Calculo_Numerico_Prof_Cicero1-e7f7455d62b64745a3059dd1b64c2554

Prévia do material em texto

P á g i n a | 0 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
Prof. Me. J. Cícero Calheiros 
Cálculo Numérico 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 1 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
Sumário 
CAPÍTULO 1 PRODUTO INTERNO E NORMA DE VETORES 1 
1.1 Produto Interno ........................................................................................................................................ 2 
1.2 Norma de Vetores .................................................................................................................................. 6 
1.3 Projeção Ortogonal de Vetores ............................................................................................................ 11 
1.3 Norma de Matrizes ............................................................................................................................... 17 
CAPÍTULO 2 ERROS E Nº DE CONDIÇÃO 19 
2.1 Introdução ............................................................................................................................................. 20 
2.2 Erro Absoluto e Erro Relativo ................................................................................................................ 25 
2.3 Propagação de Erros ........................................................................................................................... 28 
2.4 Exercícios ............................................................................................................................................... 37 
2.5 Número de Condição .......................................................................................................................... 39 
2.6 Exercícios ............................................................................................................................................... 44 
P á g i n a | 2 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
CAPÍTULO 3 RAÍZES DE FUNÇÃO REAL OU POLINOMIAL
 .......................................................................................... 45 
3.1 Método da Bisseção ............................................................................................................................ 46 
3.2 Critério de Parada .................................................................................................................................. 53 
3.3 Exercícios ............................................................................................................................................... 65 
3.4 Método do Ponto Fixo .......................................................................................................................... 66 
3.4.1 Raízes Funções ................................................................................................................................. 66 
3.3 Exercícios ............................................................................................................................................... 70 
3.4 Método de Newton .............................................................................................................................. 71 
3.4.1 Convergência do M. de Newton.................................................................................................... 75 
3.6.2 Critério de Parada do M. de Newton ................................................................................................. 79 
3.6.3 Exercícios .............................................................................................................................................. 83 
3.6.4 Método de Newton para Sistema de Equações não Lineares ....................................................... 84 
3.7 Exercícios ................................................................................................................................................. 92 
3.8 Método da Secante ................................................................................................................................ 93 
P á g i n a | 3 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.9 Exercícios ............................................................................................................................................... 97 
CAPÍTULO 4 SOLUÇÃO DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 98 
4.1 Sistema de Equações Lineares Triangulares Superiores ..................................................................... 99 
4.2 Sistema de Equações Lineares Triangulares Inferiores ..................................................................... 102 
4.3 Sistema de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss ................................................. 104 
4.4 Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial ........................................................ 114 
4.5 Método Fatoração LU ........................................................................................................................... 122 
CAPÍTULO 5 MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES
 ........................................................................................ 128 
5.1 Método de Gauss-Jacobi .................................................................................................................. 129 
5.2 Método de Gauss-Seidel ................................................................................................................... 136 
5.3 Convergência dos Métodos Iterativos ............................................................................................. 141 
CAPÍTULO 6 MODELAGEM MATEMÁTICA148 
6.1 Interpolação Polinomial ....................................................................................................................... 149 
6.1.1 Polinômio de Lagrange ..................................................................................................................... 155 
P á g i n a | 4 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
6.1.2 Polinômio de Newton – Diferenças Divididas ................................................................................. 160 
6.2 Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados ........................................................................ 165 
6.2.2 Ajuste Polinomial de grau 𝑛 ≥ 2 ....................................................................................................... 172 
6.2.4 Ajuste Exponencial ............................................................................................................................ 178 
6.2.5 Ajuste de uma Curva Logística ........................................................................................................ 182 
6.2.6 Regressão Múltipla ............................................................................................................................. 186 
6.3 Qualidade dos Ajustes ......................................................................................................................... 189 
6.4 Introdução aos Sistema Dinâmicos e Cadeia de Markov ............................................................... 195 
6.5 Exercícios .............................................................................................................................................. 203 
CAPÍTULO 7 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA206 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 1 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 1 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
Capítulo 1 
Produto Interno e 
Norma de Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste capítulo iniciaremos uma revisão de 
Produto Escalar (oi interno)de vetores, norma 
de vetores e matrizes. 
 Norma de vetores e de matrizes será 
utilizada para impor os critérios de paradas dos 
algoritmos numéricos que abordados neste 
livro. 
 Estes dois assuntos serão, rotineiramente, 
abordados durante todo o processo de 
aprendizagem dos métodos numéricos. 
 Utilizaremos notação matricial para indicar 
um vetor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 2 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
1.1 Produto 
Interno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 ∈ ℝ𝑛, tais que 
𝑢 =
[
 
 
 
 
𝑢1
𝑢2
𝑢3
⋮
𝑢𝑛]
 
 
 
 
 e 𝑣 =
[
 
 
 
 
𝑣1
𝑣2
𝑣3
⋮
𝑣𝑛]
 
 
 
 
 
Um vetor pode ser escrito, como acima, ou na 
forma de lista, como segue 
𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, 𝑢4, ⋯ , 𝑢𝑛) 
Particularmente, neste livro, conforme dito na 
introdução do capítulo, a representação de um vetor 
será em forma de matriz coluna. 
Duas operações matemática podem ser feitas 
com vetores, SOMA e PRODUTO INTERNO (ou 
ESCALAR) 
Definição 1.1.1 Soma de Vetores 
Dado os vetores 
𝑢 =
[
 
 
 
 
𝑢1
𝑢2
𝑢3
⋮
𝑢𝑛]
 
 
 
 
 e 𝑣 =
[
 
 
 
 
𝑣1
𝑣2
𝑣3
⋮
𝑣𝑛]
 
 
 
 
 
 Soma de vetores é dada por 
 
 
P á g i n a | 3 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑢 + 𝑣 =
[
 
 
 
 
𝑢1
𝑢2
𝑢3
⋮
𝑢𝑛]
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 
𝑣1
𝑣2
𝑣3
⋮
𝑣𝑛]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
𝑢1 + 𝑣1
𝑢2 + 𝑣2
𝑢3 + 𝑣3
⋮
𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 ]
 
 
 
 
 
O produto escalar (Interno) entre dois 
vetores é dado por: 
Definição 1.1.2 Produto INTERNO 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 +⋯+ 𝑢𝑛𝑣𝑛 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = ∑𝑢𝑖𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Se usarmos a representação de vetores por 
matrizes coluna, o produto interno fica 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 𝑢𝑡 . 𝑣 = 𝑣𝑡 . 𝑢 
 𝑢𝑡 e 𝑣𝑡 são chamados de transposto dos vetores. 
𝑢𝑡 = [𝑢1 𝑢2 𝑢3 ⋯ 𝑢𝑛] 
𝑣𝑡 = [𝑣1 𝑣2 𝑣3 ⋯ 𝑣𝑛] 
Exemplo 1.1.1 
Dado os vetores, encontre ⟨𝑢, 𝑣⟩ 
𝑢 =
[
 
 
 
 
 1
− 1
 2
 2
−3 ]
 
 
 
 
 e 𝑣 =
[
 
 
 
 
3
1
2
0
1]
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 4 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 𝑢𝑡. 𝑣 = 
[1 −1 2 2 3]
[
 
 
 
 
3
1
2
0
1]
 
 
 
 
 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 1 × 3 + (−1) × 1 + 2 × 2 + 2 × 0 + 3 × 1 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 9 
Exemplo 1.1.2 
Dado os vetores 𝑢 = [
1
2
−3
] e 𝑣 = [
3
0
1
], encontre ⟨𝑢, 𝑣⟩ 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 1 × 3 + 2 × 0 + (−3) × 1 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 3 + 0 − 3 = 0 
Os vetores do exemplo 1.1.2 são denominados 
ortogonais. 
 Da definição 1.1.1, segue as seguintes 
propriedades. 
Propriedades 1.1.2 
Dados 𝑢, 𝑣, 𝑒 𝑤 ∈ ℝ𝑛 e 𝜆 ∈ ℝ, temos: 
I. ⟨𝑢, 𝑢⟩ = 0, se e somente se, 𝑢 = 0; 
II. ⟨𝑢, 𝑢⟩ > 0, para todo vetor 𝑢 ≠ 0; 
III. ⟨𝑢, 𝑣⟩ = ⟨𝑣, 𝑢⟩; 
IV. ⟨𝜆𝑢, 𝑣⟩ = 𝜆⟨𝑢, 𝑣⟩; 
V. ⟨𝑢 + 𝑤, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ + ⟨𝑤, 𝑣⟩; 
VI. ⟨𝑢 + 𝑤, 𝑣 + 𝑤⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ + ⟨𝑢,𝑤⟩ +⟨𝑤, 𝑣⟩ + ⟨𝑤, 𝑤⟩ 
 
P á g i n a | 5 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos demonstrar a propriedade VI. 
𝑢 + 𝑤 =
[
 
 
 
 
𝑢1 + 𝑤1
𝑢2 +𝑤2
𝑢3 +𝑤3
⋮
𝑢𝑛 + 𝑤𝑛]
 
 
 
 
 
𝑣 + 𝑤 =
[
 
 
 
 
𝑣1 + 𝑤1
𝑣2 + 𝑤2
𝑣3 + 𝑤3
⋮
𝑣𝑛 + 𝑤𝑛 ]
 
 
 
 
 
⟨𝑢 + 𝑤, 𝑣 + 𝑤⟩ = ∑(𝑢𝑖 +𝑤𝑖)(𝑣𝑖 +𝑤𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
⟨𝑢 + 𝑤, 𝑣 + 𝑤⟩ = ∑(𝑢𝑖𝑣𝑖 + 𝑢𝑖𝑤𝑖 + 𝑤𝑖𝑣𝑖 +𝑤𝑖𝑤𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
⟨𝑢 + 𝑤, 𝑣 + 𝑤⟩ = ∑𝑢𝑖𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
+∑𝑢𝑖𝑤𝑖
𝑛
𝑖=1
+∑𝑤𝑖𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
+∑𝑤𝑖𝑤𝑖
𝑛
𝑖=1
 
⟨𝑢 + 𝑤, 𝑣 + 𝑤⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ + ⟨𝑢,𝑤⟩ +⟨𝑤, 𝑣⟩ + ⟨𝑤,𝑤⟩ ∎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 6 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
1.2 Norma de 
Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado um vetor 𝑢 ∈ ℝ𝑛, define-se norma 𝐿𝑝 de um 
vetor como 
Definição 1.2.1 
‖𝑢‖𝑝 = (∑|𝑢𝑖|
𝑝
𝑛
𝑖=1 
)
1
𝑝
= (|𝑢1|
𝑝 + |𝑢2|
𝑝 +⋯+ |𝑢𝑛|
𝑝)
1
𝑝 ; 
 Da definição 3.3, podemos definir três tipos de 
normas para os valores 𝑝 = 1, 𝑝 = 2 e 𝑝 → ∞ 
‖𝑢‖1 =∑|𝑢𝑖|
𝑛
𝑖=1 
= |𝑢1| + |𝑢2| + ⋯+ |𝑢𝑛| 
‖𝑢‖2 = (∑|𝑢𝑖|
2
𝑛
𝑖=1 
)
1
2
= √|𝑢1|2 + |𝑢2|2 +⋯+ |𝑢𝑛|2 
‖𝑢‖∞ = lim
𝑝→∞
(∑|𝑢𝑖|
𝑝
𝑛
𝑖=1 
)
1
𝑝
= 𝑚á𝑥⏟
1≤𝑖≤𝑛
{|𝑢𝑖|} 
 Da definição acima, valem as seguintes 
propriedades: 
 
 
 
 
P á g i n a | 7 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades de norma de vetores 
I. ‖𝑢‖𝑝 = 0, se e somente se, 𝑢𝑖 = 0 ∀ 𝑖 ∈ ℕ ; 
II. ‖ 𝜆𝑢‖𝑝 = | 𝜆|‖𝑢‖𝑝, para todo 𝜆 ∈ ℝ; 
III.‖𝑢 + 𝑣‖𝑝 ≤ ‖𝑢‖𝑝 + ‖𝑣‖𝑝r. 
 Para o ℝ𝑛, um espaço vetorial munido do produto 
interno usual, podemos definir a norma de um vetor 
da seguinte forma 
‖𝑢‖ = √⟨𝑢, 𝑢⟩ = √𝑢1
2 + 𝑢2
2 + 𝑢3
2 +⋯+ 𝑢𝑛2 
Exemplo 1.2.1 
Dado o vetor 𝑢 = (2,−1, 0, 3, 5), encontre a norma 
para 𝑝 = 1, 𝑝 = 2 e 𝑝 = ∞ 
Da definição de norma, temos 
‖𝑢‖𝑝 = (∑|𝑢𝑖|
𝑛
𝑖=1 
)
1
𝑝
= (|𝑢1|
𝑝 + |𝑢2|
𝑝 +⋯+ |𝑢𝑛|
𝑝)
1
𝑝 
‖𝑢‖1 =∑|𝑢𝑖|
5
𝑖=1 
= |2| + |−1| + |0| + |3| + |5| = 11 
‖𝑢‖2 = (∑|𝑢𝑖|
5
𝑖=1 
)
1
2
= (|2|2 + |−1|2 + |0|2 + |3|2 + |5|2)2 
‖𝑢‖2 = √22 + (−1)2 + 02 + 32 + 52 = √39 
‖𝑢‖∞ = 𝑚á𝑥⏟
1≤𝑖≤𝑛
{|2|, |−1|, |0|, |3|, |5|} = 5 
P á g i n a | 8 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
Fig. 1.1 Representação 
Geométrica da soma 
𝑢 + 𝜆𝑣. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 1.2.1: Desigualdade de Cauchy-
Schwarz 
Sejam 𝑢 e 𝑣 ∈ ℝ𝑛 e considerando o produto interno 
usual, ou seja 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 +⋯+ 𝑢𝑛𝑣𝑛 
Então é válida a desigualdade 
|⟨𝑢, 𝑣⟩| ≤ ‖𝑢‖‖𝑣‖ 
Considere os vetores 𝑤, 𝑢 e 𝑣 ∈ ℝ𝑛 tal que 𝑤 = 𝑢 +
𝜆𝑣, conforme Fig. 1.1 
 Como 𝑤 > 0, podemos escrever 
‖𝑤‖2 = ⟨𝑢 + 𝜆𝑣, 𝑢 + 𝜆𝑣⟩ > 0 
⟨𝑢 + 𝜆𝑣, 𝑢 + 𝜆𝑣⟩ = ‖𝑢‖2 + 2⟨𝑢, 𝑣⟩𝜆 + 𝜆2‖𝑣‖2 > 0 
‖𝑢‖2 + 2⟨𝑢, 𝑣⟩𝜆 + 𝜆2‖𝑣‖2 > 0 
 A desigualdade anterior nada mais é que uma 
desigualdade do 2º Grau em 𝜆, logo, para que ela 
seja positiva para todo número real 𝜆 devemos ter o 
discriminante menor que zero. 
4⟨𝑢, 𝑣⟩
2
− 4‖𝑢‖2‖𝑣‖2 < 0 
⟨𝑢, 𝑣⟩
2
< ‖𝑢‖2‖𝑣‖2 
√⟨𝑢, 𝑣⟩
2
< √‖𝑢‖2‖𝑣‖2 
|⟨𝑢, 𝑣⟩| < ‖𝑢‖‖𝑣‖ 
P á g i n a | 9 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.2 Representação 
Geométrica da soma 
𝑢 + 𝑣. 
 
