EspecialAmarelo-02-Propostos-Matematica

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<p>Matemáti ca</p><p>Su</p><p>m</p><p>ár</p><p>io 411</p><p>Módulo 09 Função modular 7</p><p>Módulo 10 Equações modulares, inequações modulares 10</p><p>Módulo 11 Equações exponenciais 12</p><p>Módulo 12 Logaritmos – definição 14</p><p>Módulo 13 Logaritmos – propriedades 16</p><p>Módulo 14 Logaritmos – equações 19</p><p>Módulo 15 Função exponencial 21</p><p>Módulo 16 Função logarítmica 24</p><p>412</p><p>Módulo 09 Semelhança de triângulos 27</p><p>Módulo 10 Relações métricas na circunferência 31</p><p>Módulo 11 Relações métricas no triângulo retângulo 33</p><p>Módulo 12 Leis dos senos e dos cossenos 37</p><p>Módulo 13 Polígonos regulares 40</p><p>Módulos 14/15 Área de figuras planas 43</p><p>Módulo 16 Prismas 50</p><p>413</p><p>Módulo 05 Adição de arcos e arco duplo 54</p><p>Módulo 06 Arcos trigonométricos 56</p><p>Módulo 07 Equações trigonométricas em R 58</p><p>Módulo 08 Números complexos: forma algébrica 61</p><p>7</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>01. PUC-SP [branca]</p><p>Para definir módulo de um número real x posso dizer que:</p><p>a. é igual ao valor de x se x for real.</p><p>b. é o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de x.</p><p>c. é o valor de x tal que x ∈.</p><p>d. é o oposto do valor de x.</p><p>e. é o maior inteiro contido em x.</p><p>02. UPE modificado [branca]</p><p>Seja f a função real definida por f(x) = |x+2|– 2|.</p><p>Determine f(e – 2), onde e = 2,718281... é um número irracional.</p><p>03. Ufpe [branca]</p><p>Sejam x e y números reais tais que x > y e x(x – y) = 0. Analise a veraci-</p><p>dade das afirmações abaixo.</p><p>( ) x = 0</p><p>( ) y < 0</p><p>( ) x – y < 0</p><p>( ) | x | > | y |</p><p>( ) | x – y | > 0</p><p>04. Uel modificado [branca]</p><p>Seja f a função de IR em IR dada por</p><p>f(x) = x – 1 se x ≥ 1</p><p>f(x) = – x + 1 se x < 1</p><p>É correto afirmar que:</p><p>a. f(1 – 2 ) = – 2</p><p>b. f(x) > 0 para todo x real.</p><p>c. o gráfico de f é uma reta.</p><p>d. f(x) = | x – 1 |</p><p>e. f(a) = f(b) → a = b</p><p>05. Cesgranrio-RJ [branca/amarela]</p><p>O conjunto Imagem da função f(x)=|x2 – 4x + 8|+1 é o intervalo:</p><p>a. [ 5, + ∞ [</p><p>b. [ 4, + ∞ [</p><p>c. [ 3, + ∞ [</p><p>d. [ 1, + ∞ [</p><p>e. [ 0, + ∞ [</p><p>06. Puc-RS [branca/amarela]</p><p>O domínio da função real f definida por</p><p>| |x</p><p>x</p><p>é:</p><p>a. IR*</p><p>b. IR+</p><p>c. [1; + ∞)</p><p>d. (1; + ∞)</p><p>e. (0; + ∞)</p><p>MÓDULO 09 FUNÇÃO MODULAR</p><p>07. UFSC modificado [branca/amarela]</p><p>Determine o conjunto imagem da função h: R → R, definida por h(x) =</p><p>|x2 – 4x + 3|.</p><p>08. UFAL modificado [branca/amarela]</p><p>Tendo por base a função, de IR em IR, dada por f(x) = |x – 1| + 2, esboce</p><p>gráfico e determine o conjunto imagem de f.</p><p>09. Fuvest–SP [amarela/roxa]</p><p>O módulo |x| de um número real x é definido por |x| = x, se x ≥ 0, e</p><p>|x| = – x, se x < 0. Das alternativas a seguir, a que melhor representa o</p><p>gráfico da função f(x) = x |x|– 2x + 2 é:</p><p>a. f (x)</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>b. f (x)</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>c. f (x)</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>d. f (x)</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>e. f (x)</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>10. Puc-PR modificado [amarela/roxa]</p><p>Sendo x e y números reais, quais das afirmações a seguir são sempre</p><p>verdadeiras?</p><p>I. Se x > y, então – x > – y.</p><p>II. Se | x | = – x, então x ≤ 0.</p><p>III. Se 0 < x < y ,então 1/x > 1/y.</p><p>IV. Se x2 > 10, então x > 10 .</p><p>V. x2 – 2x + y2 > 0.</p><p>a. Somente I e II são verdadeiras.</p><p>b. Somente II e IV são verdadeiras.</p><p>c. Somente II e III são verdadeiras.</p><p>d. Todas são verdadeiras.</p><p>e. Somente I e III são verdadeiras.</p><p>8</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemática</p><p>11. UEL–PR [amarela/roxa]</p><p>Seja f: R → R dada por f(x) = |x2| + |x|. O gráfico da função g:  → ,</p><p>definida por g(x) = – f(x + 1), é:</p><p>a.</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–1</p><p>–1 1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>b.</p><p>–4</p><p>–4</p><p>–3</p><p>–3</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–1 –1</p><p>11 2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>c.</p><p>–4</p><p>–4</p><p>–3</p><p>–3</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–1 –1</p><p>11 2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>d.</p><p>–4</p><p>–4</p><p>–3</p><p>–3</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–1 –1</p><p>11 2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>e.</p><p>–4</p><p>–4</p><p>–3</p><p>–3</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–1 –1</p><p>11 2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>12. UFBA [amarela/roxa]</p><p>Esboce o gráfico da função f :  →  definida por</p><p>f(x) = |– x2 + 5x – 4|</p><p>incluindo as interseções com os eixos coordenados.</p><p>y</p><p>x0</p><p>13. Uflavras [roxa]</p><p>O gráfico da expressão |x| + |y|= 4 é dado por:</p><p>a.</p><p>y</p><p>x</p><p>4</p><p>4–4</p><p>–4</p><p>b.</p><p>y</p><p>x</p><p>4</p><p>4–4</p><p>–4</p><p>c.</p><p>y</p><p>x</p><p>4</p><p>4–4</p><p>–4</p><p>d.</p><p>y</p><p>x4–4</p><p>e.</p><p>y</p><p>x</p><p>4</p><p>4–4</p><p>9</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>14. Fuvest-SP [roxa]</p><p>Esboce, para x real, o gráfico da função</p><p>f(x)=|x – 2 |+|2x +1|– x – 6.</p><p>O símbolo |a| indica o valor absoluto de um número real a e é definido</p><p>por |a|= a, se a ≥ 0 e |a|= –a, se a < 0.</p><p>15. Mackenzie-SP [roxa]</p><p>Na figura a seguir, temos o esboço do gráfico de uma função f, de IR em IR.</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>O melhor esboço gráfico da função g(x) = f(|x|) é:</p><p>a.</p><p>y</p><p>x0</p><p>b.</p><p>y</p><p>x0</p><p>c.</p><p>y</p><p>x0</p><p>d.</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>e.</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>16. Ufes [roxa]</p><p>y</p><p>1</p><p>–2 –1 0 1 2 x</p><p>O gráfico acima representa a função</p><p>a. f(x) = | |x| – 1|</p><p>b. f(x) = |x – 1| + |x + 1| – 2</p><p>c. f(x) = ||x|+ 2| – 3</p><p>d. f(x) = Ix – 1|</p><p>e. f(x) = | | x |+ 1| – 2</p><p>17. PUC-MG</p><p>O gráfico da função f(x) = |x| + 2 é constituído por:</p><p>a. duas semirretas de mesma origem.</p><p>b. duas retas concorrentes.</p><p>c. duas retas paralelas.</p><p>d. uma única reta que passa pelo ponto (0, 2).</p><p>18. FGV-SP</p><p>O conjunto dos valores assumidos pela expressão algébrica</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>ab</p><p>ab</p><p>+ −</p><p>,</p><p>sendo a e b dois números reais diferentes de zero, é:</p><p>a. {− 3 , −1 , 1 , 3 }</p><p>b. {−1 , 1 }</p><p>c. {−1 , 3 }</p><p>d. {− 3 , 1}</p><p>e. {− 3 , 3 }</p><p>19. UFBA modificado</p><p>Considerando–se a função f:  →  definida pela equação f(x) = |2x2 –</p><p>2x| + 7x, determine:</p><p>a. O valor de f(1/2).</p><p>b. A expressão matemática de f(x) quando x ≤ 0 ou x ≥ 1.</p><p>20. UFC</p><p>Seja f uma função real de variável real cujo gráfico está representado adiante.</p><p>Se g(x) = 2 f(x) – 1, assinale a alternativa cujo gráfico melhor representa |g(x)|.</p><p>1</p><p>2 3 41</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>– 1</p><p>a. g (x)</p><p>4 x</p><p>– 1</p><p>1/2 7/22</p><p>10</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemática</p><p>MÓDULO 10 EQUAÇÕES MODULARES, INEQUAÇÕES MODULARES</p><p>b. g (x)</p><p>1</p><p>– 1</p><p>4</p><p>7/21/2 2</p><p>3</p><p>x</p><p>c. g (x)</p><p>1</p><p>3</p><p>x1 2 3 4</p><p>d. g (x)</p><p>1</p><p>x1 2 3 4</p><p>e. g (x)</p><p>1</p><p>x1/2 2 47/2</p><p>3</p><p>MÓDULO 01</p><p>MÓDULO 02</p><p>01. CFTCE [branca]</p><p>O conjunto de soluções da equação |x – 1| + |x – 2| = 3 é:</p><p>a. {0,1}</p><p>b. {0,3}</p><p>c. {1,3}</p><p>d. {3}</p><p>e. { }</p><p>02. UFAL [branca]</p><p>Determine, no universo R, o conjunto solução da equação x x2 5</p><p>4</p><p>5</p><p>8</p><p>1</p><p>4</p><p>− + = .</p><p>03. [branca]</p><p>Resolva em IR a inequação |x| < 2 .</p><p>04. UFAL [branca]</p><p>Alagoas</p><p>O estado de Alagoas situa-se a leste da região Nordeste. É</p><p>o sexto estado mais populoso da região, com um total de quase</p><p>3.000.000 de habitantes. Apresenta a quinta maior média de cres-</p><p>cimento anual da região: cerca de 1,20%. Em quatro anos, a popu-</p><p>lação cresceu em torno de 140.000 habitantes nos 102 municípios.</p><p>O mais populoso deles é Maceió, com cerca de 885.000 habi-</p><p>tantes, ocupando uma área de aproximadamente 500 km2.</p><p>Dentre as Unidades de Conservação Federais, a maior é a</p><p>Área de Proteção Ambiental Costa dos Corais, com 413.563 hec-</p><p>tares (1 ha = 104 m2).</p><p>Suponha que a estatura média H da população do litoral norte de Pa-</p><p>ripueira a Maragogi verifica a desigualdade H− ≤172</p><p>6</p><p>1 , em que H é</p><p>medida em centímetros. O intervalo da reta real em que essas alturas se</p><p>situam está contido no intervalo</p><p>a. [160 ; 175]</p><p>b. [164 ; 176]</p><p>c. [166 ; 176]</p><p>d. [166 ; 179]</p><p>e. [168 ; 180]</p><p>05. Espcex-SP [branca/amarela]</p><p>A soma dos quadrados de todas as raízes da equação x2 + 4x – 2 |x + 2|</p><p>+ 4 = 0 é igual a:</p><p>a. 16</p><p>b. 20</p><p>c. 24</p><p>d. 28</p><p>e. 36</p><p>06. Mackenzie-SP [branca/amarela]</p><p>O número de soluções reais da equação |x² – 1| + 2x = x x</p><p>x</p><p>2 2 1</p><p>1</p><p>− +</p><p>−</p><p>é:</p><p>a. 0</p><p>b. 1</p><p>c. 2</p><p>d. 3</p><p>e. maior que 3</p><p>07. [branca/amarela]</p><p>Resolva em IR a inequação | |x ≥ 5 .</p><p>11</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>08. UFF [branca/amarela]</p><p>Com relação aos conjuntos</p><p>P x Z x= ∈ ≤{ }|| | 7 e Q = {x ∈  | x2 ≤ 0,333...} afirma–se:</p><p>I. P ∪ Q = P</p><p>II. Q – P = {0}</p><p>III. P ⊂ Q</p><p>IV. P ∩ Q = Q</p><p>Somente são verdadeiras as afirmativas:</p><p>a. I e III</p><p>b. I e IV</p><p>c. II e III</p><p>d. II e IV</p><p>e. III e IV</p><p>09. UFSCar-SP [amarela/roxa]</p><p>Sejam f e g funções modulares reais definidas por f (x) = |x + 2| e g(x)</p><p>= 2|x − 2|.</p><p>a. Resolva a equação f (x) = g(x).</p><p>b. Construa o gráfico da função real h, definida por h(x) = |x + 2|−</p><p>2|x − 2|.</p><p>10. UFG-GO modificado [amarela/roxa]</p><p>Analise as afirmações seguintes, assinalando V ou F:</p><p>Seja R o conjunto dos números reais. Considere a função:</p><p>f :  → , definida por f(x) = |1 – |x||. Assim,</p><p>a. f(–4) = 5.</p><p>b. o valor mínimo de f é zero.</p><p>c. f é crescente para x</p><p>médio de BC e MN = 14</p><p>4</p><p>. Então,</p><p>DM é igual a:</p><p>A B</p><p>N</p><p>CD</p><p>M</p><p>a. 2</p><p>4</p><p>b. 2</p><p>2</p><p>c. 2</p><p>d. 3 2</p><p>2</p><p>e. 5 2</p><p>2</p><p>09. Ibmec-SP [amarela/roxa]</p><p>No triângulo PQR, retângulo em P, PR = 12 e PQ = 3 . O ponto S, per-</p><p>tencente ao lado PR, é tal que o ângulo RSQ mede 120°. Assim, sendo</p><p>a a medida do ângulo SQR , o valor de sen a é:</p><p>a.</p><p>7</p><p>10</p><p>b.</p><p>9</p><p>11</p><p>c.</p><p>7</p><p>12</p><p>d. 12</p><p>13</p><p>e. 11</p><p>14</p><p>10. FEI-SP [amarela/roxa]</p><p>Considere o triângulo retângulo ABC dado a seguir. Sabe--se que a medi-</p><p>da do segmento AB é igual a 3 cm, a do AC é igual a 4 cm, a do BC é igual</p><p>a 5 cm e a do BM é igual a 3 cm.</p><p>B</p><p>3 cm</p><p>3 cm</p><p>4 cm</p><p>x</p><p>5 cm</p><p>A</p><p>M C</p><p>39</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>Nesse caso, a medida do segmento AM é igual a:</p><p>a. 6</p><p>5</p><p>cm</p><p>b. 3 5</p><p>5</p><p>cm</p><p>c. 6 5</p><p>5</p><p>cm</p><p>d. 36 5</p><p>5</p><p>cm</p><p>e. 36</p><p>5</p><p>cm</p><p>11. UEG-GO [amarela/roxa]</p><p>Um observador está em um ponto A localizado em uma das margens</p><p>de um rio. Ele deseja conhecer a distância deste ponto A a um ponto P</p><p>localizado na outra margem do rio. Como a medida não pode ser feita</p><p>diretamente, o observador escolhe outro ponto B na mesma margem</p><p>em que está o ponto A e mede a distância AB = 18 m e os ângulos PAB</p><p>= 15° e PBA = 45°. Com essas informações, ele consegue determinar a</p><p>medida desejada. Qual é, portanto, essa medida?</p><p>12. UFMT [amarela/roxa]</p><p>Dado um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 20 cm, e</p><p>o ângulo a formado por esses dois lados, tal que 4 sen a = 3 cos a,</p><p>determine:</p><p>a. o valor numérico de sen a;</p><p>b. o perímetro desse triângulo.</p><p>13. UENP-PR [roxa]</p><p>Um triângulo ABC tem AB = 16 cm, AC = 20 cm, BC = 12 cm e o ângulo BAC</p><p>= 60°. A medida da mediana relativa ao vértice B, em cm, é:</p><p>a. 14</p><p>b. 16</p><p>c. 24</p><p>d. 36</p><p>e. 4 21</p><p>14. UERJ [roxa]</p><p>Uma sala tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Para levar fios</p><p>a uma tomada T, um cano foi instalado tangente a duas paredes dessa</p><p>sala. A primeira parte reta do cano, BA, faz um ângulo de 45° com o chão</p><p>e a segunda parte, AT , congruente com a primeira, forma um ângulo de</p><p>45° com a parede inicial.</p><p>Observe a ilustração:</p><p>Parede</p><p>inicial</p><p>Chão</p><p>T</p><p>A</p><p>B</p><p>45°</p><p>45°</p><p>Desprezando a espessura do cano, calcule o ângulo BÂT, formado por</p><p>suas duas partes.</p><p>15. UFU-MG [roxa]</p><p>Na figura abaixo, a, β e g são as medidas dos ângulos internos do tri-</p><p>ângulo ABC.</p><p>α</p><p>β γ</p><p>A</p><p>B C</p><p>Construindo-se um novo triângulo FGH de lados medindo sen(a), sen(β)</p><p>e sen(g), pode-se afirmar que:</p><p>a. FGH não é semelhante ao triângulo ABC e está inscrito em uma</p><p>circunferência de raio 1.</p><p>b. FGH é semelhante ao triângulo ABC e está circunscrito em uma</p><p>circunferência de diâmetro 1.