Logaritmos e Potenciação

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA COM
ADILSON
Logaritmos
Com Prof. Adilson Longen 
Log
LOGARITMOS 
Aula 01 – Potenciação: retomada – teoria 
Aula 02 – Potenciação: retomada – prática 
Aula 03 – Função exponencial – teoria 
Aula 04 – Função exponencial – prática 
Aula 05 – Aplicações de funções exponenciais – teoria 
Aula 06 – Aplicações de funções exponenciais – prática 
Aula 07 – Logaritmo: conceitos iniciais – teoria 
Aula 08 – Logaritmo: conceitos iniciais – prática 
Aula 09 – Propriedades operatórias de logaritmos – teoria 
Aula 10 – Propriedades operatórias de logaritmos – prática 
Aula 11 – Mudança de base em logaritmos – teoria 
Aula 12 – Mudança de base em logaritmos – prática 
Aula 13 – Função logarítmica – teoria 
Aula 14 – Função logarítmica – prática 
Aula 15 – Aplicações de logaritmos – questões especiais 
aula 1 
POTENCIAÇÃO: RETOMADA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Retomar conceitos de potenciação
• Retomar as propriedades de potenciação
• Resolver problemas relacionados às propriedades de potenciação.
No lançamento de uma moeda, existem 2 resultados possíveis para a face voltada para cima. E se lançarmos 
essa mesma moeda n vezes, qual o total de possíveis sequências formadas por todos os resultados? 
A potenciação, nessa situação, representa uma multiplicação de fatores iguais. O expoente natural indica 
quantas vezes esse fator está sendo utilizado. Resumimos a seguir algumas propriedades relacionadas à potenciação. 
Essas propriedades são importantes, pois minimizam o trabalho nos cálculos envolvendo potências. 
1ª propriedade 
Na multiplicação de potências de mesma base, o resultado é obtido conservando-se a base e adicionando-se os 
expoentes. Em símbolos: 
m n m na a a + =
2ª propriedade 
Na divisão de potências de mesma base, o resultado é obtido conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes. 
Em símbolos: 
m
m n m n
n
a
a a a
a
− = =
Observação: 
A partir dessas duas propriedades destacamos duas consequências para uma base diferente de zero: 
(I) 
0a 1=
(II) 
n
n
1
a
a
− =
3ª propriedade 
Na potência de uma potência, o resultado é obtido conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes. Em 
símbolos: 
( ) =
n
m m na a
Cuidado! 
Algumas representações matemáticas, embora parecidas, têm significados diferentes: ( ) 
nn
m ma a . 
4ª propriedade 
Na potência de um produto, o resultado é obtido elevando-se cada fator do produto ao mesmo expoente. Em símbolos: 
( )
n n na b a b = 
Número de possíveis sequências de resultados: 
 ( ) n
n vezes
2 2 2 2 2 ... 2 2      =
5ª propriedade 
Na potência de um quociente, o resultado é obtido elevando-se o numerador e o denominador ao mesmo expoente. 
Em símbolos, considerando b diferente de zero: 
n n
n
a a
b b
 
= 
 
Aplicações de apoio teórico 
01. Calcular o valor da expressão 
2 3
3 4E 27 16= +
02. Um número real x tal que kx 10=   está na notação científica quando k é um número inteiro e  )1,10 . Sabendo 
que a distância da Terra à Lua é 384 000 000 m, escreva essa medida na notação científica. 
03. Utilizando propriedades de potenciação e fatoração, calcule o valor numérico da expressão E considerando que:
98 50 34
99 25 101
3 9 27
E
3 81 3
− +
=
− +
04. Sabe-se que x3 2= para algum número real x. Calcule, a partir dessa informação o valor numérico de y na 
igualdade abaixo: 
2x 3x 4x 5xy 3 3 3 3= + + +
05. Utilizando propriedades de potenciação, determine o valor numérico da expressão x abaixo independentemente do
valor do expoente m.
m 3 m 1
m 1
7 7
x
7
+ +
−
+
=
06. (EPCAR) Considere 50a 11= , 100b 4= e 150c 2= e assinale a alternativa correta 
a) c a b 
b) c b a 
c) a b c 
d) a c b 
07. (FATEC SP) Se x e y são números reais tais que
0,25x 0,25= e 
0,125y 16−= , é verdade que: 
a) x y=
b) x y
c) x y− é um número irracional 
d) x y+ é um número racional não inteiro. 
aula 2 
POTENCIAÇÃO: RETOMADA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Retomar conceitos de potenciação
• Retomar as propriedades de potenciação
• Resolver problemas relacionados às propriedades de potenciação.
01. (UFCE) O expoente do número 3 na decomposição por fatores primos positivos do número natural 63 6110 10− é 
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
02. (UTFPR) O valor numérico da expressão
( )
11 1
32 4
2
36 8 625
0,5
−
− +
−
representa um número: 
a) racional positivo
b) racional negativo
c) inteiro positivo
d) irracional negativo
e) irracional positivo
03. (UFRGS) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo.
Esse número de bactérias pode ser escrito como
a) 910
b) 1010
c) 1110
d) 1210
e) 1310
04. (PUC RJ) O valor da expressão 5 45100 10 3 10− − +  é igual a: 
a) 0,0513
b) 5,13
c) 0,5103
d) 3,51
e) 540 000
05. (IFCE) Simplificando a expressão 
23
2324 8 2 0,75
−
−
 
