Problemas de Geometria e Cálculo

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35 (Enem) Quatro estações distribuidoras de energia 
A, B, C e D estão dispostas como vértices de um 
quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir 
uma estação central que seja ao mesmo tempo 
equidistante das estações A e B e da estrada (reta) 
que liga as estações C e D. A nova estação deve ser 
localizada:
a) no centro do quadrado;
b) na perpendicular à estrada que liga C e D passan-
do por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada;
c) na perpendicular à estrada que liga C e D passan-
do por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada;
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, 
oposto a essa base;
e) no ponto médio da estrada que liga as estações 
A e B.
36 De um ponto C, o piloto de um avião avista um ponto 
A na cabeceira da pista de um aeroporto, a 7 km de 
distância, sob um ângulo de 45w com a vertical CB, 
conforme mostra a figura abaixo. A que altura, em 
relação à pista do aeroporto, está o avião?
37 Um cabo de aço de 10 m de comprimento é esticado 
do topo de um poste a um ponto de um terreno 
plano e horizontal, de modo que o ângulo entre o 
cabo e o solo mede 30w.
B
C
A
45°
7 km
30°
 Calcule a altura do poste.
38 Na construção da estrutura de um telhado, um 
carpinteiro montou um triângulo isósceles formado 
por três vigas, de 5 m, 5 m e 8 m. Para dar rigidez 
à estrutura, ele fez uma triangulação conforme o 
esquema abaixo.
39 Para calcular o comprimento de um túnel que será 
construído em linha reta, ligando dois pontos, A e B, 
da base de uma montanha, um topógrafo posicionou 
seu teodolito em um ponto C tal que m(ACB) 5 90w;
a seguir, mediu as distâncias AC e BC, obtendo
60 m e 80 m, respectivamente.
5 m5 m
4 m 4 m
 Quantos metros de viga foram usados nessa 
peça?
A B
C
 O comprimento do túnel, em metro, será:
a) 120 d) 80
b) 100 e) 92
c) 110
40 A órbita de um satélite artificial é uma circunferên-
cia de raio 30.000 km, concêntrica com a Terra. Um 
asteroide cruzou essa órbita, determinando uma 
corda de 20.000 km. Nessa trajetória, calcule:
a) a menor distância entre o asteroide e o centro 
da Terra;
b) a menor distância entre o asteroide e a superfície 
da Terra, sabendo que o raio do nosso planeta 
mede 6.370 km e considerando dll 2 5 1,4.
 (Nota: Circunferências concêntricas têm o mesmo 
centro.)
34 (Vunesp) Um observador situado num ponto O, lo-
calizado na margem de um rio, precisa determinar 
sua distância até um ponto P, localizado na outra 
margem, sem atravessar o rio. Para isso, marca, com 
estacas, outros pontos do lado da margem em que se 
encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados 
entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo 
a BC, OA 5 25 m, BC 5 40 m e OB 5 30 m, conforme 
mostra a figura. 
P
AO
B C
rio
 A distância, em metro, do observador em O até o 
ponto P é:
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
EXERCÍCIOs dE REvIsÃO CUmUlatIva
Ao concluir o estudo deste capítulo, resolva 
estes exercícios, que envolvem alguns assuntos 
estudados nos capítulos anteriores.
3 Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado em regime 
de juro composto à taxa de 10% ao ano.
a) Escreva a lei que expressa o montante acumulado 
f (x), em real, em função do tempo x, em ano.
b) Escreva a lei que expressa o tempo g(x), em ano, 
em função do montante x, em real, acumulado 
pela aplicação.
c) Qual é a inversa da função f (x) obtida no item a?
1 Uma função f real, de variável real, obedece às se-
guintes condições:
I. f (a 1 b) 5 a 1 f (b) II. f (0) 5 4
 Calcule:
a) f (1) c) ∑ 
j 5 1
 
20
 f ( j) 
b) f (100)
2 Uma função real, de variável real, obedece às se-
guintes condições:
I. f (ab) 5 a 3 f (b) II. f (1) 5 3
 Calcule:
a) f (2) b) f (10) c) ∑ 
j 5 1
 
