C1 Lista Semanal 13 - 2023_4 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
Prof. Emerson Veiga e Prof. Raimundo Leão
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 13
Questão 1. Seja f : [a, b] → R uma função contínua e a < b. Mostre que se∫ b
a
f(t)dt = 0, então existe algum c ∈ (a, b) com f(c) = 0.
Solução: Sabemos que F (x) =
∫ x
a
f(t)dt é uma primitiva de F , isto é, F ′ = f .
Pelo Teorema do Valor Médio existe um c ∈ (a, b)
F ′(c) =
F (b)− F (a)
b− a
f(c) =
1
b− a
(∫ b
a
f(t)dt−
∫ a
a
f(t)dt
)
como
∫ a
a
f(t)dt =
∫ b
a
f(t)dt = 0, temos
f(c) =
1
b− a
· 0 = 0.
Questão 2. Calcule
∫ π
3
π
4
2 sen(t) cos(t)dt.
Solução: Fazendo x = sen(t), temos dx = cos(t)dt e:∫ π
3
π
4
2 sen(t) cos(t)dt =
∫ sen(π
3 )
sen(π
4 )
2xdx
= x2
∣∣∣∣sen(π3 )
sen(π
4
)
= sen2
(π
3
)
− sen2
(π
4
)
=
(√
3
2
)2
−
(√
2
2
)2
=
3
4
− 2
4
=
1
4
.
Questão 3. Calcule a área limitada pelas curvas x = y2, y = x2, x = 0 e x = 1.
1
Cálculo I Lista de Exercícios 13
Solução: Sabendo que x = y2 é o mesmo que y =
√
x para todo x não negativo.
Basta expressar a integral que descreve a região limitada:
0 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y ≤
√
x∫ 1
0
√
x− x2dx =
(
x
3
2
3
2
− x3
3
)∣∣∣∣∣
1
0
Temos (
2
1
3
2
3
− 13
3
)
−
(
2
0
3
2
3
− 03
3
)
=
2
3
− 1
3
=
1
3
.
Questão 4. Calcule
∫
(x+ 5)3 dx por dois métodos:
a) Expandindo (x+ 5)3 pelo teorema do binômio.
b) Tomando u = x+ 5.
c) Calcule
∫
(x+ 10)20 dx pelo método mais apropriado.
Solução:
a) ∫
(x+ 5)3dx =
∫
(x3 + 3x2 · 5 + 3x · 52 + 53) dx
=
∫
(x3 + 15x2 + 75x+ 125) dx
=
x4
4
+ 5x3 +
75
2
x2 + 125x+ C .
b) Usando u = x+ 5, então du = dx,∫
(x+ 5)3dx =
∫
u3du =
u4
4
+K =
(x+ 5)4
4
+K .
c) Usando u = x+ 10, então du = dx,∫
(x+ 10)20 dx =
∫
u20 du =
u21
21
+ C =
(x+ 10)21
21
+ C .
Questão 5. Calcule as integrais utilizando a técnica de integração por substituição.
a)
∫ √
1− 5t dt . b)
∫ (
3x2
(x3 + 1)2
)
dx .
Solução:
a) Usando u = 1− 5t, então du = −5dt ou dt = −du
5
,
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Cálculo I Lista de Exercícios 13
∫ √
1− 5t dt = −
∫ √
u
1du
5
= −1
5
∫ √
u du
= −1
5
∫
u
1
2 du
= −1
5
u
3
2
3
2
+K
= K − 2
√
u3
15
= K −
2
√
(1− 5t)3
15
.
b) Usando u = x3 + 1, então du = 3x2dx,
∫
3x2dx
(x3 + 1)3
=
∫
du
u3
=
∫
u−3 du =
u−2
−2
+ C = − 1
2u2
+ C = − 1
2(x3 + 1)2
+ C .
Questão 6. Calcule as integrais utilizando a técnica de integração por partes.
a)
∫
t cos(2t)dt. b)
∫
2xexdx.
Solução:
a) Usando a técnica de integração por partes
∫
u dv = u · v −
∫
v du, podemos
tomar u = t e dv = cos(2t) dt, assim, teremos du = dt e v =
1
2
sen(2t), portanto∫
t cos 2t dt = t · 1
2
sen(2t)−
∫
1
2
sen 2t dt
=
t
2
sen(2t) +
1
4
cos(2t) + k .
b) usando a integração por partes
∫
udv = u · v −
∫
vdu, tomando u = 2x e
dv = exdx, assim, teremos du = 2dx e v = ex, portanto∫
2xexdx = 2xex −
∫
ex2dx
= 2xex − 2ex + C
= 2ex(x− 1) + C .
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