+ −  
 
, obtemos 
a) 
8
25
b) 
16
25
c) 
16
3
d) 
21
2
e) 
32
3
06. (CEFET MG) O valor da expressão n
n 2 2n 2
72
9 3+ +−
é 
a) 23−
b) 13−
c) 3
d) 23
07. (UFPB) A metade do número 
21 122 4+ é: 
a) 
20 232 2+ 
b) 
21
622 4+
c) 
12 212 4+
d) 
20 62 4+
e) 
22 132 4+
08. (ENEM) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do
corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a
sua massa m pela fórmula 
2
3A k m=  , em que k é uma constante positiva. Se no período que vai da infância até a 
maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal? 
a) 3 16 
b) 4
c) 24
d) 8
e) 64
09. (CEFET SP) “Já falei um bilhão de vezes para você não fazer isso...” Qual filho nunca ouviu esta frase de seu pai?
Suponhamos que o pai corrija seu filho 80 vezes ao dia. Quantos dias levará para corrigi-lo um bilhão de vezes?
a) 51,25 10
b) 61,25 10
c) 71,25 10
d) 81,25 10
e) 91,25 10
10. (IFSC) Sabendo que 100x 20= e
50y 400= pode-se afirmar que: 
a) x é igual a y
b) x é a metade de y
c) x é o dobro de y
d) x é igual ao quadrado de y
e) x é igual ao quadruplo de y
aula 3 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Conceituar função exponencial
• Elaborar gráfico de função exponencial
• Resolver equações exponenciais
• Resolver problemas relacionados às funções exponenciais
Você já ouviu falar em crescimento exponencial? 
O estudo de uma função exponencial tem como grande objetivo modelar fenômenos cujos crescimentos são 
acentuados. Entre eles está o do comportamento do crescimento de certas colônias de bactérias, a descrição de como 
uma substância radioativa se comporta ao longo do tempo etc. 
Função exponencial 
A função →f : definida por = xf(x) a , com  a 0 e a 1, é conhecida como função exponencial. 
• Exemplos de funções exponencias:
Observações importantes: 
• Sendo = xf(x) a com a 1o gráfico é de uma função crescente
• Sendo = xf(x) a com  0 a 1o gráfico é de uma função decrescente 
• O conjunto imagem de uma função exponencial é +
*
• Numa função exponencial tem-se que =m na a implica que =m n 
• Numa função exponencial se ( )1 2 3x ,x ,x ,... são números reais em progressão aritmética, então suas imagens, 
isto é, ( ) ( ) ( )( )1 2 3f x ,f x ,f x ,... , formam, na mesma ordem, uma progressão geométrica. 
Exemplo 1: 
A função exponencial definida por 
 é crescente. 
Exemplo 2: 
A função exponencial definida por 
 é crescente. 
Aplicações de apoio teórico 
01. Considere a função exponencia definida por = xf(x) 7 . Mostre que se ( )a,b,c,... é uma progressão aritmética de 
razão r, a sequência ( ) ( ) ( )( )f a ,f b ,f c ,... é uma progressão geométrica de razão r7
02. Sendo += +x 3f(x) 2 10 , determine o valor de x tal que =f(x) 42
03. Ao observar, em um microscópio, uma cultura de bactérias, um cientista percebeu que elas se reproduziam
conforme uma função exponencial. A leide formação que relaciona a quantidade de bactérias existentes com o tempo
é dada por ( ) =  t
oQ t Q 2 , em que oQ é a quantidade inicial de bactérias e t é o tempo em horas. Se nessa cultura havia, 
inicialmente, 700 bactérias, determine a quantidade de bactérias após 4 horas. 
04. (UFRGS) A função f, definida por xf(x) 4 2−= − , intercepta o eixo das abscissas em 
a) -2
b) -1
c) -1/2
d) 0
e) 1/2
05. (UECE) Se o número real k é a solução da equação x x9 8 3 9 0−  − = , então, o número k cumpre a seguinte
condição:
a) 1,5 k 3,5 
b) 7,5 k 9,5 
c) 5,5 k 7,5 
d) 3,5 k 5,5 
06. (FGV SP) No conjunto dos números reais, a equação exponencial x 2 x x 12 8 4+ ++ = possui 
a) zero raiz
b) uma raiz
c) duas raízes
d) três raízes
e) quatro raízes
07. (UFPR) A análise de uma aplicação financeira ao longo do tempo mostrou que a expressão 0,0625 tV(t) 1000 2 = 
fornece uma boa aproximação do valor V (em reais) em função do tempo t(em anos), desde o início da aplicação. 
Depois de quantos anos o valor inicialmente investido dobrará? 
a) 8
b) 12
c) 16
d) 24
e) 32
aula 4 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Conceituar função exponencial
• Elaborar gráfico de função exponencial
• Resolver equações exponenciais
• Resolver problemas relacionados às funções exponenciais