10
 f ( j) 
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CAP 10.indb 370 03.08.10 13:14:00
EQUADOR
Quito
Cingapura
OCEANO
OCEANO
ÍNDICO
OCEANO
PACÍFICO
ATLÂNTICO
6.870 km
Localização: Quito e Cingapura
41 (Enem) As cidades de Quito e Cingapura encon-
tram-se próximas à linha do Equador e em pontos 
diametralmente opostos no globo terrestre. Consi-
derando o raio da Terra igual a 6.370 km, pode-se 
afirmar que um avião saindo de Quito, voando em 
média 800 km/h, descontando as paradas de escala, 
chega a Cingapura em aproximadamente:
44 Uma placa retangular de aço tem 60 cm de com-
primento por 30 cm de largura. Dessa placa será 
retirado o maior número possível de arruelas com 
1,5 cm de raio externo e 0,5 cm de raio interno. Que 
área, em centímetro quadrado, dessa placa será 
utilizada para a fabricação das arruelas?
45 A planta de um apartamento foi desenhada na 
escala 1 4 50. A representação do piso de uma sala 
nessa planta tem 168 cm2 de área. Qual é a área real 
do piso dessa sala, em m2?
42 O velocímetro de um automóvel registra a velo cidade 
de acordo com o número de voltas do pneu por 
unidade de tempo. Para que a velocidade registrada 
pelo velocímetro seja a velocidade real do veículo, é 
necessário que a calibragem dos pneus seja aquela 
especificada no manual do proprietário. Suponha 
que os pneus sejam calibrados fora da especificação, 
de modo que o diâmetro de cada pneu aumente 
1%. De acordo com essa suposição, quando o ve-
locímetro assinalar 120 km/h, a velocidade real do 
veículo será de:
a) 118,8 km/h
b) 121,2 km/h
c) 122,1 km/h
d) 123,1 km/h
e) 124,1 km/h
43 (Unicamp-SP) Um terreno tem a forma de um tra-
pézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e 
as seguintes dimensões:
 AB 5 25 m, BC 5 24 m, CD 5 15 m
a) 16 horas c) 25 horas e) 36 horas
b) 20 horas d) 32 horas
A B
CD
a) Se cada metro quadrado desse terreno vale 
R$ 50,00, qual é o valor total do terreno?
b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de 
mesma área, por meio de três segmentos para-
lelos ao lado BC. Faça uma figura para ilustrar 
sua resposta, indicando nela as dimensões das 
divisões no lado AB.
0,5 cm
1,5 cm
EXERCÍCIOs dE REvIsÃO CUmUlatIva
Ao concluir o estudo deste capítulo, resolva 
estes exercícios, que envolvem alguns assuntos 
estudados nos capítulos anteriores.
3 Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado em regime 
de juro composto à taxa de 10% ao ano.
a) Escreva a lei que expressa o montante acumulado 
f (x), em real, em função do tempo x, em ano.
b) Escreva a lei que expressa o tempo g(x), em ano, 
em função do montante x, em real, acumulado 
pela aplicação.
c) Qual é a inversa da função f (x) obtida no item a?
1 Uma função f real, de variável real, obedece às se-
guintes condições:
I. f (a 1 b) 5 a 1 f (b) II. f (0) 5 4
 Calcule:
a) f (1) c) ∑ 
j 5 1
 
20
 f ( j) 
b) f (100)
2 Uma função real, de variável real, obedece às se-
guintes condições:
I. f (ab) 5 a 3 f (b) II. f (1) 5 3
 Calcule:
a) f (2) b) f (10) c) ∑ 
j 5 1
 
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CAP 10.indb 371 03.08.10 13:14:06
ANÁLISE DA RESOLUÇÃO
 Um aluno resolveu o exercício abaixo, conforme reproduzido a seguir. Observe a 
resolução e reflita sobre o comentário.
Comentário
O aluno se esqueceu de considerar que as medidas dos lados de um triângulo só podem 
ser representadas por números reais positivos.
Exercício
No triângulo retângulo ABC, a seguir, as expressões indicadas sobre os lados representam 
medidas em uma mesma unidade de comprimento. Determine o número real x.
Resolução
 Agora, refaça a resolução, corrigindo-a.
B
C
3 � 2x
3
1 � x
A
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