 
 A igualdade ocorre quando um vetor é múltiplo 
escalar do outro. 
De fato, seja 𝑣 = 𝛽𝑢, disto segue que 
|⟨𝑢, 𝑣⟩| = |⟨𝑢, 𝛽𝑣⟩| 
|⟨𝑢, 𝛽𝑣⟩| = |𝛽||⟨𝑢, 𝑢⟩| 
|𝛽||⟨𝑢, 𝑢⟩| = |𝛽|‖𝑢‖2 
|⟨𝑢, 𝑣⟩| = |𝛽|‖𝑢‖2 
 Também temos que 
‖𝑢‖‖𝑣‖ = ‖𝑢‖‖𝛽𝑢‖ 
‖𝑢‖‖𝑣‖ = |𝛽|‖𝑢‖2 
|⟨𝑢, 𝑣⟩| ≤ ‖𝑢‖‖𝑣‖ ∎ 
O que completa a demonstração da 
desigualdade de Cauchy-Schwarz 
Teorema 1.2.2: Desigualdade Triangular 
Sejam 𝑢 e 𝑣 ∈ ℝ𝑛 e considerando o produto interno 
usual, então vale 
‖𝑢 + 𝑣‖𝑝 ≤ ‖𝑢‖𝑝 + ‖𝑣‖𝑝 
 Agora vamos demonstrar a desigualdade 
triangular. 
Considere o vetor 𝑢 + 𝑣 conforme Fig. 1.2 
 Façamos o produtor escalar que segue 
⟨𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣⟩ = ‖𝑢‖2 + 2⟨𝑢, 𝑣⟩ + ‖𝑣‖2 
Como ⟨𝑢, 𝑣⟩ < |⟨𝑢, 𝑣⟩| ≤ ‖𝑢‖‖𝑣‖ 
 
P á g i n a | 10 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.3 Subtração de 
vetores 
 
 
 
 
⟨𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣⟩ = ‖ 𝑢 + 𝑣‖2 
obtemos 
‖𝑢 + 𝑣‖2 ≤ ‖𝑢‖2 + 2‖𝑢‖‖𝑣‖ + ‖𝑣‖2 
‖𝑢 + 𝑣‖2 ≤ (‖𝑢‖ + ‖𝑣‖)2 
‖𝑢 + 𝑣‖ ≤ ‖𝑢‖ + ‖𝑣‖ ∎ 
Exemplo 1.2.2 
Dado o vetor 𝑢 ∈ ℝ𝑛, mostre que (Faça) ‖𝑢‖ ≤
∑ |𝑢𝑖|
2𝑛
𝑖=1 . 
Ângulo entre vetores 𝑢 e 𝑣 ∈ ℝ𝑛 
cos 𝜃 =
⟨𝑢, 𝑣⟩
‖𝑢‖‖𝑣‖
 
Considere a Fig. 1.3 
A lei dos cossenos nos diz que 
‖𝑢 − 𝑣‖2 = ‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2 − 2‖𝑢‖‖𝑣‖ cos 𝜃 
‖𝑢 − 𝑣‖2 = ‖𝑢‖2 − 2⟨𝑢, 𝑣⟩ + ‖𝑣‖2 
‖𝑢‖2 − 2⟨𝑢, 𝑣⟩ + ‖𝑣‖2 = ‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2 − 2‖𝑢‖‖𝑣‖cos 𝜃 
 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = ‖𝑢‖‖𝑣‖ cos 𝜃 
cos 𝜃 =
⟨𝑢, 𝑣⟩
‖𝑢‖‖𝑣‖
 ∎ 
Da afirmação anterior, temos que 
P á g i n a | 11 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
1.3 ProjeçãoOrtogonal de 
Vetores 
 
 
 
Fig. 1.4 Projeção Ortogonal 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 1.2.2: Vetores Ortogonais 
Se 𝑢 ⊥ 𝑣, então eles são ortogonais e o Ângulo entre 
ele mede 𝜃 = 90𝑜. O que nos leva a cos 𝜃 =
⟨𝑢,𝑣⟩
‖𝑢‖‖𝑣‖
= 0 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 0 
Considere dois vetores, 𝑢 e 𝑣 ∈ ℝ𝑛, conforme a Fig. 
1.4, a projeção ortogonal de 𝑢 sobre a reta 𝑟: 𝑋 + 𝛼𝑣 
é definida como 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑟𝑢 = 𝜆𝑣 
Para encontrarmos 𝜆 ∈ ℝ fazemos o produto 
escalar entre os vetores 𝑣 e 𝑢 − 𝜆𝑣, que são 
ortogonais. Disto segue que 
⟨𝑣, 𝑢 − 𝜆𝑣⟩ = 0 
 ⟨𝑣, 𝑢⟩ − 𝜆⟨𝑣, 𝑣⟩ = 0 
𝜆‖𝑣‖2 = 〈𝑣, 𝑢〉 
𝜆 =
〈𝑣, 𝑢〉
‖𝑣‖2
 
 Logo 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑟𝑢 =
〈𝑣, 𝑢〉
‖𝑣‖2
𝑣 
 
P á g i n a | 12 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos definir um vetor perpendicular a 𝑣 como 
segue 
𝑤 = 𝑢 −
〈𝑣, 𝑢〉
‖𝑣‖2
𝑣 
 Vamos resolver um exemplo. 
Exemplo 3.2 
Dado o vetor 𝑢 = (2, −1, 0, 3, 5) e 𝑣 =
(1, 2, 1, 0, 1), encontre a projeção ortogonal de 𝑢 
sobre a reta 𝑟: 𝑋 + 𝛼𝑣. 
Queremos encontrar 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑟𝑢 =
〈𝑣,𝑢〉
‖𝑣‖2
𝑣 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 2 × 1 + (−1) × 2 + 0 × 1 + 3 × 0 + 5 × 1 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 5 
‖𝑣‖2 = 1 + 4 + 1 + 0 + 1 = 7 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 =
5
7
(1, 2, 1, 0, 1) = (
5
7
,
10
7
,
5
7
, 0,
5
7
) 
Agora, vamos realizar a projeção ortogonal de um 
vetor sobre um plano 𝜋, conforme Fig. 1.5, sendo 𝑢1 ⊥
𝑢2, ou seja 
⟨𝑢1, 𝑢2⟩ = 0 
 
P á g i n a | 13 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 Fig. 1.5 Projeção ortogonal 
de 𝑢 sobre o plano 𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a Fig. 1.5 temos que: 
I. 𝑢 − 𝜆1𝑢1 − 𝜆2𝑢2 é ortogonal a 𝑢1 e 𝑢2; 
II. ⟨𝑢1, 𝑢 − 𝜆1𝑢1 − 𝜆2𝑢2⟩ = 0; 
III. ⟨𝑢2, 𝑢 − 𝜆1𝑢1 − 𝜆2𝑢2⟩ = 0. 
 De II, temos 
⟨𝑢1, 𝑢 − 𝜆1𝑢1 − 𝜆2𝑢2⟩ = 0 
⟨𝑢1, 𝑢⟩ − 𝜆1 ⟨𝑢1, 𝑢1⟩ − 𝜆2 ⟨𝑢1, 𝑢2⟩ = 0 
𝜆1 ‖𝑢1‖
2 = ⟨𝑢1, 𝑢⟩ 
 𝜆1 =
⟨𝑢, 𝑢1⟩
‖𝑢1‖2
 
A III fica como exercício mostrar que 
𝜆2 =
⟨𝑢, 𝑢2⟩
‖𝑢2‖2
 
Do que foi feito anteriormente, podemos escrever 
a projeção ortogonal de 𝑢 sobre o plano 𝜋 como 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑢 =
⟨𝑢, 𝑢1⟩
‖𝑢1‖2
𝑢1 +
⟨𝑢, 𝑢2⟩
‖𝑢2‖2
𝑢2 
Podemos definir um vetor perpendicular a 𝑣, que é 
dado por 
𝑤 = 𝑢 − 𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑢 = 𝑢 −
⟨𝑢, 𝑢1⟩
‖𝑢1‖2
𝑢1 −
⟨𝑢, 𝑢2⟩
‖𝑢2‖2
𝑢2 
P á g i n a | 14 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que foi feito anteriormente pode ser estendido 
de acordo com o teorema que segue. 
Teorema 3.2 
Sejam 𝑢 ∈ ℝ𝑛 o conjunto de vetores, tal que 〈𝑣𝑖 , 𝑣𝑗〉 = 0 
para 𝑖 ≠ 𝑗, 𝛽 = {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, ⋯ , 𝑢𝑘}. 
A PROJEÇÃO ORTOGONAL de 𝑢 sobre o conjunto de 
vetores 𝛽 é dada por 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑢 =
⟨𝑢, 𝑢1⟩
‖𝑢1‖
2
𝑢1 +
⟨𝑢, 𝑢2⟩
‖𝑢2‖
2
𝑢2 +⋯+
⟨𝑢, 𝑢𝑘⟩
‖𝑢𝑘‖
2
𝑢𝑘 
O vetor 
𝑤 = 𝑢 −
⟨𝑢, 𝑢1⟩
‖𝑢1‖2
𝑢1 −
⟨𝑢, 𝑢2⟩
‖𝑢2‖2
𝑢2⋯−
⟨𝑢, 𝑢𝑘⟩
‖𝑢𝑘‖2
𝑢𝑘 
é perpendicular a todos os vetores de 𝛽, ou seja 
⟨𝑤, 𝑢𝑖⟩ = 0, ∀ 𝑖 ∈ ℕ 
A prova deste teorema fica como exercício! 
 
 
 
P á g i n a | 15 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.3 
Encontre a projeção ortogonal e um vetor 
perpendicular a todos os vetores do plano gerado 
pelos vetores ortogonais 𝑢1 = (2, −1, 4) e 𝑢2 = (3, 2, −1) 
do vetor 𝑢 = (1, −1, 2) 
A projeção ortogonal é dada por 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑢 =
⟨𝑢, 𝑢1⟩
‖𝑢1‖2
𝑢1 +
⟨𝑢, 𝑢2⟩
‖𝑢2‖2
𝑢2 
enquanto o vetor 
𝑤 = 𝑢 −
⟨𝑢, 𝑢1⟩
‖𝑢1‖2
𝑢1 −
⟨𝑢, 𝑢2⟩
‖𝑢2‖2
𝑢2 
é perpendicular aos dois vetores que geram o plano. 
𝑢1 = (2,−1, 4) 
𝑢2 = (3, 2, −1) 
𝑢 = (1,−1, 2) 
⟨𝑢, 𝑢1⟩ = 2 + 1 + 8 = 11 
‖𝑢1‖
2 = 4 + 1 + 16 = 21 
⟨𝑢, 𝑢2⟩ = 1 × 3 − 1 × 2 + 2 × (−1) = −1 
‖𝑢2‖
2 = 9 + 4 + 1 = 14 
P á g i n a | 16 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑢 =
11
21
𝑢1 −
1
14
𝑢2 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑢 =
11
21
(2,−1, 4) −
1
14
(3, 2, −1) 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑢 = (
22
21
,−
11
21
,
44
21
) − (
3
14
,
2
14
,−
1
14
) 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑢 = (
35
42
,−
28
42
,
91
42
) 
𝑤 = 𝑢 − 𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑢 
𝑤 = (1,−1, 2) − (
35
42
, −
28
42
,
91
42
) 
𝑤 = (
7
42
,−
14
42
,−
7
42
) 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 17 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
1.3 Norma de 
Matrizes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 1.3.1 
Seja 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛 ∈ ℝ
𝑚×𝑛 e 𝑥 ∈ ℝ𝑛, definimos ‖𝐴‖𝑝 
como sendo a norma induzida 
‖𝐴‖𝑝 = sup⏟
‖𝑥‖𝑝≠0
‖𝐴𝑥‖𝑝
‖𝑥‖𝑝
= sup⏟
‖𝑥‖𝑝=1
‖𝐴𝑥‖𝑝 
Propriedades de norma de Matrizes 
I. ‖𝐴‖𝑝 = 0, se e somente se, 𝐴 = 0 para todo natural 𝑖; 
II. ‖𝛽𝐴‖𝑝 = |𝛽|‖𝐴‖𝑝, para todo 𝛽 ∈ ℝ; 
III. ‖𝐴 + 𝐵‖𝑝 ≤ ‖𝐴‖𝑝 + ‖𝐵‖𝑝; 
IV. ‖𝐴𝐵‖𝑝 ≤ ‖𝐴‖𝑝‖𝐵‖𝑝; 
V. ‖𝐴𝑥‖𝑝 ≤ ‖𝐴‖𝑝‖𝑥‖𝑝. 
Definição 1.3.3 
Seja 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛 ∈ ℝ
𝑚×𝑛, definimos ‖𝐴‖1 como 
sendo 
‖𝐴‖1 = 𝑚á𝑥 {∑|𝑎𝑖𝑗|
𝑚
𝑖=1
}
⏟ 
1≤𝑗≤𝑛
 
