Matemática-01-Moderna-Plus-0301-0303

Prévia do material em texto

1 Calcular os logaritmos.
a) log32 64 c) log 3 dllllll 10.000 e) log0,1 0,0001
b) log25 
1 ____ 
125
 d) log 
 7 __ 
3
 
 9 ___ 
49
 
2 Dado log2 5 5 2,32, calcular log2 125.
3 Determinar o valor da expressão:
 E 5 7 log7 6 2 log4 4 1 log3 1
4 Determinar o valor da expressão: E 5 3 5 log3 2 
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
a) log32 64 5 x [ 32x 5 64
 Decompomos em fatores primos as bases 32 e 64:
 (25)x 5 26 ] 25x 5 26
 } 5x 5 6 ] x 5 6 __ 
5
 
 Assim: log32 64 5 6 __ 
5
 
b) log25 
1 ____ 
125
 5 x [ 25x 5 1 ____ 
125
 
 } 52x 5 523 ] 2x 5 23
 } x 5 2 3 __ 
2
 
 Assim: log25 
1 ____ 
125
 5 2 3 __ 
2
 
c) log 3 dllllll 10.000 5 x [ 10x 5 3 dllllll 10.000 
 } 10x 5 3 dlll 104 ] 10x 5 10 
4 __ 
3
 
 } x 5 4 __ 
3
 
 Assim: log 3 dllllll 10.000 5 4 __ 
3
 
d) log 
 7 __ 
3
 
 9 ___ 
49
 5 x [ @ 7 __ 
3
 # 
x
 5 9 ___ 
49
 
 } @ 7 __ 
3
 # 
x
 5 @ 3 __ 
7
 # 2 ] @ 7 __ 
3
 # 
x
 5 @ 7 __ 
3
 # 22
 
 } x 5 22
 Assim: log 
 7 __ 
3
 
 9 ___ 
49
 5 22
Resolução
 log2 125 5 log2 5
3 5 3 3 log2 5 5 3 3 2,32 5 6,96
Resolução
 Pela propriedade P5: 7 log7 6 5 6
 Por P1: log4 4 5 1
 Por P2: log3 1 5 0
 Assim:
 E 5 6 2 1 1 0 5 5
Resolução
 Por P3: 5 log3 2 5 log3 2
5 5 log3 32.
 Portanto:
 E 5 3 5 log3 2 5 3 log3 32 5 32
 (Nota: O valor 2,32 é um valor aproximado do log2 5. 
Com o intuito de simplificar os enunciados e as re-
soluções, em outras questões também adotaremos 
valores aproximados como se fossem valores exatos 
de logaritmos.)
propriedade P3
e) log 0,1 0,0001 5 x [ 0,1x 5 0,0001
 } @ 1 ___ 
10
 # 
x
 5 1 ____ 
104
 ] @ 1 ___ 
10
 # 
x
 5 @ 1 ___ 
10
 # 4 
 } x 5 4
 Assim: log 0,1 0,0001 5 4
1 Calcule os logaritmos.
a) log2 256 c) log 
 5 __ 
2
 
 125 ____ 
8
 e) log 10.000 g) log 
 8 ___ 
27
 
 16 ___ 
81
 i ) log0,5 0,125
b) log7 
1 ___ 
49
 d) log 
 3 __ 
2
 
 16 ___ 
81
 f ) log256 128 h) log 5 dllll 100 
2 Usando a tabela quando necessário, determine o valor da incógnita em cada um dos itens a seguir.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
x 2x 3x 10x
1 2 3 10
1,6 3,0314 5,7995 39,8107
2,3214 4,9981 12,8111 209,6042
8 256 6.561 100.000.000
10 1.024 59.049 10.000.000.000
a) log2 k 5 8 f ) log2 2 5 v
b) log3 m 5 8 g) log3 3 5 p
c) log2 y 5 2,3214 h) log 10 5 q
d) log3 t 5 2,3214 i ) log3 59,049 5 r
e) log u 5 2,3214 j ) log 39,8107 5 s
propriedade P5
286
C
a
p
ít
u
lo
 9
 • 
Fu
n
çã
o
 lo
g
a
rí
tm
ic
a
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 9.indb 286 03.08.10 12:54:09
3 Calcule os logaritmos a seguir sabendo que 
 log3 2 5 0,63.
a) log3 8 c) log3 
3
 dll 4 
b) log3 
1 ___ 
16
 
4 Determine o valor das incógnitas a, b e c em:
a) log2 a 5 2 c) c 3 log9 3 5 2c 1 1
b) log25 5
b 5 b 1 1
5 Calcule o valor de 5 dll 7 usando os valores apresenta-
dos na tabela:
6 (Mackenzie-SP) Se x 5 log3 2, então 92x 1 81 
x __ 
2
 é 
igual a:
a) 12 c) 18 e) 48
b) 20 d) 36
7 Chama-se cologaritmo de a na base b, com {a, b} - VR1 
e b % 1, o número 2logb a, isto é, cologb a 5 2logb a. 
Calcule os cologaritmos:
a) colog3 9 c) colog16 
1 __ 
8
 
