N0
(
1
2
) t
T
,
onde
R(t) →Quantidade de material radioativo em gramas, em um determinado tempo t.
N0 →Quantidade inicial de material em gramas.
T →Tempo da meia vida em anos.
t →Tempo em anos.
Considerando que a meia-vida deste elemento é igual a 32 anos, determine o tempo
necessário para que o material radioativo se reduza a 25% da sua quantidade inicial.
Solução: Se N0 é quantidade inicial, queremos encontrar quando ocorre 0, 25N0 =
1
4
N0, assim , substituindo na fórmula temos.
1
4
N0 = N0
(
1
2
) t
32
(
1
2
)2
=
(
1
2
) t
32
2 =
t
32
t = 64.
Portanto serão necessários 64 anos para que o material se reduza à 25%.
Questão 4. Resolva os seguintes limites:
a) Se f(x) = 2x3 + 7x− 1, mostre que lim
x→−1
f(x) = f(−1).
b) Se g(x) =
x2 − 16
x− 4
, mostre que lim
x→4
g(x) = 8, mas g(4) não é definida.
c) Se h(x) =
{
2x− 1 se x ̸= 2
1 se x = 2
, mostre que lim
x→2
h(x) ̸= h(2).
Solução:
a) Sabe-se que f(−1) = −10. Fazendo o cálculo do limite:
lim
x→−1
f(x) = lim
x→−1
2(−1)3 + 7(−1)− 1
= −10
= f(−1) .
Prof. Emerson Veiga e Prof. Raimundo Leão 2
Cálculo I Lista de Exercícios 02
b) Substituindo x = 4 na expressão dada de g(x), chegamos a seguinte indetermi-
nação:
�������������XXXXXXXXXXXXX
g(4) =
(
42 − 16
4− 4
)
=
0
0
. Logo, g(4) não está definida. Fazendo o cálculo
do limite:
lim
x→4
g(x) = lim
x→4
x2 − 16
x− 4
= lim
x→4
����(x− 4)(x+ 4)
���x− 4
= lim
x→4
x+ 4
= 8 .
c) Sabe-se que h(2) = 1. Fazendo o cálculo do limite:
lim
x→2
h(x) = lim
x→2
2 · 2− 1
= 3 .
Logo, lim
x→2
h(x) ̸= h(2) .
Questão 5. Sendo f(x) =

2x+ 3 se x > 1
4 se x = 1
x2 + 2 se x < 1
. Calcule os limites abaixo e faça um
esboço do gráfico:
a) lim
x→1+
f(x) . b) lim
x→1−
f(x) . c) lim
x→1
f(x) .
Solução:
a)
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
2(1) + 3
= 5 .
b)
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(1)2 + 2
= 3 .
c) Os limites laterais são diferentes:
lim
x→1−
f(x) ̸= lim
x→1+
f(x) .
Então
��∃ lim
x→1
f(x) .
Esboço do gráfico:
Prof. Emerson Veiga e Prof. Raimundo Leão 3
Cálculo I Lista de Exercícios 02
Figure 1: Gráfico da função f .
Questão 6. Calcule os limites abaixo:
a) lim
t→2
(t− 2)2
−t+ 2
. b) lim
t→−2
t+ 2
t2 − 4
.
Solução:
a)
lim
t→2
(t− 2)2
−t+ 2
= lim
t→2
����(t− 2)(t− 2)
(−1)����(t− 2)
= 0 .
b)
lim
t→−2
t+ 2
t2 − 4
= lim
t→−2
����(t+ 2)
����(t+ 2)(t− 2)
= −1
4
.
Prof. Emerson Veiga e Prof. Raimundo Leão 4