 
 
P á g i n a | 18 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 1.3.4 
Seja 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛 ∈ ℝ
𝑚×𝑛, definimos ‖𝐴‖∞ como 
sendo 
‖𝐴‖∞ = 𝑚á𝑥 {∑|𝑎𝑖𝑗|
𝑚
𝑗=1
}
⏟ 
1≤𝑖≤𝑚
 
Exemplo 1.2 
Encontre a norma da usando as normas 1 (um) e a 
norma ∞ (infinita) 𝐴 = [
1 2 9 4 3
−2 4 7 1 −5
5 −4 0.8 3 11.8
3 8 2.7 5 0
] 
‖𝐴‖1 = 𝑚á𝑥
{
 
 
 
 
|1| + |−2| + |5| + |3| = 11 
|2| + |4| + |−4| + |8| = 18 
|9| + |7| + |0.8| + |2.7| = 19.5 
|4| + |1| + |3| + |5| = 13
|3| + |−5| + |11.8| + |0| = 19.8 
 
‖𝐴‖1 = 19.8 
‖𝐴‖∞ = 𝑚á𝑥 {
|1| + |2| + |9| + |4| + |3| = 19 
|−2| + |4| + |7| + |1| + |−5| = 19
|5| + |−4|+ |0.8| + |3| + |11.8| = 24.6
|3| + |8| + |2.7| + |5| + |0| = 18.7
 
‖𝐴‖∞ = 24.6 
 
 
 
P á g i n a | 19 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
Capítulo 2 
Erros e Nº de 
Condição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nos processos de levantamento de dados é 
natural que haja erros cometidos. Uma medida física, 
por exemplo, é uma medida com um certo grau de 
certeza, ou carregada de um erro, devido ao 
instrumento de medição. Também existem os erros 
oriundos da limitação da representação dos números 
na máquina (computador), dentre outras fontes de 
erros. Estes erros estão sempre presente nos modelos 
matemáticos, e neste capítulo estudaremos como 
eles se propagam em outras grandezas (ou variáveis) 
que dependem de uma, ou mais de uma variável, 
que contém um erro embutido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 20 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
2.1 Introdução 
 
 
 
Fig. 2.1 Gráfico de 𝑦 = 𝑥2 Ex. 
2.1 
 
 
Fig. 2.2 Retângulos 
Circunscrito ao Gráfico de 
𝑦 = 𝑥2 
 
 
Exemplo 2.1 
Encontre o valor aproximado da área abaixo da 
curva da Fig. 2.1 usando retângulos circunscritos. 
Resolução: 
Vamos aproximar a área pedida usando três 
retângulos circunscritos, como segue: 
Da Fig. 2.2, podemos calcular, aproximadamente, 
a área sobre a curva da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
�̅� ≅ 1 × 1 + 1 × 4 + 1 × 9 
�̅� ≅ 14𝑢. 𝑎 
Pergunta I 
A área encontrada é uma boa aproximação para 
a área real abaixo do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no 
intervalo [0; 3] ? 
Para sabermos isso, precisaríamos encontrar o erro 
cometido na aproximação. Mas isso só e possível se 
soubermos quanto vale a área abaixo da curva da 
Fig. I no intervalo dado. 
Do cálculo I, podemos calcular essa área usando 
integral definida, como segue: 
 
P á g i n a | 21 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥
3
0
=
𝑥3
3
|
3
0
=
27
3
= 9𝑢. 𝑎 
Observem que a área verdadeira é bem menor 
que a encontrada, ao aproximarmos usando três 
retângulos. Isso nos leva a ver que o erro cometido foi 
grotesco. 
Pergunta II 
Qual o erro cometido ao tomarmos um valor 
aproximado para umvalor a ser calculado? 
A resposta a esta pergunta nos levará a resposta 
da primeira. Para isso, vamos calcular o erro cometido 
na aproximação da área por �̅� ≅ 14𝑢. 𝑎. 
𝐸𝑟𝑟𝑜 = �̅� − 𝐴 = 14 − 9 = 5𝑢. 𝑎 
Observem que o erro calculado anteriormente 
não nos traz muita informação a respeito da 
qualidade conseguida na aproximação da área 
abaixo do gráfico da Fig. 2.1 Ele apenas nos diz que 
erramos em 5 unidades de área. Assim sendo, 
precisamos encontrar uma outra forma de medirmos 
esse erro. É aí que entra um erro denominado de erro 
relativo. Este compara o erro cometido 
 
 
P á g i n a | 22 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
Fig. 2.3 Trapézios Circunscrito 
ao Gráfico de 𝑦 = 𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
com relação ao valor real (no nosso caso, área 
abaixo da curva dada). 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = |
�̅� − 𝐴
𝐴
| =
5
9
≈ 0,56 = 56% 
O erro relativo nos mostra, com maior qualidade, 
que a aproximação da área usando apenas três 
retângulos circunscrito é muito grosseira. Isso nos leva 
a concluir que precisaremos usar um número maior 
de retângulos. 
Vamos supor, agora, que só podemos usar três 
figuras planas para aproximarmos a área abaixo do 
gráfico da função e que desejamos encontrar uma 
aproximação mais precisa (com menor erro) 
Uma saída seria usarmos trapézios circunscritos. 
Vamos ver o que ocorre com o erro e o erro relativo. 
Considere a Fig. 2.3 o lado. 
A área de cada trapézio é dada por 
𝐴𝑇𝑃 =
(𝑏 + 𝐵)ℎ
2
 
A área aproximada será igual a 
 
 
 
P á g i n a | 23 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�̅� ≅
1 × 1
2
+
(1 + 4) × 1
2
+
(4 + 9) × 1
2
 
�̅� ≅
1 + 5 + 13
2
 
�̅� ≅ 8,5𝑢. 𝑎 
A área real calculada anteriormente é igual a 
𝐴 = 9𝑢. 𝑎 
Percebe-se por essa nova aproximação, usando 
trapézios, que o método usado é bem melhor que o 
primeiro. Entretanto, para vermos isso precisamos 
encontrar o erro e o erro relativo, este último mais 
eficiente para decidirmos se a aproximação é de 
qualidade ou não. Vamos lá. 
𝐸𝑟𝑟𝑜 = �̅� − 𝐴 = 8,5 − 9 = −0,5𝑢. 𝑎 
Observem que o erro foi negativo, ou seja, isso 
significa que o valor aproximado ficou abaixo do 
valor real. Para evitarmos isso, pois o que nos interessa 
é apenas o valor absoluto do erro, então usamos 
módulo (|𝑥| ≥ 0). 
O erro relativo, usando trapézios, foi de 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙 = |
�̅� − 𝐴
𝐴
| = |
−0,5
9
| ≈ |−0,056| = 0,056 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = 5,6% 
 
P á g i n a | 24 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que foi feito anteriormente nos mostra que, 
dependendo do método utilizado, o erro cometido 
pode ser grande ou pequeno. E mais, mostrou nos 
que o uso de trapézio para o cálculo da área abaixo 
de uma curva converge mais rapidamente para o 
seu valor que o uso de retângulos, uma vez que o erro 
cometido por este último é bem maior que o método 
trapezoidal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 25 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
2.2 Erro 
Absoluto e Erro 
Relativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vimos no Exemplo 1.1 que o erro absoluto não é 
muito adequado para sabermos se uma 
aproximação é boa ou não, mas que o erro relativo é 
mais adequado para isso. 
Em geral, os números não são representados de 
forma exata nos computadores. Isto nos leva ao 
chamado erro de arredondamento. Quando 
resolvemos problemas com técnicas numéricas, 
estamos sujeitos a este e outros tipos de erros. Nesta 
seção, veremos quais são estes erros e como 
controlá-los, quando possível. 
Quando fazemos aproximações numéricas, os 
erros são gerados de várias formas, sendo as 
principais delas as seguintes: 
1. Incerteza dos dados: 
Os modelos matemáticos, oriundos de problemas 
físicos, biológicos, químicos, dentre outros, cujo dados 
são coletados (medidas) por instrumentos de 
medição que possuem acurácia finita, trazem 
embutidos erros de medição no instrumento de 
medida utilizado. 
2. Arredondamento: 
Este tipo de erro está relacionado com as limitações 
existentes na representar números em uma máquina. 
P á g i n a | 26 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Erros de Truncamento: 
São cometidos em aproximações de um conceito 
matemático formado por uma sequência infinita de 
passos ao aproximarmos por de um procedimento 
finito. Por exemplo, a aproximação por Série de Taylor 
de uma função, que pode ser truncada por um 
polinômio de grau menor ou igual a 𝑛. 
Numericamente, aproximamos por uma soma finita. 
Este tipo de erro pode ser estudado analiticamente 
para cada método empregado e, muitas vezes, 
envolve matemática avançada estudada em um 
curso de graduação. 
Uma questão fundamental é a quantificação dos 
erros imbricados na computação da solução de um 
dado problema. Para tanto, precisamos definir 
medidas de erros (ou de exatidão). As medidas de 
erro mais utilizadas são o erro absoluto e o erro 
relativo. 
Passemos a definição de erro absoluto e erro 
relativo. 
 
 
 
 
P á g i n a | 27 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere um valor real 𝑥 e sua aproximação �̅� O 
erro absoluto e relativo são dados por: 
▪ 𝐸𝑎𝑏𝑠 = |�̅� − 𝑥|; 
▪ 𝐸𝑟𝑒𝑙 = |
�̅�−𝑥
𝑥
|, este podendo ser dado em %. 
▪ 𝐸𝑟𝑒𝑙 =
𝐸𝑎𝑏𝑠
|𝑥|
× 100% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 28 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
2.3 Propagação 
de Erros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao realizarmos uma medida o valor que obtemos 
é um certo 𝑥 ± 𝛿, onde 𝛿 > 0 muito pequeno (delta) é 
uma incerteza (ou erro na medição). Por exemplo ao 
medirmos a massa corporal de uma pessoa e sua 
altura, estas duas medidas estão carregadas de suas 
incertezas, uma vez que todo instrumento de 
medição carrega uma incerteza em seus valores. 
Vamos supor que medimos a altura e a massa 
corporal de uma pessoa afim de calcular seu IMC 
(índice de massa corporal). Para cada medida 
teremos: 
▪ Massa: 𝑚 ± 𝜕𝑚; 
▪ Altura: ℎ ± 𝜕ℎ; 
Queremos saber como estes erros influenciaram no 
cálculo do IMC, que é dado por: 
𝐼𝑀𝐶 =
𝑀
ℎ2
 
Na verdade, estamos interessados em saber qual 
será o erro cometido no cálculo do IMC da pessoa. A 
este fato danos o nome de Propagação de ERRO. 
Considere a função 𝑓(𝑥) e seja 𝑥 ± 𝛿𝑥, estamos 
interessados em encontrar o erro absoluto 
 
 
P á g i n a | 29 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑓 = |𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) − 𝑓(𝑥)| 
Do cálculo I, podemos aproximar a função 𝑓(𝑥) por 
um 
Polinômio de Taylor de grau 𝑛, como segue: 
𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) ≅ 𝑓(𝑥) + 𝑓
′(𝑥)𝛿𝑥 + 𝑓
′′(𝑥)𝛿𝑥
2 + 𝑓′′(𝑥)𝛿𝑥
3 +⋯
+ 𝑓𝑛(𝑥)𝛿𝑥
𝑛 
Considerando o erro 𝛿𝑥 ≪ 1 (muito pequeno), 
podemos truncar o polinômio de Taylor a partir do 
termo de 𝑂(𝛿𝑥
2), ficando com uma aproximar linear 
dada por 
𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) ≅ 𝑓(𝑥) + 𝑓
′(𝑥)𝛿𝑥 
Reescrevendo a aproximação acima, obtemos 
𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) − 𝑓(𝑥) ≅ 𝑓
′(𝑥)𝛿𝑥 
𝛿𝑓 ≅ |𝑓
′(𝑥)𝛿𝑥| = |𝑓
′(𝑥)||𝛿𝑥| 
Sabemos que 
𝛿𝑥 > 0, 𝑓
′(𝑥) =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 
|𝛿𝑥| = √𝛿𝑥2 = 𝛿𝑥 
Logo, podemos escrever a seguinte expressão 
para o erro em 𝑓 
𝛿𝑓 ≅ |
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 
 