01. (ENEM) O crescimento de uma população de microrganismos é descrito pela expressão t /3K(t) 81 3 2=  + , em que
K(t) indica a quantidade de microrganismos em um meio de cultura em função do tempo t. O gráfico representa a 
evolução de K em relação ao tempo t. 
Com base nos dados, o valor de m é 
a) 
4
3
b) 
7
5
c) 
24
5
d) 12
e) 81
02. (CN RJ) Na natureza há bactérias que se multiplicam tão rapidamente que dobram de volume a cada minuto.
Partindo-se de uma bactéria, em 50 min um ambiente estará cheio de bactérias. Em quanto tempo, aproximadamente,
esse mesmo processo irá acontecer se o estudo for feito com duas bactérias idênticas.
a) 0,4 hora
b) 0,5 hora
c) 0,6 hora
d) 0,7 hora
e) 0,8 hora
03. (UNISC) O número de bactérias numa cultura, em função do tempo t (em horas), pode ser expresso por
0,75 tN(t) 256 2 = 
Em quanto tempo, em horas, o número de bactérias será igual a 2048? 
a) 2
b) 6
c) 8
d) 3
e) 4
04. (UECE) Seja f a função real de variável real definida por xf(x) 8 a=  , onde a é um número real positivo diferente de 
um. Se f(3) 125= , então, pode-se afirmar corretamente que ( ) ( )f 4 f 5 é igual a 
a) 
4
5
b) 
5
2
c) 
3
5
d) 
2
5
05. (UEMA) Numa concessionária de caminhões zero, o vendedor informou ao comprador que a lei matemática que
permite estimar a depreciação do veículo comprado é ( ) 0,04 tv t 65000 4− =  , em que v(t) é o valor, em reais, do
caminhão, t anos após a aquisição como zero na concessionária. Segundo a lei da depreciação indicada, o caminhão 
valerá um oitavo do valor de aquisição com 
a) 37,5 anos
b) 7,5 anos
c) 25 anos
d) 8 anos
e) 27,5 anos
06. (UECE) Se f : → é a função definida por ( )
x x2 2
f x
2
−+
= , então, o número de elementos do conjunto 
 x , tais que f(x) 1 = é igual a 
a) 0
b) 2
c) 1
d) 3
07. (ESPCEX SP) A figura mostra um esboço do gráfico da função xf(x) a b= + , com a e b reais, a 0 , a 1 e 
b 0 . Então, o valor de ( ) ( )f 2 f 2− − é igual a 
a) 
3
4
−
b) 
15
4
−
c) 
1
4
−
d) 
7
6
−
e) 
35
6
−
08. (ENEM) Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma
dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa
população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial kt
oN(t) N e=  , em que oN é o 
número de bactérias no instante do início da observação ( t = 0 ) e representa uma constante real maior que 1, e k é 
uma constante real positiva. Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado. Cinco 
horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi 
a) o3N
b) o15N
c) o243N
d) o360N
e) o729N
09. (UPF RS) Na figura abaixo, está representado um triângulo retângulo em que os vértices A e B pertencem ao
gráfico da função f, definida por xf(x) 2 2−= − . 
Como indica a figura, a abscissa do triângulo B é 1, a ordenada do ponto A é 2 e os pontos A e C têm a mesma 
abscissa. A medida da área do triângulo ABC é 
a) 
21
2
b) 
3
2
c) 6 
d) 12
e) 
21
4
10. (USF SP) Em um experimento, o número de bactérias presentes nas culturas A e B, no instante t, em horas, é
dado, respectivamente, por: t 1A(t) 10 2 238−=  + e t 2B(t) 2 750+= + . De acordo com essas informações, o tempo 
decorrido, desde o início desse experimento, necessário para que o número de bactérias presentes na cultura A seja 
igual ao da cultura B é 
a) 5 horas
b) 6 horas
c) 7 horas
d) 9 horas
e) 12 horas.
aula 5 
APLICAÇÕES DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Resolução de inequações exponenciais
• Identificação de aplicações de funções exponenciais
• Resolver problemas relacionados às aplicações de funções exponenciais
Fenômenos cujos crescimentos são muito acentuados geralmente podem ser descritos, ou de forma 
equivalente, modelados, por meio de uma função exponencial. Aqui você irá observar exemplos importantes 
relacionados às aplicações de funções exponenciais. 
Exemplo 1: 
Juros compostos 
O montante M gerado por um capital C, aplicado a uma taxa i na modalidade de juros compostos, após t períodos 
pode ser calcula por meio da relação matemática 
( ) ( )=  +
t
M t C 1 i
(Se a taxa i for ao mês o tempo t é dado em meses, se a taxa i for ao ano o tempo t é dado também em anos) 
Exemplo 2: 
Número de Bactérias 
Em certas condições, o número N de bactérias de uma cultura, é dado pela função 