</p><p>c. FGH é semelhante ao triângulo ABC e está inscrito em uma cir-</p><p>cunferência de diâmetro 1.</p><p>d. FGH não é semelhante ao triângulo ABC e está circunscrito em</p><p>uma circunferência de raio 1.</p><p>16. Unicamp-SP [roxa]</p><p>Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras</p><p>abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.</p><p>α</p><p>h</p><p>a. Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de</p><p>inclinação a, tal que cos(a) = 0 99, . Suponha, também, que</p><p>cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura</p><p>h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida</p><p>por Laura após dar 100 pedaladas.</p><p>b. O quadro da bicicleta de Laura está destacado na segunda figura.</p><p>Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm,</p><p>calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo</p><p>dos pedais.</p><p>40</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>17. UFPB</p><p>Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas</p><p>belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um tele-</p><p>férico ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro,</p><p>conforme a figura a seguir.</p><p>300 3m</p><p>C</p><p>B</p><p>A P</p><p>N</p><p>50°</p><p>20°</p><p>200 m</p><p>Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:</p><p>• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes</p><p>coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e</p><p>o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);</p><p>• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada</p><p>localizado no ponto C, sem parada intermediária.</p><p>Supondo que AB = 300 3 m, BC = 200 m, B A P = 20° e</p><p>C B N = 50° , é correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de:</p><p>a. 700 m</p><p>b. 702 m</p><p>c. 704 m</p><p>d. 706 m</p><p>e. 708 m</p><p>18. Fuvest-SP</p><p>Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sa-</p><p>bendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo Â</p><p>mede 120°, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a:</p><p>a. 25</p><p>b. 45</p><p>c. 75</p><p>d. 105</p><p>e. 125</p><p>19. UFPR</p><p>A figura a seguir mostra um quadrado ABCD no qual os segmentos BC e</p><p>EC medem 4 cm e 1 cm, respectivamente.</p><p>D C</p><p>E</p><p>BA</p><p>α</p><p>a. Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, E e C.</p><p>b. Calcule o seno e o cosseno do ângulo a.</p><p>20. Fatec-SP</p><p>Sejam a, β e g as medidas dos ângulos internos de um triângulo. Se</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>α</p><p>β</p><p>α</p><p>γ</p><p>= =</p><p>3</p><p>5</p><p>1, e o perímetro do triângulo é 44, então a medida</p><p>do maior lado desse triângulo é:</p><p>a. 5</p><p>b. 10</p><p>c. 15</p><p>d. 20</p><p>e. 25</p><p>MÓDULO 13 POLÍGONOS REGULARES</p><p>01. [branca]</p><p>Sendo 6 m o lado do triângulo equilátero, determine:</p><p>R</p><p>r</p><p>a. a altura do triângulo;</p><p>b. o raio R da circunferência circunscrita;</p><p>c. o raio r da circunferência inscrita;</p><p>d. o apótema do triângulo.</p><p>02. [branca]</p><p>R</p><p>r</p><p>Sendo 8 m o lado do quadrado, determine:</p><p>a. a diagonal;</p><p>b. o raio R da circunferência circunscrita;</p><p>c. o raio r da circunferência inscrita;</p><p>d. o apótema do quadrado.</p><p>41</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>03. Unifesp [branca]</p><p>A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A rol-</p><p>dana maior, com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e</p><p>a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia</p><p>não escorregue.</p><p>Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, seu raio, em</p><p>centímetros, deve ser:</p><p>a. 8</p><p>b. 7</p><p>c. 6</p><p>d. 5</p><p>e. 4</p><p>04. Uneb-BA [branca]</p><p>Nos modelos de estruturas moleculares de alguns compostos químicos,</p><p>os átomos se colocam como vértices de poliedros ou de polígonos.</p><p>No modelo molecular do composto químico SO3 (trióxido de enxofre),</p><p>por exemplo, os três átomos de oxigênio (O) formam um triângulo equi-</p><p>látero e o átomo de enxofre (S) se localiza no centro desse triângulo.</p><p>Nesse exemplo, a distância entre os átomos de oxigênio é de 248 picô-</p><p>metros (pm), sendo que 1 pm = 10−12 m. A distância entre o núcleo de</p><p>enxofre (S) e qualquer um dos núcleos de oxigênio é chamada compri-</p><p>mento da ligação.</p><p>Considerando-se essas informações, pode-se afirmar que o comprimen-</p><p>to da ligação do SO3 é igual a:</p><p>O setor x representa todos os 8.000 eleitores com menos de 18 anos,</p><p>e o setor y representa os eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo</p><p>número é:</p><p>a. 12.000</p><p>b. 14.800</p><p>c. 16.000</p><p>d. 18.000</p><p>e. 20.800</p><p>06. Vunesp [branca/amarela]</p><p>O planeta Terra descreve seu movimento de translação em uma órbita apro-</p><p>ximadamente circular em torno do Sol. Considerando o dia terrestre com 24</p><p>horas, o ano com 365 dias e a distância da Terra ao Sol aproximadamente</p><p>150.380 · 103 km, determine a velocidade média, em quilômetros por hora,</p><p>com que a Terra gira em torno do Sol. Use a aproximação π = 3.</p><p>07. [branca/amarela]</p><p>Um apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência</p><p>mede 5 3 cm.</p><p>Calcule, de um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência, a me-</p><p>dida de um apótema.</p><p>08. Vunesp [branca/amarela]</p><p>O papelão utilizado na fabricação de caixas reforçadas é composto de</p><p>três folhas de papel, coladas uma nas outras, sendo que as duas folhas</p><p>das faces são “lisas” e a folha que se intercala entre elas é “sanfonada”,</p><p>conforme mostrado na figura.</p><p>RExt</p><p>O fabricante desse papelão compra o papel em bobinas, de compri-</p><p>mento variável. Supondo que a folha “sanfonada” descreva uma curva</p><p>composta por uma sequência de semicircunferências, com concavidades</p><p>alternadas e de raio externo (Rext) de 1,5 mm, determine qual deve ser</p><p>a quantidade de papel da bobina que gerará a folha “sanfonada”, com</p><p>precisão de centímetros, para que, no processo de fabricação do pape-</p><p>lão, esta</p><p>se esgote no mesmo instante das outras bobinas de 102 m de</p><p>comprimento de papel, que produzirão as faces “lisas”.</p><p>Dado: π ≈ 3,14.</p><p>a. 160 m e 07 cm</p><p>b. 160 m e 14 cm</p><p>c. 160 m e 21 cm</p><p>d. 160 m e 28 cm</p><p>e. 160 m e 35 cm</p><p>09. UEL-PR [amarela/roxa]</p><p>Uma pista de corrida de 400 m é constituída por trechos retos e semicir-</p><p>culares, conforme a figura a seguir:</p><p>36,70 m</p><p>84,76 m</p><p>Raia 1 Raia 2 Raia 3 Raia 4Raia 5 Raia 6 Raia 7 Raia 8</p><p>8 m</p><p>Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na parte</p><p>mais interna de suas raias, de modo a percorrerem a menor distância</p><p>nas curvas, e que a distância medida a partir da parte interna da raia 1</p><p>a. 248 3</p><p>3</p><p>pm</p><p>b. 164 3</p><p>3</p><p>pm</p><p>c. 124 3</p><p>3</p><p>pm</p><p>d. 82 3</p><p>3</p><p>pm</p><p>e. 62 3</p><p>3</p><p>pm</p><p>05. UFSCar-SP [branca/amarela]</p><p>O gráfico em setores do círculo de centro O representa a distribuição das</p><p>idades entre os eleitores de uma cidade. O diâmetro AB mede 10 cm e o</p><p>comprimento do menor arco AC é 5</p><p>3</p><p>π</p><p>cm .</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>z</p><p>O</p><p>y</p><p>x</p><p>42</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>até a parte interna da raia 8 seja de 8 m. Para que ambos percorram 400</p><p>m, quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à frente do</p><p>atleta da raia mais interna?</p><p>Dado: π = 3, 14</p><p>a. 10,00 m</p><p>b. 25,12 m</p><p>c. 32,46 m</p><p>d. 50,24 m</p><p>e. 100,48 m</p><p>10. Uespi [amarela/roxa]</p><p>Um cão guarda parte da área externa de jardim, que tem a forma de um</p><p>hexágono regular, com lados medindo 12 m. O cão está preso a uma corda</p><p>de 18 m de comprimento que está amarrada no ponto médio de um dos</p><p>lados do hexágono, como ilustrado a seguir.</p><p>Qual o comprimento do contorno da região (em tracejado na ilustração</p><p>a seguir) guardada pelo cão?</p><p>Suponha que a região seja plana e desconsidere as dimensões do cão.</p><p>Indique o valor mais próximo.</p><p>Dado: use a aproximação π ≈ 3,14.</p><p>a. 82 m</p><p>b. 84 m</p><p>c. 86 m</p><p>d. 88 m</p><p>e. 90 m</p><p>11. [amarela/roxa]</p><p>Determine a razão entre os perímetros do quadrado circunscrito e do</p><p>hexágono inscrito numa circunferência de raio R.</p><p>12. UFR-RJ [amarela/roxa]</p><p>Um ciclista precisa chegar ao seu destino num determinado horário.</p><p>Quando ele inicia seu percurso, as rodas da bicicleta dão 70 voltas por</p><p>minuto, durante meia hora. Para não se atrasar, ele aumenta o ritmo de</p><p>pedaladas, imprimindo o dobro de número de voltas por minuto, duran-</p><p>te 20 minutos.</p><p>Sabendo-se que as circunferências das rodas da bicicleta têm 25 cm de</p><p>raio, determine a distância, em quilômetros, percorrida pelo ciclista.</p><p>Use π =</p><p>20</p><p>7</p><p>13. Ufla-MG [roxa]</p><p>Role um círculo de raio 1 cm até que o ponto P volte à sua posição ini-</p><p>cial; a distância percorrida pelo ponto P é de 2π cm. Role um quadrado</p><p>de lado 1 cm, conforme indicado na figura abaixo. A distância percorri-</p><p>da pelo ponto P até que ele retorne à sua posição inicial será de:</p><p>P P</p><p>P</p><p>P</p><p>P P</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>a. 2 2</p><p>2</p><p>+( ) π</p><p>cm</p><p>b. 2 1+( )π cm</p><p>c. 2 2π</p><p>d. 4π cm</p><p>14. UEPB [roxa]</p><p>Um pentágono regular está inscrito em uma circunferência de modo que</p><p>o comprimento do arco entre dois vértices consecutivos é 0,12 m. O va-</p><p>lor do raio dessa circunferência, em cm, é?</p><p>a. 30 π</p><p>b. 15</p><p>π</p><p>c. 60</p><p>π</p><p>d. 30</p><p>π</p><p>e. π</p><p>30</p><p>15. Insper-SP [roxa]</p><p>Na figura abaixo, a circunferência tem raio igual a 3 cm e a mede 30°. É</p><p>correto concluir, da comparação da medida do arco AB com as medidas</p><p>dos segmentos CD e EF, que:</p><p>α α</p><p>α</p><p>A</p><p>BC</p><p>D</p><p>F E</p><p>a. 3 2 3</p><p>3</p><p>2 2</p><p>− < <</p><p>π</p><p>b. π</p><p>2</p><p>3 2 3</p><p>3</p><p>2</p><p>< − <</p><p>c. 3</p><p>2</p><p>3 2 3</p><p>2</p><p>< − <</p><p>π</p><p>d. 3</p><p>2</p><p>3 2 3</p><p>2</p><p>< −( ) <</p><p>π</p><p>e. 3</p><p>2 2</p><p>3 2 3< < −( )π</p><p>43</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>16. UERJ [roxa]</p><p>Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza</p><p>circular que tangencia as faces do prisma.</p><p>Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem,</p><p>a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do</p><p>prisma é igual a:</p><p>18. UEG-GO</p><p>Belém e Palmas estão no mesmo meridiano (48° W) e suas latitudes são</p><p>1° S e 10° S, respectivamente. Considerando o raio da Terra como 6.400</p><p>km, a distância entre as duas cidades é de, aproximadamente:</p><p>a. 1.005 km</p><p>b. 1.020 km</p><p>c. 670 km</p><p>d. 503 km</p><p>19. Mackenzie-SP</p><p>Os arcos da figura foram obtidos com centros nos vértices do quadrado</p><p>de lado 3. Considerando π = 3, a soma das medidas desses arcos é:</p><p>a. 10</p><p>b. 12</p><p>c. 14</p><p>d. 16</p><p>e. 18</p><p>20.</p><p>a. Se o raio de uma circunferência mede 2 m, determine o lado </p><p>do decágono regular inscrito nela.</p><p>b. Determine cos 36°.</p><p>a. 2 2</p><p>b. 3 2</p><p>4</p><p>c. 2 1</p><p>2</p><p>+</p><p>d. 2 2 1−( )</p><p>17. Unirio-RJ</p><p>O LHC (sigla em inglês para Grande Colisor de Hádrons), localizado na</p><p>fronteira entre a Suíça e a França, é o maior acelerador subterrâneo de</p><p>partículas do mundo. Os cientistas esperam que sua utilização venha a</p><p>ser o próximo grande passo na compreensão da estrutura do Universo.</p><p>De maneira simplista, seu mecanismo consiste em disparar feixes de pró-</p><p>tons em direções opostas ao longo de um anel de 27 km de comprimento,</p><p>acelerá-los e colidi-los quando estiverem em máxima velocidade. Espera-</p><p>se que o impacto dessa colisão seja capaz de simular condições próximas</p><p>às que existiram logo após o big bang. Considerando que os prótons girem</p><p>pelo gigantesco anel, a uma velocidade de 3x108 metros por segundo, de-</p><p>termine o número de voltas dadas pelos prótons nesse anel em uma hora.</p><p>a. 4 x 107</p><p>b. 4 x 108</p><p>c. 4 x 109</p><p>d. 81 x 108</p><p>e. 108 x 108</p><p>MÓDULOS 14/15 ÁREA DE FIGURAS PLANAS</p><p>01. Fuvest-SP [branca]</p><p>Na figura, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O e</p><p>BC = a. A reta OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo AÔB mede</p><p>π</p><p>3</p><p>radianos. Então, a área do triângulo ABC vale:</p><p>A B</p><p>C</p><p>O</p><p>02. Unicamp-SP [branca]</p><p>Considere três modelos de televisores de tela plana, cujas dimensões</p><p>aproximadas são fornecidas na tabela abaixo, acompanhadas dos preços</p><p>dos aparelhos.</p><p>Modelo Largura</p><p>(em cm)</p><p>Altura</p><p>(em cm)</p><p>Preço</p><p>(em reais)</p><p>23” 50 30 750,00</p><p>32” 70 40 1.400,00</p><p>40” 90 50 2.250,00</p><p>Com base na tabela, pode-se afirmar que o preço por unidade de área</p><p>da tela:</p><p>a. aumenta à medida que as dimensões dos aparelhos aumentam.</p><p>b. permanece constante do primeiro para o segundo modelo, e</p><p>aumenta do segundo para o terceiro.</p><p>a. a2</p><p>8</p><p>b. a2</p><p>4</p><p>c. a</p><p>2</p><p>2</p><p>d. 3</p><p>4</p><p>2a</p><p>e. a2</p><p>44</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>c. aumenta do primeiro para o segundo modelo, e permanece</p><p>constante do segundo para o terceiro.