b) colog25 125
8 (Unisinos-RS) As indicações R1 e R2, na escala 
Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela 
fórmula R1 2 R2 5 log N, em que N mede a razão 
entre as energias liberadas pelos dois terremotos, 
sob a forma de ondas que se propagam pela cros-
ta terrestre. Supondo que houve um terremoto 
correspondente a R1 5 8 e outro correspondente a 
R2 5 5, então N é igual a:
a) log 8 __ 
5
 c) log3 10 e) 103
b) 8 __ 
5
 d) 3
9 (Unirio-RJ) Um médico, após estudar o crescimento 
médio das crianças de determinada cidade, com 
idades que variam de 1 a 12 anos, obteve a fórmu-
la h 5 log @ 100,7 3 dl i # , em que h é a altura, em metro, 
e i é a idade, em ano. Pela fórmula, uma criança de 
10 anos dessa cidade terá a altura de:
a) 120 cm. d) 128 cm.
b) 123 cm. e) 130 cm.
c) 125 cm.
x log x
7,00 0,85
1,48 0,17
10 O tempo n, em ano, para que um capital de 
R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juro composto de 10% 
ao ano, produza o montante de R$ 1.430,00, é:
a) n 5 log1,43 1,1
b) n 5 log1,1 1,43
c) n 5 log1,43 1
d) n 5 log1,1 1,1
e) n 5 log1,1 (1,43)2
11 Como vimos no capítulo anterior, todo número real 
não nulo pode ser representado na forma k 3 10m, 
em que k é um número real, com 1 < OkO , 10, e m é 
um número inteiro. Essa forma de representação é 
conhecida como notação científica. Por exemplo:
 32.920.000 5 3,292 3 107
 0,00458 5 4,58 3 1023
 Represente em notação científica o número 8105, 
sabendo que log 2 5 0,3 e log 3,2 5 0,5.
Resolva os exercícios complementares 1 a 7 e 53 a 60.
 Outras propriedades dos logaritmos
Sendo a, b e c números reais positivos, com b % 1, temos:
De fato, sendo (logb a 5 x [ bx 5 a) e (logb c 5 y [ by 5 c), podemos afirmar que bx 3 by 5 a 3 c, 
o que equivale a bx 1 y 5 ac.
Pela definição de logaritmo, temos:
bx 1 y 5 ac [ x 1 y 5 logb ac
Portanto: logb a 1 logb c 5 logb ac
P6. logb ac 5 logb a 1 logb c
Exemplos
a) log3 (9 3 3) 5 log3 9 1 log3 3 b) log2 (32 3 4) 5 log2 32 1 log2 4
287
S
e
ç
ã
o
 9
.1
 • 
Lo
g
a
ri
tm
o
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 9.indb 287 03.08.10 12:54:10
De fato, sendo (logb a 5 x [ bx 5 a) e (logb c 5 y [ by 5 c), podemos afirmar que 
bx
 __ 
by 5 
a
 __ 
c
 , o
que é equivalente a bx 2 y 5 
a
 __ 
c
 .
Pela definição de logaritmo, temos:
bx 2 y 5 
a
 __ 
c
 [ x 2 y 5 logb 
a
 __ 
c
 
Portanto: logb a 2 logb c 5 logb 
a
 __ 
c
 
Exemplos
a) log5 
25
 ___ 
5
 5 log5 25 2 log5 5 b) log2 
64
 ___ 
4
 5 log2 64 2 log2 4
De fato, sendo (logb a 5 x [ bx 5 a), (logk a 5 y [ ky 5 a) e (logk b 5 z [ k z 5 b), podemos 
afirmar que: bx 5 a 5 ky ] bx 5 ky
Como b 5 k z, temos:
 bx 5 ky ] (k z)x 5 ky
 } kzx 5 ky ] zx 5 y
 } x 5 
y
 __ 
z
 
Portanto: logb a 5 
logk a
 ______ 
logk b
 
Exemplos
a) log27 81 5 
log3 81
 _______ 
log3 27
 b) log32 16 5 
log2 16
 _______ 
log2 32
 
5 Dados log5 7 5 1,21 e log5 2 5 0,43, calcular:
a) log5 14 b) log5 3,5 c) log2 7 d) log5 28 e) log5 0,7 f ) log14 dll 7 
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
b) log5 3,5 5 log5 
7 __ 
2
 5 log5 7 2 log5 2 5 1,21 2 0,43 5 0,78
propriedade P7
Nota:
O principal objetivo de Neper, criador dos logaritmos, foi atingido com as propriedades P6 e 
P7, pois, por meio delas, as multiplicações e divisões são transformadas em adições e subtra-
ções, respectivamente. Com isso, a partir da publicação dos logaritmos, em 1614, os cientistas 
tiveram seu trabalho com cálculos significativamente atenuado. O surgimento das calculadoras 
eletrônicas eliminou definitivamente as dificuldades de cálculos.
P7. logb 
a
 __ 
c
 5 logb a 2 logb c
P8. Mudança de base: logb a 5 
logk a
 ______ 
logk b
 (uk, com k 9 VR1 e k % 1)
propriedade P6
a) log5 14 5 log5 (7 3 2) 5 log5 7 1 log5 2 5 1,21 1 0,43 5 1,64
288
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 9.indb 288 03.08.10 12:54:11