Matemática-01-Moderna-Plus-0229-0231

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�3 �2 5 8
4
7
11
16
y
h
x
 Finalmente, o gráfico, o domínio e o conjunto imagem de h são dados por:
 D(h) 5 V
 Im(h) 5 {x 9 VOx > 4}
7 Construa o gráfico e determine o domínio e o con-
junto imagem de cada função:
a) f (x) 5 O4x 2 8O
b) g(x) 5 O25x 1 6O
c) h(x) 5 O2x2 2 6xO
d) f (x) 5 O2x2 1 x 1 6O
e) f (x) 5 2Ox2 1 3xO
f ) g(x) 5 O3x 1 9O 2 4
g) h(x) 5 Ox2 2 2x 2 8O 1 2
h) f (x) 5 2 2 O2x 2 4O
8 De um ponto P, a 20 m de altura em relação à super-
fície de um lago com 10 m de profundidade, cai uma 
pedra que atinge o fundo do lago. Considerando toda 
a trajetória da pedra, seja x a distância, em metro, 
da pedra ao ponto P até atingir o fundo do lago:
9 Considere a função f (x) 5 O2x 2 6O 1 3.
a) Construa o gráfico de f.
b) Determine os pontos do gráfico de f que têm 
ordenada 5.
c) Determine as abscissas dos pontos do gráfico de 
f que têm ordenada menor que 5.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 6 a 12 e 37.
a) Obtenha uma equação que expresse, em função 
de x, a distância d entre a pedra e a superfície do 
lago.
b) Construa o gráfico da função d obtida no item a.
10 Construa o gráfico e indique o domínio e o conjunto 
imagem de cada função.
a) f (x) 5 O2x 2 6O 1 3x
b) g(x) 5 O4x 1 2O 1 4x 2 1
c) f (x) 5 O4x 2 1O 1 O2x 1 7O
d) g(x) 5 O2x 2 1O 2 Ox 2 5O 1 3
11 Ao moldar chapas circulares de aço, uma máquina
 produz um erro igual a O d
2 2 d ______ 
100
 O , para mais ou para
 menos, do valor d do diâmetro projetado, com 
0 , d , 1,2 em metro.
 a) Esboce o gráfico da função
 f (d) 5 O d
2 2 d ______ 
100
 O , com 0 , d , 1,2
b) Para qual valor de d, com 0 , d , 1,2, o erro pro-
duzido pela máquina é máximo?
c) Qual o erro máximo, em metro, produzido pela 
máquina para 0 , d , 1,2?
12 (Uerj) O volume de água em um tanque varia com 
o tempo de acordo com a seguinte equação:
 V 5 10 2 O4 2 2tO 2 O2t 2 6O, com t 9 V1
 Nela, V é o volume medido em metro cúbico após t 
horas, contadas a partir das 8 h de uma manhã. De - 
termine os horários (inicial e final) dessa manhã em 
que o volume V permaneceu constante.
P
213
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o
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.2
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A
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CAP 6.indb 213 03.08.10 12:32:07
Observe que:
• o único ponto que dista zero unidade da origem é a própria origem, ou 
seja, o ponto O;
• existem dois pontos que distam 6 unidades da origem: os pontos de 
abscissas 6 e 26;
• se dois números têm o mesmo módulo, então esses números são iguais 
ou são opostos.
Essas observações nos ajudam a entender as seguintes 
propriedades:
Agora, considere a reta numérica abaixo.
Equações modulares
Uma indústria de azeite embala seus produtos em recipientes de 
capacidades diferentes. Para aprovar ou reprovar um lote fabricado, o 
departamento de controle de qualidade dessa indústria mede o conteúdo 
de cada recipiente de uma amostra de cada lote, admitindo um erro máxi-
mo de 0,4%, para mais ou para menos, no conteúdo indicado no rótulo da 
embalagem. Se em uma amostra de recipientes de azeite, cujos rótulos 
indicavam 500 mL, todos apresentaram erro máximo, as possíveis medi-
das x obtidas pelo controle de qualidade, para cada recipiente, podem ser 
indicadas pela equação:
O500 2 xO 5 2
Assim, concluímos que cada recipiente desse lote contém 502 mL ou 
498 mL.
Equações como essa, que apresentam o módulo de pelo menos uma ex-
pressão que tenha a incógnita, são chamadas de equações modulares.
Exemplos
• O31 2 xO 5 65 • 3x² 1 5OxO 2 1 5 0
• O4x 2 12O 5 Ox² 2 9O • 
1
 __ 
2
 1 x 5 Ox 2 1O
Para resolver essas equações, aplicamos algumas propriedades dos 
módulos, apresentadas a seguir.
Propriedades
Como o módulo é uma distância, temos:
P1. OxO > 0, para qualquer número real x 
P2. OxO 5 0 [ x 5 0
P3. Sendo d um número real positivo: OxO 5 d [ x 5 ±d
P4. Sendo x e y números reais: OxO 5 OyO [ x 5 ±y
 Objetivos
 Resolver equações 
modulares.
 Usar equações 
modulares na resolução 
de problemas.
Seção 6.3
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
0�1�2�3�4�5�6�7 1 2 3 4 5 6 7
O
R
ep
ro
du
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o 
pr
oi
bi
da
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.1
84
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C
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P
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 L
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 9
.6
10
 d
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19
 d
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fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 6.indb 214 03.08.10 12:32:09
10 Resolver em V as equações:
a) Ox 2 4O 5 27 c) O2x 2 8O 5 6 e) O3x 2 2O 5 2x 1 4
b) Ox2 2 9O 5 0 d) O3x 2 4O 5 O2x 1 6O
11 Resolver, em V, a equação x2 2 3OxO 2 4 5 0.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
a) Pela propriedade P1, temos Ox 2 4O > 0; logo, a equação Ox 2 4O 5 27 não tem raízes, 
portanto, seu conjunto solução S é vazio: S 5 ~
b) Pela propriedade P2, temos: 
 Ox2 2 9O 5 0 [ x2 2 9 5 0
 } x 5 ± 3
 Logo, S 5 {3, 23}.
c) Pela propriedade P3, temos:
 O2x 2 8O 5 6 [ 2x 2 8 5 6 ou 2x 2 8 5 26
 } x 5 7 ou x 5 1
 Assim, S 5 {7, 1}.
d) Pela propriedade P4, temos:
 O3x 2 4O 5 O2x 1 6O [ 3x 2 4 5 2x 1 6 ou 3x 2 4 5 22x 2 6
 } x 5 10 ou x 5 2 2 __ 
5
 