</p><p>d. permanece constante.</p><p>03. UFTM-MG [branca]</p><p>O quadrilátero ABCD foi dividido em duas regiões, P e Q, conforme mos-</p><p>tra a figura, sendo que a região P, com a forma de um triângulo equiláte-</p><p>ro, ficou com área igual a 9 3 2km .</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>P</p><p>Q</p><p>60°</p><p>A razão entre as áreas das regiões Q e P, nessa ordem, é:</p><p>06. ENEM [branca/amarela]</p><p>A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos</p><p>períodos chuvosos. Em algun trechos, são construídas canaletas para</p><p>controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical de-</p><p>termina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas</p><p>na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O cálculo da</p><p>vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por</p><p>onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s,</p><p>ou seja, Q = Av.</p><p>Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na</p><p>figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.</p><p>30</p><p>2,5 m</p><p>m</p><p>20 m</p><p>Figura I</p><p>Figura II</p><p>49 m</p><p>41</p><p>2,0 m</p><p>m</p><p>Disponível em: <http: //www2.uel.br>.</p><p>Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão</p><p>esperada para depois da reforma na canaleta?</p><p>a. 90 m3/s</p><p>b. 750 m/3s</p><p>c. 1.050 m3/s</p><p>d. 1.512 m3/s</p><p>e. 2.009 m3/s</p><p>07. ENEM [branca/amarela]</p><p>O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residên-</p><p>cias com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse</p><p>mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno</p><p>retangular ABCD, em que AB</p><p>BC</p><p>=</p><p>2</p><p>, Antônio demarcou uma área qua-</p><p>drada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com</p><p>o desenho, no qual AE</p><p>AB</p><p>=</p><p>5</p><p>é lado do quadrado.</p><p>B 10x</p><p>5x</p><p>x</p><p>C</p><p>A E D</p><p>Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite</p><p>determinado pela condição se ele:</p><p>a. duplicasse</p><p>a medida do lado do quadrado.</p><p>b. triplicasse a medida do lado do quadrado.</p><p>c. triplicasse a área do quadrado.</p><p>d. ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.</p><p>e. ampliasse a área do quadrado em 4%.</p><p>a. 1</p><p>9</p><p>b. 1</p><p>6</p><p>c. 1</p><p>4</p><p>d. 1</p><p>3</p><p>e. 1</p><p>2</p><p>04. UEG-GO [branca]</p><p>Analise o desenho. Tendo em vista que, na planta, a quadra A possui</p><p>uma área de 1.800 m2, a escala numérica da planta é:</p><p>Avenida Anápolis</p><p>A</p><p>6 cm</p><p>3 cm</p><p>Avenida Brasil</p><p>Rua Goiás</p><p>Rua Bahia</p><p>a. 1:10.000</p><p>b. 1:1.000</p><p>c. 1:100</p><p>d. 1:10</p><p>05. Mackenzie-SP [branca/amarela]</p><p>Na figura, ABCDEF é um hexágono regular e a distância do vértice D à dia-</p><p>gonal FB é 3. A área do triângulo assinalado é:</p><p>A B</p><p>CF</p><p>E D</p><p>a. 3</p><p>b. 2 3</p><p>c. 4 3</p><p>d. 3</p><p>e. 6</p><p>45</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>08. ENEM [branca/amarela]</p><p>Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda</p><p>para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acor-</p><p>do com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área total.</p><p>Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o</p><p>filho, conforme a figura.</p><p>Área de</p><p>reserva</p><p>legal (filho)</p><p>Área 100%</p><p>(filho)</p><p>Fazenda</p><p>do pai</p><p>b</p><p>a</p><p>De acordo com a figura acima, o novo terreno do filho cumpre a lei,</p><p>após acrescentar uma faixa de largura x metros contornando o terreno</p><p>cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x</p><p>da faixa é:</p><p>a. 10% (a + b)2</p><p>b. 10% (a · b)2</p><p>c. a b a b+ − +( )</p><p>d. a b ab a b+( ) + − +( )2</p><p>e. a b ab a b+( ) + + +( )2</p><p>09. ENEM [amarela/roxa]</p><p>João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de chocolate com diâ-</p><p>metro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e, após</p><p>comer várias moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas</p><p>com 8 cm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a unidade.</p><p>Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de</p><p>chocolate, João:</p><p>a. aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o preço</p><p>também deve dobrar.</p><p>b. rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 12,00.</p><p>c. rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50.</p><p>d. rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 6,00.</p><p>e. rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50.</p><p>10. FGV-SP [amarela/roxa]</p><p>Em um mesmo plano estão contidos um quadrado de 9 cm de lado e um</p><p>círculo de 6 cm de raio, com centro em um dos vértices do quadrado. A</p><p>área da região do quadrado não interceptada pelo círculo, em cm2, é igual</p><p>a:</p><p>a. 9 (9 – π)</p><p>b. 9 (4π – 9)</p><p>c. 9 (9 – 2π)</p><p>d. 3 (9 – 2π)</p><p>e. 6 (3π – 9)</p><p>11. UEG-GO [amarela/roxa]</p><p>O Instituto de Meteorologia do Rio de Janeiro (Inea) afirmou</p><p>que em sua estação meteorológica, localizada em Nova Friburgo,</p><p>registraram-se 249 milímetros de água de chuva entre as 8 horas do</p><p>dia 11/01/2011 e as 8 horas do dia seguinte.</p><p>Disponível em: <http://notícias.r7.com>. Acesso em: 25 fev. 2011.</p><p>Sabendo que 1 milímetro de chuva significa que caiu 1 litro de água por</p><p>cada metro quadrado de área, quantos litros de água caíram, no período</p><p>citado acima, em um campo de futebol, em Nova Friburgo, com dimen-</p><p>sões de 100 m por 70 m?</p><p>a. 1,743 · 103 </p><p>b. 1,743 · 106 </p><p>c. 8, 466 · 102 </p><p>d. 8, 466 · 104 </p><p>12. Embraer [amarela/roxa]</p><p>Em um porta-retratos, a região retangular A, destinada à colocação da</p><p>foto, é contornada por uma moldura de vidro fosco, que aparece som-</p><p>breada na figura.</p><p>x + 4</p><p>x 6 cm</p><p>10 cm</p><p>A</p><p>Sabendo-se que a moldura possui 132 cm², pode-se concluir que a me-</p><p>dida indicada por x, na figura, é igual a:</p><p>a. 12 cm</p><p>b. 14 cm</p><p>c. 16 cm</p><p>d. 18 cm</p><p>13. UFOP-MG [roxa]</p><p>O triângulo ABC da figura baixo está inscrito numa circunferência de raio</p><p>3 cm. O lado AB é diâmetro da circunferência e a medida do ângulo</p><p>CAB é 30°.</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>30°</p><p>A região sombreada, em cm2, é:</p><p>a. π</p><p>2</p><p>3 3</p><p>4</p><p>−</p><p>b. 3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>π −</p><p>c. 3</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>π −</p><p>d. π</p><p>2</p><p>3 3</p><p>2</p><p>−</p><p>14. UFF-RJ [roxa]</p><p>Toda medida de desigualdade é uma forma de agregar diferenças de</p><p>renda entre toda a população em um indicador escalar. Um dos índices</p><p>de desigualdade mais utilizados é o coeficiente de Gini. Sua construção</p><p>é baseada numa curva denominada curva de Lorenz, a qual é obtida a</p><p>46</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>partir da ordenação das pessoas segundo o seu nível de renda. As pes-</p><p>soas são dispostas de forma crescente com suas rendas. A figura abaixo</p><p>ilustra uma curva de Lorenz, relacionando a fração acumulada da renda</p><p>(Φ) com a fração acumulada da população (p).</p><p>1</p><p>0 1</p><p>Φ</p><p>P</p><p>α Curva de Lorenz</p><p>O coeficiente de Gini é definido como o dobro da área da região a limi-</p><p>tada pela curva de Lorenz (a que forma um arco na figura) e a diagonal</p><p>Φ = p do quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1).</p><p>Adaptado de: <http: //www.ipea.gov.</p><p>br/005/00502001.jsp?ttCD_CHAVE=295>.</p><p>Considerando que a curva de Lorenz na figura acima é o arco de círculo</p><p>com centro no ponto (0, 1), que une os pontos (0, 0) e (1, 1), pode-se</p><p>afirmar que o coeficiente de Gini é igual a:</p><p>Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma B das áreas</p><p>dos pentágonos da figura 2? Justifique sua resposta.</p><p>16. Ufla-MG [roxa]</p><p>Um paisagista, ao fazer um jardim em um terreno de 90 m2, separou o jar-</p><p>dim, por um caminho de pedras, em duas partes com áreas iguais, como no</p><p>desenho abaixo. A área revestida de pedras é de:</p><p>Jardim</p><p>2 m</p><p>1 m</p><p>1 m</p><p>15 m</p><p>3 m</p><p>Pedras</p><p>a. 20 m2</p><p>b. 25 m2</p><p>c. 18 m2</p><p>d. 15 m2</p><p>17. PUC-RJ</p><p>Qual é a razão entre a área do triângulo equilátero inscrito e a área do</p><p>triângulo equilátero circunscrito a um mesmo círculo?a. π</p><p>2</p><p>b. π – 1</p><p>c. 7</p><p>4</p><p>π</p><p>d. π</p><p>4</p><p>e. π</p><p>2</p><p>1−</p><p>15. UFRJ [roxa]</p><p>A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L; a figura</p><p>2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado L.</p><p>Figura 1</p><p>Figura 2</p><p>a. 1</p><p>4</p><p>b. 1</p><p>2 3</p><p>c. 1</p><p>2 2</p><p>d. 1</p><p>2</p><p>e. 1</p><p>π</p><p>18. UFPel-RS</p><p>O triângulo ABC é equilátero e a medida CD é igual a 6 unidades de com-</p><p>primento.</p><p>A C</p><p>D</p><p>120°</p><p>14</p><p>B</p><p>47</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>Com base nos textos, a área da região ABCD, em unidades de área, é de: 21. Unifenas-MG</p><p>Qual é a área de uma coroa circular de raios 5 cm e 7 cm?</p><p>a. 24π m2</p><p>b. 24 cm2</p><p>c. 24 m2</p><p>d. 144π cm2</p><p>e. 24π cm2</p><p>22. Udesc</p><p>O projeto de uma casa é apresentado em forma retangular e dividido</p><p>em quatro cômodos, também retangulares, conforme ilustra a figura.</p><p>Cozinha e sala integradas</p><p>Quarto 1</p><p>Quarto 2</p><p>WC</p><p>Projeto de uma casa de 4 cômodos</p><p>Sabendo que a área do banheiro (WC) é igual a 3 m2 e que as áreas dos quar-</p><p>tos 1 e 2 são, respectivamente, 9 m2 e 8 m2, então a área total do projeto</p><p>dessa casa, em metros quadrados, é igual a:</p><p>a. 24</p><p>b. 32</p><p>c. 44</p><p>d. 72</p><p>e. 56</p><p>23. UEL-PR</p><p>Observe a figura a seguir:</p><p>Quadra de vôlei</p><p>Com base nessa figura, é correto afirmar:</p><p>a. A área de ataque da quadra é 50% da área de defesa.</p><p>b. As áreas de defesa somam ¼ da área total da quadra.</p><p>c. A área da quadra é 176 cm2.</p><p>d. A razão entre a área de ataque e a área de defesa é de 2 para 3.</p><p>e. A diagonal da quadra mede 27 m.</p><p>24. UEL-PR</p><p>As quadras de tênis para jogos de simples e de duplas são retangulares</p><p>e de mesmo comprimento, mas a largura da quadra de duplas é 34%</p><p>maior do que a largura da quadra de simples.</p><p>a. 34 3</p><p>b. 68 3</p><p>c. 49 3</p><p>d. 98 3</p><p>e. 66 3</p><p>19. Udesc</p><p>Uma circunferência intercepta um triângulo equilátero nos pontos médios</p><p>de dois de seus lados, conforme a figura abaixo, sendo que um dos vérti-</p><p>ces do triângulo é o centro da circunferência.</p><p>Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é:</p><p>a. 9 2 3</p><p>6</p><p>3−</p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>cm</p><p>b. 9 3</p><p>18</p><p>2−</p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>cm</p><p>c. 9 3 2−( )π cm</p><p>d. 9 3</p><p>3</p><p>2−</p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>cm</p><p>e. 9 3</p><p>6</p><p>2−</p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>cm</p><p>20. UFTM-MG</p><p>Alexandre possui um terreno com a forma do trapézio retângulo ABCD,</p><p>de dimensões AD = 40 m, CD = 80 m e BC = 100 m. Para a construção</p><p>de uma estação de metrô, uma região circular de centro no ponto E e</p><p>raio 100 metros deverá ser desapropriada. Sabendo-se que EA = EB =</p><p>100 m, a parte do terreno de Alexandre que será desapropriada tem</p><p>área, em m2, igual a:</p><p>C</p><p>D A</p><p>B</p><p>E</p><p>a. 10.000 π</p><p>6</p><p>3</p><p>8</p><p>–</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b. 10.000 π</p><p>6</p><p>3</p><p>4</p><p>–</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>c. 10.000</p><p>π</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>–</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>d. 10.000 π</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>–</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>e. 10.000 π –</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>48</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemáti ca</p><p>Quadra de simples</p><p>Quadra de duplas</p><p>Considerando que a área da quadra de duplas é 66,64 m2 maior, a área</p><p>da quadra de simples é:</p><p>a. 89,00 m2</p><p>b. 106,64 m2</p><p>c. 168,00 m2</p><p>d. 196,00 m2</p><p>e. 226,58 m2</p><p>25. UFRJ</p><p>Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre tangenciando</p><p>pelo menos um dos seus lados. Uma volta completa do disco ao longo</p><p>dos quatro lados divide o interior do quadrado em duas regiões: a região</p><p>A dos pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a região</p><p>B dos pontos que não foram encobertos. O raio do disco mede 2 cm e o</p><p>lado do quadrado mede 10 cm.</p><p>Determine a área da região B.</p><p>26. UFTM-MG</p><p>A figura mostra o projeto de um paisagista para um jardim em um ter-</p><p>reno plano. Sabe-se que os círculos são concêntricos e que a área do</p><p>quadrado ABCD é igual a 100 m². No círculo inscrito no quadrado haverá</p><p>um espelho d’água, e na região sombreada do círculo circunscrito ao</p><p>quadrado serão plantadas flores de várias espécies.</p><p>Espelho d’água</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>Usando π ≈ 3,1, determine a área aproximada:</p><p>a. ocupada pelo espelho d’água;</p><p>b. da região onde serão plantadas flores.</p><p>27. Fuvest-SP</p><p>A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono</p><p>maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos</p><p>menores.