P á g i n a | 30 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.2 
Suponha que seja medida, com uma trena, o valor do 
lado de um terreno com a forma de um quadrado. 
Esse valor carrega um determinado erro 𝛿𝑥. Queremos 
saber qual será o erro no valor da área do terreno.A área do terreno é dada por 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 Vamos encontrar o valor de 
𝑓(𝑥 ± 𝛿𝑥) = (𝑥 ± 𝛿𝑥)
2 
𝑓(𝑥 ± 𝛿) = 𝑥2 + 2𝑥𝛿𝑥 + 𝛿𝑥
2 
De 𝛿𝑓 = |𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥) − 𝑓(𝑥)|, obtemos 
𝛿𝑓 = |2𝑥𝛿𝑥 + 𝛿 𝑥
2 | 
Como o erro 𝛿𝑥 > 0 é muito pequeno, podemos 
ignorar o valor de 𝛿𝑥
2, ficando com 
𝛿𝑓 ≅ |2𝑥|𝛿𝑥 
Observem que o erro acima é exatamente igual a 
𝛿𝑓 ≅ |
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 
Vamos supor que a medida de 𝑥, em metros, seja 
dada por 16 ± 0,05𝑚 , o erro absoluto 
propagado no cálculo da área do quadrado foi de 
𝛿𝑓 ≅ |2 × 16| × 0,05 = 1,6𝑚
2 
P á g i n a | 31 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta III 
Como poderíamos encontrar o erro em caso de 
uma medida que precisa de outras duas que contém 
erros na medição? 
Para respondermos a essa pergunta, vamos usar o 
Polinômio de Taylor de grau 1 para funções de duas 
variáveis. 
Suponha que uma medida (ou grandeza) seja 
dada por 𝑓(𝑥, 𝑦). Vamos encontrar o erro cometido 
no valor de 𝑓 ao calcularmos 𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑦 + 𝛿𝑦). 
Do Polinômio de Taylor para funções de duas 
variáveis, obtemos 
𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑦 + 𝛿𝑦) ≅ 𝑓(𝑥, 𝑦) +
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝛿𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝛿𝑦 
𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑦 + 𝛿𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) ≅
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝛿𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝛿𝑦 
O que nos leva ao erro propagado em 𝑓 
𝛿𝑓 ≅ |𝑓(𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑦 + 𝛿𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)| ≅ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝛿𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝛿𝑦| 
Utilizando a desigualdade triangular, obtemos 
𝛿𝑓 ≅ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝛿𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝛿𝑦| ≤ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
| 𝛿𝑥 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
| 𝛿𝑦 
𝛿𝑓 ≅ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
| 𝛿𝑥 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
| 𝛿𝑦 
 
P á g i n a | 32 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 
Pode ser usada a fórmula abaixo para o cálculo da 
propagação de erros, Desvio Padrão. 
𝛿𝑓 ≅ √(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
)
2
𝛿𝑥2 + (
𝜕𝑓
𝜕𝑦
)
2
𝛿𝑦2 ≤ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
| 𝛿𝑥 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
| 𝛿𝑦 
Exemplo 2.3 
 Vamos supor que a área do terreno a ser medido seja 
retangular com medidas dadas por 
▪ Largura: 𝑥 ± 𝛿𝑥; 
▪ Comprimento: 𝑦 ± 𝛿𝑦; 
Encontre a propagação de erros na área do terreno. 
Observe agora que a área depende de duas 
medidas, então a área é dada por 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 
A propagação de erros na área é dada por 
𝛿𝑓 ≅ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
| 𝛿𝑥 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
| 𝛿𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑦 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥 
𝛿𝑓 ≅ |𝑦|𝛿𝑥 + |𝑥|𝛿𝑦 
Suponha que as medidas 𝑥 e 𝑦 sejam dadas por 
▪ Largura: 𝑥 = 16 ± 0,05; 
▪ Comprimento: 𝑦 = 30 ± 0,009; 
P á g i n a | 33 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então o erro procurado é de 
𝛿𝑓 ≅ |30|0,05 + |16|0,009 
𝛿𝑓 ≅ 1,644𝑚
2 
De forma geral, para grandezas(função) que 
depende de 𝑛 variáveis, temos 
𝛿𝑓 ≅ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| 𝛿𝑥1 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
| 𝛿𝑥2 +⋯+ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
| 𝛿𝑥𝑛 
Pode-se utilizar a seguinte fórmula para o erro 
propagado: 
𝛿𝑓 ≅ √(
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
)
2
𝛿𝑥1
2 +⋯+ (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
)
2
𝛿𝑥𝑛
2
≤ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| 𝛿𝑥1 +⋯+ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
| 𝛿𝑥𝑛 
Para encontrarmos o erro relativo de uma função 
que depende de 𝑛 variáveis, basta fazer 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| 𝛿𝑥1 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
| 𝛿𝑥2 +⋯+ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
| 𝛿𝑥𝑛
|𝑓(𝑥)|
 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
1
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| 𝛿𝑥1 +⋯+
1
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
| 𝛿𝑥𝑛 
Vamos definir o vetor erro, 𝜹𝒙, e um vetor 𝜹𝒙, cujo 
as componentes são os módulos das derivadas 
parciais. 
 
 
P á g i n a | 34 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜹𝒙 =
[
 
 
 
 
 
𝛿𝑥1
 𝛿𝑥2
 𝛿𝑥3 ,
⋮
𝛿𝑥𝑛 ]
 
 
 
 
 
 e 𝜹𝒇 =
[
 
 
 
 
 
 
 |
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥3
|
⋮
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
| ]
 
 
 
 
 
 
 
 
Do que foi escrito anteriormente, podemos definir 
o erro absoluto em 𝑓 como o produto escalar entre os 
vetores 𝜹𝒇 e 𝜹𝒙. 
𝛿𝑓 = ⟨𝜹𝒇, 𝜹𝒙⟩ = |
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| 𝛿𝑥1 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
| 𝛿𝑥2 +⋯+ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
| 𝛿𝑥𝑛 
Assim sendo, temos que o erro relativo em 𝑓 pode 
ser escrito como 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
=
⟨𝜹𝒇, 𝜹𝒙⟩
|𝑓(𝑥)|
 
 para 𝒙 =
[
 
 
 
 
𝑥1
 𝑥2
𝑥3
⋮
 𝑥𝑛 ]
 
 
 
 
 
 Usando a desigualdade abaixo (demonstrada no 
Cap. 1), 
|⟨𝒖,𝒗⟩| ≤ ‖𝒖‖‖𝒗‖ 
podemos demonstrar que o que o erro relativo 
propagado pelas variáveis de uma função de várias 
variáveis tem valor máximo igual a 
 
P á g i n a | 35 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
= ‖𝑢‖‖𝑣‖ 
De fato, como 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
= ⟨𝒗𝛿𝑟𝑥 ,𝒖𝑘⟩ 
para 
𝒗𝛿𝑟𝑥 = (
𝛿𝑥1
|𝑥1|
,
𝛿𝑥2
|𝑥2|
,
𝛿𝑥3
|𝑥3|
,⋯ ,
𝛿𝑥𝑛
|𝑥𝑛|
) 
𝒖𝜅 = (
|𝑥1|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| ,
|𝑥2|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
| , ⋯ ,
|𝑥𝑛|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
| ) 
Podemos escrever 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
= |⟨𝒗𝛿𝑟𝑥 ,𝒖𝑘⟩| ≤ ‖𝒗𝛿𝑟𝑥‖‖𝒖𝜅‖ 
 O que nos fornece como valor máximo para o erro 
relativo em 𝑓 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
= ‖𝒗𝛿𝑟𝑥‖‖𝒖𝜅‖. 
Exemplo 2.4 
Seja 𝑓(𝑥1, 𝑥2) =
𝑥1
2+1
𝑥1
2 𝑒
2𝑥2 
Sabendo que 𝑥1 = 3 com erro de 0,3 e 𝑥2 = 2 com 
erro de 0,06. Encontre o erro relativo em 𝑓(𝑥1, 𝑥2). 
O erro relativo em 𝑓(𝑥1, 𝑥2) é dado por: 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
1
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| 𝛿𝑥1 +
1
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
| 𝛿𝑥2 
Calculando as derivadas parciais, encontramos 
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
= −
2𝑒2𝑥2
𝑥1
3 
P á g i n a | 36 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
|
𝑥1 = 3; 𝑥2 = 2
= −
2𝑒4
27
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
= 2
𝑥1
2 + 1
𝑥1
2 𝑒
2𝑥2 
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
|
𝑥1 = 3; 𝑥2 = 2
=
20
9
𝑒4 
𝑓(3, 2) =
32 + 1
9
𝑒4 =
10
9
𝑒4 
Substituindo em 
⟨𝜹𝒇,𝜹𝒙⟩
|𝑓(𝑥)|
, obtemos 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
1
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| 𝛿𝑥1 +
1
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
| 𝛿𝑥2 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
1
15
× 0,3 + 2 × 0,06 = 0,14 = 14% 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
9
10𝑒4
|−
2𝑒4
27
| 0,3 +
9
10𝑒4
|
20
9
𝑒4| 0,06 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 37 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
2.4 Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Estime o erro absoluto e relativo no cálculo 𝑓(𝑥) =
𝑥2 sem𝑥 para 𝑥 =
𝜋
3
 com erro de 0,1. 
2. Encontre o erro relativo do exercício anterior, com 
8 casas decimais e compare com o erro relativo 
referente a 𝑥. O que você pode concluir do 
resultado? 
3. Suponha que a trajetória de um projétil seja dada 
pela função 𝑓(𝑡) = −5𝑡2 + 300𝑡, onde 𝑡 é o tempo, em 
h, que o projetil leva para atingir o alvo e 𝑓(𝑡) a 
trajetória percorrida até atingir o alvo no solo. 
Se o tempo tem um erro de ±0,00001ℎ e a velocidade 
na horizontal é, aproximadamente, constante e igual 
a 
2000 𝐾𝑚/ℎ ± 0,00003 𝑘𝑚/ℎ 
encontre: 
a) O erro cometido na distância percorrida pelo 
projétil; 
b) Suponha que há 400m do alvo haja uma escola. 
Há risco de o projétil atingir a escola? Por quê? 
Use: 𝑑 = 𝑣𝑡. 
4. Deseja-se construir uma cisterna com capacidade 
máxima de 1000 litros. Para isso foi feito um buraco 
com as seguintes medidas: 
P á g i n a | 38 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• comprimento: 1,0000 𝑚; 
• Largura: 2,0000m. 
Se o erro do instrumento de medida indica 0,001m, 
encontre: 
a) A profundidade da cisterna; 
b) O erro cometido no volume da cisterna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 39 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
2.5 Número de 
Condição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltemos ao Exemplo 2.2 da pág. 33. Vamos 
calcular os erros relativos em 𝑥 e 𝑓. 
Exemplo 2.5 
Encontre os erros relativos das medidas do Exemplo 
1.2. 
Erro absoluto em 𝑓 é dado por 
𝛿𝑓 ≅ |
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 
O erro relativo é calculado dividindo o erro 
absolutopelo módulo de 𝑓, como segue 
Erro relativo em 𝑓(𝑥): 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
1
|𝑓(𝑥)|
|
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 
Erro relativo em 𝑥: 𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑥
|𝑥|
. 
Vamos supor que a medida de 𝑥, em metros, seja 
dada por 16 ± 0,05𝑚 , o erro absoluto propagado no 
cálculo da área do quadrado foi de 
A área do terreno é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
Fazendo 𝑥 = 16, 𝛿𝑥 = 0,05 e 𝑓(16) = 256 e 
calculando 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 para o valor dado de 𝑥, obtemos 
 
 
P á g i n a | 40 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
|
𝑥 = 16
= 2 × 16 = 32 
Erro absoluto em 𝑓: 𝛿𝑓 ≅ |
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 
𝛿𝑓 ≅ |32| × 0,05 = 1,6𝑚
2 
Disso temos: 
Erro relativo em 𝑓(16) 
𝛿𝑟𝑓 =
𝛿𝑓
|𝑓(16)|
≅
1.6
|256|
= 0,00625 
Erro relativo em 𝑥 = 16 
𝛿𝑟𝑥 =
0,05
|16|
= 0,003125 
Vamos agora comparar os dois erros relativos. 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙
𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙
=
0,00625
0,003125
= 2 
Reescrevendo a elação acima, obtemos 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 = 2𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙 
Observem que o erro propagado em 𝑓(𝑥) foi duas 
vezes o erro na variável medida (em 𝑥) 
Observem que se dividirmos o erro relativo em 𝑓(𝑥) 
pelo módulo de 𝑥 ≠ 0 e multiplicarmos, também, pelo 
mesmo valor, obtemos 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
|𝑥|
|𝑓(𝑥)|
|
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 
𝛿𝑥
|𝑥|
 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅ (
|𝑥|
|𝑓(𝑥)|
|
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| ) 𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙 
Usando a relação acima para 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 
encontramos 
P á g i n a | 41 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
|𝑥|
|𝑥2|
|2𝑥| 𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅ 2
|𝑥2|
|𝑥2|
 𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙 
Definição 2.1 
Seja 𝑓 uma função diferenciável. O número de 
condicionamento de um problema é definido por 
𝜅 =
|𝑥|
|𝑓(𝑥)|
|
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 
Considere agora uma função 𝑓(𝑥) de n variáveis 
com 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑛 ). Podemos escrever o erro 
relativo em 𝑓(𝑥) como sendo o produto escalar entre 
os vetores 
𝒗𝜹𝒓𝒙 =
[
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑥1
|𝑥1|
𝛿2
|𝑥2|
𝛿𝑥3
|𝑥3|
⋮
 