 Logo, S 5  10, 2 
2 __ 
5
  
e) Pela propriedade P1, devemos considerar a condição de existência do módulo:
 2x 1 4 > 0 ] x > 22
 Pela propriedade P3, temos:
 O3x 2 2O 5 2x 1 4 [ 3x 2 2 5 2x 1 4 ou 3x 2 2 5 22x 2 4
 } x 5 6 ou x 5 2 2 __ 
5
 
 Como as duas soluções satisfazem a condição de existência, então S 5  6, 2 
2 __ 
5
  .
Resolução
 Sabemos que x2 5 OxO2. Logo, a equação pode ser escrita na forma:
 OxO2 2 3OxO 2 4 5 0
 Fazendo OxO 5 t, temos: 
 t2 2 3t 2 4 5 0 ] t 5 4 ou t 5 21
 Assim: OxO 5 4 ] x 5 ± 4; ou OxO 5 21 ] Yx
 Logo: S 5 {4, 24}
Acrescentamos a essa lista de propriedades aquelas demonstradas no exercício resolvido 3, 
enumerando-as, conforme segue, para facilitar sua identificação:
P5. dll x2 5 OxO
P6. Ox 3 yO 5 OxO 3 OyO
P7. O 
x
 __ 
y
 O 5 
OxO
 ___ 
OyO
 , com y % 0
Nota:
Uma consequência da propriedade P6 é que: OxO2 5 x2, ux, com x 9 V
Observe:
OxO2 5 OxO 3 OxO 5 Ox 3 xO 5 Ox2O 5 x2, pois x2 > 0
215
S
e
ç
ã
o
 6
.3
 • 
Eq
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a
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e
s 
m
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s
CAP 6.indb 215 03.08.10 12:32:09