</p><p>Então, a área do pentágono hachurado é igual a:</p><p>a. 3 3</p><p>b. 2 3</p><p>c.</p><p>3 3</p><p>2</p><p>d. 3</p><p>e.</p><p>3</p><p>2</p><p>28. Fuvest-SP</p><p>No triângulo ABC da figura, a mediana AM, relativa ao lado BC, é per-</p><p>pendicular ao lado AB. Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se a é a</p><p>medida do ângulo ABC , determine:</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>M 2</p><p>2</p><p>1</p><p>α</p><p>a. sen a;</p><p>b. o comprimento AC;</p><p>c. a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB;</p><p>d. a área do triângulo AMC.</p><p>29. Uespi</p><p>Na ilustração a seguir, os triângulos ABC e DEF são equiláteros e os lados</p><p>DE, EF e FD são perpendiculares, respectivamente, aos lados BC, CA e</p><p>AB. Qual a razão entre as áreas de ABC e DEF?</p><p>A D B</p><p>E</p><p>F</p><p>C</p><p>a. 3,0</p><p>b. 3,2</p><p>c. 3,4</p><p>d. 3,6</p><p>e. 3,8</p><p>49</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>30. Fuvest-SP</p><p>As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e</p><p>r2 = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é</p><p>tangente a C1, no ponto P1, tangente a C2, no ponto P2, e intercepta a</p><p>reta O1O2</p><p>, no ponto Q. Sendo assim, determine:</p><p>a. o comprimento P1P2;</p><p>b. a área do quadrilátero O1O2P1P2;</p><p>c. a área do triângulo QO2P2.</p><p>31. UFSCar-SP</p><p>Na figura, 0 < a < π</p><p>2</p><p>, C é o centro do círculo, AB</p><p>tangencia o círculo no ponto A e os pontos B, C e D estão alinhados,</p><p>assim como os pontos A, C e E.</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>B A</p><p>α</p><p>Uma condição necessária e suficiente para que as duas áreas sombrea-</p><p>das na figura sejam iguais é:</p><p>a. tg a = a</p><p>b. tg a = 2a</p><p>c. tg a = 4a</p><p>d. tg 2a = a</p><p>e. tg a</p><p>2</p><p>= a</p><p>32. Fuvest-SP</p><p>Na figura, estão representados a circunferência C, de centro O e raio 2, e</p><p>os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:</p><p>A B</p><p>P QO</p><p>01. o ponto O pertence ao segmento PQ;</p><p>02. OP = 1, OQ = 2 ;</p><p>03. A e B são pontos da circunferência, AP ⊥ PQ e</p><p>BQ ⊥ PQ.</p><p>Assim sendo, determine:</p><p>a. a área do triângulo APO;</p><p>b. os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C;</p><p>c. a área da região hachurada.</p><p>33. Cefet-MG</p><p>Para decorar o chão de uma praça, um arquiteto propôs uma figura em</p><p>forma de cálice, iluminada por refletores instalados nos pontos P1 e P2. Em</p><p>seu projeto, abaixo representado, as regiões R e S têm a mesma área; os</p><p>segmentos de reta CD e AB são paralelos; e CD é tangente aos arcos CB e</p><p>DA, os quais são partes de circunferências de raio 3.</p><p>d</p><p>C</p><p>A B</p><p>R</p><p>S</p><p>D</p><p>3</p><p>P1 P2</p><p>A distância entre os refletores, em metros, é:</p><p>a. 3</p><p>4</p><p>π</p><p>b. 3</p><p>2</p><p>π</p><p>c. 5</p><p>4</p><p>π</p><p>d. 5</p><p>2</p><p>π</p><p>e. 7</p><p>4</p><p>π</p><p>34.</p><p>O segmento AB é lado de um hexágono regular de área 3 . O ponto P</p><p>pertence à mediatriz de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale</p><p>2 . Então, a distância de P ao segmento AB é igual a:</p><p>a. 2</p><p>b. 2 2</p><p>c. 3 2</p><p>d. 3</p><p>e. 2 3</p><p>35. Unirio-RJ</p><p>Considere um círculo de raio 2 inscrito num triângulo retângulo com um</p><p>dos catetos de medida igual a 5. Determine a área desse triângulo.</p><p>36. UFTM-MG</p><p>Como parte da estratégia para estimar o valor de sen 40°, uma pessoa</p><p>calculou a área de um eneágono regular, conforme a descrição a seguir.</p><p>I. Recortou em uma cartolina um círculo de raio</p><p>10 cm.</p><p>II. Calculou a área do círculo e determinou, numa balança de pre-</p><p>cisão, a sua massa.</p><p>III. Dividiu a circunferência do círculo em 9 partes iguais e dese-</p><p>nhou um eneágono regular.</p><p>IV. Recortou o eneágono e determinou a sua massa.</p><p>V. Por meio de uma proporção, calculou a área do eneágono.</p><p>Se a área do eneágono calculada por essa pessoa foi 288 cm2, o valor</p><p>mais adequado para a estimativa do sen 40°, segundo essa estraté-</p><p>gia, é:</p><p>a. 0,60</p><p>b. 0,62</p><p>c. 0,64</p><p>d. 0,66</p><p>e. 0,68</p><p>50</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>37. FGV-SP</p><p>Um artista plástico deseja fazer o painel “Quadrados” conforme a figura</p><p>a seguir.</p><p>a. Considerando que a medida do lado cinza escuro é 120 cm e</p><p>que a do quadrado preto é 50 cm, qual é a medida do lado do</p><p>quadrado cinza claro?</p><p>b. Para confeccionar o painel, ele utilizará um material vendido</p><p>somente em placas inteiras de 1,8 m x 1,8 m. Quantas placas</p><p>serão necessárias para produzir o painel?</p><p>c. Um outro profissional, que trabalha com peças miú-</p><p>das, costuma comprar material que sobra da produção dos ar-</p><p>tistas por R$ 250,00 o metro quadrado. Caso sobre material do</p><p>painel confeccionado e o artista queira vendê-lo, quanto este</p><p>receberá?</p><p>d. O comprador de sobra de material quer pagar 20% no ato da</p><p>compra e o restante em 30 e 60 dias com juros compostos de</p><p>1% ao mês, pagando 50% do valor devido ao término do primei-</p><p>ro mês. Quanto pagará no total?</p><p>38.</p><p>Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atin-</p><p>giu rapidamente a cidade de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos</p><p>com destino a cidades situadas em uma região circular com centro no</p><p>vulcão e com raio 25% maior que a distância entre o vulcão e Rio Grande</p><p>foram cancelados. Nesse caso, a área da região que deixou de receber</p><p>voos é:</p><p>a. maior que 10.000 km2.</p><p>b. menor que 8.000 km2.</p><p>c. maior que 8.000 km2 e menor que 9.000 km2.</p><p>d. maior que 9.000 km2 e menor que 10.000 km2.</p><p>39. UFOP-MG</p><p>Na figura a seguir, temos dois círculos: um com centro no ponto O e diâ-</p><p>metro AB, e outro com centro no ponto M e diâmetro OB. Um triângulo</p><p>foi construído ligando-se os pontos A, B e C, que estão sobre a circunfe-</p><p>rência do círculo maior. Levando em conta que a área do círculo menor</p><p>é igual a (100π )u.a. (u.a. = unidade de área) e que a medida do ângulo</p><p>A B C é 30 graus, marque a alternativa que representa a área da região</p><p>hachurada compreendida entre o arco AC e o lado AC .</p><p>30°</p><p>M BOA</p><p>C</p><p>a. 100</p><p>3</p><p>3 2 3π −( )</p><p>b. 100</p><p>3</p><p>3π −( )</p><p>c. 100</p><p>3</p><p>3 3π −( )</p><p>d. 100</p><p>3</p><p>2 3 3π −( )</p><p>40. UFMG-MG</p><p>Nesta figura, o triângulo ABC é retângulo em B, Ĉ = 60°,</p><p>CE = CD = FA = x e BC = 1:</p><p>C</p><p>60°</p><p>x</p><p>x D</p><p>E</p><p>B F x A</p><p>Considerando essas informações:</p><p>a. expresse a área do triângulo CED em função de x;</p><p>b. expresse a área do triângulo EBF em função de x;</p><p>c. calcule o valor de x tal que a soma das áreas dos triângulos CED</p><p>e EBF seja igual à área do quadrilátero EFAD.</p><p>MÓDULO 16 PRISMAS</p><p>01. PUC-RS [branca]</p><p>Em Roma, nosso amigo encontrou um desafio:</p><p>Dado um cubo de aresta a = 2 3 , calcule sua diagonal d. O primeiro que</p><p>acertar o resultado ganha o prêmio de 100 d euros.</p><p>Tales foi o primeiro a chegar ao resultado correto. Portanto, recebeu</p><p>________ euros.</p><p>a. 200</p><p>b. 280</p><p>c. 300</p><p>d. 340</p><p>e. 600</p><p>51</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>02. UFJF-MG [branca]</p><p>Antônio colou pelas faces 7 cubinhos idênticos conforme ilustrado na</p><p>figura a seguir.</p><p>O número mínimo de cubinhos, idênticos aos já utilizados, que Antônio</p><p>deverá acrescentar a essa formação de maneira a completar um cubo é:</p><p>04. UFR-RJ [branca]</p><p>Uma criança, montando cubos de brinquedo, constrói a estrutura repre-</p><p>sentada abaixo. Sabendo-se que cada cubo tem 10 cm de aresta, calcule</p><p>a distância entre os pontos M e N, mostrados na figura.</p><p>A</p><p>O</p><p>AF Ç A</p><p>A R</p><p>R</p><p>F</p><p>O F R</p><p>N</p><p>M</p><p>05. Vunesp [branca/amarela]</p><p>Todo dado cúbico padrão possui as seguintes propriedades:</p><p>– Sobre suas faces estão registrados os números de 1 a 6, na for-</p><p>ma de pontos.</p><p>– A soma dos números registrados, em quaisquer duas de suas</p><p>faces opostas, é sempre igual a 7.</p><p>Se quatro dados cúbicos padrões forem colocados verticalmente, um so-</p><p>bre o outro, em cima de uma superfície plana horizontal, de forma que</p><p>qualquer observador tenha conhecimento apenas do número registrado</p><p>na face horizontal superior do quarto dado, podemos afirmar que, se</p><p>nessa face estiver registrado o número 5, então a soma dos números</p><p>registrados nas faces horizontais não visíveis ao observador será de:</p><p>a. 23</p><p>b. 24</p><p>c. 25</p><p>d. 26</p><p>e. 27</p><p>06. FTT [branca/amarela]</p><p>Sabe-se que nas obras do trecho sul do Rodoanel foram movimentados</p><p>378.000 m³ de areia. Suponha que toda essa areia tenha sido transportada</p><p>em caminhões basculantes iguais ao da figura, que fizeram 28.000 viagens</p><p>com a carroceria totalmente cheia. Nesse caso, é correto afirmar que a al-</p><p>tura da carroceria, indicada por x na figura, é igual a:</p><p>3,60 m 2,50 m</p><p>x</p><p>a. 1,5 m.</p><p>b. 1,7 m.</p><p>c. 1,9 m.</p><p>d. 2,0 m.</p><p>a. 9</p><p>b. 11</p><p>c. 20</p><p>d. 29</p><p>e. 57</p><p>03. Vunesp [branca]</p><p>Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende</p><p>construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente</p><p>da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período</p><p>de um ano.</p><p>As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa,</p><p>a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de</p><p>chuva na região onde o agricultor possui sua casa.</p><p>Figura 1</p><p>Figura 2</p><p>8 m 10 m</p><p>h m</p><p>2 m4 m</p><p>Gráfico</p><p>Mês</p><p>350</p><p>300</p><p>250</p><p>200</p><p>150</p><p>100</p><p>50</p><p>0 jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dezQ</p><p>ua</p><p>nti</p><p>da</p><p>de</p><p>m</p><p>éd</p><p>ia</p><p>d</p><p>e</p><p>ch</p><p>uv</p><p>a</p><p>(m</p><p>m</p><p>)</p><p>Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100</p><p>litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado,</p><p>determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo</p><p>o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de</p><p>10% desse volume.</p><p>52</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>07. ENEM [branca/amarela]</p><p>A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados</p><p>os pontos A e B.</p><p>B</p><p>A</p><p>Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em</p><p>A. A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da</p><p>Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio</p><p>de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto. O</p><p>menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B</p><p>poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:</p><p>a.</p><p>B</p><p>A</p><p>b.</p><p>B</p><p>A</p><p>c.</p><p>B</p><p>A</p><p>d.</p><p>B</p><p>A</p><p>e.</p><p>B</p><p>A</p><p>08. UEL-PR [branca/amarela]</p><p>Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na</p><p>figura a seguir.</p><p>4 cm</p><p>Eixo comum</p><p>12 cm</p><p>10 cm</p><p>A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compre-</p><p>endida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura.</p><p>Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o vo-</p><p>lume da peça?</p><p>a. 640 3 3cm</p><p>b. 1 280 3 3. cm</p><p>c. 2 560 3 3. cm</p><p>d. 320 3 3cm</p><p>e. 1 920 3 3. cm</p><p>09. FGV-SP [amarela/roxa]</p><p>Um mágico quer construir uma caixa fechada de madeira, com a forma</p><p>exata de um cubo, para guardar as suas quatro bengalas. A maior benga-</p><p>la que ele tem mede 1,5 m de comprimento. Contratou o trabalho de um</p><p>marceneiro que cobra R$ 25,00 pelo metro quadrado. Se o mágico quer</p><p>gastar o menor valor possível, quanto deve pagar pela caixa?</p><p>10. UEM-PR [amarela/roxa]</p><p>Considerando que as medidas, em centímetros, dos lados de um paralele-</p><p>pípedo retângulo são três números inteiros consecutivos, tais que o pro-</p><p>duto deles é oito vezes a sua soma, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).</p><p>01. A soma é um múltiplo de 5.</p><p>02. O volume do paralelepípedo é 60 cm3.</p><p>04. A área lateral do paralelepípedo é 148 cm2.</p><p>08. O comprimento da maior diagonal do paralelepípedo é 9 cm.</p><p>16. Uma das medidas dos lados do paralelepípedo é múltiplo de 3.</p><p>11. UFRGS-RS [amarela/roxa]</p><p>Considere um cubo de aresta 10 e um segmento que une o ponto P,</p><p>centro de uma das faces do cubo, ao ponto Q, vértice do cubo, como</p><p>indicado na figura abaixo.</p><p>a. 10</p><p>b. 5 6</p><p>c. 12</p><p>d. 6 5</p><p>e. 15</p><p>12. Ufla-MG [amarela/roxa]</p><p>Um muro de arrimo, com formato trapezoidal e dimensões como indica-</p><p>das na figura, deve ser concretado. O volume de concreto necessário é:</p><p>a. 15 m3</p><p>b. 20 m3</p><p>c. 10 m3</p><p>d. 12 m3</p><p>13. UFOP-MG [roxa]</p><p>Uma chapa retangular de alumínio de 1 m por 60 cm será utilizada para</p><p>fazer um abrigo de forma triangular, sendo dobrada na linha média de sua</p><p>extensão de modo que as abas formem um ângulo a. Veja a seguinte figura:</p><p>50 cm</p><p>60</p><p>c</p><p>m</p><p>1 m</p><p>50</p><p>cm</p><p>60 cm</p><p>B</p><p>A</p><p>α</p><p>C</p><p>D</p><p>a. A área do triângulo ABC depende de a. Seja A(a) essa área, em</p><p>cm2. Calcule o volume do abrigo em função de A(a), em cm3.</p><p>b. Determine a de modo que o volume do abrigo seja máximo.</p><p>Calcule esse volume em cm3, em litros e em m3.