𝛿𝑥𝑛
|𝑥𝑛|]
 
 
 
 
 
 
 
 e 𝒖𝜿 =
[
 
 
 
 
 
 
 
|𝑥1|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| 
 
|𝑥2|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
|
|𝑥3|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥3
|
⋮
|𝑥𝑛|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
| ]
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
= ⟨𝒗𝜹𝒓𝒙 , 𝒖𝜿⟩ 
o que nos fornece 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
=
|𝑥1|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| 
𝛿𝑥1
|𝑥1|
 + ⋯+
|𝑥𝑛|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
|
𝛿𝑥𝑛
|𝑥𝑛|
 
A igualdade anterior pode ser escrita como 
 
P á g i n a | 42 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
=∑𝜅𝑖
𝛿𝑥𝑖
|𝑥𝑖|
𝑛
𝑖=1
 
𝜅𝑖 =
|𝑥𝑖|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
| 
para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 
Podemos definir, para funções de várias variáveis, 
o vetor de condição 
𝜿 =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|𝑥1|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
|
|𝑥2|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
|
|𝑥3|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥3
|
⋮
|𝑥𝑛|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
| 
]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cada componente 𝜅𝑖 =
|𝑥𝑖|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
| do vetor de 
condição de 𝑓 nos mostra como que o erro em cada 
variável 𝑥𝑖 afeta o erro total na função. 
Exemplo 2.6 
Dada a função 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥1 − 2𝑥2𝑥3 + 𝑥3
2. Encontre 
o vetor de condição (condicionamento) de 𝑓, assim 
como o erro absoluto e relativo sabendo que as 
medidas são dadas por: 
𝑥1 = 1 ± 0.0002 
𝑥2 = −2 ± 0.0010 
𝑥3 = 3 ± 0.0003 
P á g i n a | 43 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando as derivadas parciais nos pontos 
dados, obtemos 
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
= 1,
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
= −2𝑥3 = −6 
𝜕𝑓
𝜕𝑥3
= −2𝑥2 + 2𝑥3 = 4 + 6 = 10 
𝑓(1,−2, 3) = 1 − 2 × (−2) × 3 + 32 = 22 
𝜅1 =
|𝑥1|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
| =
|1|
|22|
|1| =
1
22
 
𝜅2 =
|𝑥2|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
| =
|−2|
|22|
|−6| =
12
22
 
𝜅3 =
|𝑥3|
|𝑓(𝑥)|
|
𝜕𝑓
𝜕3
| =
|3|
|22|
|10| =
30
22
 
𝜿 =
[
 
 
 
 
 
1
22
 
12
22
30
22
 ]
 
 
 
 
 
, 𝒗𝛿𝑟𝑥 =
[
 
 
 
 
 
 
0.0002
|1|
0.00010
|−2|
 
0.0003
|3| ]
 
 
 
 
 
 
= [
0.0002
0.0005
 0.0001
] 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
= ⟨𝑣𝛿𝑟𝑥 , 𝑢𝜅 ⟩ 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
=
0.0002
22
+
0.0005 × 12
22
+
0.0001 × 30
22
 
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅ 0.00042 
 Observem que os erros das variáveis 𝑥1 e 𝑥2 são 
reduzidos na saída, enquanto o erro cometido em 𝑥3 
é ampliada de 
30
22
≈ 1.37, ou seja, aumenta em, 
aproximadamente, 37%. 
P á g i n a | 44 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
2.6 Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Considere a função 𝑓(𝑥) = √𝑥. Encontre o erro 
relativo em 𝑓(𝑥) para: 
a) 𝑥 = 1,56 com erro de 0,01; 
b) 𝑥 = 1,9999 ± 0.0003. 
2. Qual o número de condicionamento do exercício 
anterior para 𝛿𝑥 qualquer? Intérprete este resultado. 
3. Considere a função 𝑓(𝑥) =
10
1−𝑥2
. Calcule o valor de 
𝑓(𝑥) para 𝑥 = 0,9995 com um erro de 𝛿𝑥 = 0,0001 e os 
erros absolutos e relativo. 
4. Encontre o número de condição do exercício 3 e 
faça uma interpretação do resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 45 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
Capítulo 3 
Raízes de 
Função Real ou 
Polinomial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste capítulo estudaremos métodos numéricos 
para encontrar aproximações de raízes de funções 
reais. 
 Iniciaremos os estudos dos métodos numéricos 
para encontrar raízes aproximadas de funções de 
uma variável, em seguida aprenderemos como 
resolver um sistema de equação não lineares através 
do Método de Newton. 
 Os métodos abordados neste capítulo são de 
suma importância na obtenção de raízes 
aproximadas de polinômios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 46 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.1 Método da 
Bisseção 
 
 
 
Fig. 3.1 Gráfico de 𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
Na maioria dos problemas reais, ou modelos 
matemáticos, encontrar um número 𝑥 = 𝑥𝑟 ∈ ℝ tal 
que um determinado modelo 𝑓(𝑥) (função) se anule 
não é tão simples. 
Considere o gráfico de uma função contínua 𝑓(𝑥), 
Fig. 3.1. 
Neste capítulo, estudaremos métodos numéricos 
para encontrar 𝑥 ∈ ℝ que satisfaça a equação 
𝑓(𝑥) = 0. Este valor é denominado raiz da função 𝑓. 
Observando a Fig. IV (pág. 56) percebemos que a 
imagem da função 𝑓, à esquerda de 𝑥 = 𝑥𝑟, é 
negativa, enquanto à direita é positiva (poderia 
ocorrer o contrário). 
𝑓(𝑎) < 0 < 𝑓(𝑏) 
A desigualdade acima nos diz que no intervalo 
[𝑎; 𝑏] a função 𝑓 muda de sinal, pelo menos, uma vez. 
E como 𝑓 é contínua no intervalo considerado, pelo 
Teorema do Valor Intermediário, existe 𝑥𝑟 ∈ [𝑎; 𝑏] tal 
que 
𝑓(𝑥𝑟) = 0 
Ao passarmos por uma raiz com multiplicidade 1 
(um), teremos, obrigatoriamente 
𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 
 
P á g i n a | 47 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A desigualdade acima pode ocorrer em duas 
situações: 
𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 
{
𝑓(𝑎) < 0 𝑒 𝑓(𝑏) > 0
𝑜𝑢 
𝑓(𝑎) > 0 𝑒 𝑓(𝑏) < 0
 
Teorema (do Valor Intermédio) 3.1 
Seja f uma função contínua no intervalo [𝑎, 𝑏]. 
Se 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0 então existe pelo menos uma raiz da 
equação 𝑓(𝑥) = 0 no intervalo [𝑎, 𝑏]. 
O Teorema do Valor intermediário nos garante que 
existe pelo menos uma raiz e não diz se ela é única. 
Para que a raiz seja única, a função 𝑓(𝑥) deve 
satisfazer as hipóteses do Teorema de Rolle. 
Teorema de Rolle 3.2 
Seja f uma função diferençável no intervalo [𝑎, 𝑏]. 
Se 𝑓 (𝑥)′ ≠ 0 para todo o x em [𝑎, 𝑏], então existe no 
máximo um 𝑥𝑟 em ]𝑎, 𝑏[ tal que 𝑓(𝑥𝑟) = 0. 
 
P á g i n a | 48 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
Fig. 3.2 Interpretação 
Geométrica do Exemplo 3.1.Fig. 3.3: Gráfico de 𝑓(𝑥) 
 
Exemplo 3.1 
Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5. Construa seu gráfico no 
intervalo [2; 3] e mostre que 𝑓(2) < 0 < 𝑓(3). 
𝑓(2) = 22 − 5 = −1 < 0 
𝑓(2) = 32 − 5 = 4 > 0 
Logo, temos 
𝑓(2) < 0 < 𝑓(3) 
 Graficamente temos a seguinte situação. 
Observe que a raiz é única no intervalo [1; 2], pois 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 > 0, ∀ 𝑥 ∈ [1; 2] 
Pergunta IV 
Como podemos encontrar a raiz de uma função 𝑓 
contínua em um intervalo [𝑎; 𝑏]? 
 Para responder a esta pergunta, vamos observar o 
gráfico de 𝑓(Fig. 3.3). 
Observamos que a raiz (ou zero) da função 𝑓 se 
encontra dentro do intervalo [𝑎; 𝑏]. Vamos definir a 
seguinte sequência: 
 
 
P á g i n a | 49 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.4: Representação 
do intervalo [𝑎; 𝑏] 
𝑥1 =
𝑏 + 𝑎
2
 
𝑎 < 𝑥1 < 𝑏 
Observem que 𝑥1 é ponto médio do segmento de 
tamanho |𝑏 − 𝑎|. 
▪ Se 𝑓(𝑎)𝑓(𝑥1) < 0. Então a raiz de 𝑓 estará no 
intervalo [𝑎; 𝑥1], então faça 𝑏 = 𝑥1; 
▪ Se 𝑓(𝑥1)𝑓(𝑏) < 0. Então a raiz de 𝑓 estará no 
intervalo [𝑥1; 𝑏], então faça a= 𝑥1; 
O que foi descrito anteriormente pode ser feito 
indefinidamente. Isso nos levará, em um dado 
momento, a está muito, mais muito, próximo da raiz 
𝑥𝑟, ou até mesmo encontrá-la. 
Pergunta V 
Quantas vezes será necessário executar os passos 
descrito anteriormente para estarmos muito próximos, 
ou até mesmo, encontrarmos o valor exato da raiz 𝑥𝑟? 
Vamos representar o intervalo [𝑎; 𝑏] 
geometricamente Fig. 3.4. 
 
 
P á g i n a | 50 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥1 =
𝑎 + 𝑏
2
 
Observem que 
|𝑥1 − 𝑥𝑟| ≤
|𝑏 − 𝑎|
2
 
𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑥1) → {
< 0; 𝑏 = 𝑥1; [𝑎; 𝑥1] 
> 0; 𝑎 = 𝑥1; [𝑥1, 𝑏]
 
 
Repetimos o processo para o novo intervalo. 
𝑥2 =
𝑎 + 𝑏
2
 
Novamente, temos 
|𝑥2 − 𝑥𝑟| ≤
|𝑏 − 𝑎|
22
 
𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑥2) → {
< 0; 𝑏 = 𝑥2; [𝑎; 𝑥2] 
> 0; 𝑎 = 𝑥2; [𝑥2, 𝑏]
 
𝑥3 =
𝑎 + 𝑏
2
 
|𝑥3 − 𝑥𝑟| ≤
|𝑏 − 𝑎|
23
 
𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑥3) → {
< 0; 𝑏 = 𝑥3; [𝑎; 𝑥3] 
> 0; 𝑎 = 𝑥3; [𝑥3, 𝑏]
 
⋮ 
Na (𝑛 − 1) – é𝑠𝑖𝑚𝑎 etapa, teremos 
𝑥𝑛−1 =
𝑎 + 𝑏
2
 
|𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑟| ≤
|𝑏 − 𝑎|
2𝑛−1
 
P á g i n a | 51 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑥𝑛−1) → {
< 0; 𝑏 = 𝑥𝑛−1; [𝑎; 𝑥𝑛−1] 
> 0; 𝑎 = 𝑥𝑛−1; [𝑥𝑛−1, 𝑏]
 
𝑥𝑛 =
𝑎 + 𝑏
2
 
|𝑥𝑛 − 𝑥𝑟| ≤
|𝑏 − 𝑎|
2𝑛
 
𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑥𝑛) → {
< 0; 𝑏 = 𝑥𝑛; [𝑎; 𝑥𝑛] 
> 0; 𝑎 = 𝑥𝑛; [𝑥𝑛, 𝑏]
 
⋮ 
Na n-nésima etapa teremos 
 
|𝑥𝑛 − 𝑥𝑟| ≤
|𝑏 − 𝑎|
2𝑛
 
Então fazemos 
𝑥𝑟 ≈
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
2
 
Onde 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 são os últimos valores extremos do 
intervalo encontrado. 
 A resposta para a pergunta anterior está na 
desigualdade 
|𝑥𝑛 − 𝑥𝑟| ≤
|𝑏 − 𝑎|
2𝑛
 
Ora, se queremos realizar estas etapas a ponto de, 
em um passo 𝑛 estarmos muito, mais muito próximo 
da solução exta, então basta definirmos uma 
tolerância para que isso ocorra. 
 
P á g i n a | 52 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos estipular um erro ∈> 0, porém muito 
pequeno. Por exemplo, poderíamos estipular que o 
erro cometido na aproximação não seja maior que 
∈= 10−5 
 Aqui entra a parte do cálculo 1, especificamente 
o conceito de limite, em particular limite de 
sequências. 
 Observe que 
lim
𝑛→∞
|𝑥𝑛 − 𝑥𝑟| ≤ lim
𝑛→∞
|𝑏 − 𝑎|
2𝑛
 
| lim(𝑥𝑛 − 𝑥𝑟)|
𝑛→∞
≤ |𝑏 − 𝑎| lim
𝑛→∞
1
2𝑛
= 0 
lim(𝑥𝑛 − 𝑥𝑟) = 0 
lim𝑥𝑛 = 𝑥𝑟 
O que mostra que o método converge para a raiz 
desejada. 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 53 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.2 Critério de 
Parada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos supor que desejamos encontrar uma 
aproximação 𝑥𝑛 para a raiz da igualdade 𝑓(𝑥) = 0 
com tolerância, ou precisão, 𝜀 > 0 (pequeno). Ora, 
considerando a desigualdade que segue, podemos 
encontrar o número máximo de iterações, ou seja, 
podemos encontrar o valor do número de iterações 
𝑛. 
|𝑥𝑛 − 𝑥𝑟| ≤
|𝑏 − 𝑎|
2𝑛
< 𝜀 
Da desigualdade anterior, podemos escrever 
|𝑏 − 𝑎|
2𝑛
< 𝜀 → 
|𝑏 − 𝑎|
𝜀
< 2𝑛 
ln (
|𝑏 − 𝑎|
𝜀
) < ln2𝑛 
 𝑛 >
ln (
|𝑏 − 𝑎|
𝜀
) 
ln2
 
Podemos utilizar como critério de parada o menor 
inteiro 𝑛0 > 𝑛. Ou um dos critérios, ou todos 
combinados, a fim 
de evitar que o algoritmo entre em loop infinito. 
I. |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀; 
II. |𝑓(𝑥𝑛+1)| < 𝜀; 
III. 𝑛 número máximo de iterações desejada. 
 
