Matemática-01-Moderna-Plus-0145-0147

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27 Considere o metro como unidade em um eixo real vertical Oy, orientado para cima, tal que a origem 
O seja um ponto do nível médio das águas do mar. Chama-se altitude de um ponto a ordenada 
desse ponto no eixo Oy. Por exemplo, na figura abaixo, a altitude do ponto A é 200 m, e a altitude 
de B é 2300 m.
 Uma perfuratriz inicia uma cavidade no ponto A com o objetivo de atingir um ponto a 2300 m de 
altitude. Uma previsão da altitude atingida pela broca, em metro, em função do tempo, em hora, é 
apresentada pelo gráfico a seguir.
12
�100
�300
200
y
x
a) Escreva a lei de associação entre x e y.
b) Em quantas horas, depois de iniciada a perfuração, a broca atingirá o nível do mar?
c) Quantas horas serão necessárias para a broca atingir o objetivo?
d) Por quanto tempo, durante a perfuração, a broca estará em pontos de altitude positiva?
e) Por quanto tempo, durante a perfuração, a broca estará em pontos de altitude negativa?
Resolva os exercícios complementares 16 a 19 e 55.
25 Estude o sinal de cada função.
a) f (x) 5 4x 2 8 c) f (x) 5 25x 1 10 e) f (x) 5 5x
b) f (x) 5 24x 1 8 d) f (x) 5 6x 2 12 f ) f (x) 5 23x
26 Discuta a variação de sinal da função y 5 ax 1 b, cujo gráfico é:
EXERCÍCIOS pROpOStOS
2
2
1
x
y
0
Nível
médio
do mar
O
A
�100
�200
�300
200
100
y
300
B
146
C
a
p
ít
u
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 4
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Fu
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19
98
.
CAP 4.indb 146 03.08.10 11:44:34
Inequação-produto e 
inequação-quociente
 Introdução
Para quais valores reais de x o produto dos números 2x 2 10 e 2x 1 3 
é positivo? Em outras palavras, quais são as soluções reais da inequação 
abaixo?
(2x 2 10)(2x 1 3) . 0
Essa inequação é chamada de inequação-produto. Para resolvê-la, 
podemos considerar f (x) 5 2x 2 10 e g(x) 5 2x 1 3, e representar no 
mesmo plano cartesiano os gráficos das duas funções. Nesse caso, que-
remos f 3 g . 0, e isso somente ocorrerá quando f e g tiverem o mesmo 
sinal. Assim, analisando os gráficos, devemos determinar os intervalos do 
domínio de f e g em que ambas tenham o mesmo sinal (para que o produto 
f 3 g seja positivo).
 Definições
Inequação-produto é toda inequação que pode ser apresentada sob 
uma das formas abaixo, em que f e g são funções quaisquer:
f (x) 3 g(x) . 0 f (x) 3 g(x) , 0 f (x) 3 g(x) % 0
f (x) 3 g(x) > 0 f (x) 3 g(x) < 0
Chama-se inequação-quociente toda inequação que pode ser apre-
sentada em uma das formas abaixo, em que f e g são funções quaisquer, 
com g(x) % 0.
 
f (x)
 ____ 
g(x)
 . 0 
f (x)
 ____ 
g(x)
 > 0 
f (x)
 ____ 
g(x)
 , 0 
f (x)
 ____ 
g(x)
 < 0 
f (x)
 ____ 
g(x)
 % 0
3 5
�10
3
y
f
g
x
Observe que:
• para x , 3, f é negativa e g é positiva;
• para 3 , x , 5, f é negativa e g é negativa;
• para x . 5, f é positiva e g é negativa.
Logo, as funções f e g têm o mesmo sinal para 3 , x , 5, portanto o 
conjunto solução S da inequação (2x 2 10)(2x 1 3) . 0, no universo dos 
números reais, é S 5 {x 9 Vo3 , x , 5}.
Neste tópico, você verá as definições de inequação-produto e de 
inequação-quociente, e também aprenderá a resolvê-las com o auxílio de 
um dispositivo prático.
 Objetivo
 Resolver inequações 
através do estudo do 
sinal da função afim.
Seção 4.3
147
S
e
ç
ã
o
 4
.3
 • 
In
e
q
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-p
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98
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CAP 4.indb 147 03.08.10 11:44:34
�
5
f
�
x
�
3
g
�
x
 Dispositivo prático
Na resolução da inequação (2x 2 10)(2x 1 3) . 0, podemos representar em um esquema 
a variação de sinal de cada função, f (x) 5 2x 2 10 e g(x) 5 2x 1 3, sem precisar construir os 
gráficos. Acompanhe.
1o) Estudamos a variação de sinal de cada uma das funções f( x) 5 2x 2 10 e g(x) 5 2x 1 3:
2x 2 10 5 0 ] x 5 5 2x 1 3 5 0 ] x 5 3
2o) Com as informações anteriores, construímos o seguinte quadro de sinais:
��
��
��
�
�
�
f
f � g
g
3 5
3 5
Os sinais da última linha foram obtidos pela regra de sinais para o produto f 3 g. Como nos 
interessa que esse produto seja positivo, pois queremos (2x 2 10)(2x 1 3) . 0, o conjunto so-
lução S da inequação é:
S 5 {x 9 Vo3 , x , 5}, ou ainda S 5 ]3, 5[
Essa mesma técnica é aplicada na resolução de inequações-quociente, conforme mostram 
os exercícios resolvidos 14 e 15. 
12 Resolver em V a inequação 
 (6x 2 12)(5 2 x)(2x 2 14) < 0.
13 Resolver em V a inequação 
(3x 1 6)4(2x 2 1)3(x 1 4) > 0.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Encontrando as raízes das funções f (x) 5 6x 2 12, 
g(x) 5 5 2 x e h(x) 5 2x 2 14 e estudando a variação 
de sinal de cada uma delas, temos:
Resolução
 Primeiro estudamos o sinal de cada função: 
 f (x) 5 (3x 1 6)4, g(x) 5 (2x 2 1)3 e h(x) 5 x 1 4.
•	 Raiz	de	f : (3x 1 6)4 5 0 ] 3x 1 6 5 0 
 } x 5 22
 Sinal de f : lembrando que toda potência de base 
real e expoente par é positiva ou nula, temos 
f(x) > 0 para todo x 9 V.
•	 Raiz	de	g: (2x 2 1)3 5 0 ] 2x 2 1 5 0
 } x 5 1 __ 
2
 
 Sinal de g: lembrando que toda potência de base 
real e expoente ímpar tem o mesmo sinal da 
base ou é nula, concluímos que a variação de 
sinal de g(x) 5 (2x 2 1)3 é a mesma da função 
y 5 2x 2 1. Ou seja:
 se x . 1 __ 
2
 , então g(x) . 0;
 se x , 1 __ 
2
 , então g(x) , 0.
f
f � g � h
g
h
� � ��
� � ��
� � ��
� � ��
2 5
5 7
7
2
 Os sinais da última linha foram obtidos pela regra 
de sinais para o produto f 3 g 3 h. Queremos que esse 
produto seja negativo ou nulo:
 (6x 2 12)(5 2 x)(2x 2 14) < 0
 Logo, o conjunto solução S é: 
 S 5 {x 9 Vo2 < x < 5 ou x > 7}, 
 ou ainda S 5 [2, 5] 0 [7, 1`[
�
g
� 1
2
x
EXERCÍCIOS pROpOStOS
148
C
a
p
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Fu
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19
98
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