= 
1
t
12N(t) 30 2 , onde t representa 
o tempo em horas e 30 representa a quantidade inicial de bactérias.
• Nesse exemplo, fazendo t = 0, podemos determinar o valor inicial de bactérias:

= 
=  → =
1
0
12
0
N(0) 30 2
N(0) 30 2 N(0) 30
• Para calcular o tempo necessário para que esse número duplique, fazemos N = 60, isto é:


= 
=
=  → =
1
t
12
1
t
1 12
60 30 2
2 2
1
1 t t 12
12
Duplica em 12 horas.
Nas aplicações a seguir, outros exemplos da utilização de funções exponenciais serão encaminhados. Procure 
interpretar cada uma dessas situações. 
Aplicações de apoio teórico 
01. (FGV SP) Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que seu valor y, daqui
a x anos, será =  xy A k , em que A e k são constantes positivas. Se hoje o computador valor R$ 5 000,00 e valerá a 
metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será: 
a) R$ 625,00
b) R$ 550,00
c) R$ 575,00
d) R$ 600,00
e) R$ 650,00
02. Uma pessoa ingeriu 10 mg de certo medicamento. A função 
−
= 
t
4q(t) 10 2 representa, em miligramas, a quantidade 
presente desse medicamento no organismo, após t horas de sua ingestão. Nessas condições, a quantidade de tal 
medicamento presente no organismo dessa pessoa é igual a 5 mg em: 
a) 4 h
b) 5 h
c) 6 h
d) 7 h
e) 8 h
03. Obtenha a relação matemática ( )=  +
t
M(t) C 1 i que fornece o montante gerado pela aplicação financeira, na 
modalidade de juros compostos, de um capital C a uma taxa mensal i ao longo de t meses. 
04. (PUC MG) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias
após t horas é dado pela função = 
t
3n(t) 100 2 . Nessas condições, pode-se afirma que a população será de 51 200 
bactérias depois de; 
a) 1 dia e 3 horas
b) 1 dia e 9 horas
c) 1 dia e 14 horas
d) 1 dia e 19 horas
05. (UFPR) Uma pizza a 185ºC foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65ºC
será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da
pizza, em graus Celsius, possa ser descritaem função do tempo t, em minutos, pela expressão 0,8 tT 160 2 25− =  + .
Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? 
a) 0,65 minuto
b) 0,68 minuto
c) 2,5 minutos
d) 6,63 minutos
e) 10,0 minutos.
06. (ENEM) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa
causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em
experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a
população:
3tp(t) 40 2=  , 
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de 
bactérias, após 20 min, a população será 
a) reduzida a um terço
b) reduzida à metade
c) reduzida a dois terços
d) duplicada
e) triplicada
aula 6 
APLICAÇÕES DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Resolução de inequações exponenciais
• Identificação de aplicações de funções exponenciais
• Resolver problemas relacionados às aplicações de funções exponenciais
01. (UERJ) Diferentes defensivos agrícolas podem intoxicar trabalhadores do campo. Admita uma situação na qual,
quando intoxicado, o corpo de um trabalhador elimine, de modo natural, a cada 6 dias, 75% da quantidade total
absorvida de um agrotóxico. Dessa forma, na absorção de 50 mg desse agrotóxico, a quantidade presente no corpo
será dada por:
( )
t
6V(t) 50 0,25=  miligramas 
Assim, o tempo t, em dias, necessário para que a quantidade total desse agrotóxico se reduza à 25 mg no corpo do 
trabalhador é igual a: 
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
02. (FMC SP) Uma pessoa ingeriu 10 mg de certo medicamento. A função ( )
t
4q t 10 2
−
=  representa, em miligramas, a
quantidade presente desse medicamento no organismo, após t horas de sua ingestão. Nessas condições, a quantidade 
de tal medicamento presente no organismo dessa pessoa é menor do que 2,5 mg, após: 
a) 4 h
b) 5 h
c) 6 h
d) 7 h
e) 8 h
03. (UPE PE) Um experimento consiste em estudar um fenômeno que cresce exponencialmente. Para uma melhor
análise da curva de crescimento, a equipe responsável utilizou um software para representa-la geometricamente. A
equação dessa curva é dada por x pf(x) k 4 +=  , onde k e p são constantes positivas. A partir do software, observaram 
que f(5) 15= , resultado que divergia em muito da realidade. Após uma análise cuidadosa, perceberam que o gráfico 
estava posicionado incorretamente e, após alguns cálculos, verificaram que, para corrigir esse erro, seria necessário 
adicionar 3 unidades ao parâmetro p. Depois de fazer isso, todos os resultados tornaram-se compatíveis. 
Após o deslocamento que corrigiu a posição da curva, qual o real valor de f(5) obtido pelo software? 
a) 3375
b) 960
c) 750
d) 35
e) 18
04. (ENEM) O gráfico informa a produção registrada por uma indústria nos meses de janeiro, março e abril.
Por problemas logísticos, não foi feito o levantamento sobre a produção no mês de fevereiro. Entretanto, as informações 
dos outros três meses sugerem que a produção nesse quadrimestre cresceu exponencialmente, conforme aponta a 
curva de tendência traçada no gráfico. 
Assumindo a premissa de que o crescimento nesse período foi exponencial, pode-se inferir que a produção dessa 
indústria no mês de fevereiro, em milhar de unidade, foi 
a) 0
b) 120
c) 240
d) 300
e) 400
05. (UFRGS) A concentração de alguns medicamentos no organismo está relacionada com a meia-vida, ou seja, o
tempo necessário para que a quantidade inicial do medicamento no organismo seja reduzida pela metade. Considere
que a meia-vida de determinado medicamento é de 6 horas. Sabendo que um paciente ingeriu 120 mg desse
medicamento às 10 horas, assinale a alternativa que representa a melhor aproximação para a concentração desse
medicamento, no organismo desse paciente, às 16 horas do dia seguinte
a) 2,75 mg
b) 3 mg
c) 3,75 mg
d) 4 mg
e) 4,25 mg
06. (IFPE) Em uma pesquisa feita por alguns alunos do curso de Zootecnia, na disciplina de Avicultura, ofertada pelo
IFPE campus Vitória de Santo Antão, observou-se que, para o ano de 2015, o comportamento das variáveis das
condições de ofertas de insumos e produção avícola na Região Sul foi baseado em equações de regressão
exponencial. Considere 0,04 tA(t) 5 e =  a equação de regressão aproximada, com A sendo a área plantada, em ha, e t 
o tempo, em anos. Admitindo o ano de 2015 como t = 0, a área em 2020 será de (considere 0,2e 1,2 )
a) 6 hectares
b) 10,4 hectares
c) 10 hectares
d) 8,6 hectares
e) 8 hectares
07. (ULBRA RS) Em um experimento de laboratório, 400 indivíduos de uma espécie animal foram submetidos a testes
de radiação, para verificar o tempo de sobrevivência da espécie. Verificou-se que o modelo matemático que
determinava o número de indivíduos sobreviventes, em função do tempo era tN(t) C A=  , com o tempo t dado em dias 
e A e C dependiam do tipo de radiação. Três dias após o início do experimento, havia 50 indivíduos. Quantos indivíduos 
vivos existiam no quarto dia após o início do experimento? 
a) 40
b) 30
c) 25
d) 20
e) 10
08. (ITA SP) Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de 7 x é igual a 
a) 285
b) 286
c) 287
d) 288
e) 289
09. (IFSUL RS) Uma aplicação bancária é representada graficamente conforme figura a seguir.
M é o montante obtido através da função exponencial ( )
t
M C 1,1=  , C é o capital inicial e t é o tempo da aplicação. Ao 
final de 4 meses o montante obtido será de 
a) R$ 121,00
b) R$ 146,41
c) R$ 1210,00
d) R$ 1464,10
10. (ENEM) Um modelo de automóvel tem seu valor depreciado em função do tempo de uso segundo a função
tf(t) b a=  , com t em ano. Essa função está representada no gráfico.
Qual será o valor desse automóvel, em real, ao completar dois anos de uso? 
a) 48 000,00
b) 48 114,00
c) 48 600,00
d) 48 870,00
e) 49 683,00
aula 7 
LOGARITMOS: CONCEITOS INICIAIS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Conceituar logaritmo
• Calcular logaritmos
• Identificar consequências da definição de logaritmos
• Resolver problemas relacionados à definição de logaritmos
Os logaritmos surgiram na época das grandes navegações devido a uma necessidade de cálculos cada vez 
mais precisos na área de Astronomia. 
Conceito: 
Logaritmo é um exponente. 
Dizemos que é um expoente que se deve elevar uma determinada base, positiva e diferente de 1, para que o 
resultado seja um certo número. Em símbolos: 
 =  =x
alog N x a N
Nomenclatura: 


= → 


a
x : logaritmo
log N x N : logaritmando
a : base
Restrições: 
N 0 , a 0 e a 1
Exemplos: 
• =  =3
4log 64 3 4 64
• =  =10
2log 1024 10 2 1024
• −= −  =4
10log 0,0001 4 10 0,0001
• − 
= −  = 
 