P á g i n a | 54 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.2 
Dada a equação 𝑒𝑥 = 𝑥 + 2. Encontra uma 
aproximação para as raízes da equação anterior 
com tolerância e encontre o número de iterações em 
cada caso: 
a) 10−1; b) 10−2; c) 10−3; d) 10−4. 
Para cada item, iremos encontrar o número de 
iterações e após as aproximações para as raízes. Mas 
antes, precisamos isolar a raiz, ou seja, encontrar um 
intervalo onde ela(s) se encontra(m). 
 Nosso objetivo é encontrar a raiz da seguinte 
função 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 − 2 = 0 
 Se fizermos 𝑥 = 1 e depois 𝑥 = 2 na função 𝑓, 
obtemos 
𝑓(1) = 𝑒1 − 3 < 0 
𝑓(2) = 𝑒2 > 0 
𝑓(1) × 𝑓(2) < 0 
 Logo, o intervalo a ser usado é [𝑎; 𝑏] = [1; 2] 
 Para o intervalo encontrado, temos 
𝑛 >
ln (
|𝑏 − 𝑎|
∈
) 
ln2
 
P á g i n a | 55 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ∈= 10−1 
𝑛 >
ln (
|2 − 1|
10−1
) 
ln2
 
𝑛 >
ln10
ln2
≅ 3,32 
Então, tomamos 𝑛 = 4 
𝑥1 =
2 + 1
2
= 1.5 
𝑓(1.5) = 𝑒1.5 − 1,5 − 2 ≅ 0,98 > 0 
𝑓(1) × 𝑓(1.5) → {
< 0; 𝑏 = 1.5; 
𝑥𝑟 ∈ [1; 1.5]
 
𝑥2 =
1.5 + 1
2
= 1.25 
𝑓(1.25) = 𝑒1,2.5 − 1,25 − 2 ≅ 0,24 > 0 
𝑓(1) × 𝑓(1.25) → {
< 0; 𝑏 = 1.25; 
𝑥𝑟 ∈ [1; 1.25]
 
𝑥3 =
1.25 + 1
2
= 1.125 
𝑓(1.125) = 𝑒1,12.5 − 1,125 − 2 ≅ −0,045 < 0 
𝑓(1) × 𝑓(1.125) → {
> 0; 𝑎 = 1.125; 
𝑥𝑟 ∈ [1.125; 1.5]
 
𝑥4 =
1.125 + 1.25
2
= 1.1875 
 
𝑓(1.1875) = 𝑒1,187.5 − 1,1875 − 2 ≅ 0,091 > 0 
P á g i n a | 56 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(1.125) × 𝑓(1.1875) → {
< 0; 𝑏 = 1.1875; 
𝑥𝑟 ∈ [1.125; 1.1875]
 
Para esses valores de a, b e n, temos 
|1,1875 − 1,125|
24
= 0,001953125 < 0,1 = 10−1 =∈ 
 O que mostra que em 4 iterações, com erro menor 
que ∈= 0,1, nos aproximamos da raiz de 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 − 2 = 0 
 Tomando o intervalo 
𝑥𝑟 ∈ [1.125; 1.1875] 
aproximação para 𝑥𝑟, com o erro pedido fica 
𝑥𝑟 ≈
1.1875 + 1.125
2
= 1.15625 
b) ∈= 10−2 
𝑛 >
ln (
|2 − 1|
10−2
) 
ln2
 
𝑛 >
ln100
ln2
≅ 6,65 
Então, tomamos 𝑛 = 7 
𝑥1 =
2 + 1
2
= 1.5 
𝑓(1.5) = 𝑒1.5 − 1,5 − 2 ≅ 0,98 > 0 
𝑓(1) × 𝑓(1.5) → {
< 0; 𝑏 = 1.5; 
𝑥𝑟 ∈ [1; 1.5]
 
P á g i n a | 57 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 =
1.5 + 1
2
= 1.25 
𝑓(1.25) = 𝑒1,2.5 − 1,25 − 2 ≅ 0,24 > 0 
𝑓(1) × 𝑓(1.25) → {
< 0; 𝑏 = 1.25; 
𝑥𝑟 ∈ [1; 1.25]
 
𝑥3 =
1.25 + 1
2
= 1.125 
𝑓(1.125) = 𝑒1,12.5 − 1,125 − 2 ≅ −0,045 < 0 
𝑓(1) × 𝑓(1.125) → {
> 0; 𝑎 = 1.125; 
𝑥𝑟 ∈ [1.125; 1.5]
 
𝑥4 =
1.125 + 1.25
2
= 1.1875 
𝑓(1.1875) = 𝑒1,187.5 − 1,1875 − 2 ≅ 0,091 > 0 
𝑓(1.125) × 𝑓(1.1875) → {
< 0; 𝑏 = 1.1875; 
𝑥𝑟 ∈ [1.125; 1.1875]
 
𝑓(1.1875) = 𝑒1,187.5 − 1,1875 − 2 ≅ 0,091 > 0 
𝑥5 =
1.1875 + 1,125
2
= 1.15625 
𝑓(1.15625) = 𝑒1,1562.5 − 1,15625 − 2 ≅ 0,022 > 0 
𝑓(1.125) × 𝑓(1.15625) {
< 0; 𝑏 = 1.15625; 
𝑥𝑟 ∈ [1.125; 1.15625]
 
𝑥6 =
1.15625 + 1,125
2
= 1.140625 
𝑓(1.140625) = 𝑒1,14062.5 − 1,140625 − 2 ≅ −0,0112 < 0 
𝑓(1.125) × 𝑓(1.140625) {
> 0; 𝑎 =1.140625; 
𝑥𝑟 ∈ [1.140625; 1.15625]
 
P á g i n a | 58 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥7 =
1.15625 + 1.140625
2
= 1.1484375 
𝑓(1.1484375) = 𝑒1,148437.5 − 1,1484375 − 2 ≅ 0.048 > 0 
𝑓(1.140625) × 𝑓(1.1484375) → {
< 0; 𝑏 = 1.1484375; 
𝑥𝑟 ∈ [1.140625; 1.187375]
 
Para esses valores de a, b e n, temos 
|1,1484375 − 1,140625|
128
≅ 0,00098 <∈ 
Tomando o intervalo 
𝑥𝑟 ∈ [1.140625; 1.148375] 
aproximação para 𝑥𝑟, com o erro pedido fica 
𝑥𝑟 ≈
1.148375 + 1.140625
2
= 1.1445 
Tente resolver os outros itens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 59 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
O algoritmo, em Python: 
Método da Bisseção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 60 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.3 
Encontre o número de condição, em cada item do 
Exemplo 2.2, o erro absoluto e relativo propagado ao 
aproximarmos, pelo método da bisseção, a raiz da 
equação 𝑒𝑥 = 𝑥 + 2, sabendo que o valor com 9 
casas decimais corretas é dado por 
𝑥𝑟 = 1.146193220 
a) Rodando o programa da página anterior, 
encontramos as seguintes aproximações: 
|
|
𝑘
1
2
3
4
 |
|
𝑥𝑘
1.5000
1.2500
1.1250
1.1875
 
Cálculo do erro na aproximação da raiz 
𝑥𝑟 =
𝑥4 + 𝑥3
2
≈ 1.15625 
𝛿𝑥 ≅ |1.15625 − 1.146193220| 
𝛿𝑥 ≅ 0.01005678 
O número de condição é dado por 
𝜅 =
|𝑥|
|𝑓(𝑥)|
|
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 
Para 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 − 2, temos 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 − 1 
P á g i n a | 61 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜅 =
|𝑥|
|𝑒𝑥 − 𝑥 − 2|
|𝑒𝑥 − 1| 
Para o valor de 𝑥 encontrado no item (a) do Exemplo 
2.2, obtemos 
𝑥4 ≈ 1.15625 
𝜅 ≈
|1.15625|
|𝑒1.15625 − 1.15625 − 2|
|𝑒1.15625 − 1| 
𝐶𝑜𝑛𝑑 ≈ 115.82 
Este número indica que o erro cometido na 
aproximação da raiz por 𝑥4 ≈ 1.1562 
5 será ampliado em quase 116 vezes na saída 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
O erro propagado em 𝑓 é dado por 
𝛿𝑓 = |
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 
𝛿𝑓 = |𝑒
𝑥 − 1|0.01005678 
𝛿𝑓 = |𝑒
1.15625 − 1|0.01005678 ≅ 0,0219 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
1
|𝑓(𝑥)|
|
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 
𝑓(1.15625) = 0.02174 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
0,0219
|𝑓(1.15625)|
≅ 1.007 
𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑥
|𝑥|
 
P á g i n a | 62 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙 =
0.01005678
|1,15625|
≅ 0.0087 
Observe que 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙
𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙
=
1.007
0,0087
≅ 115.75 
Bem próximo do número de condicionamento do 
problema. 
Encontrando o valor aproximado usando a raiz 
com nove casas decimais corretas e comparando 
com o valor encontrado com a tolerância aceita, 
podemos concluir que o erro cometido foi muito 
grande. 
𝑓(1.15625) = 𝑒1,1562.5 − 1,15625 − 2 ≅ 0.02174 
𝑓(1.146193220) = 𝑒1.14619322 − 1.14619322 − 2 
𝑓(1.146193220) ≅ 1,0298 × 10−9 
Observem que a aproximação com tolerância de 0.1 
é muito ruim. 
b) Para este item, o programa gera os seguintes 
valores 
|
|
|
𝑘
1
2
3
4
5
6
7
 
|
|
𝑥𝑘
1.5000
1.2500
1.1250
1.8750
1.1563
1.4063
1.1484
 
P á g i n a | 63 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do erro na aproximação da raiz 
𝑥𝑟 =
𝑥7 + 𝑥6
2
≈ 1.1445 
𝛿𝑥 ≅ |1.1445 − 1.146193220| 
𝛿𝑥 ≅ 0.00169 
O número de condição é dado por 
𝜅 =
|𝑥|
|𝑓(𝑥)|
|
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 
Para 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 − 2, temos 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 − 1 
𝜅 =
|𝑥|
|𝑒𝑥 − 𝑥 − 2|
|𝑒𝑥 − 1| 
Para o valor de 𝑥 encontrado no item (b) do 
Exemplo 2.2, obtemos 
𝑥4 ≈ 1.1445 
𝜅 ≈
|1.1445|
|𝑒1.1445 − 1.1445 − 2|
|𝑒1,1445 − 1| 
𝜅 ≈ 675.09 
Este número indica que o erro cometido na 
aproximação da raiz por 𝑥𝑟 ≈ 1.1445 será ampliado 
em quase 700 vezes na saída 𝑓(𝑥). 
O erro propagado em 𝑓 é dado por 
 
P á g i n a | 64 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑓 = |
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 
𝛿𝑓 = |𝑒
𝑥 − 1|0.00169 
𝛿𝑓 = |𝑒
1.1445 − 1|0.00169 ≅ 0.003618 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑓
|𝑓(𝑥)|
≅
1
|𝑓(𝑥)|
|
𝑑𝑓
𝑑𝑥
| 𝛿𝑥 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
0.003618
|𝑓(1.1445)|
 
𝑓(1.1445) ≈ −0.003629 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙 =
0.003618
|−0.003629|
≅ 0.0.9969 
𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙 =
𝛿𝑥
|𝑥|
 
𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙 =
0.00169
|1.1445|
≅ 0,001477 
Observe que 
𝛿𝑓𝑟𝑒𝑙
𝛿𝑥𝑟𝑒𝑙
=
0.09969
0.001477
≅ 674.95 
Praticamente igual ao número de 
condicionamento. 
Agora faça os demais itens. 
 
 
 
P á g i n a | 65 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.3 Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 1. Escreva um programa, de preferência em Python, 
para encontrar as raízes da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 1 
com erro menor que 10−4. 
2. 2. Suponha que o número de infectados por um vírus 
cresça seguindo o modelo 
𝑝(𝑡) =
2000.0000
1 + 3𝑒−0.7𝑡
 
Encontre o valor de 𝑡, em ano aproximado, com 
erro de 10−5, para que a população atingida seja de 
1.000.000. 
3. 3. Considere a equação de Lambert dada por: 
𝑥𝑒𝑥 = 𝑡 
onde é um número real positivo. Mostre que esta 
equação possui uma única solução 𝑥𝑟 que pertence 
ao intervalo [0, 𝑡]. Usando esta estimativa como 
intervalo inicial, quantos passos são necessários para 
obter o valor numérico de 𝑥𝑟 com erro absoluto 
inferior à 10−6 quando 𝑡 = 1, 𝑡 = 10 𝑒 𝑡 = 100 através do 
método da bisseção? Obtenha esses valores. 
 