</p><p>P</p><p>Q A medida do segmento PQ é:</p><p>2 m</p><p>1 m</p><p>0,5 m</p><p>10 m</p><p>53</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>18. UEG-GO</p><p>Considere um cubo com 3 cm de aresta, subdividido em cubos menores,</p><p>cada um com 1 cm de aresta. Dele foram retirados cubos menores dos cen-</p><p>tros de cada face e um cubo menor do seu centro. A figura I mostra o que</p><p>restou do cubo maior, enquanto a figura II mostra o que foi retirado do cubo.</p><p>Figura I Figura II</p><p>a. Calcule o volume da figura I.</p><p>b. Calcule a área da superfície da figura II.</p><p>19. Ifet-GO</p><p>Um prisma reto de altura 20 cm tem como polígonos das bases triân-</p><p>gulos retângulos de catetos 3 cm e 4 cm. Determine a área total desse</p><p>prisma em cm3.</p><p>14. Ifet-GO [roxa]</p><p>O volume em cm3 de um prisma triangular regular no qual a aresta da</p><p>base mede 2 cm e a altura mede 5 3cm é:</p><p>a. 5</p><p>b. 10</p><p>c. 15</p><p>d. 20</p><p>e. 25</p><p>15. Acafe-SC [roxa]</p><p>Preocupado com o impacto ambiental causado pelo descarte excessivo</p><p>de embalagens, um fabricante pretende utilizar a menor quantidade de</p><p>material possível para embalar seus produtos. Ele está em dúvida entre</p><p>dois tipos de embalagens: caixas de formato cúbico de lado igual a 10 cm</p><p>e caixas em formato de paralelepípedo retângulo com dimensões iguais</p><p>a 10 cm, 20 cm e 5 cm.</p><p>Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir.</p><p>I. Ambas as embalagens utilizam mesma quantidade de material</p><p>em sua confecção.</p><p>II. A embalagem de formato cúbico utiliza menor quantidade de</p><p>material para sua confecção em relação à embalagem com for-</p><p>mato de paralelepípedo retângulo.</p><p>III. Ambas as embalagens têm a mesma capacidade de volume.</p><p>IV. A embalagem com formato de paralelepípedo utiliza 50% a</p><p>mais de material para sua confecção em relação à embala-</p><p>gem cúbica.</p><p>Todas as afirmações corretas estão em:</p><p>a. I – II – III</p><p>b. I – III – IV</p><p>c. II – III</p><p>d. III – IV</p><p>16. UFU-MG [roxa]</p><p>Uma indústria produz e comercializa um recipiente, sem tampa, no forma-</p><p>to de um prisma reto de altura 8 m, cuja base é um hexágono regular de</p><p>lado 2 m. O custo de produção de cada m2 desse recipiente é de R$ 2,00.</p><p>a. Sabendo-se que a indústria agrega um lucro de 15% na venda</p><p>de cada unidade, qual é o valor de venda de cada recipiente?</p><p>b. Caso a indústria venha a produzir outro recipiente, este no for-</p><p>mato de um cubo sem tampa, qual deve ser a medida da aresta</p><p>do cubo para que o custo final de produção de cada unidade</p><p>seja o mesmo do recipiente anterior?</p><p>c. Deseja-se armazenar nesses recipientes o maior volume pos-</p><p>sível de um líquido. Qual dos recipientes tem capacidade para</p><p>armazenar o maior volume desse líquido?</p><p>Para simplificar os cálculos, utilize as aproximações 3 1 5 21 4 5= =, ,e .</p><p>17. Insper-SP</p><p>Na figura a seguir, está representada uma caixa, na forma de um parale-</p><p>lepípedo reto retângulo, cujas três arestas (perpendiculares duas a duas)</p><p>medem x2, y2 e z2. As faces</p><p>opostas desta caixa têm o mesmo desenho.</p><p>Se S representa a soma das áreas de todas as faces e V representa o</p><p>volume da caixa, então a expressão xy xz</p><p>y</p><p>yz</p><p>x2</p><p>+ + é idêntica a:</p><p>a. S</p><p>V2</p><p>b. S</p><p>V2</p><p>c. S</p><p>V</p><p>d. 2S</p><p>V</p><p>e. 2S</p><p>V</p><p>a. 236</p><p>b. 240</p><p>c. 246</p><p>d. 250</p><p>e. 252</p><p>20. ENEM</p><p>Para confeccionar, em madeira, um cesto de lixo que comporá o am-</p><p>biente decorativo de uma sala de aula, um marceneiro utilizará, para</p><p>as faces laterais, retângulos e trapézios isósceles e, para o fundo, um</p><p>quadrilátero, com os lados de mesma medida e ângulos retos. Qual</p><p>das figuras representa o formato de um cesto que possui as caracte-</p><p>rísticas estabelecidas?</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>d.</p><p>e.</p><p>54</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>413Matemática</p><p>01. [branca]</p><p>Calcule:</p><p>a. sen 15°;</p><p>b. cos 105°.</p><p>02. PUC-RJ [branca]</p><p>Se cos 2</p><p>7</p><p>25</p><p>θ( ) = e θ pertence ao primeiro quadrante, então cos θ é</p><p>igual a:</p><p>MÓDULO 05 ADIÇÃO DE ARCOS E ARCO DUPLO</p><p>06. UFTM-MG [branca/amarela]</p><p>No triângulo retângulo PQR, desenhado fora de escala, S é um ponto do</p><p>lado PQ tal que PS = 6 e SR = 10.</p><p>Q</p><p>S</p><p>P R</p><p>Sabendo que RS é bissetriz interna do triângulo PQR, calcule:</p><p>a. o cosseno do ângulo PRS ;</p><p>b. a medida do lado QR.</p><p>07. UFT-TO [branca/amarela]</p><p>Se sen q= 5</p><p>13</p><p>3</p><p>4</p><p>e θ π π∈ </p><p></p><p></p><p></p><p>, , então o valor de tg(2q) é:</p><p>08. UEPB [branca/amarela]</p><p>Sabendo que cotg x = 1</p><p>2</p><p>, o valor da tg 2x é igual a:</p><p>09. Cefet-SP [amarela/roxa]</p><p>Assinale a alternativa que corresponde ao menor valor positivo que é</p><p>solução da equação sen(2x) – sen(x) = 0.</p><p>a. π</p><p>3</p><p>b.</p><p>π</p><p>4</p><p>c. 2</p><p>5</p><p>π</p><p>d. 3</p><p>5</p><p>π</p><p>e. 3</p><p>8</p><p>π</p><p>a. 4</p><p>5</p><p>b. 3</p><p>5</p><p>c. 5</p><p>3</p><p>d. 5</p><p>7</p><p>e. 3</p><p>2</p><p>03. Unicid-SP [branca]</p><p>Sabendo-se que sen(x) + cos(x) = k, com k ∈, então o valor de sen (2x),</p><p>em termos de k, é:</p><p>04. UCFPel-RS [branca]</p><p>Sabendo que sen 30° =</p><p>1</p><p>2</p><p>, então pode-se afirmar que</p><p>sen 15° · cos 15° é:</p><p>05. Fuvest-SP [branca/amarela]</p><p>O valor de (sen 22° 30’ + cos 22° 30’)2 é:</p><p>a. k2 – 1</p><p>b. k + 1</p><p>c. k2 + 1</p><p>d. k – 1</p><p>e. 1 – k</p><p>a. 1</p><p>4</p><p>b. 2</p><p>3</p><p>c. 3</p><p>4</p><p>d. 3</p><p>2</p><p>e. 1</p><p>2</p><p>a. 3</p><p>2</p><p>b. 2 3</p><p>2</p><p>+</p><p>c. 2 2</p><p>2</p><p>+</p><p>d. 1</p><p>e. 2</p><p>a. − 12</p><p>13</p><p>b. − 120</p><p>119</p><p>c. 120</p><p>119</p><p>d. 1</p><p>e. 3</p><p>3</p><p>a. − 1</p><p>2</p><p>b.</p><p>4</p><p>5</p><p>c. 4</p><p>3</p><p>d. –1</p><p>e. − 4</p><p>3</p><p>55</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>413 Matemáti ca</p><p>10. Uninove-SP [amarela/roxa]</p><p>Uma expressão equivalente a sen2</p><p>1 2</p><p>θ</p><p>θ+ cos</p><p>é:</p><p>3 m</p><p>1 m</p><p>O</p><p>A B</p><p>Figura 1</p><p>3 m</p><p>1 m ?</p><p>O</p><p>A B C</p><p>Figura 2</p><p>15. UEMS [roxa]</p><p>Se, na figura, C é uma circunferência de raio R, AT e AB são tangentes à</p><p>circunferência e d = A0.</p><p>T</p><p>A</p><p>C</p><p>O</p><p>R</p><p>B</p><p>Então, a distância de T a AB é:</p><p>a. 2R – R2</p><p>b. 2R(d2 – R2)</p><p>c.</p><p>2R d</p><p>d</p><p>2</p><p>2</p><p>−( )R2</p><p>d.</p><p>2R 1</p><p>d2</p><p>−( )R2</p><p>e. Todas as anteriores estão incorretas.</p><p>16. Fuvest-SP [roxa]</p><p>Sejam x e y dois números reais, com 0</p><p>2</p><p>< <x</p><p>π e π π</p><p>2</p><p>< <y , satisfazendo</p><p>seny = 4</p><p>5</p><p>e 11 senx + 5 cos(y – x) = 3.</p><p>Nessas condições, determine:</p><p>a. cosy;</p><p>b. sen2x.</p><p>a. sen q</p><p>b. cos q</p><p>c. tg q</p><p>d. sec q</p><p>e. cotg q</p><p>11. Unicid-SP [amarela/roxa]</p><p>No intervalo [0, 2π], o número de solução da equação</p><p>sen x – cos x = 2 · sen(2x) é:</p><p>a. 3</p><p>b. 4</p><p>c. 5</p><p>d. 6</p><p>e. 7</p><p>12. UFOP-MG [amarela/roxa]</p><p>Sendo 1 + a = tgq, marque a alternativa que representa a expressão de</p><p>sen2q em função de a.</p><p>a. − −</p><p>+ +</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>a a</p><p>a a</p><p>b. 2 2</p><p>2 2</p><p>+</p><p>− −</p><p>a</p><p>a a</p><p>c. 2 2</p><p>2 2 2</p><p>+</p><p>+ +</p><p>a</p><p>a a</p><p>d. 1</p><p>2 2 2</p><p>+</p><p>+ +</p><p>a</p><p>a a</p><p>13. Insper-SP [roxa]</p><p>Na figura, em que as retas r e s são paralelas, A é um ponto que dista 1</p><p>de r e 2 de s. Dada uma medida a, em graus, tal que 0 < α < 90, tomam-</p><p>se os pontos B e P sobre r e C e Q sobre s tais que m(A B P) = m(A C Q) = α.</p><p>P B</p><p>Q C</p><p>A</p><p>r</p><p>s</p><p>Nessas condições, a área do triângulo ABC é igual a:</p><p>a) tga</p><p>b) 2tga</p><p>c) tgα · cotga</p><p>d) cotga</p><p>e) 2cotga</p><p>14. UFMS [roxa]</p><p>Uma luminária cônica circular, de abertura angular de</p><p>q graus, posicionada a 3 metros do chão, com o segmento AO perpendi-</p><p>cular ao segmento AB, projeta uma elipse de luz no chão de eixo maior</p><p>com 1 m de comprimento, como ilustrado na figura 1. Se deslocarmos</p><p>em q graus a luminária, como ilustrado na figura 2, qual será o compri-</p><p>mento do eixo maior, em centímetros, da nova elipse de luz no chão?</p><p>(Considere θ = ângulo formado entre os segmentos AO e BO = ângulo</p><p>formado entre os segmentos BO e CO, como nas figuras.)</p><p>56</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>413Matemática</p><p>17. UFPE</p><p>As raízes da equação x2 – 3x + 2 = 0 são tga e tgβ. Pode-se afirmar que</p><p>tg(a + β)é igual a:</p><p>a. 3</p><p>b. 2</p><p>c. –2</p><p>d. –3</p><p>e. 0</p><p>18. UEPB</p><p>Um triângulo tem dois dos seus ângulos internos medin-</p><p>do a e 2a, os lados opostos a estes ângulos têm 1 cm e</p><p>2 cm de comprimento, respectivamente. O ângulo a mede:</p><p>a. 90°</p><p>b. 60°</p><p>c. 30°</p><p>d. 45°</p><p>e. 120°</p><p>19. Ibmec-SP</p><p>Seja q a medida, em graus, de um ângulo agudo.</p><p>Se 4 sen(2q) = 13 cos2q, então pode-se concluir que:</p><p>a. 0° < q < 15°</p><p>b. 15° < q < 30°</p><p>c. 30° < q < 45°</p><p>d. 45° < q < 60°</p><p>e. 60° < q < 90°</p><p>20. UERJ</p><p>Considere o teorema e os dados a seguir para a solução desta questão.</p><p>Se a, β e a + β são três ângulos diferentes de</p><p>π π</p><p>2</p><p>+ k ,</p><p>k ∈, então tg</p><p>tg tg</p><p>tg tg</p><p>( )α β α β</p><p>α β</p><p>+ = +</p><p>− ⋅1</p><p>.</p><p>a, b e c são três ângulos agudos, sendo</p><p>tgb = 2 e tg (a + b + c) = 4</p><p>5</p><p>. Calcule tg(a – b + c).</p><p>MÓDULO 06 ARCOS TRIGONOMÉTRICOS</p><p>01. [branca]</p><p>O valor de sen 1.230° + cos 1.560° é:</p><p>04. [branca]</p><p>O valor de E sen sen sen sen sen= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π π π π π</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>6</p><p>4</p><p>6</p><p>100</p><p>6</p><p>... é:</p><p>a. – 2</p><p>b. 3</p><p>2</p><p>c. 1</p><p>2</p><p>d. − 2</p><p>2</p><p>e. 0</p><p>02. [branca]</p><p>Qual dentre os dois é maior: sen</p><p>26</p><p>3</p><p>π ou tg</p><p>45</p><p>4</p><p>π ?</p><p>03. PUC-SP [branca]</p><p>O valor de sen 1.200° é:</p><p>a. 1</p><p>2</p><p>b. − 3</p><p>2</p><p>c. 3</p><p>2</p><p>d. − 1</p><p>2</p><p>e. 2</p><p>2</p><p>05. [branca/amarela]</p><p>Marcando no ciclo trigonométrico as extremidades dos arcos de expres-</p><p>são geral igual a k · 70°, k ∈ , obtemos as vértices de um polígono</p><p>regular cujo número de lados é igual a:</p><p>a. 5</p><p>b. 7</p><p>c. 9</p><p>d. 18</p><p>e. 36</p><p>a. 2–100</p><p>b. 3–50</p><p>c. 3</p><p>50( )−</p><p>d. 2–50 · 325</p><p>e. zero</p><p>06. [branca/amarela]</p><p>Unindo os pontos que são extremidades dos arcos dados pela expressão</p><p>π π</p><p>6 4</p><p>+ k · (k ∈ ), obtemos um:</p><p>a. quadrilátero.</p><p>b. quadrado.</p><p>c. pentágono regular.</p><p>d. octógono regular.</p><p>e. pentadecágono regular.</p><p>57</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>413 Matemática</p><p>07. Cefet-MG [branca/amarela]</p><p>Na circunferência abaixo, o ponto M representa a imagem de um arco de</p><p>medida, em radianos, igual a:</p><p>0</p><p>M</p><p>a. − 56</p><p>3</p><p>π</p><p>b. − 7</p><p>4</p><p>π</p><p>c. − 5</p><p>6</p><p>π</p><p>d. − 21</p><p>5</p><p>π</p><p>08. UEPB [branca/amarela]</p><p>O valor da expressão tg tg</p><p>8</p><p>3</p><p>3 930</p><p>π</p><p>− − °( ) é:</p><p>a. 2 1</p><p>2</p><p>−</p><p>b. − −2 2</p><p>2</p><p>c. − +2 1</p><p>2</p><p>d. 2 1−</p><p>e. − 2</p><p>2</p><p>a. 3</p><p>b. −2 3</p><p>c. 0</p><p>d. – 3</p><p>e. 3</p><p>09. UEG-GO [amarela/roxa]</p><p>No ciclo trigonométrico, as funções seno e cosseno são definidas para</p><p>todos os números reais. Em relação às imagens dessas funções, é cor-</p><p>reto afirmar:</p><p>a. sen (7) > 0</p><p>b. sen (8) < 0</p><p>c. cos ( 5 ) > 0</p><p>d. cos ( 5 ) > sen (8)</p><p>10. Unemat-MT [amarela/roxa]</p><p>Quanto ao arco 4.555°, é correto afirmar:</p><p>a. Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo</p><p>de 55°.</p><p>b. Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo</p><p>de 75°.</p><p>c. Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo</p><p>de 195°.</p><p>d. Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo</p><p>de 3.115°.</p><p>e. Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo</p><p>de 4.195°.</p><p>11. UEPB [amarela/roxa]</p><p>O valor de sen x + tg x, com x = −105</p><p>4</p><p>π é igual a:</p><p>12. Unimontes-MG [amarela/roxa]</p><p>Sabendo que sen e</p><p>π π</p><p>3</p><p>3</p><p>2 6</p><p>3</p><p>2</p><p>= =cos , os valores de</p><p>sen e</p><p>22</p><p>3</p><p>16</p><p>6</p><p>π π</p><p>cos −</p><p></p><p></p><p></p><p>são, respectivamente:</p><p>a. − −3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>e</p><p>b. − 3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>e</p><p>c. 3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>e −</p><p>d. 3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>e</p><p>13. UFOP-MG [roxa]</p><p>Determine os valores de:</p><p>a. cos</p><p>10</p><p>3</p><p>π</p><p></p><p></p><p></p><p>;</p><p>b. cossec −</p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>4</p><p>.</p><p>14. UFAM [roxa]</p><p>O menor valor não negativo côngruo ao arco de</p><p>21</p><p>5</p><p>π</p><p>rad é igual:</p><p>a. π</p><p>5</p><p>rad</p><p>b. 7</p><p>5</p><p>π</p><p>rad</p><p>c. π rad</p><p>d. 9</p><p>5</p><p>π</p><p>rad</p><p>e. 2 π rad</p><p>15. IPA-PE [roxa]</p><p>O valor de cos 7π é igual ao valor de:</p><p>a. sen 2π</p><p>b. sen 3</p><p>2</p><p>π</p><p>c. cos 3</p><p>2</p><p>π</p><p>d. sen 7π</p><p>e. cos 2π</p><p>58</p><p>413Matemática</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>16. UFRGS-RS [roxa]</p><p>Sendo k um número inteiro, o número de valores distintos de cos</p><p>kπ</p><p>12 é:</p><p>19.