3
5
1 1
log 4 5
125 125
Consequências da definição de logaritmo: 
A partir do conceito de logaritmo, são consequências imediatas (considerando as restrições para a existência de 
logaritmos): 
I) =alog 1 0
II) =alog a 1 
III) =n
alog a n
IV) =  =a alog M log N M N
Essas consequências são justificadas a partir da definição de logaritmo 
Observação: 
As calculadoras científicas fornecem logaritmos em duas bases diferentes: 
Aplicações de apoio teórico 
01. Sendo N 0 , a 0 e a 1, mostre que =alog N
a N
02. Calcule o valor de x na igualdade =0,01log 10000 x
Logaritmo decimal 
Base 10: 
Logaritmo natural 
Base e (2,718...): 
03. Utilizando o conceito de logaritmo calcule o valor da expressão E, conforme abaixo:
( ) ( )= +2 3 5 2E log log 81 log log 32
04. Considere as funções reais f e g definidas por = 2f(x) log x e = 3g(x) log x . Calculo o valor de +f(8) g(9)
05. (UFSM RS) A partir de dados do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), o
Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb)) para as séries iniciais do Ensino Fundamental da escola
Estatual Básica ProfessoraMargarida Lopes (Santa Maria – RS) pode ser representada pela expressão:
− 
= +  
 
2
t 1997
f(t) 5 log
8
Considere que f(t) representa o Ideb previsto para essa escola, de 2005 a 2013, é de: 
a) 5
b) 1
c) 1/2
d) 1/4
e) 0
06. (UFRGS) Se =loga 1,7 , =logb 2,2 e =logc 2,7 , então a, b, c, nesta ordem, formam uma
a) progressão geométrica de razão 10.
b) progressão geométrica de razão 10 . 
c) progressão geométrica de razão 0,5.
d) progressão aritmética de razão 0,5.
e) progressão aritmética de razão 10 . 
aula 8 
LOGARITMOS: CONCEITOS INICIAIS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Conceituar logaritmo
• Calcular logaritmos
• Identificar consequências da definição de logaritmos
• Resolver problemas relacionados à definição de logaritmos
01. (UFRGS) O número 2log 7 está entre 
a) 0 e 1
b) 1 e 2
c) 2 e 3
d) 3 e 4
e) 4 e 5
02. (CEFET MG) A solução, em , da equação −  =2x x6 4 6 0 é 
a) 0
b) 1
c) 4log 6
d) 6log 4
03. (Unicamp SP) A solução da equação na variável real x, ( )+ =xlog x 6 2 , é um número 
a) primo
b) par
c) negativo
d) irracional
04. (IFAL) Num determinado mês, a quantidade vendida Q de um certo produto, por dia, em uma loja, em função do
dia d do mês, é representada pela função = 2Q log d . Qual a quantidade vendida desse produto no dia 16 desse mês?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
05. (UFPR) Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num
determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula:
 
= − 
 
L
log 0,08x
15
Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm? 
a) 150 lumens
b) 15 lumens
c) 10 lumens
d) 1,5 lumens
e) 1 lúmen.
06. (INSPER SP) Considere N o menor número inteiro positivo tal que log ( )  log logN seja um inteiro não negativo. O 
número N, representado no sistema de numeração decimal, possui 
a) 2 algarismos
b) 3 algarismos
c) 10 algarismos
d) 11 algarismos
e) 100 algarismos
07. (UCPEL RS) Se =alog 1024 20 , então “a” vale 
a) 3 2
b) 2
c) 4 2
d) 4 3
e) 3
08. (INSPER SP) A quantidade de números inteiros existentes entre os primeiros 2011 termos da sequência
 
 
 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
log 1, log , log ,log ,log ,...,log ,...
2 3 4 5 n
é igual a 
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
09. (UFPR) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de
palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram
lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do
tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão
( )= −  + +S 18 log t 1 86
a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado?
b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%
aula 9 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LOGARITMOS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Relacionar propriedades de potenciação com propriedades de logaritmos
• Compreender as propriedades operatórias de logaritmos
• Resolver problemas relacionados às propriedades operatórias de logaritmos
Os logaritmos, na sua origem, foram criados para transformar uma operação em outra mais elementar. Assim, 
por meio de logaritmos temos: 
Essas transformações podem ser compreendidas como propriedades operatórias de logaritmos e, conforme 
as condições de existência dos logaritmos, são representadas por: 
1ª propriedade – logaritmo do produto 
( ) = +a a alog A B log A log B
Exemplo: 
( ) = +2 2 2log 10 5 log 10 log 5
2ª propriedade – logaritmo do quociente 
 
= − 
 
a a a
A
log log A log B
B
Exemplo: 
 
= − 
 
2 2 2
5
log log 5 log 3
3
3ª propriedade – logaritmo da potência 
= n
a alog A n log A
Exemplo: 
= 3
2 2log 5 3 log 5
Observações: 
1. Nas três propriedades as condições de existência dos logaritmos devem ser observadas;
2. É importante observar e interpretar essas propriedades não apenas transformando multiplicação, divisão e
potenciação em adição, subtração e multiplicação, respectivamente, mas também o caminho inverso.
3. Essas propriedades serão demonstradas a seguir, utilizando a definição de logaritmos e propriedades de
potenciação.
Multiplicação Adição 
logaritmo 
Divisão Subtração 
logaritmo 
Potenciação Multiplicação 
logaritmo 
Aplicações de apoio teórico 
01. Demonstre que ( ) = +a a alog A B log A log B . 
02. Demonstre que 
 
= − 
 
a a a
A
log log A log B
B
. 
03. Demonstre que = n
a alog A n log A
04. Numa calculadora você obtém os valores aproximados de =log2 0,30 e de =log3 0,48 . A partir desses valores
calcule: 
a) log60
b) log6400
05. (FGV SP) Adotando-se os valores =log2 0,30 e =log3 0,48 , a raiz da equação =x5 60 vale aproximadamente: 
a) 2,15
b) 2,28
c) 41
d) 2,54
e) 2,67
06. Determine o valor numérico de y na expressão a seguir:
= + −2 2 2log y 4 2log 2 log 10
07. (UFRJ) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estão em
progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.
08. (UNIFESP) O valor de x que é solução da equação ( )+ + − =10 10 10log 2 log x 1 log x 1é: 
a) 0,15
b) 0,25
c) 0,35
d) 0,45
e) 0,55
aula 10 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LOGARITMOS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Relacionar propriedades de potenciação com propriedades de logaritmos
• Compreender as propriedades operatórias de logaritmos
• Resolver problemas relacionados às propriedades operatórias de logaritmos
01. (MACK SP) Se  =log 6 e  =log 4 , então  24 é igual a: 
a) 
b) 24
c) 10
d) 
 