 
 
P á g i n a | 66 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.4 Método do 
Ponto Fixo 
3.4.1 Raízes 
Funções 
 
 
Fig. 3.5: Método do Ponto Fixo 
 
 
 
 
 
Ao tentarmos resolver uma equação, ou encontrar 
as raízes de uma função 𝑓(𝑥) = 0, podemos construir 
uma outra função 𝜑(𝑥) tal que 
𝑥 = 𝜑(𝑥) 
 Por exemplo, encontrar a raízes da função 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 − 2 
 é o mesmo que tentar encontrar um 𝑥, tal que 
𝑥 = 𝑒𝑥 − 2⏟ 
𝜑(𝑥)
 
 A igualdade acima nada mais é que a interseção 
da reta 𝑦 = 𝑥 com a função 𝜑(𝑥). 
Graficamente, temos (Fig. 3.5) 
 Nosso objetivo é construir uma função 𝜑(𝑥) que 
satisfaça a igualdade 
𝑥 = 𝜑(𝑥) 
 Vamos supor, por um momento, que a igualdade 
anterior seja verdadeira, dessa hipótese, podemos 
construir uma sequência de pontos 𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘) no 
intervalo ]𝑎, 𝑏[ contendo a raiz da função 
𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥) − 𝑥 = 0 
E mais, como 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo dado, 
𝜑(𝑥) também o é. 
 
P á g i n a | 67 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da continuidade da função 𝜑(𝑥), podemos 
escrever (Teorema do Valor Médio), para algum 𝑥 ∈
]𝑎, 𝑏[ 
𝜑′(𝑥) =
𝜑(𝑥𝑘) − 𝜑(𝑥𝑘−1)
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
 
𝜑(𝑥𝑘) − 𝜑(𝑥𝑘−1) = 𝜑
′(𝑥)(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1) 
 Da construção da sequência (𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘)), temos 
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 = 𝜑
′(𝑥)(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1) 
 Desenvolvendo a sequência anterior para 1 ≤ 𝑘 ≤
𝑛, obtemos 
𝑥2 − 𝑥1 = 𝜑
′(𝑥)(𝑥1 − 𝑥0) 
𝑥3 − 𝑥2 = 𝜑
′(𝑥)(𝑥2 − 𝑥1) = [𝜑
′(𝑥)]2(𝑥1 − 𝑥0) 
𝑥4 − 𝑥3 = 𝜑
′(𝑥)(𝑥3 − 𝑥2) = [𝜑
′(𝑥)]3(𝑥1 − 𝑥0) 
⋮ 
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝜑
′(𝑥)(𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛−2) = [𝜑
′(𝑥)]𝑛−1(𝑥1 − 𝑥0) 
𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 = 𝜑
′(𝑥)(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1) = [𝜑
′(𝑥)]𝑛(𝑥1 − 𝑥0) 
 Da relação anterior, podemos concluir que para a 
sequência 𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘) convergir, teremos que 
ter 
I. lim
𝑛→∞
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| = lim
𝑛→∞
|𝜑′(𝑥)|𝑛 |𝑥1 − 𝑥0| = 0 
II. De I, temos que, para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ , |𝜑′(𝑥)| = 𝑀 <
1 para algum número real 𝑀; 
III. ∃ 𝑥𝑟 ∈ ]𝑎, 𝑏[, tal que lim
𝑛→∞
𝑥𝑛+1=𝜑 ( lim
𝑛→∞
𝑥𝑛) = 𝜑(𝑥𝑟) = 𝑥𝑟 
IV. 𝑥𝑟 é único valor em ]𝑎, 𝑏[ , tal que 𝜑(𝑥𝑟) = 𝑥𝑟 
P á g i n a | 68 
Professor Me.José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, para que o Método do Ponto Fixo convirja, 
devemos ter |𝜑′(𝑥)| < 1 para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[. 
Critérios de parada 
I. |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀; 
II. 
|𝑥𝑛+1−𝑥𝑛|
|𝑥𝑛|<𝜀;
< 𝜀; 
II. |𝑓(𝑥𝑛+1)| < 𝜀; 
IV. 𝑛 número máximo de iterações desejada. 
Exemplo 3.4 
Dada a equação 𝑒𝑥 = 𝑥 + 2. Encontra uma 
aproximação para as raízes da equação 
anterior com tolerância e encontre o número de 
iterações em cada caso: 
Primeiro escrevemos 𝑥 = 𝑒𝑥 − 2. Disto segue que 
𝜑(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 
𝜑′(𝑥) = 𝑒𝑥 
 Vamos encontrar o intervalo onde |𝜑′(𝑥)| = 𝑒𝑥 < 1. 
Ora, isto ocorre para todo 𝑥 < 0. 
 Escrevendo a sequência, obtemos 𝑥𝑘+1 = 𝑒
𝑥𝑘 − 2 
 Vamos utilizar como chute inicial 𝑥0 = −1.8 
𝑥1 = 𝑒
𝑥0 − 2 = 𝑒−1.8 − 2 ≅ −1.8347 
P á g i n a | 69 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
O algoritmo, em Python: 
Método do Ponto Fixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 = 𝑒
𝑥1 − 2 = 𝑒−1.8347 − 2 ≅ −1.8403 
𝑥3 = 𝑒
𝑥2 − 2 = 𝑒−1.8403 − 2 ≅ −1.8412 
𝑥4 = 𝑒
𝑥3 − 2 = 𝑒−1.8412 − 2 ≅ −1.8414 
𝑥5 = 𝑒
𝑥4 − 2 = 𝑒−1.814 − 2 ≅ −1.8414 
 Observem que a partir da quinta iteração, as 
aproximações com quatro casas decimais ficam em 
−1.8414. 
 
P á g i n a | 70 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
3.3 Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rodando algoritmo em Python da página anterior, 
os valores calculados, com precisão de 10−7 foram 
 
|
|
|
𝑘
1
2
3
4
5
6
7
 
|
|
𝑥𝑘 
−1.8347011117784136
−1.8403387845060170
−1.8412363696632286
−1.8413788096057715
−1.8414014019899503
−1.8414049850699314
−1.8414049850699314
 
 
1. Mostre que a equação 
cos(𝑥) = 𝑥 
Possui uma única solução no intervalo [0, 1]. Use a iteração 
do ponto fixo para encontrar uma aproximação para a 
solução com 4 dígitos significativos (o mesmo que um erro 
de 10−4: erro na quarta casa decimal). 
1. Escreva a equação 𝑥𝑒𝑥 = 10 de duas formas diferentes 
e, usando o método do ponto fixo, verifique, usando um 
programa de computador, se as sequências geradas são 
convergentes, tomando 𝑥0 = 2. 
2. DO exercício 2, mostre, usando o teste da derivada que 
as sequências geradas pelo Método do Ponto Fixo, serão 
convergentes ou não. 
 
 
 
P á g i n a | 71 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.4 Método de 
Newton 
 
 
Fig. 3.6: Método de Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe a Fig. 3.6 
Supondo que 𝑓′(𝑥𝑛) ≠ 0 para todo natural 𝑛, 
podemos fazer: 
A reta 𝑟1 passa pelos pontos (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) e (𝑥1, 0). Sua 
equação é dada por 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
′ (𝑥𝑛)(𝑥 − 𝑥0) 
Podemos observar que para 𝑥 = 𝑥1, teremos 
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
′(𝑥0)(𝑥1 − 𝑥0) 
Como 𝑓(𝑥1) = 0, podemos escrever a seguinte 
igualdade 
0 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
′(𝑥0)(𝑥1 − 𝑥0) 
−
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
= 𝑥1 − 𝑥0 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
 
A reta 𝑟2 passa pelos pontos (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) e (𝑥2, 0). Sua 
equação é dada por 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥1) = 𝑓
′(𝑥1)(𝑥 − 𝑥1) 
 De forma análoga ao que foi feito para a reta 𝑟1. 
Podemos observar que para 𝑥 = 𝑥2, teremos 
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) = 𝑓
′(𝑥1)(𝑥2 − 𝑥1) 
Como 𝑓(𝑥2) = 0, podemos escrever a seguinte 
igualdade 
P á g i n a | 72 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 − 𝑓(𝑥1) = 𝑓
′(𝑥1)(𝑥2 − 𝑥1) 
−
𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1)
= 𝑥2 − 𝑥1 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1)
 
Na (𝑛 − 1) − é𝑠𝑖𝑚𝑎 reta 𝑟𝑛−1, teremos 
𝑓(𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥𝑛−1) = 𝑓
′(𝑥𝑛−1)(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1) 
0 − 𝑓(𝑥𝑛−1) = 𝑓
′(𝑥𝑛−1)(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1) 
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −
𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑓′(𝑥𝑛−1)
 
Na 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 reta 𝑟𝑛, teremos 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑓
′(𝑥𝑛)(𝑥 − 𝑥𝑛) 
𝑓(𝑥𝑛+1) − 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑓
′(𝑥𝑛)(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) 
0 − 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑓
′(𝑥𝑛)(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
Este método leva o nome de Método de Newton. 
Observem que a partir de um chute inicial, podemos 
construir, usando o método acima, uma sequência 
de pontos na reta que convergem para a raiz da 
função 𝑓. 
 
 
P á g i n a | 73 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.5 
Encontre uma aproximação para √3 usando o 
Método de Newton. 
Devemos encontrar a raiz da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3 
Primeiro devemos isolar a raiz desejada, ou seja, 
encontrar um intervalo que contenha a raiz de 𝑓 
Pela função, temos 
𝑓(1) = 12 − 3 = −2 < 0 
𝑓(2) = 22 − 3 = 1 > 0 
Logo, podemos encontrar a raiz no intervalo [1; 2 ]. 
Calculando a derivada de 𝑓 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 
No intervalo em questão, a derivada é positiva 
para todo número 𝑥 ∈ [1; 2 ]. 
Considere a sequência 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑥𝑛
2 − 3
2𝑥𝑛
 
Agora precisamos escolher um chute para a 
aproximação inicial dentro do intervalo. Vamos 
escolher 𝑥0 = 1 
P á g i n a | 74 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑥0
2 − 3
2𝑥0
= 1 −
1 − 3
2
= 2 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑥1
2 − 3
2𝑥1
= 2 −
4 − 3
4
= 1.75 
𝑥3 = 𝑥2 −
𝑥2
2 − 3
2𝑥2
= 1.75 −
1.752 − 3
3.5
= 1.7321428571 
Observe que atingimos um valor muito próximo de 
√3. Vejamos 
𝜀 = |√3 − 𝑥3| ≅ 0.0000920495 < 10
−3 
O erro relativo seria 
𝜀 =
|√3 − 𝑥3|
√3
≅ 0.0000531448 < 10−4 
 Este exemplo mostra que o Método de Newton é 
muito eficiente. 
 Se tivéssemos escolhido como aproximação inicial 
𝑥0 =
𝑎 + 𝑏
2
 
A convergência seria mais rápida. Tente! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 75 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.4.1 Convergên
cia do M. de 
Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar a função 𝑓(𝑥) e sua 
aproximação pelo Polinômio de Taylor em torno de 
𝑥𝑛, como segue. 
𝑓(𝑥) ≅ 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑓
′(𝑥𝑛)(𝑥 − 𝑥𝑛) +
𝑓′′(𝑥𝑛)
2!
(𝑥 − 𝑥𝑛)
2 +⋯
+
𝑓𝑛(𝑥𝑛)
𝑛!
(𝑥 − 𝑥𝑛)
𝑛 
Seja 𝑥𝑟 ∈ ℝ tal que 
𝑓(𝑥𝑟) = 0 e 𝑓
′(𝑥𝑛) ≠ 0 
disto segue que 
0 ≅ 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑓
′(𝑥𝑛)(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛) +
𝑓′′(𝑥𝑛)
2!
(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
2 +⋯
+
𝑓𝑛(𝑥𝑛)
𝑛!
(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
𝑛 
Dividindo a relação anterior por 𝑓′(𝑥𝑛), obtemos 
0 ≅
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
+ 𝑥𝑟 − 𝑥𝑛 +
𝑓′′(𝑥𝑛)
2𝑓′(𝑥𝑛)
(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
2 +⋯
+
𝑓𝑛(𝑥𝑛)
𝑛! 𝑓′(𝑥𝑛)
 (𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
𝑛 
𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
≅ 𝑥𝑟 +
𝑓′′(𝑥𝑛)
2! 𝑓′(𝑥𝑛)
(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
2 +⋯
−
𝑓𝑛(𝑥𝑛)
𝑛! 𝑓′(𝑥𝑛)
 (𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
𝑛 
Dado que 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
Obtemos 
 
P á g i n a | 76 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝑛+1 ≅ 𝑥𝑟 +
𝑓′′(𝑥)
2! 𝑓′(𝑥𝑛)
(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
2 +⋯+
𝑓𝑛(𝑥𝑛)
𝑛! 𝑓′(𝑥𝑛)
 (𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
𝑛 
Do que foi posto acima, podemos escrever 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑟 + 𝑜((𝑥𝑟 − 𝑥𝑛))
2
 
Onde 
𝑜((𝑥𝑟 − 𝑥𝑛))
2
= +
𝑓′′(𝑥𝑛)
2! 𝑓′(𝑥𝑛)
(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
2 +⋯
+
𝑓𝑛(𝑥𝑛)
𝑛! 𝑓′(𝑥𝑛)
 (𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
𝑛 
Da relação 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑟 + 𝑜((𝑥𝑟 − 𝑥𝑛))
2
 
O erro na aproximação da raiz é dado por 
|𝜀| = |𝑜((𝑥𝑟 − 𝑥𝑛))
2
| 
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟| = |∑
𝑓𝑖(𝑥𝑛)
𝑖! 𝑓′(𝑥𝑛)
 (𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
𝑖
𝑛
𝑖=2
| 
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟| ≤∑|
𝑓𝑖(𝑥𝑛)
𝑖! 𝑓′(𝑥𝑛)
| |(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
𝑖|
𝑛
𝑖=2
 
Da hipótese de que existe um 𝑛 ∈ ℕ, tal que 
|𝑥𝑟 − 𝑥𝑛| ≪ 1, podemos aproximar 
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟| ≅
1
2
|
𝑓′′(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
| |(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
2| 
pois, os termos |𝑥𝑟 − 𝑥𝑛|
𝑛, com expoente 𝑛 ≥ 3, podem 
ser desprezados. 
 
