Aval. Final (objetiva) cálculo numérico

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Acadêmico: Ricardo Luis da Rocha Christino Junior (1926825)
Disciplina: Cálculo Numérico (MAT28)
Avaliação: Avaliação Final (Objetiva) - Individual Semipresencial ( Cod.:656319) ( peso.:3,00)
Prova: 23147617
Nota da Prova: 9,00
Legenda: Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
1. Quando se torna inviável resolver uma equação diferencial ordinária, lançamos mão dos métodos numéricos para
encontrar uma aproximação f a esta solução y. O método de Euler é um destes métodos numéricos. Neste
contexto, considere a EDO dada por y' = y - x definida no intervalo [0, 1] tal que y(0) = 2. Tomando h = 0,2, a equação
de iteração é:
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
Anexos:
CN - Metodo de Euler2
2. A matemática fornece métodos formais que permitem a determinação exata das raízes de uma função em
diversos casos. Os métodos mais conhecidos permitem a determinação das raízes de polinômios de até quarto
grau, ou grau maior em certas condições. Em muitas situações, a resolução matemática necessita de intuição para
que elas sejam transformadas em casos resolvíveis através dos métodos conhecidos. Sobre zeros de funções,
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Chamamos de zero de uma função f ao ponto f(0).
(    ) Zero de uma função e raiz de uma função são nomes diferentes para o mesmo conceito.
(    ) Toda função real possui pelo menos um zero.
(    ) Toda função polinomial real tem, pelo menos, um zero. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - V - V.
 b) F - V - F - F.
 c) F - F - V - F.
 d) V - V - F - V.
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3. Estudamos cinco métodos iterativos para obter as aproximações das raízes de uma função real qualquer. No
entanto, dentre os cincos métodos, cada um apresenta suas vantagens e limitações. Neste caso, é de interesse do
pensador escolher qual destes métodos é o mais conveniente, ou seja, vantajoso para aplicar na sua situação
problema para a tomada de decisão. Sobre esses métodos, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Método da bisseção.
II- Método das cordas.
III- Método de Newton.
IV- Método das secantes.
V- Método da iteração linear.
(    ) Para trabalhar com este método, a grande dificuldade está centrada na descoberta da função de iteração
apropriada, e sua vantagem é que a convergência é rápida.
(    ) Este método não exige as derivadas da função. Para chegarmos a uma aproximação confiável da raiz são
necessárias várias iterações. É utilizado para refinar o intervalo que contém a raiz.
(    ) Este método exige que o pesquisador conheça a derivada da função e a sua forma analítica; no entanto,
quando modificado, ele mantém constante o valor da primeira derivada durante todo o processo interativo.
(    ) Método utilizado quando o pesquisador tem a certeza de que o sinal da segunda derivada da função é
constante, com a necessidade da realização de uma análise gráfica e possui uma convergência lenta.
(    ) A ordem de convergência está situada entre a convergência linear da iteração linear e a convergência
quadrática do método de Newton. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) IV - V - II - I - III.
 b) V - I - III - II - IV.
 c) IV - V - I - II - III.
 d) V - II - I - III - IV.
4. O método de Gauss é um método que transforma a matriz estendida em uma matriz triangular superior através de
operações elementares (pivotamentos), que consistem em trocar uma linha pela linha mais uma constante vezes
outra linha. Usando o método de Gauss, transformamos a matriz estendida
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção III está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
5. Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas escrito na forma matricial Ax=b. Sobre o exposto,
analise as sentenças a seguir:
I- Se duas linhas da matriz ampliada S=[A:b] são iguais, então o sistema tem uma única solução.
II- A matriz A é uma matriz de ordem mxn e tem m.n elementos.
III- Se o número de incógnitas for estritamente maior que o número de equações, então o sistema tem infinitas
soluções.
IV- Se o determinante da matriz A é igual a zero, então o sistema é impossível.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) I e II.
 b) II e IV.
 c) II.
 d) I e III.