+
2 4
e) 6
02. (FGV SP) Consideremos os seguintes dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Nessas condições, o valor de log 15 é:
a) 0,78
b) 0,88
c) 0,98
d) 1,08
e) 1,18
03. (UNIFESP) O valor de 
( )    
 
 
2
2 4 6 ... 2n
log
n!
é 
a) n2
b) 2n
c) n
d) 22log n
e) 2log n
04. (UFC CE) O valor da soma 
       
+ + + +       
       
10 10 10
1 2 3 99
log log log ...
2 3 4 100
é: 
a) 0
b) -1
c) -2
d) 2
e) 3
05. (UERJ) O logaritmo decimal do numero positivo x é representado por log x. Então, a soma das raízes de
− =2 3log x logx 0 é igual a: 
a) 1
b) 101
c) 1000
d) 1001
06. (CEFET MG) O conjunto verdade da equação ( )= + +2logx log4 log x 3
a)  −2
b)  6
c)  −2;6
d)  −6;2
07. (PUC SP) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o número real que satisfaz a equação +=2x 3x 13 2 está compreendido entre 
a) -5 e 0
b) 0 e 8
c) 8 e 15
d) 15 e 20
e) 20 e 25
08. (CEFET CE) Sabendo que n 0 e n 1, com x 4 , e resolvendo a equação ( ) ( )n nlog x 5 3 log x 4+ = + − onde x é:
a) 
+
−
3
2
5 4n
n 1
b) 
−
−
3
3
5 4n
n 1
c) 
+
−
3
3
5 4n
n 1
d) 
−
−
3
2
4n 5
n 1
e) 
+
+
3
3
5 4n
n 1
09. (MACK SP) O preço de um imóvel é dado, em função do tempo t, em anos, por ( )= 
t
P(t) A 1,28 , sendo A o preço 
atual. Adotando log 2 = 0,3, esse imóvel terá o seu preço duplicado em: 
a) 1 ano
b) 2 anos
c) 3 anos
d) 3,5 anos
e) 2,5 anos
10. (UFES) Sabe-se que =10log 3 0,477 , aproximado até a terceira casa decimal. O número de algarismos do inteiro 
= 30N 30 é igual a 
a) 43
b) 44
c) 45
d) 46
e) 47
aula 11 
MUDANÇA DE BASE EM LOGARITMOS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar a necessidade de mudança de base
• Compreender e justificar o procedimento para mudança de base
• Resolver problemas relacionados à mudança de base
Na calculadora científica representada a seguir são fornecidas duas teclas para o cálculo de logaritmo de um 
número real positivo: base decimal e base natural (ou neperiana). 
Vamos imaginar que você tenha que calcular o logaritmo de um determinado número numa base diferente do 
que fornece a calculadora. Para resolver tal situação, você teria que efetuar uma mudança de base. Vamos 
exemplificar! 
Exemplo: 
Vamos calcular o valor de3log 7 . 
• Fazendo uma mudança para a base decimal:
=
=
=
 =
=
3
x
x
10 10
10 10
10
10
log 7 x
3 7
log 3 log 7
x log 3 log 7
log 7
x
log 7
• O logaritmo foi transformado no quociente de dois novos logaritmos na base 10. O que ocorreu foi uma
mudança de base.
Mudança de base 
Dado o logaritmo de um número real positivo N numa base b, positiva e diferente de um, a relação matemática que 
permite efetuar mudança de base é: 
 = a
b
a
log N
log N
log b
Base e Base 10 
Aplicações de apoio teórico 
01. Prove a propriedade sobre mudança de base, isto é, prove que: = a
b
a
log N
log N
log b
02. Considerando que =2log 3 x , determine, em função de x, o valor de 1000
1000
2
log 3 . 
03. Sendo a e b números reais maiores que 1, calcule o produto ( ) ( )= a bP log b log a
04. Determine o valor de x na expressão
( )
( )
=
log 625
x
log 25
05. (UFRGS) Se + =3 9log x log x 1, então o valor de x é: 
a) 3 2
b) 2
c) 3 3
d) 3
e) 3 9
06. (FUVEST SP) Se = 4x log 7 e = 16y log 49 , então −x y é igual a: 
a) 4log 7
b) log 7
c) 1
d) 2
e) 0
aula 12 
MUDANÇA DE BASE EM LOGARITMOS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar a necessidade de mudança de base
• Compreender e justificar o procedimento para mudança de base
• Resolver problemas relacionados à mudança de base
01. (UECE) A solução da equação ( ) ( ) ( ) ( )
− − − −
       + + + =       
1 1 1 1
2 3 4 5log x log x log x log x 2 é 
a) 2 30
b) 3 10
c) 2 10
d) 3 30
02. (IFCE) Considerando =7log 2 w , temos que o valor de 4log 14 pode ser expresso por 
a) 
+
2
w 1
b) 
+
2w
w 1
c) 
3w
2
d) 
2
w
e) 
+w 1
2w
03. (MACK SP) Se a, b e c são números reais positivos e diferentes de 1, e 3 =blog c k , então 
b a
c
log a log c
log b
é igual a 
a) 1
b) 
1
k
c) k
d) 2k
e) 
2k
04. (UDESC) Considerando =Ln10 2,3 , então o valor da expressão 
− +3Lna loga 2Lna
loga
 é igual a: 
a) 4
b) 10,5
c) 4a
d) 22,3a
e) 1,3
05. (FGV SP) O valor do número real b para o qual a igualdade + − =
2 25 8 b
11 1 3 1
log x 2log x log x log x
 é verdadeira para 
todo x 0 e x 1é 
a) 20
b) 50
c) 100
d) 250
e) 400
06. (UFRGS) Se =5log x 2 e =10log y 4 , então 
 
