Fisica 2 - Ramalho-445-447

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R. 116 Uma partícula realiza um MHS tal que os módulos máximos de sua velocidade escalar e 
de sua ace le ra ção escalar são respectivamente 3,0 m/s e 6,0 m/s2. Determine a amplitude 
e a pulsação do mo vi men to.
R. 117 Um corpo de massa m  1 kg oscila livremente, 
suspenso a uma mola helicoidal de massa des-
prezível (fig. I). Preso ao corpo, há um estilete que 
registra num papel vertical as posições do corpo. 
O papel vertical envolve um cilindro que gira com 
velocidade angular constante. Seja 0,20 m/s a 
velocidade dos pontos do papel vertical. Os dados 
obtidos no papel estão indicados na figura II.
 Determine:
a) a frequência e a amplitude do movimento;
b) a constante elástica da mola.
 
6,0
 ___ 
3,0
  h
2a ____ 
ha
 ] h  2,0 rad/s
 De , obtemos: 3,0  2,0 3 a ] a  1,5 m
 Resposta: a  1,5 m e h  2,0 rad/s
 Solução:
a) O movimento do cilindro é uma rotação 
uniforme (velocidade angular constante) e, 
por meio da fi gura registrada no papel que 
o envolve, podemos determinar o período 
do MHS efetuado pelo cor po. Este efetua 
um ciclo completo quando, passando pela 
posição 1 (registrada no papel), re tor na a ela 
em idênticas condições (posição 2). Nesse 
intervalo de tempo, o papel, à velocidade 
v  0,20 m/s, percorre, em movimento uni-
forme de função s  vt, o espaço s  0,10 m 
(posição 1 p posi ção 2).
 Solução:
 Os módulos máximos da velocidade e da aceleração são dados por:
 OvOmáx.  ha ] 3,0  ha         OaOmáx.  h2a ] 6,0  h2a 
 Dividindo membro a membro a equação  pela equação , vem:
 Assim, para o papel que envolve o cilindro, temos: s  vt ] 0,10  0,20t ] t  0,5 s
 Sendo esse o tempo necessário para o fenômeno se repetir, o período da oscilação será: T  0,5 s
 A amplitude é obtida da figura no papel: observe que, verticalmente, o corpo oscila na extensão 
de 0,8 m, isto é, com amplitude de 0,4 m em torno da posição de equilíbrio.
 Logo: a  0,4 m
b) Conhecido o período, podemos determinar a constante elástica da mola pela relação:
T  2s dlll
 m __ 
k
 ] 0,5  2s dll
 1 __ 
k
 ] 0,52  (2s)2 1 __ 
k
 ] k  4s2
 _____ 
0,25
 ] k 7 158 N/m
 Respostas: a) 2 Hz e 0,4 m; b) 7 158 N/m
exercícios propostos
0,15 m
0,
8 
m
v = 0,20 m/s
0,
4 
m
0,
4 
m
s = 0,10 m
2 1
m
v = 0,20 m/s
m
0,15 m
0,
8 
m
 Figura I. Figura II.
 E a frequência é dada por: f  1 __ 
T
 ] f  1 ___ 
0,5
 ] f  2 Hz
 Solução:
a) Comparando x  0,2 3 cos @ st  3s ___ 
2
 # com x  a 3 cos (ht  A0), temos:
 De T  2s ___ 
h
 , vem: T  2s ___ 
s
 ] T  2 s
b) Sendo v  ha 3 sen (ht  A0), resulta:
 Respostas: a) a  0,2 m, h  s rad/s, A0  3s ___ 
2
 rad e T  2 s; 
 b) v  0,2s 3 sen @ st  3s ___ 
2
 # (v em m/s e t em s)
v  0,2s 3 sen @ st  3s ___ 
2
 # (v em m/s e t em s)
a  0,2 m h  s rad/s A0  3s ___ 
2
 rad
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P. 402 Um ponto material de massa m  0,1 kg oscila 
em torno da posição O de equilíbrio, em MHS. 
A cons tan te elástica da mola é k  0,4 N/m.
P. 403 Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo 
Ox segundo a função horária:
P. 404 A elongação de uma partícula em MHS varia com 
o tempo segundo o gráfico abaixo.
P. 405 Na figura representam-se os pontos de inversão do 
MHS que um bloco realiza. O período do mo vi men to 
é 2 s.
P. 406 A elongação x de um ponto material em MHS varia 
com o tempo segundo o gráfico a seguir.
a) Determine a pulsação h, em radianos por se-
gundo.
b) Determine as funções horárias da posição x, da 