</p><p>Sendo x =(–1)k π π</p><p>6</p><p>+ ∈k k, </p><p>, então senx é igual a:</p><p>a. ± 3</p><p>2</p><p>b. ± 2</p><p>2</p><p>c. ± 1</p><p>2</p><p>d. ± ±1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>ou</p><p>e. 1</p><p>2</p><p>20. UEPA</p><p>Em protesto ao Plano de Reforma Agrária, não realizado pelo governo fe-</p><p>deral, um grupo de trabalhadores pertencentes ao MST partiu em direção</p><p>a uma fazenda, situada numa região próxima, na intenção de invadi-la.</p><p>Após percorrerem certa distância, pararam em um cruzamento porque</p><p>alguns dos trabalhadores se manifestaram em dúvida quanto ao caminho</p><p>a ser seguido. Após longa discussão, cinco afirmações foram feitas, sendo</p><p>que apenas uma delas é a correta, pois o caminho a ser seguido tinha a</p><p>mesma direção e sentido do anterior. A afirmação correta foi:</p><p>a. girando 8π rd, seguiremos na mesma direção e sentido.</p><p>b. girando 7</p><p>2</p><p>π rd, seguiremos na mesma direção e sentido con-</p><p>trário.</p><p>c. girando 3</p><p>4</p><p>π rd, seguiremos na mesma direção e sentido.</p><p>d. girando 5</p><p>2</p><p>π rd, seguiremos na mesma direção e sentido con-</p><p>trário.</p><p>e. girando 5π rd, seguiremos na mesma direção e sentido.</p><p>17. UTFPR</p><p>O valor da expressão:</p><p>y</p><p>sen</p><p>tg</p><p>=</p><p>° − − °</p><p>° + − °</p><p>2 910 3 195</p><p>2 580 1 770</p><p>. cos( . )</p><p>cossec( . ) ( . )</p><p>é:</p><p>a. 1 3</p><p>2</p><p>−</p><p>b. 3 1</p><p>6</p><p>−</p><p>c. 6 2</p><p>6</p><p>−</p><p>d. 1</p><p>e. 3 6</p><p>6</p><p>−</p><p>18. Mackenzie-SP</p><p>Sejam os conjuntos:</p><p>A y y sen</p><p>k</p><p>k e</p><p>B y y</p><p>k</p><p>k</p><p>= ∈ = ∈{ }</p><p>= ∈ = ∈{ }</p><p>� �</p><p>� �</p><p>| ,</p><p>| cos , .</p><p>π</p><p>π</p><p>3</p><p>6</p><p>Então, o número de elementos de A ∩ B é:</p><p>MÓDULO 07 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM R</p><p>01. [branca]</p><p>Resolver em : 2 senx – 3 = 0.</p><p>02. Uespi [branca]</p><p>A igualdade tgx = 1 é válida para:</p><p>a. x k k= + ∈π π</p><p>4</p><p>2 ( )</p><p>b. x k k= + ∈π π</p><p>4</p><p>( )</p><p>c. x k k= + ∈π π</p><p>2</p><p>2 ( )</p><p>d. x k k= + ∈π π</p><p>2</p><p>( )</p><p>e. x k k= + ∈3</p><p>4</p><p>2</p><p>π π ( )</p><p>03. [branca]</p><p>Resolva em :</p><p>a. sen x</p><p>π</p><p>3</p><p>1+</p><p></p><p></p><p> = ;</p><p>b. tg x2</p><p>6</p><p>1+</p><p></p><p></p><p> = −π .</p><p>a. 12</p><p>b. 13</p><p>c. 16</p><p>d. 24</p><p>e. 25</p><p>a. 1</p><p>b. 2</p><p>c. 3</p><p>d. 4</p><p>e. infinito.</p><p>59</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>413 Matemáti ca</p><p>04. FMIt-MG [branca]</p><p>Os valores de x que satisfazem a equação</p><p>cos ,3</p><p>5</p><p>0x k−</p><p></p><p></p><p> = ∈( )π</p><p></p><p>, são:</p><p>a. x k= +7</p><p>30 3</p><p>π π</p><p>b. x k= +7</p><p>15 3</p><p>π π</p><p>c. x k= +7</p><p>2 3</p><p>π π</p><p>d. x k= +7</p><p>5 2</p><p>π π</p><p>05. Ufla-MG [branca/amarela]</p><p>O conjunto-verdade (conjunto solução) da equação</p><p>senx = 2</p><p>2</p><p>é:</p><p>a. x x k k∈ = ± + ∈{ }� �| ,</p><p>π π</p><p>4</p><p>2</p><p>b. x x k k x x k k∈ = + ∈{ }∪ ∈ = + ∈{ }� � � �| , | ,</p><p>π π π π</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>c. x x k k x x k k∈ = + ∈{ }∩ ∈ = + ∈{ }� � � �| , | ,</p><p>π π π π</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>d. x x k k x x k k∈ = + ∈{ }∪ ∈ = − + ∈{ }� � � �| , | ,</p><p>π π π π</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>06. UFJF-MG [branca/amarela]</p><p>O conjunto-verdade da equação cosx = 2</p><p>2</p><p>é:</p><p>a. {x∈| x = 2kπ +</p><p>π</p><p>4</p><p>, com k ∈ Z+}</p><p>b. {x∈| x = kπ ± π</p><p>4</p><p>, com k ∈ Z+}</p><p>c. {x∈| x = 2kπ ± π</p><p>4</p><p>, com k ∈ Z+}</p><p>d. {x∈| x = 2kπ –</p><p>π</p><p>4</p><p>, com k ∈ Z+}</p><p>e. {x∈| x = kπ +</p><p>π</p><p>4</p><p>, com k ∈ Z+}</p><p>07. UFRN [branca/amarela]</p><p>A equação (sen x)2 – 5 (sen x) + 6 = 0:</p><p>a. admite mais de duas raízes.</p><p>b. admite exatamente duas raízes.</p><p>c. admite uma única raiz.</p><p>d. não admite raiz.</p><p>08. Fatec-SP [branca/amarela]</p><p>Se x é um número real tal que sen2 x – 3 sen x = –2, então, x é igual a:</p><p>a.</p><p>π</p><p>π</p><p>2</p><p>+ ∈k k, </p><p>b.</p><p>3</p><p>2</p><p>π</p><p>π+ ∈k k, </p><p>c. 3</p><p>2</p><p>2</p><p>π</p><p>π π+ ⋅ ∈k k, </p><p>d. π π</p><p>2</p><p>2+ ∈k k, </p><p>e. π π</p><p>4</p><p>+ ∈k k, </p><p>09. Udesc [amarela/roxa]</p><p>Encontre os valores de tgx que satisfazem</p><p>8 sen2 x – 6senx cos x + 7 cos2 x = 5.</p><p>10. UFSJ-MG [amarela/roxa]</p><p>Uma aluna do 3º ano do Ensino Médio apresen-</p><p>tou a seguinte resolução para a equação trigonométrica</p><p>sen2(x) – sen(x) = 0:</p><p>sen2x – senx = 0</p><p>senx (senx – 1) = 0</p><p>Então, senx = 0 ou senx = 1</p><p>Assim, x = 90° ou x = 180°, pois sen180° = 0 e sen90° = 1</p><p>Considerando a resolução descrita acima, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. A resposta da aluna está incompleta, pois não contempla todas</p><p>as soluções da equação trigonométrica dada.</p><p>II. Os valores encontrados pela aluna não são soluções da equação</p><p>em questão.</p><p>III. Uma resposta correta para essa equação trigonométrica seria:</p><p>x x k ou x k∈ = = +{ }| 2 2</p><p>2</p><p>π π π .</p><p>Com base nessa análise, está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s).</p><p>a. II e III.</p><p>b. I e II.</p><p>c. I e III.</p><p>d. I.</p><p>11. Cesgranrio-RJ [amarela/roxa]</p><p>Resolva a equação (cos x + sen x)2 = 1</p><p>2</p><p>.</p><p>12. UFJF-MG [amarela/roxa]</p><p>Utilizando as relações</p><p>cos(a + b) = cosa · cosb – sena · senb e</p><p>sen(a + b) = sena · cosb – sena · cosb:</p><p>a. escreva sen (2x) e cos(2x) em função de sen x e cos x;</p><p>b. mostre que 2 sen2x – sen(2x) + 2 cos(2x) =</p><p>= 2 cosx (cosx – senx);</p><p>c. resolva a equação 2 sen2x – sen(2x) + 2 cos(2x) = 0.</p><p>60</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>413Matemática</p><p>13. Urca-CE [roxa]</p><p>Marque a alternativa que representa o conjunto de todas as soluções</p><p>reais da equação sen4x + cos4x = 1.</p><p>a. x x k ou x k k∈ = + = ∈{ }� �| ,</p><p>π π π</p><p>2</p><p>b. x x k e x k k∈ = + = ∈{ }� �| ,</p><p>π π π</p><p>2</p><p>c. x x k ou x k k∈ = + ⋅ = ⋅ ∈{ }� �| ,</p><p>π π π</p><p>2</p><p>2 2</p><p>d. x x k e x k k∈ = + ⋅ = ⋅ ∈{ }� �| ,</p><p>π π π</p><p>2</p><p>2 2</p><p>e. x x k e k∈ = + ∈{ }� �|</p><p>π π</p><p>2</p><p>14. Urca-CE [roxa]</p><p>A solução da equação sen x = 3 (secx – cosx) é:</p><p>a. x k ou x k= = +π π π</p><p>6</p><p>b. x k= +π π</p><p>6</p><p>c. x k ou x k= = +π π π</p><p>3</p><p>d. x k= +π π</p><p>3</p><p>e. x = kπ</p><p>15. UFBA [roxa]</p><p>Sendo x a medida de um arco, em radianos, determine as soluções da</p><p>equação:</p><p>4</p><p>4 2</p><p>7</p><p>11</p><p>2</p><p>2cos cos cos( )</p><p>π π π π</p><p></p><p></p><p> ⋅ −</p><p></p><p></p><p> − + + </p><p></p><p></p><p>x sen x x sen = 0</p><p>que pertecem ao intervalo [–6, 8].</p><p>16. UFPE [roxa]</p><p>Quantas soluções a equação trigonométrica</p><p>sen x x= −1 cos</p><p>admite no intervalo [0,80π]?</p><p>17. Vunesp [roxa]</p><p>Determine um valor de n ∈ *, tal que π</p><p>n</p><p>seja solução da equação: 8</p><p>cos4q – 8 cos2q + 1 = 0.</p><p>18. UFAM</p><p>A solução da equação trigonométrica 2 cosx – 5 secx = 9 é igual a:</p><p>a. S x k k= = ±{ }π π</p><p>4</p><p>; inteiro</p><p>b. S x k k= = ±{ }π π</p><p>6</p><p>; inteiro</p><p>c. S x k k= = ±{ }2</p><p>2</p><p>3</p><p>π</p><p>π</p><p>; inteiro</p><p>d. S x k k= = ±{ }2</p><p>4</p><p>π π</p><p>; inteiro</p><p>e. S x k k= = ±{ }2</p><p>6</p><p>π π</p><p>; inteiro</p><p>19. EFOMM-RJ modificado</p><p>A localização de um alvo por um radar obedece à seguinte equação tri-</p><p>gonométrica: sen x · cos x = 1</p><p>2</p><p>, para o ângulo que se determina a posi-</p><p>ção, e x é expresso em radianos para todo x ∈.</p><p>a. x x k com k∈ = + ∈{ }� �| ,</p><p>π π</p><p>4</p><p>b. π π</p><p>4</p><p>5</p><p>4</p><p>,</p><p>( ){ } para 0 ≤ x ≤ 2 π</p><p>c. x x k com k∈ = + ∈{ }� �| ,</p><p>π π</p><p>2</p><p>2</p><p>d. x x com k∈ = ∈{ }� �|</p><p>e. x x</p><p>k</p><p>com k∈ = ∈{ }� �|</p><p>( )</p><p>,</p><p>π</p><p>2</p><p>20. Uespi</p><p>Quantas soluções a equação trigonométrica sen6x + cos6x = 1 admite no</p><p>intervalo [0, 100]?</p><p>a. 64</p><p>b. 60</p><p>c. 56</p><p>d. 52</p><p>e. 48</p><p>61</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>413 Matemática</p><p>01. Unifra-RS [branca]</p><p>Os números complexos z1 = 4 – 5i e z2 = 8x + yi têm x e y como números</p><p>reais. Se z1 = z2, então o quociente y : x é:</p><p>a. –10</p><p>b. − 1</p><p>10</p><p>c. − 2</p><p>5</p><p>d.</p><p>1</p><p>10</p><p>e. 10</p><p>02. UTFPR [branca]</p><p>Sejam z1 e z2 dois números complexos, sendo</p><p>z1 = (x1 + x2) + (3x2 – x3)i e z2 = (2x1 + 4) + (1 – x3)i.</p><p>Se z1 = z2, pode-se afirmar que:</p><p>a. x2 = – 3</p><p>b. x1 = 11</p><p>3</p><p>c. x1 = 13</p><p>3</p><p>d. x2 = 1</p><p>e. x2 = 1</p><p>3</p><p>03. UEPB [branca]</p><p>Considerando a unidade imaginária i, o produto das raízes da equação x4</p><p>+ 10x2 – 24 = 0 é igual a:</p><p>a. –12</p><p>b. 6</p><p>c. 2 2</p><p>d. – 2 2</p><p>e. –24</p><p>04. UEPG-PR [branca]</p><p>Sendo z1 e z2 as soluções da equação z · z + (z – z) = 13 + 4i (em que z é o</p><p>conjugado de z), assinale o que for correto.</p><p>01. z1 – z2 é um imaginário puro.</p><p>02. z1 · z2 é um número real.</p><p>03. z z1</p><p>2</p><p>2</p><p>2+ = 10</p><p>08. z1 + z2 é um imaginário puro.</p><p>16. z1 e z2 são conjugados.</p><p>MÓDULO 08 NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA ALGÉBRICA</p><p>05. UEL-PR [branca/amarela]</p><p>Seja o número complexo z = x + yi, no qual x, y ∈ . Se</p><p>z · (1 – i) = (1 + i)2, então:</p><p>a. x = y</p><p>b. x – y = 2</p><p>c. x · y = 1</p><p>d. x + y = 0</p><p>e. y = 2x</p><p>06. FEI-SP [branca/amarela]</p><p>Seja o número complexo z, tal que 3z + 2z = 10 + 5i. Então, z · z é igual a:</p><p>a. 2 + 5i</p><p>b. 29</p><p>c. 5</p><p>d. 2</p><p>e. –24</p><p>07. Unicid [roxa]</p><p>Sejam dois números complexos Z1 e Z2. Sabendo-se que (Z1 + Z2) = i e que</p><p>(Z1 · Z2) = 1, então a soma dos quadrados de Z1 e Z2 é:</p><p>a. –3</p><p>b. 1</p><p>c. i–2</p><p>d. –i–2</p><p>e. 0</p><p>08. Ufla-MG [branca/amarela]</p><p>Sejam z = a + ib e z = a – ib números complexos conjugados, sendo a e b</p><p>números reais e i a unidade imaginária. O número zz – b(z + z) é igual a:</p><p>a. (a + b)2</p><p>b. a2 – b2</p><p>c. a2 + b2</p><p>d. (a – b)2</p><p>09. Unimontes-MG [amarela/roxa]</p><p>Para a equação ix2 – x + 2i = 0, em que i = −1 , as afirmações abaixo são</p><p>verdadeiras, exceto:</p><p>a. A soma das raízes é 2.</p><p>b. O discriminante é 9.</p><p>c. As</p><p>raízes são imaginárias.</p><p>d. As raízes podem ser encontradas por fatoração, usando-se nú-</p><p>meros imaginários.</p><p>10. UFPA [amarela/roxa]</p><p>Se x e y são números reais positivos tais que x2 = 4y, então a equação em</p><p>z, dada por z2 – xz + y = 0, tem duas raízes:</p><p>a. reais e distintas.</p><p>b. nulas.</p><p>c. reais e iguais.</p><p>d. complexas não reais.</p><p>e. uma real e uma complexa não real.</p><p>62</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>413Matemática</p><p>11. UEL-PR [amarela/roxa]</p><p>Qual é a parte real do número complexo z = a + bi, com a e b reais e a ></p><p>0 e b > 0, cujo quadrado é –5 + 12i?</p><p>15. UFPE [roxa]</p><p>Se a e b são inteiros positivos, e o número complexo</p><p>(a + bi)3 – 11i também é inteiro, calcule a e b e assinale a2 + b2.</p><p>16. UBMec-SP [roxa]</p><p>a. As equações abaixo devem ser resolvidas em C; i representa a uni-</p><p>dade imaginária, isto é, i2 = –1. Resolva a equação z2 – 9iz – 8 = 0.</p><p>17. UFRJ</p><p>A soma de um número complexo z com seu conjugado é igual a 3 vezes</p><p>a parte imaginária de z, e o produto de z pelo seu conjugado vale 52.</p><p>Determine z, sabendo que sua parte real é positiva.</p><p>18. UFRJ</p><p>Encontre o conjunto solução da equação (1 + i)x + (1 – i) = 0 em que i é a</p><p>unidade imaginária.</p><p>19. Unesp</p><p>Seja z = x + yi um número complexo, com x e y números reais e i a uni-</p><p>dade imaginária.</p><p>a. Determine, em função de x e y, a parte real e a parte imaginária</p><p>de 2z – i + z, com z indicando o conjugado de z.</p><p>b. Determine z que seja solução da equação</p><p>2z – i + z = 0.</p><p>20. ITA-SP</p><p>Se z1 e z2 são números complexos nos quais z1 + z2 e z1 · z2 são números</p><p>reais, o que se pode concluir sobre z1 e z2?</p><p>a. 1</p><p>3</p><p>b.</p><p>1</p><p>2</p><p>c. 1</p><p>d. 2</p><p>e. 3</p><p>12. Insper-SP [amarela/roxa]</p><p>Considere dois números reais p e q. Suponha que z e w são dois números</p><p>complexos cuja soma é igual a p e cuja diferença é igual a qi, um imaginá-</p><p>rio puro, sendo i a unidade imaginária (tal que i2 = –1). Então:</p><p>a. z é um imaginário puro.</p><p>b. z e w são conjugados.</p><p>c. w é um imaginário puro.</p><p>d. z2 – w2 é um número real.</p><p>e. zw é um imaginário puro.</p><p>13. Fuvest-SP modificado [roxa]</p><p>Determine todas as soluções, no campo complexo, da equa-</p><p>ção z = i · z2, em que i é a unidade imaginária, isto é,</p><p>i2 = –1 e z é o conjugado de z.</p><p>14. Vunesp [roxa]</p><p>Considere os números complexos z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), em que i é a</p><p>unidade imaginária e x é um número real. Determine:</p><p>a. o número complexo z1 · z2 em função de x;</p><p>b. os valores de x tais que Re (z1 · z2) ≤ Im (z1 · z2), em que Re denota</p><p>a parte real e Im denota a parte imaginária do número complexo.