 
 
20
y
log
x
 é 
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
07. (MACK SP) Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão 3 2
A Blog B log A é 
a) 10
b) 6
c) 8
d) A B
e) 12
08. (UPF RS) Sendo =alog x 2 , =blog x 3 e =clog x 5 , o valor de abclog x é: 
a) 30
b) 31
c)
31
30
d)
30
31
e) 
1
3
09. (UECE) A soma das raízes reais da equação  +  − =2
2 43 log x 5 log x 32 0 é igual a 
a) 0
b) 15
c) 16
d) 32
aula 13 
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Conceituar função logarítmica
• Construir gráfico de funções logarítmicas
• Identificar o crescimento em gráficos de funções logarítmicas
• Resolver problemas relacionados às funções logarítmicas
Se no plano cartesiano representarmos os gráficos das funções +
→ *f : definida por = xf(x) 2 e também a 
função +
→*g : definida por = 2g(x) log x teremos o seguinte esboço: 
Essas duas funções são ditas funções inversas entre si. Graficamente, suas curvas são simétricas em relação 
à bissetriz dos quadrantes ímpares. Lembrando que para obter a inversa de uma função devemos trocar as variáveis 
e então isolar y, vamos partir da função exponencial e obter a sua inversa: 
−
=

=

=
= 
= → =
x
y
y
2 2
2 2
1
2 2
y 2
troca de var iáveis
x 2
aplicando logaritmo
log x log 2
log x y log 2
log x y f (x) log x
Função logarítmica 
Denomina-se função logarítmica à função +
→*f : definida por = af(x) log x , sendo a um número real positivo de 
diferente de 1. 
As funções exponencial e 
logarítmica, numa mesma base, 
são inversas entre si. 
Observações: 
1. Se a 1a função será crescente;
2. Se  0 a 1a função será decrescente; 
3. O conjunto imagem da função logarítmica é
4. Uma função logarítmica transforma valores que estão em progressão geométrica em valores que estão em
progressão aritmética.
Aplicações de apoio teórico 
01. Considere que ( )1 2 3x ,x ,x ,... estão em progressão geométrica de razão q. Mostre que a sequência 
( ) ( ) ( )  1 2 3f x ,f x ,f x ,... é uma progressão aritmética, sendo f definida por = af(x) log x , para a 0 e a 1. 
02. (UNICAMP SP) Se = 10f(x) log x e x 0 , então ( )
 
+ 
 
1
f f 100x
x
é igual a 
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
03. (ESPM SP) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazendo improdutiva no interior do país, dando origem a uma
pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função ( )2P 0,1 log x 1996= + − , 
onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. Considerando 2 1,4 , podemos concluir que a população
dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: 
a) 2005
b) 2002
c) 2011
d) 2007
e) 2004
04. (FGV SP) No plano cartesiano, os gráficos das funções reais definidas por ( )= +f(x) log 2x 12 e ( )= +100g(x) log x 6
intersectam-se em 
a) um único ponto, cuja abscissa é um número racional não inteiro.
b) um único ponto, cuja abscissa é um número inteiro.
c) um único ponto, cuja abscissa é um número irracional.
d) dois pontos, ambos de abscissa racional.
e) dois pontos, sendo um de abscissa racional e outro de abscissa irracional.
05. (INSPER SP) Psicólogos educacionais podem utilizar modelos matemáticos para investigar questões relacionadas
à memória e retenção da informação. Suponha que um indivíduo tenha feito um teste e que, depois de t meses e sem
rever o assunto do teste, ele tenha feito um novo teste, equivalente ao que havia feito anteriormente. O modelo
matemático que descreve situação de normalidade na memória do indivíduo é dado por ( )y 82 12 log t 1= −  + , sendo
y a quantidade de pontos feitos por ele no instante t. 
Após t meses da aplicação do teste inicial, a pontuação de um indivíduo no novo teste caiu para 70 pontos. Assim, é 
correto concluir que esse novo teste ocorreu t meses após o primeiro teste, com t igual a 
a) 11
b) 8
c) 15
d) 12
e) 9
06. Considere a função exponencial *f :
+
→ definida por xf(x) 5= . Obtenha a lei de formação da inversa de f, isto 
é, *f :
+
→ .
aula 14 
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Conceituar função logarítmica
• Construir gráfico de funções logarítmicas
• Identificar o crescimento em gráficos de funções logarítmicas
• Resolver problemas relacionados às funções logarítmicas
01. (FMJ SP) Considere os esboços dos gráficos das funções ( )2f(x) 4 log x 1= + + e
3x 28
g(x)
7
+
= , mostrados na 
figura. 
Sabendo-se que as intersecções desses dois gráficos ocorrem em pontos cujas coordenadas são expressas por 
números inteiros, a solução da inequação ( ) ( )f x g x é o conjunto
a)  x / x 0 e x 4  
b)  x / 0 x 7  
c)  x / x 0 e x 7  
d)  x / 0 x 4  
e)  x / 4 x 7  
02. No gráfico a seguir está representado um trapézio retângulo com vértices no eixo das abscissas e na curva definida
pela função 1/3f(x) 2 log (x)= − 
Calcule, em unidades de área, a área do trapézio.
3 9 
03. (UFJF MG) No plano cartesiano abaixo estão representados os gráficos das funções f, g e h, todas definidas no
conjuntos dos números reais positivos por ( ) af x log x= , ( ) bg x log x= e ( ) ch x log x= . 
O valor de ( )10log abc
a) 1
b) 3
c) 10log 3
d) 101 log 3+
e) ( ) ( ) ( )10 10 10log 2 log 3 log 5 
04. (FCM MG) Um estudante acompanha duas reações químicas A e B que evoluem ao longo de t segundos, com
velocidades AV (t) e BV (t) , dadas por ( )A 2V (t) log t 4= + e ( )2
B 4V (t) log t 3t 31= + + . Segundo orientações recebidas, 
determinado catalisador deve ser inserido no processo quando as velocidades das reações se igualarem. Iniciado o 
processo, essa ação será efetivada em: 
a) 1 s
b) 3 s
c) 4 s
d) 7 s
05. (UEPG PR) Considerando as funções definidas por ( ) x 1f x 2 +=e ( ) ( )2
2g x log x 1= − , assinale o que for correto. 
01) ( )( ) ( )2f g x 2 x 1= − 
02) Se g(x) 2= , então x é um número irracional.
04) Se f(x) 512= , então x é ímpar. 
08) O domínio da função g(x) é o intervalo  1;1−
06. (ENEM) Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de
altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que calcula
a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua
altura máxima de 40 centímetros. A fórmula é ( )2h 5 log t 1=  + , em que t é o tempo contado em dia e h, a altura da 
planta em centímetro. A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em dia, 
ela alcançará sua altura máxima? 
a) 63
b) 96
c) 128
d) 192
e) 255
07. (IFPE) Os alunos do curso de Meio Ambiente do campus Cabo de Santo Agostinho observaram que o número de
flores em uma árvore X segue o modelo matemático ( )2F(h) 16 log 3h 1= − + , onde F(h) é a quantidade flores após h
horas de observação. Após quanto tempo de observação esta árvore estará com apenas 10 flores?
a) 6 horas
b) 25 horas
c) 20 horas
d) 21 horas
e) 64 horas
08 (ESPCEX SP) A curva do gráfico abaixo representa a função 4y log x=
A área do retângulo ABCD é 
a) 12
b) 6
c) 3
d) 4
3
6log
2
 