P á g i n a | 77 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A relação 
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟| ≅
1
2
|
𝑓′′(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
| |(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
2| 
nos diz que, para o Método de Newton convergir 
para a raiz de 𝑓, é necessário que as seguinteshipóteses sejam satisfeitas: 
I. 𝑓′(𝑥𝑛) ≠ 0 
II. ∃ 𝑀 ∈ ℝ, tal que |
𝑓′′(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
| ≤ 𝑀 < 1; 
III. 𝑓 tem que ser de casse 𝐶2 (derivada segunda 
contínua) no intervalo ]𝑎; 𝑏[ que contém a raiz; 
Sendo satisfeitas todas as hipóteses anteriores, 
então podemos escrever 
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟| ≤
1
2
𝑀|(𝑥𝑟 − 𝑥𝑛)
2| 
Esta desigualdade nos leva a 
|𝑥1 − 𝑥𝑟| ≤
1
2
𝑀|(𝑥𝑟 − 𝑥0)
2| 
|𝑥2 − 𝑥𝑟| ≤
1
2
𝑀|(𝑥𝑟 − 𝑥1)
2| ≤
𝑀3
23
|(𝑥𝑟 − 𝑥0)
4| 
|𝑥3 − 𝑥𝑟| ≤
1
2
𝑀|(𝑥𝑟 − 𝑥2)
2| ≤
𝑀7
27
|(𝑥𝑟 − 𝑥0)
8| 
 
|𝑥4 − 𝑥𝑟| ≤
1
2
𝑀|(𝑥𝑟 − 𝑥3)
2| ≤
𝑀15
215
|(𝑥𝑟 − 𝑥0)
16| 
 
P á g i n a | 78 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|𝑥5 − 𝑥𝑟| ≤
1
2
𝑀|(𝑥𝑟 − 𝑥4)
2| ≤
𝑀31
231
|(𝑥𝑟 − 𝑥0)
32| 
|𝑥6 − 𝑥𝑟| ≤
1
2
𝑀|(𝑥𝑟 − 𝑥5)
2| ≤
𝑀63
263
|(𝑥𝑟 − 𝑥0)
64| 
⋮ 
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟| ≤ (
𝑀
2
)
(2𝑛+1−1)
 |(𝑥𝑟 − 𝑥0)
2𝑛+1| 
Da última desigualdade acima, podemos notar 
que 
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟|
|(𝑥𝑟 − 𝑥0)2
𝑛+1
|
≤ (
𝑀
2
)
(2𝑛+1−1)
 
lim
𝑛→∞
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟|
|(𝑥𝑟 − 𝑥0)2
𝑛+1
|
≤ lim
𝑛→∞
(
𝑀
2
)
(2𝑛+1−1)
= 0 
lim
𝑛→∞
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟| = 0 
lim
𝑛→∞
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑟 
 O que mostra que o método converge para a raiz 
𝑥𝑟 de 𝑓. 
 
O limite anterior mostra que Método de Newton 
tem convergência de ordem 𝑝 = 2𝑛+1. 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 79 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.6.2 Critério de 
Parada do M. de 
Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere agora a tolerância para o erro igual a 
𝜀 = 10−𝑛, para 𝑛 > 1, tal que |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀, disto, 
segue que 
Podemos estipular o erro usando a tolerância 
𝜀 = 10−𝑛 para 𝑛 > 1. Logo podemos estipular o critério 
de parada do Método de Newton usando os critérios 
que seguem, ou uma combinação deles 
I. |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀; 
II. |𝑓(𝑥𝑛+1)| < 𝜀; 
III. 𝑛 número máximo de iterações desejada. 
Exemplo 3.6 
Encontre a raiz de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 − 2 com 𝜀 = 10−3. 
Primeiro vamos isolar a raiz e mostrar que ela é 
única. 
• 𝑓(1) = 𝑒1 − 1 − 2 < 0; 
• 𝑓(2) = 𝑒2 − 2 − 2 > 0. 
O intervalo a ser usado é [1; 2]. Neste intervalo 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 − 1 > 0 
Logo a raiz é única. 
Vamos tomar como chute inicia 
𝑥0 =
1 + 2
2
= 1.5 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
P á g i n a | 80 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑒𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 − 2
𝑒𝑥𝑛 − 1
 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑒𝑥0 − 𝑥0 − 2
𝑒𝑥0 − 1
= 1.5 −
𝑒1.5 − 1.5 − 2
𝑒1.5 − 1
≅ 1.2180 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑒𝑥1 − 𝑥1 − 2
𝑒𝑥1 − 1
 
𝑥2 = 1.2180 −
𝑒1.2180 − 1.2180 − 2
𝑒1.2180 − 1
 
𝑥2 ≅ 1.14977 
𝑥3 = 𝑥2 −
𝑒𝑥2 − 𝑥2 − 2
𝑒2 − 1
 
𝑥3 = 1.14977 −
𝑒1.14977 − 1.4977 − 2
𝑒1.14977 − 1
 
𝑥3 ≅ 1.146678 
Vamos calcular o valor de 𝑓(𝑥3) 
𝑓(1.146678) = 𝑒1.146678 − 1.146678 − 2 ≅ 0.0010408 
Calculando mais uma aproximação. 
𝑥4 = 1.146678 −
𝑒1.146678 − 1.146678 − 2
𝑒1.146678 − 1
 
𝑥4 ≅ 1.1461934 
𝑓(1.1461934) = 𝑒1.1461934 − 1.14661934 − 2 
𝑓(1.1461934) ≅ 0.000000384983 
Observem que, para 𝑥4 = 1.14614934 
a função 𝑓 está muito próxima de zero. 
P á g i n a | 81 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|𝑥4 − 𝑥3| = |1.1461934 − 1.146678| 
|𝑥4 − 𝑥3| = 0.0004846 
|𝑥4 − 𝑥3| < 10
−3 = 𝜀 
 Uma desvantagem do Método de Newton é a 
diminuição da convergência do método quando 
temos raízes múltiplas dentro do intervalo estudado. 
Para contornarmos essa desaceleração na 
convergência, basta realizarmos uma modificação 
simples, bastando multiplicarmos a relação de 
recorrência 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 pela multiplicidade 𝑚 da 
raiz procurada. 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑚
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
Atividade 
Realize o teste de velocidade de convergência do 
Método de Newton para encontrar a raiz de 
multiplicidade 3 do polinômio com 𝜀1 = 10
−5 e 
𝜀2 = 10
−10, com e sem modificação. 
𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 12𝑥2 + 14𝑥 − 5 
 
 
 
 
P á g i n a | 82 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
Algoritmo do Método de 
Newton em Python 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 83 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.6.3 Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Depois de acionado um sistema de aquecedores, 
a temperatura em um forno evolui conforme a 
equação 
𝑇(𝑡) = 500 − 800𝑒−𝑡 + 600𝑒−𝑡/3 
onde 𝑇 é dado em Kelvin e 𝑡 em horas. 
a) Encontre a temperatura de equilíbrio do forno; 
b) Mostre que o valor máximo da temperatura 
atingida no forno é de 700𝐾; 
c) Obtenha o tempo aproximado em h e minutos, 
com precisão de 10−5, em que a temperatura de 
equilíbrio foi atingida; 
d) O sistema emitirá um alerta sempre que a 
temperatura no forno permanecer por mais de 4h 
acima de 20% acima da temperatura de equilíbrio, 
sendo o forno desligado em seguida. Podemos 
afirmar que o forno foi desligado? Explique. 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 84 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
3.6.4 Método de 
Newton para 
Sistema de 
Equações não 
Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.6 
Suponha que desejamos encontrar a solução do 
seguinte sistema de equações 
{
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 9
𝑥1 − 𝑥2 = 1
 
Vamos definir a função 
𝐹(𝑋) = (
𝑥1
2 + 𝑥2
2 − 9
𝑥1 − 𝑦2 − 1
) 
𝑋 = (
𝑥1
𝑥2
) 
 Para deduzir o que vamos fazer, vamos definir a 
função 
𝐹(𝑋) =
(
 
 
𝑓1(𝑋)
 𝑓2(𝑋)
𝑓3(𝑋)
⋮
 𝑓𝑛(𝑋))
 
 
 
Seguindo os passos da seção anterior, podemos 
aproximar 𝐹(𝑥) em torno de um vetor 
𝑋𝑛 = (𝑥1𝑛, 𝑥2𝑛, 𝑥3𝑛⋯ , 𝑥𝑛𝑛) 
𝐹(𝑋) ≅ 𝐹(𝑋𝑛) + 𝐹
′(𝑋𝑛)(𝑋 − 𝑋𝑛) +
𝐹′′(𝑋𝑛)
2!
(𝑋 − 𝑋𝑛)
2 +⋯
+
𝐹𝑛(𝑋𝑛)
𝑛!
(𝑋 − 𝑋𝑛)
𝑛 
 Nos interessa a aproximar linear da função 𝐹(𝑋), 
logo 
P á g i n a | 85 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹(𝑋) ≅ 𝐹(𝑋𝑛) + 𝐹
′(𝑋𝑛)(𝑋 − 𝑋𝑛) 
 Observem que, cada função coordenada de 
𝐹(𝑋) =
(
 
 
𝑓1(𝑋)
 𝑓2(𝑋)
𝑓3(𝑋)
⋮
 𝑓𝑛(𝑋))
 
 
 
Pode ser aproximada pelo Polinômio de Taylor de 
grau 1 da seguinte forma 
𝑓1(𝑋) = 𝑓1(𝑋𝑛) +
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
 (𝑥 − 𝑥1𝑛) +⋯+
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛
 (𝑥 − 𝑥𝑛𝑛)
 𝑓2(𝑋) = 𝑓2(𝑋𝑛) +
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
 (𝑥 − 𝑥1𝑛) + ⋯+
𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑛
 (𝑥 − 𝑥𝑛𝑛)
𝑓3(𝑋) = 𝑓3(𝑋𝑛) +
𝜕𝑓3
𝜕𝑥1
 (𝑥 − 𝑥1𝑛) +⋯+
𝜕𝑓3
𝜕𝑥𝑛
 (𝑥 − 𝑥𝑛𝑛)
⋮
 𝑓𝑛(𝑋) = 𝑓𝑛(𝑋𝑛) +
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥1
 (𝑥 − 𝑥1𝑛) + ⋯+
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥𝑛
 (𝑥 − 𝑥𝑛𝑛)
 
 O sistema anterior pode ser escrito na forma 
matricial 𝑋 − 𝑋𝑛 =
(
 
 
𝑥1 − 𝑥1𝑛
 𝑥2 − 𝑥2𝑛
𝑥3 − 𝑥3𝑛
⋮
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛𝑛 )
 
 
 
𝐹′(𝑋𝑛) =
(
 
 
 
 
 
 
 
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
 
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
 
𝜕𝑓1
𝜕𝑥3
 ⋯
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛
 
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
 
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2
 
𝜕𝑓2
𝜕𝑥3
 ⋯
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥𝑛
 
𝜕𝑓3
𝜕𝑥1
 
⋮
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥1
𝜕𝑓3
𝜕𝑥2
⋮
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥2
𝜕𝑓3
𝜕𝑥3
⋯
𝜕𝑓3
𝜕𝑥𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥3
⋯
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥𝑛 )
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹′(𝑋𝑛) é a Matriz Jacobiana. 
P á g i n a | 86 
Professor Me. José C. Calheiros – IFSP - Pirituba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que exista 𝐹′−1(𝑋) ≠ 0 (inversa de 𝐹(𝑋)) 
para todo 𝑋, podemos, para 𝐹(𝑋𝑟) = 0, escrever 
𝐹(𝑋𝑟) ≅ 𝐹(𝑋𝑛) + 𝐹
′(𝑋𝑛)(𝑋𝑟 − 𝑋𝑛) 
0 ≅ 𝐹(𝑋𝑛) + 𝐹
′(𝑋𝑛)(𝑋𝑟 − 𝑋𝑛) 
 Multiplicando por 𝐹−1(𝑋𝑛) dos dois lados, temos 
0 ≅ 𝐹′
−1(𝑋𝑛)𝐹(𝑋𝑛) + 𝐹
′−1(𝑋𝑛)𝐹
′(𝑋𝑛)(𝑋𝑟 − 𝑋𝑛) 
0 ≅ 𝐹′
−1(𝑋𝑛)𝐹(𝑋𝑛) + 𝑋𝑟 − 𝑋𝑛 
𝑋𝑟 ≅ 𝑋𝑛 − 𝐹
′−1(𝑋𝑛)𝐹(𝑋𝑛) 
 Podemos escrever a seguinte igualdade 
𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 − 𝐹
′−1(𝑋𝑛)𝐹(𝑋𝑛) 
Que nos fornece uma sequência de aproximações 
para a solução do sistema não linear estudado. 
Os critérios de parada para o Método de Newton 
para sistema