</p><p>no intervalo [0, 1].</p><p>d. a equação f(x) = 1 possui três soluções reais distintas.</p><p>11. UFF modificado [amarela/roxa]</p><p>Considere a função f definida por f x</p><p>x se x</p><p>x se x</p><p>( )</p><p>, | |</p><p>, | |</p><p>=</p><p><</p><p>≥</p><p></p><p></p><p></p><p>4 4</p><p>43</p><p>Pede-se:</p><p>a. f(0)</p><p>b. a = f( – 2 )</p><p>c. f(a)</p><p>12. [amarela/roxa]</p><p>Resolva em  a inequação |x| < x.</p><p>13. UFRJ [roxa]</p><p>Seja f a função real dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0. Determine a, b e</p><p>c, sabendo que as raízes da equação |f (x)| = 12 são – 2, 1, 2 e 5. Justifique.</p><p>14. Fuvest-SP [roxa]</p><p>a. Represente no plano cartesiano os gráficos das funções f(x) =</p><p>|4 – x2| e g(x) = x + 7</p><p>2</p><p>b. Resolva a inequação |4 – x2| ≤ x + 7</p><p>2</p><p>15. Fuvest-SP [roxa]</p><p>Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x)</p><p>= x2 – 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.</p><p>a. Esboçar, no plano cartesiano representado ao lado, os gráficos</p><p>de f e de g quando m = 1</p><p>4</p><p>e m = 1.</p><p>b. Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = 1</p><p>2</p><p>.</p><p>c. Determinar, em função de m, o número de raízes da equação</p><p>f(x) = g(x)</p><p>16. PUC–RJ [roxa]</p><p>O conjunto dos números reais x tais que |x – 2|< |x – 5| é:</p><p>a. vazio.</p><p>b. finito.</p><p>c. o conjunto de todos os números reais menores que 7/2.</p><p>d. o conjunto de todos os números reais entre 2 e 5.</p><p>e. o conjunto de todos os números reais.</p><p>17. UFBA modificado</p><p>Considerando–se as funções f: R → R e g: R → R definidas pela equação</p><p>f(x) = |2x2 – 2x| + 7x e g(x) = x3 + 2x2 + 4x, determine o conjunto solução</p><p>da equação f(x) = g(x).</p><p>18. FGV–SP</p><p>A soma dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as</p><p>igualdades: |x – 5 |< 3 e ∅|x – 4| ≥ 1 é:</p><p>a. 25</p><p>b. 13</p><p>c. 16</p><p>d. 18</p><p>e. 21</p><p>19. Unesp</p><p>Sejam a e b dois números reais positivos tais que a < b e a + b = 4. Se o</p><p>gráfico da função y = |x – a| + |x – b| coincide com a função y = 2 no</p><p>intervalo a < x < b, calcule os valores de a e b.</p><p>20.</p><p>A equação |2x + 3|= ax + 1</p><p>a. não possui solução para a < 2.</p><p>b. possui duas soluções para a maior que 2.</p><p>c. possui solução única para a < 2</p><p>3</p><p>.</p><p>d. possui solução única para –2 < a < 2</p><p>3</p><p>.</p><p>e. possui duas soluções para –2 < a < 2</p><p>3</p><p>.</p><p>12</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemática</p><p>01. PUC-RJ [branca]</p><p>Uma das soluções da equação</p><p>x</p><p>x x</p><p>=</p><p>= ⇒ =</p><p>1 38</p><p>1 56</p><p>138</p><p>156</p><p>69</p><p>78</p><p>,</p><p>,</p><p>é:</p><p>a. x = 1</p><p>b. x = 0</p><p>c. x = 2</p><p>d. x = – 2</p><p>e. x = 3</p><p>02. Fuvest-SP [branca]</p><p>Seja f(x) = 22x+1. Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que:</p><p>a. a + b = 2</p><p>b. a + b = 1</p><p>c. a – b = 3</p><p>d. a + b = 3</p><p>e. a – b = 1</p><p>03. FCC [branca]</p><p>A solução da equação 0,52x = 0,251 – x é um número tal que:</p><p>a. 0 < x < 1</p><p>b. 1 < x < 2</p><p>c. 2 < x < 3</p><p>d. x > 3</p><p>e. x < 0</p><p>04. Unimep-SP [branca]</p><p>O valor de x que torna verdadeira a sentença (0,125)x = 0,5 é:</p><p>a. – 3</p><p>b. 3</p><p>c. − 1</p><p>3</p><p>d. − 2</p><p>3</p><p>e. + 1</p><p>3</p><p>05. UFPB [branca/amarela]</p><p>Em uma comunidade de bactérias, há inicialmente 106 indivíduos. Sabes-</p><p>se que, após t horas (ou fração de hora), haverá Q(t)= 106 · 32t indivíduos.</p><p>Neste caso, para que a população seja o triplo da inicial, o tempo, em</p><p>minutos, será:</p><p>a. 10</p><p>b. 20</p><p>c. 30</p><p>d. 40</p><p>e. 50</p><p>06. U. E. FEIRA DE SANTANA-BA [branca/amarela]</p><p>O produto das soluções da equação (43 – x)2 – x = 1 é:</p><p>a. 0</p><p>b. 1</p><p>c. 4</p><p>d. 5</p><p>e. 6</p><p>07. PUC-RS [branca/amarela]</p><p>Se 223x = 256, então x pertence ao intervalo</p><p>a. [0; 1)</p><p>b. (0; 2)</p><p>c. (1; 2)</p><p>d. (1; 3)</p><p>e. (2; 3)</p><p>08. Unisinos-RS [branca/amarela]</p><p>Se 5 7</p><p>0 003</p><p>0 19 10</p><p>,</p><p>,</p><p>,= ⋅ x , então x é:</p><p>a. – 1</p><p>b. 2</p><p>c. 4</p><p>d. 6</p><p>e. 8</p><p>09. UFBA [amarela/roxa]</p><p>O conjunto solução da equação 2x – 2 – x = 5(1 – 2 – x ) é:</p><p>a. {1, 4}</p><p>b. {1, 2}</p><p>c. {0, 1}</p><p>d. {0, 2}</p><p>e. ∅</p><p>10. UFSC modificado [amarela/roxa]</p><p>Dado o sistema</p><p>7 1</p><p>5 25</p><p>2</p><p>2</p><p>4x y</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>+</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>, ?o valor de é</p><p>a. 2–4</p><p>b. 22</p><p>c. 2–1</p><p>d. 2–2</p><p>e. 24</p><p>11. UFSC modificado [amarela/roxa]</p><p>O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1 – 3 · 2x+2 = 32, é:</p><p>a. par.</p><p>b. negativo.</p><p>c. divisível por 5.</p><p>d. primo.</p><p>e. irracional.</p><p>12. Unesp modificado [amarela/roxa]</p><p>Se x é um número real positivo tal 2 22</p><p>2</p><p>2x x</p><p>x</p><p>então x= ( )+ , é igual a:</p><p>a. 2</p><p>b. 3</p><p>c. 4</p><p>d. 5</p><p>e. 7</p><p>MÓDULO 11 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS</p><p>13</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>13. PUC-PR [roxa]</p><p>Resolvendo a equação 32x+3 – 32x + 2 + 2 · 32x = 22x + 5 – 22x + 1, temos que x é igual:</p><p>a. 1</p><p>b. 1</p><p>2</p><p>c. 3</p><p>2</p><p>d. 2</p><p>e. 3</p><p>14. UFPR [roxa]</p><p>Para verificar a igualdade 2 4 2562 32⋅ =+x , x deve valer:</p><p>a. 0</p><p>b. + 1</p><p>c. – 1</p><p>d. ± 1</p><p>e. ± 2</p><p>15. UnB-DF [roxa]</p><p>A solução da equação 5</p><p>25</p><p>5 5</p><p>1</p><p>3</p><p>y− =</p><p>⋅</p><p>é:</p><p>a. 7</p><p>12</p><p>b. −5</p><p>12</p><p>c. 9</p><p>12</p><p>d. −7</p><p>12</p><p>e. 2</p><p>16. Insper [roxa]</p><p>Considere o gráfico da função f(x) = 3x – 2x, dado na figura:</p><p>–5 –4,5 –4 –3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1</p><p>–1</p><p>–0,5</p><p>–0,5</p><p>0,5</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1</p><p>1,5</p><p>1,5</p><p>2</p><p>2</p><p>2,5</p><p>2,5</p><p>3</p><p>3</p><p>3,5</p><p>3,5</p><p>4,5</p><p>4,5</p><p>4</p><p>4</p><p>y</p><p>x</p><p>A solução real da equação 9x – 2 · 6x + 4x = 16 é aproximadamente igual a:</p><p>a. 1,85</p><p>b. 1,65</p><p>c. 1,45</p><p>d. 1,25</p><p>e. 1,05</p><p>17. Uniube-MG</p><p>O valor de x que satisfaz a equação 5 · 3x = 405 é</p><p>a. negativo.</p><p>b. um número entre 1 e 10.</p><p>c. um número fracionário.</p><p>d. um número imaginário puro.</p><p>e. um número irracional.</p><p>18. PUC-SP</p><p>Se 28 · 55 = 0,8 · 10n, então n é igual a:</p><p>a. 6</p><p>b. 5</p><p>c. – 1</p><p>d. 2</p><p>e. – 3</p><p>19. FGV-SP</p><p>A raiz da equação 5 5 3 5 5 3 50x x−( ) +( ) = é:</p><p>a. – 2</p><p>3</p><p>b. –</p><p>3</p><p>2</p><p>c. 3</p><p>2</p><p>d. 2</p><p>3</p><p>e. 1</p><p>2</p><p>20. Mackenzie-SP</p><p>Se 2 · 2x + 4x = 8x, então x2 é igual a:</p><p>a. 2</p><p>b. 4</p><p>c. 1</p><p>d. 0</p><p>e. 9</p><p>14</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemática</p><p>01. UEL-PR [branca]</p><p>Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:</p><p>a. o número ao qual se eleva a para se obter b.</p><p>b. o número ao qual se eleva b para se obter a.</p><p>c. a potência de base b e expoente a.</p><p>d. a potência de base a e expoente b.</p><p>e. a potência de base 10 e expoente a.</p><p>02. UFRGS-RS [branca]</p><p>A tabela abaixo possibilita calcular aproximadamente o valor de 1 0005 . .</p><p>N log N</p><p>1,99 0,3</p><p>2,51 0,4</p><p>3,16 0,5</p><p>3,98 0,6</p><p>5,01 0,7</p><p>De acordo com os dados da tabela, esse valor aproximado é:</p><p>06. ESPM-SP [branca/amarela]</p><p>Certo tipo de planta tem seu crescimento aproximado pela função h(x)=</p><p>log3 (x + 1) , onde x é o número de dias após a germinação e h(x) é a altu-</p><p>ra da planta em cm. Assim, podemos dizer que a altura dessa planta após</p><p>2 anos da germinação será de aproximadamente:</p><p>a. 4 cm</p><p>b. 5 cm</p><p>c. 6 cm</p><p>d. 7 cm</p><p>e. 8 cm</p><p>07. Mackenzie-SP [branca/amarela]</p><p>Se 7x = 81 e 9y = 7, então o valor de log8 (xy) é:</p><p>a. 3</p><p>2</p><p>b. 1</p><p>3</p><p>c. 2</p><p>d. 3</p><p>e. 3</p><p>4</p><p>08. UFF-RJ [branca/amarela]</p><p>Segundo Resnick e Halliday, no livro Física, vol. 2, 4a ed., a intensidade</p><p>relativa IR de uma onda sonora, medida em decibel (dB), é definida por: IR</p><p>= 10 log10</p><p>I</p><p>I0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>sendo I a intensidade sonora medida em Watt/m2 e Io a</p><p>intensidade sonora de referência (correspondente ao limiar da audição</p><p>humana) também medida em Watt/m2.</p><p>Apresentam-se, a seguir, os valores em dB das intensidades relativas (IR)</p><p>das ondas sonoras correspondentes a algumas situações particulares.</p><p>Situação Particular IR (dB)</p><p>Limiar da audição humana 0</p><p>Sussurro médio 20</p><p>Conversa normal 50</p><p>Limiar da dor 120</p><p>Na unidade Watt/m2, pode-se afirmar que:</p><p>a. a intensidade sonora do sussurro médio é menor que 10 vezes a</p><p>intensidade sonora do limiar da audição humana.</p><p>b. a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes a intensidade</p><p>sonora do limiar da audição humana;</p><p>c. a intensidade sonora do limiar da dor é igual a 1010 vezes a in-</p><p>tensidade sonora de um sussurro médio.</p><p>d. a intensidade sonora do limiar da dor é, aproximadamente, o</p><p>dobro da intensidade sonora de uma conversa normal.</p><p>e. a intensidade sonora de uma conversa normal é menor que 104</p><p>vezes a intensidade sonora de um sussurro médio.</p><p>MÓDULO 12 LOGARITMOS – DEFINIÇÃO</p><p>a. 1,99</p><p>b. 2,51</p><p>c. 3,16</p><p>d. 3,98</p><p>e. 5,01</p><p>03. ESPM [branca]</p><p>Se x y e z= = =log , ; log log16 2 1</p><p>8</p><p>0 25</p><p>1</p><p>2</p><p>2 , podemos afirmar que:</p><p>a. x < y < z</p><p>b. y < z < x</p><p>c. y < x < z</p><p>d. z < x < y</p><p>e. z < y < x</p><p>04. Mackenzie-SP [branca]</p><p>A raiz real da equação log3(9x – 2) = x é:</p><p>a. log3 2</p><p>b. 2 · log3 2</p><p>c. log3</p><p>2</p><p>3</p><p>d. log32</p><p>e. log3 3</p><p>05. FGV-SP [branca/amarela]</p><p>Quantos números inteiros pertencem ao domínio da função f(x) = log</p><p>(9 – x2) + log</p><p>(2 – x)?</p><p>a. 3</p><p>b. 4</p><p>c. 5</p><p>d. 6</p><p>e. Infinitos</p><p>15</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>09. Mackenzie-SP [amarela/roxa]</p><p>Adotando-se log2 = 0,3, o valor de x real que satisfaz a equação</p><p>5 2 4 02 2</p><p>1</p><p>2⋅ − =−x x pertence ao intervalo:</p><p>a. ]– 1; 0[</p><p>b. ]1; 2[</p><p>c. ]2; 3[</p><p>d. 0</p><p>1</p><p>2</p><p>;</p><p></p><p></p><p></p><p>e. 1</p><p>2</p><p>1;</p><p></p><p></p><p></p><p>10. UFF-RJ [AMARELA/ROXA]</p><p>A energia potencial elástica (E) e a variação no comprimento (∆d) de</p><p>uma determinada mola estão associadas conforme a tabela:</p><p>y = log E x = log (∆d)</p><p>4 1</p><p>6 2</p><p>Sabe-se, também, que a relação entre y e x é estabelecida pela equação</p><p>y = nx + log K</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>, sendo K a constante elástica da mola e n uma constante.</p><p>a. Determine os valores das constantes K e n.</p><p>b. Determine o valor de E para ∆d = 3</p><p>11. ESPM-RJ [amarela/roxa]</p><p>Sendo x um número inteiro, o valor do número real y = logx – 1 (4 + 3x – x2) é:</p><p>a. 2</p><p>b. 3</p><p>c. 0</p><p>d. – 1</p><p>e. – 3</p><p>12. UFMG [amarela/roxa]</p><p>Um químico deseja produzir uma solução com pH = 2, a partir de duas</p><p>soluções: uma com pH = 1 e uma com pH = 3. Para tanto, ele mistura x</p><p>litros da solução de pH = 1 com y litros da solução de pH = 3. Sabe-se que</p><p>pH = – log10</p><p>[H+] em que [H+] é a concentração de íons, dada em mol por</p><p>litro. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que x</p><p>y</p><p>é:</p><p>a. 1</p><p>100</p><p>.</p><p>b. 1</p><p>10</p><p>.</p><p>c. 10.</p><p>d. 100.</p><p>13. ITA-SP [roxa]</p><p>Se a ∈ é tal que 3y2 – y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equa-</p><p>ção 32x + 1 – 3x + a = 0 é:</p><p>a. log26</p><p>b. – log26</p><p>c. log36</p><p>d. –log36</p><p>e. 1 – log36</p><p>14. Mackenzie-SP [roxa]</p><p>Se x satisfaz a igualdade 2 2 2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>x x x x+( )⋅ −( ) =− − , então log2 x é igual a:</p><p>a. 2</p><p>b. 1</p><p>3</p><p>c. 1</p><p>2</p><p>d. – 1</p><p>e. – 1</p><p>2</p><p>15. Insper [roxa]</p><p>A quantidade de números inteiros existentes entre os primeiros 2.011</p><p>termos da sequência log , log , log , log ,log ,..., log ,...2 2 2 2 2 21</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>n</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>é igual a:</p><p>a. 10</p><p>b. 11</p><p>c. 12</p><p>d. 13</p><p>e. 14</p><p>16. Espcex-SP [roxa]</p><p>O conjunto-solução da inequação xlogx(x + 1)2 ≤ 4, no conjunto dos números</p><p>reais, é</p><p>a. {x∈ / 0 < x < 1}</p><p>b. {x∈/0 ≤ x ≤ 1}</p><p>c. {x∈/0 < x ≤ 1}</p><p>d. {x∈/– 3 ≤ x ≤ 1}</p><p>e. {x∈/– 3 ≤ x < 1}</p><p>17. Mackenzie-SP</p><p>Supondo log 2 = 0,3, o valor de 2 10</p><p>10</p><p>5 23</p><p>6</p><p>− . é:</p><p>a. 10</p><p>1</p><p>2</p><p>b. 10</p><p>3</p><p>2</p><p>c. 32</p><p>d. 1</p><p>32</p><p>e. 1</p><p>10</p><p>16</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemáti ca</p><p>18. UFF-RJ</p><p>Considere a função real da variável real f definida por</p><p>f x</p><p>x</p><p>x</p><p>( ) log .= −</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>Determine o domínio f.