6. No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e aplicabilidade. Da teoria à prática, os logaritmos
são trabalhados em diversas áreas do conhecimento. O trabalho com uma função logarítmica tem como objetivo
facilitar os cálculos, bem como ampliar os conhecimentos em assuntos específicos, como: a) na Química, quando
o trabalho envolve radioatividade, para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa é
utilizada a fórmula: Q=qo.e^(-r-t). Nesta fórmula, Q representa a massa da substância, qº a massa inicial, r a taxa de
redução da radioatividade e a variável t o tempo. Equações com essa tipologia podem ser resolvidas com o auxílio
da teoria dos logaritmos; b) no ano de 1935, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg
desenvolveram uma escala para quantificar o nível de energia liberada por um sismo. A escala Richter, que também
é conhecida por escala de magnitude local, é uma função logarítmica. Assim, é possível quantificar em Joules a
quantidade de energia liberada por um movimento tectônico; c) na Medicina, quando é ministrado um tratamento, o
paciente recebe o medicamento, que entra na corrente sanguínea, que passa por órgãos como fígado e rins. Neste
caso, é possível obter o tempo necessário para que a quantidade desse medicamento presente no corpo do
paciente seja menor ou maior que uma determinada quantidade, e para isso é necessário trabalhar com uma
equação logarítmica. Neste contexto, trabalhando com uma margem de erro menor ou igual a (0,1), calcule o valor
aproximado da função: f(x) = x.log(x+1) - 2, sabendo que a função tem apenas uma raiz real, que está contida no
intervalo.
 a) A função tem sua raiz real em 3,2.
 b) A função tem sua raiz real em 3,3.
 c) A função tem sua raiz real em 3,25.
 d) A função tem sua raiz real em 3,5.
7. A linguagem computacional é uma das principais aplicações dos números binários, assim como no conjunto dos
números decimais, em que podemos definir operações de soma, subtração, multiplicação e divisão no conjunto dos
números binários. Os números binários têm base 2, portanto dois algarismos 0 e 1 e, logo temos as seguintes
igualdades:
 a) F - V - V - F.
 b) F - V - V - V.
 c) F - F - V - F.
 d) V - F - F - F.
8. Usando a segunda lei do movimento de Newton, podemos determinar a velocidade de uma partícula de massa m
(m é constante) que foi projetada verticalmente através da equação diferencial y' = - g - ky, onde y = y(t) é a
velocidade da partícula que depende do tempo t, g é a gravidade (constante) e k é uma constante que depende da
resistência do ar, vamos assumir que k = 1. Usando o Método de Euler Modificado, podemos encontrar a solução
numérica do PVI:
 a) 2,406.
 b) 10,237.
 c) 20.
 d) - 9,8.
9. Uma função f(x) é contínua num intervalo fechado [-1, 4] de tal forma que f(-1) = 2,97 e f(4) = 6,12. A fórmula
explícita desta função não é conhecida. Trabalhando com a regra do trapézio, calcule o valor da integral da referida
função no intervalo [-1, 4] e, na sequência, assinale a alternativa CORRETA:
 a) O valor da integral é 22,635.
 b) O valor da integral é 13,635.
 c) O valor da integral é 13,725.
 d) O valor da integral é 22,725.
10. A integração numérica é um método alternativo de integração  que consiste em substituir uma função complicada
f(x) por outra mais simples e fácil de se integrar. São muitos os métodos que podem ser usados para fazer a
integração numérica. Usando a Regra do Trapézio generalizada, calcule a integral a seguir com m = 5. Lembre-se de
usaro arredondamento de duas casas decimais:
 a) 1,00.
 b) 1,86.
 c) 1,48.
 d) 2,72.
11. (ENADE, 2008) A Matemática no Ensino Médio tem papel formativo - contribui para o desenvolvimento de
processos de pensamento e para a aquisição de atitudes - e caráter instrumental - pode ser aplicada às diversas
áreas do conhecimento -, mas deve ser vista também como ciência, com suas características estruturais
específicas. OCNEM (com adaptações). Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o professor deve
observar que:
 a) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento populacional.
 b) o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de equações algébricas.
 c) as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto.
 d) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções.
12. (ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo, cada
uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$
10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três
canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as compras, sem verificarem os
valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: " A partir das compras efetuadas e dos respectivos
valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema de
equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de equações é:
 a) possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.
 b) possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual a
1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.
 c) impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
 d) possível determinado, podendo admitir como solução, o valor do preço da caneta, do lápis e da borracha.
Prova finalizada com 9 acertos e 3 questões erradas.