 
 
e) 4log 6
aula 15 
APLICAÇÕES DE LOGARITMOS 
questões especiais 
O que se pretende? 
• Identificar aplicações de logaritmos
• Resolver problemas relacionados às aplicações de logaritmos
01. (IFAL) O potencial de hidrogênio (pH) das soluções é dado pela função: pH log H+ = −   , onde H+ 
  é a
concentração do cátion H+ ou 3H O+
na solução. Se, em uma solução, a concentração de H+ é 82 10− , qual o pH dessa 
solução? Adote: log2 0,3= 
a) 2,4
b) 3,8
c) 6,7
d) 7,7
e) 11
02. (FUVEST SP) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o
tempo de acordo com a seguinte fórmula:
( ) = +  2V(t) log 5 2sen t ,  0 t 2 , 
em que t é medido em horas e V(t) é medido em m3. A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0,2] ocorre no 
instante 
a) t = 0,4
b) t = 0,5
c) t = 1
d) t = 1,5
e) t = 2
03. Uma aplicação financeira que paga juros mensais de 1%, no regime de juros compostos, qual o tempo necessário
para um capital duplique se não houver retirada e nem depósito?
04. (ENEM) Um casal decidiu aplicar em um fundo de investimentos que tem uma taxa de rendimentos de 0,8% ao
mês, num regime de capitalização composta. O valor final F a ser resgatado, depois de n meses, a uma taxa de
rendimento mensal x, é dado pela expressão algébrica ( )
n
F C 1 x= + , em que C representa o capital inicial aplicado. O
casal planeja manter a aplicação pelo tempo necessário para que o capital inicial de R$ 100 000,00 duplique, sem 
outros depósitos ou retiradas. Fazendo uso da tabela, o casal pode determinar esse número de meses. 
Para atender ao seu planejamento, o número de meses determinado pelo casal é 
a) 156
b) 125
c) 100
d) 10
e) 1,5
05. (UFPR) Um tanque contém uma solução de água e sal cuja concentração está diminuindo devido à adição de mais
água. Suponha que a concentração Q(t) de sal no tanque, em gramas por litro (g/L), decorridas t horas após o início
da diluição, seja dada por
0,3 tQ(t) 100 5− = 
Assinale a alternativa que mais se aproxima do tempo necessário para que a concentração de sal diminua para 50 g/L. 
(Use log 5 = 0,7) 
a) 4 horas e 45 minutos
b) 3 horas e 20 minutos
c) 2 horas e 20 minutos
d) 1 hora e 25 minutos
e) 20 minutos
06. (ENEM) Em março de 2011, um terremoto de 9,0 de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares
de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter
atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida pela escala Richter, é
0
A
R log
A
 
=  
 
 , em que A é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, 0A é uma 
referência e log representa o logaritmo na base 10. 
A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é 
a) 1,28
b) 2,0
c) 9/710
d) 100
e) 9 710 10−
07. (UEL PR) Um pesquisador estuda uma população e determina que a equação 9 15N t 10−=  descreve a incidência 
de câncer, representada por N, em função do tempo t. Ele observa que N cresce rapidamente, o que dificulta a análise 
gráfica dessa relação. Por isso, o pesquisador decide operar simultaneamente com as variáveis N e t a fim de 
representa-las no plano cartesiano xOy. Para esse fim, suponha que o pesquisador escolha uma base b, positiva e 
distinta de 1, e que ele considere as seguintes operações para N > 0 e t > 0; 
b
b
x log (t)
y log (N)
=

=
Suponha que y 9x 1= + seja a equação que descreve a semirreta que o pesquisador obteve no plano cartesiano xOy, 
e recordando que b1 log b= , assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a escolha da base b feita pelo 
pesquisador. 
a) 1
b) 9
c) 159
d) 910−
e) 1510−
08. (UFU MG) Um indivíduo com uma grave doença teve a temperatura do corpo medida em intervalos curtos e
igualmente espaçados de tempo, levando a equipe médica a deduzir que a temperatura corporal T do paciente, em
cada instante t, é bem aproximada pela função t /100T 36 10=  , em que t é medido em horas, e T em graus Celsius. 
Quando a temperatura corporal deste paciente atingir os 40ºC, a equipe médica fará uma intervenção, administrando 
um remédio para baixar a temperatura. Nessas condições, quantas horas se passarão desde o instante t = 0 até a 
administração do remédio? 
Use 10log 9 0,95=
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
09. (ESPM SP) A taxa de crescimento populacional de um país é de 2% ao ano. Utilizando os dados da tabela abaixo
e considerando que essa taxa permanecerá constante, podemos afirmar que a população desse país dobrará em:
a) 15 anos
b) 20 anos
c) 25 anos
d) 30 anos
e) 35 anos