velocidade v e da aceleração a, em função do 
tem po, adotando-se o eixo Ox orientado para 
a direita, como se indica na figura. Adote t  0 
quando o móvel se encontra na posição R.
c) Refaça o item anterior, adotando t  0 quando 
o móvel se encontra na posição S, e no sentido 
do movimento de R a Z.
d) Refaça o item b adotando t  0 quando o móvel 
se encontra na posição Z.
 As posições indicadas pelas letras R e Z corres-
pondem aos extremos da oscilação.
x  0,4 3 cos @ s __ 
2
 t  s # (x em m e t em s)
 Determine:
a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o perío do 
do movimento;
b) a velocidade escalar e a aceleração escalar nos 
instantes t  1 s e t  2 s.
 Determine:
a) a amplitude, o período e a pulsação do movi-
mento;
b) a função horária do movimento.
 Determine:
a) a amplitude e a pulsação do movimento;
b) os valores máximos da velocidade escalar e da 
aceleração escalar.
exercícios propostos
P. 407 Um corpo de massa 2 kg oscila livremente, sus pen-
so a uma mola helicoidal de massa desprezível. 
As posições ocupadas pelo corpo são regis tradas, 
por meio de um estilete preso a ele, em uma fita 
de papel vertical que se desloca horizon talmente, 
com velocidade constante v  0,20 m/s.
 Determine:
a) a frequência e a amplitude do movimento do 
corpo;
b) a constante elástica da mola;
c) a função horária do movimento do corpo, sa-
bendo que no instante t  0 a elongação é nula 
e o corpo está subindo.
Adote o sentido do eixo de ordenadas para cima.
Z S
O
R
0,1 m 0,1 m
x
0
0,3
– 0,3
1 2 t (s)
x (m)
O– 0,5 +0,5 x (m)
0 1 2 3 4 t (s)
x (m)
– 0,6
– 0,6
0,75 m
0,
20
 m
v
a) Determine a amplitude, a pulsação, a velocidade 
escalar máxima e a aceleração escalar máxima.
b) Construa os gráficos da velocidade escalar e da 
aceleração escalar em função do tempo.
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 Objetivos
 Reconhecer as 
associações de molas, 
em série ou em paralelo.
 Relacionar as 
constantes elásticas 
das molas nas 
associações, com a 
constante elástica da 
mola equivalente.
 Termos e conceitos
• mola equivalente
Para a associação em paralelo, a constante elástica da mola equiva-
lente é dada por:
De fato, vamos aplicar à associação em paralelo uma força de inten-
sidade F, de modo que as molas sofram a mesma deformação x. Nessa 
situação, a mola M1 fica sujeita a uma força de intensidade F1 e a mola M2, 
a uma força de intensidade F2 , tais que F1  k1x e F2  k2x (fig. 18A). 
A mola equivalente submetida à força de intensidade F sofre a mesma 
deformação x (fig. 18B). De F  F1  F2 , vem: kpx  k1x  k2x; logo:
kp  k1  k2
 Figura 18. (A) Associação em paralelo de duas molas; (B) mola equivalente.
k1
M1 M2
k2
x xF2F1
F
A
kp
F
x
B
Seção 16.4
kp  k1  k2
 
1
 __ 
ks
  
1
 __ 
k1
  
1
 __ 
k2
 
Para a associação em série, temos: 
Associação de molas
Considere duas molas M1 e M2 de constantes elásticas k1 e k2, respec-
tivamente. Essas molas podem ser associadas em paralelo ou em série 
(fig. 17). A associação é considerada em paralelo quando as molas do 
sistema sofrem deformações iguais. Em cada caso podemos, para efeito 
de cálculo, substituir as duas por uma só, chamada mola equivalente. 
Sejam kp e ks as constantes elásticas das molas equivalentes às asso-
ciações em paralelo e em série, respectivamente.
 Figura 17. (A) Associação de molas em paralelo; (B) associação de molas em série.
k1
k2
M1
M2
⇒
Mola
equivalente k s
BA
k1
M1 M2
k2 ⇒
Mola
equivalente
kp
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