</p><p>19. Mackenzie-SP</p><p>Considerando que x y e que x y− = + =3 33 , o valor de log3(x2 – y2) é:</p><p>a. 3</p><p>3</p><p>b. 2</p><p>5</p><p>c. 3</p><p>d. 3</p><p>2</p><p>e. 5</p><p>6</p><p>20. ESPM-SP</p><p>Uma importância R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4%</p><p>ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 =</p><p>0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de:</p><p>a. R$ 3.200,00</p><p>b. R$ 3.600,00</p><p>c. R$ 3.800,00</p><p>d. R$ 4.200,00</p><p>e. R$ 4.800,00</p><p>MÓDULO 13 LOGARITMOS – PROPRIEDADES</p><p>01. UFPR [branca]</p><p>Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28?</p><p>a. 1,146</p><p>b. 1,447</p><p>c. 1,690</p><p>d. 2,107</p><p>e. 1,107</p><p>02. UFF-RJ [branca]</p><p>Sempre que se ouve alguma referência a embates – reais</p><p>ou imaginários – entre ciência e religião, o nome de Galileu</p><p>(1564-1642) é invariavelmente invocado. No entanto, J. A.</p><p>Connor apresenta em seu texto “A Bruxa de Kepler” um pensa-</p><p>dor que, segundo o autor, teria sido realmente fiel a seus princí-</p><p>pios intelectuais, morais e religiosos, muito mais que Galileu:</p><p>Johannes Kepler (1571-1630). Vivendo em uma parte da Euro-</p><p>pa dilacerada pelas guerras de religião, sofrendo perseguições</p><p>por causa da sua fé luterana, Kepler ainda assim revolucionou</p><p>a compreensão que temos do mundo.</p><p>Adaptado do texto “À Sombra de Galileu”, de T. Haddad,</p><p>Scientific American, Ano 4 - n.46 / março de 2006</p><p>Um dos grandes legados de Kepler para a ciência foi a sua terceira lei: “o</p><p>quadrado do período de revolução de cada planeta é proporcional ao cubo</p><p>do raio médio da respectiva órbita”, isto é, sendo T o período de revolução</p><p>do planeta e r a medida do raio médio de sua órbita, esta lei nos permite</p><p>escrever que: T2 = K r3, onde a constante de proporcionalidade K é positiva.</p><p>Considerando x = log(T) e y = log(r), pode-se afirmar que:</p><p>a. y</p><p>x K</p><p>=</p><p>−2</p><p>3</p><p>b. y</p><p>x</p><p>K</p><p>= 2</p><p>3log</p><p>c. y</p><p>x</p><p>K</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>d. y</p><p>x</p><p>K</p><p>= 2</p><p>3</p><p>e. y</p><p>x K</p><p>=</p><p>−2</p><p>3</p><p>log</p><p>03. UMC-SP [branca]</p><p>Sejam log x = a e log y = b. Então o log x y⋅( ) é igual a:</p><p>a. a</p><p>b+</p><p>2</p><p>b. 2a + b</p><p>c. a + b</p><p>d. a + 2b</p><p>e. a</p><p>b−</p><p>2</p><p>17</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>04. Mackenzie-SP [branca]</p><p>Se log loga a2 35 5</p><p>5</p><p>12</p><p>+ = , então o valor de a é:</p><p>a. 5</p><p>b. 52</p><p>c. 1</p><p>5</p><p>d. 5</p><p>e. 5</p><p>5</p><p>05. PUC-SP [branca/amarela]</p><p>Sendo log102 = 0,30 e log103 = 0,47, então log 6 2</p><p>5</p><p>é igual a:</p><p>a. 0,12</p><p>b. 0,22</p><p>c. 0,32</p><p>d. 0,42</p><p>e. 0,52</p><p>06. Unifesp [branca/amarela]</p><p>Uma das raízes da equação 22x – 8 · 2x + 12 = 0 é x = 1. A outra raiz é:</p><p>a. 1</p><p>3</p><p>210+ </p><p></p><p></p><p>log</p><p>b. 1</p><p>3</p><p>2</p><p>10</p><p>10</p><p>+</p><p>log</p><p>log</p><p>c. log103</p><p>d. 1</p><p>6</p><p>2</p><p>10+</p><p>log</p><p>e. log10</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>07. UEL-PR [branca/amarela]</p><p>Considere a, b e c números reais positivos com a ≠ 1, b ≠ 1 e c ≠ 1. Se loga</p><p>b = 2 e logc a = 3</p><p>5</p><p>, conclui-se que o valor de logb c é:</p><p>a. 1</p><p>2</p><p>b. 5</p><p>3</p><p>c. 1</p><p>6</p><p>d. 5</p><p>6</p><p>e. 6</p><p>5</p><p>08. Mackenzie-SP [branca/amarela]</p><p>O número N de bactérias de uma cultura é dado, em função do tempo</p><p>t, em horas, por N(t) = 105.24t. Supondo log2 = 0,3 , o tempo necessário</p><p>para que o número inicial de bactérias fique multiplicado por 100 é:</p><p>a. 2 horas e 2 minutos.</p><p>b. 2 horas e 12 minutos.</p><p>c. 1 hora e 40 minutos.</p><p>d. 1 hora e 15 minutos.</p><p>e. 2 horas e 20 minutos.</p><p>09. UFSC modificado [amarela/roxa]</p><p>Se 3n = 5, então log5 225 é:</p><p>a. 2 2+ n</p><p>n</p><p>b. 2 2− n</p><p>n</p><p>c. 2 2+ n</p><p>nn</p><p>d. n</p><p>n</p><p>n</p><p>2 2−</p><p>e. n</p><p>n2 2+</p><p>10. FGV-SP [amarela/roxa]</p><p>Daqui a t anos, o número de habitantes de uma cidade será N = 40.000(1,02)</p><p>t. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é:</p><p>a. log</p><p>log ,</p><p>2</p><p>1 02</p><p>b. 50</p><p>c. (log 2)(log 1,02)</p><p>d. 2</p><p>2</p><p>1 02</p><p>log</p><p>log ,</p><p>e. 2(log 2)(log 1,02)</p><p>11. Mackenzie-SP [amarela/roxa]</p><p>Se a e b são números reais não nulos, tais que a2 + b2 = 28ab, então,</p><p>adotando-se log 3</p><p>12</p><p>25</p><p>= , o valor de log</p><p>( )</p><p>3</p><p>2a b</p><p>ab</p><p>+ é</p><p>a. 37</p><p>12</p><p>b. 3</p><p>c. 25</p><p>13</p><p>d. 17</p><p>5</p><p>e. 7</p><p>12. FGV-SP [amarela/roxa]</p><p>Considerando log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, o tempo necessário para que um</p><p>capital aplicado à taxa de juro composto de 20% ao ano dobre de valor</p><p>é, aproximadamente:</p><p>a. 1 ano.</p><p>b. 4 meses.</p><p>c. 4 anos.</p><p>d. 3 anos e 9 meses.</p><p>e. 3 anos.</p><p>18</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemática</p><p>13. FGV-SP [roxa]</p><p>O rendimento de um carro flex (número de quilômetros que percorre com</p><p>um litro de combustível), que pode ser movido por uma mistura de álco-</p><p>ol com gasolina em qualquer proporção, é dado pela função R (x ) = K · ax</p><p>quilômetros por litro, na qual K e a são números reais positivos e x (0 ≤ x ≤</p><p>1) é a porcentagem de álcool misturado com gasolina. Sabe-se que, abas-</p><p>tecido com 100% de gasolina, o rendimento é de 18 quilômetros por litro</p><p>e que, com 100% de álcool, cai para 9 quilômetros por litro. Supondo que,</p><p>ao iniciar uma viagem, uma pessoa enche o tanque do carro com 50 litros</p><p>de uma mistura de álcool com gasolina e chega ao seu destino, depois de</p><p>rodar 600 km, com o tanque praticamente vazio, qual foi porcentagem de</p><p>álcool na mistura?</p><p>Para os cálculos, utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela abaixo:</p><p>n 2 3 7 10</p><p>log n 0,30 0,48 0,85 1</p><p>14. FGV-SP [roxa]</p><p>João investiu R$ 10.000,00 num fundo de renda fixa que remunera as</p><p>aplicações à taxa de juro composto de 20% ao ano, com o objetivo de</p><p>comprar um automóvel cujo preço atual é R$ 30.000,00, que é desvalo-</p><p>rizado à taxa de juro de 10% ao ano.</p><p>Depois de quantos anos, João conseguirá adquirir o automóvel pretendido?</p><p>Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.</p><p>15. Fuvest-SP modificado [roxa]</p><p>Seja x > 0 tal que na sequência a1 = log2 x, a2 = log4 (4x), a3 = log8 (8x),</p><p>o segundo termo é a média aritmética dos outros dois. Então, a1 + a2 +</p><p>a3 é igual a:</p><p>a. 13</p><p>2</p><p>b. 15</p><p>2</p><p>c. 17</p><p>2</p><p>d. 19</p><p>2</p><p>e. 21</p><p>2</p><p>16. FGV-SP [roxa]</p><p>Ao longo de uma campanha publicitária pelo desarmamento, verificou-</p><p>se que o número de armas em poder das pessoas de uma</p><p>comunidade</p><p>decresceu à taxa de 20% ao mês. Após um tempo t, o número de armas</p><p>nessa comunidade foi reduzido à metade. Se log 2 = 0,30, o valor de t é:</p><p>a. 3 meses.</p><p>b. 2 meses.</p><p>c. 137 dias.</p><p>d. 80 dias.</p><p>e. 57 dias.</p><p>17. FGV-SP</p><p>Adotando-se os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação 5x =</p><p>60 vale, aproximadamente:</p><p>a. 2,15</p><p>b. 2,28</p><p>c. 41</p><p>d. 2,54</p><p>e. 2,67</p><p>18. UFSC modificado</p><p>Se logax = 2 e logxy = 3, então, loga xy35 é igual a:</p><p>a. 0</p><p>b. 1</p><p>c. 2</p><p>d. 3</p><p>e. 4</p><p>19. FGV-SP</p><p>Considerando os valores: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de x que</p><p>satisfaz a equação 36x = 24 é:</p><p>a. 49</p><p>78</p><p>b. 69</p><p>78</p><p>c. 59</p><p>78</p><p>d. 64</p><p>78</p><p>e. 54</p><p>78</p><p>20. UFSC</p><p>Desde a década de 1930, em que foi publicado o romance Vidas secas,</p><p>até os dias de hoje, a moeda nacional do Brasil mudou de nome vá-</p><p>rias vezes, principalmente nos períodos de altos índices de inflação. Na</p><p>maioria das novas denominações monetárias foram cortados três dígitos</p><p>de zero, isto é, a nova moeda vale sempre 1.000 vezes a antiga. Suponha</p><p>que certo país troque de moeda cada vez que a inflação acumulada atin-</p><p>ja a cifra de 700%. Se a inflação desse país for de 20% ao mês, então esse</p><p>país terá uma nova moeda em:</p><p>Considere: log2 = 0,301 e log 3 = 0,477.</p><p>a. 6 meses.</p><p>b. dois anos.</p><p>c. oito anos.</p><p>d. um ano.</p><p>e. três anos.</p><p>19</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>01. UFF-RJ modificado [branca]</p><p>Ao entrar na sala de aula, um professor de matemática encontrou as</p><p>seguintes afirmações escritas no quadro:</p><p>I. Se x é um número real, então x x2 = .</p><p>II. Se a e b são números reais, a ≠ 0 e ax > b, então x</p><p>b</p><p>a</p><p>= .</p><p>III. Se p e q são números reais tais que log p2 = log q2, então, p = q.</p><p>Em relação à veracidade ou falsidade de cada afirmativa, pode-se con-</p><p>cluir que:</p><p>a. As três afirmações são verdadeiras.</p><p>b. Somente a terceira é falsa.</p><p>c. Somente a primeira é verdadeira.</p><p>d. Todas são falsas.</p><p>e. Somente a ultima é verdadeira.</p><p>02. FGV-SP [branca]</p><p>Obtenha os valores de x e y que satisfazem o sistema abaixo.</p><p>x y</p><p>x y</p><p>+ =</p><p>− =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>15</p><p>1</p><p>24 4log log</p><p>03. UFSC modificado [branca]</p><p>A solução da equação log2(x + 4) + log2 (x – 3) = log218 é:</p><p>a. um número par.</p><p>b. um divisor de 3.</p><p>c. um quadrado perfeito.</p><p>d. um número irracional.</p><p>e. um número primo.</p><p>04. PUC-RS [branca]</p><p>Tales, um aluno do Curso de Matemática, depois de terminar o semestre</p><p>com êxito, resolveu viajar para a Europa. A chegada ao Velho Continente</p><p>foi em Portugal.</p><p>Tales caminhou muitas vezes sobre a Ponte Carlos, em Praga, para admirar</p><p>as estátuas que estão espalhadas ao longo da ponte. Para descobrir o nú-</p><p>mero de estátuas existentes sobre a ponte, ele teve de resolver a equação</p><p>log2 (3x – 30) – log2x = 1.</p><p>Concluiu, então, que o número de estátuas é:</p><p>a. 128</p><p>b. 64</p><p>c. 32</p><p>d. 16</p><p>e. 256</p><p>MÓDULO 14 LOGARITMOS – EQUAÇÕES</p><p>a. 31</p><p>b. 30</p><p>c. 16</p><p>d. 15</p><p>e. 10</p><p>05. Unifesp [branca/amarela]</p><p>O valor de x que é solução da equação</p><p>log102 + log10(x + 1) – log10x = 1 é:</p><p>a. 0,15</p><p>b. 0,25</p><p>c. 0,35</p><p>d. 0,45</p><p>e. 0,55</p><p>06. PUC-PR modificado [branca/amarela]</p><p>O valor de x na equação log log16 4</p><p>3</p><p>2</p><p>x x− =</p><p>−( ) , vale:</p><p>07. FGV-SP [branca/amarela]</p><p>A, B e C são inteiros positivos, tais que</p><p>A · log2005 + B · log2002 = C</p><p>Em tais condições, A + B + C é igual a:</p><p>a. 0</p><p>b. C</p><p>c. 2C</p><p>d. 4C</p><p>e. 6C</p><p>08. Mackenzie-SP [branca/amarela]</p><p>Se (x, y) é a solução do sistema</p><p>( )</p><p>log ( ) log</p><p>log</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>x</p><p>y</p><p>x y</p><p>=</p><p>− −</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>, o valor de</p><p>x + y é:</p><p>a. 5</p><p>b. 6</p><p>c. 7</p><p>d. 8</p><p>e. 9</p><p>09. Mackenzie-SP [amarela/roxa]</p><p>O valor real de x, tal que log 2x – log 5x – x – 1 = 0, pertence ao intervalo:</p><p>Obs: Admita log 2 = 0,3</p><p>a. − −</p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>2</p><p>1,</p><p>b. − −</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p>c. −</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>0,</p><p>d. 0</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p></p><p></p><p></p><p>e. 1</p><p>2</p><p>1,</p><p></p><p></p><p></p><p>10. Fuvest-SP [amarela/roxa]</p><p>Se x é um número real, x > 2 e log2(x – 2) – log4x = 1, então o valor de x é:</p><p>a. 4 2 3−</p><p>b. 4 3−</p><p>c. 2 2 3+</p><p>d. 4 2 3+</p><p>e. 2 4 3+</p><p>20</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemática</p><p>11. Mackenzie-SP [amarela/roxa]</p><p>O valor real de x, tal que log log( )5 1 1 5 0x x+ − − = , é um número:</p><p>a. racional maior que zero.</p><p>b. irracional maior que zero.</p><p>c. inteiro.</p><p>d. racional menor que zero.</p><p>e. irracional menor que zero.</p><p>12. UFRGS [amarela/roxa]</p><p>A solução da equação log ( ) log ( )2 24 1 1− = + +x x está no intervalo:</p><p>a. [–2; –1]</p><p>b. (–1; 0]</p><p>c. (0; 1]</p><p>d. (1; 2]</p><p>e. (2; 3]</p><p>13. UFPB [roxa]</p><p>Sabendo-se que, neste século, o número de habitantes de uma determinada</p><p>cidade, no ano x, é estimado pela função h x</p><p>x</p><p>( ) . log</p><p>. .</p><p>= + −</p><p></p><p></p><p>5 000</p><p>2 000</p><p>102</p><p>1 000</p><p>, pode-se afirmar que o número estimado de habitantes dessa cidade será</p><p>6.600 no ano de:</p><p>Dados: log2 = 0,30 e log3 = 0,48</p><p>a. 2010</p><p>b. 2020</p><p>c. 2030</p><p>d. 2050</p><p>e. 2070</p><p>14. Mackezie-SP [roxa]</p><p>No sistema</p><p>x y</p><p>x</p><p>y</p><p>y x=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>, com x > 0 e y > 0, 5x – y, vale:</p><p>a. 14</p><p>b. 12</p><p>c. 18</p><p>d. 16</p><p>e. 20</p><p>15. AFA [roxa]</p><p>Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um medicamento a</p><p>um de seus pacientes, também apreciador de logaritmo, conforme o</p><p>texto a seguir.</p><p>Tomar x gotas do medicamento a de 8 em 8 horas. A quantidade de</p><p>gotas y diária deverá ser calculada pela fórmula log8y = log26.</p><p>Considerando log log ,2</p><p>3</p><p>10</p><p>3 0 48= =e , é correto afirmar que log2</p><p>x é um</p><p>número do intervalo.</p><p>a. [3, 4[</p><p>b. [4, 5[</p><p>c. [5, 6[</p><p>d. [6, 7[</p><p>16. Especex-SP [roxa]</p><p>Sendo x</p><p>a</p><p>b</p><p>=</p><p>2</p><p>6 , com log2a = 4 e log2b = 5, em que a e b são números</p><p>reais não nulos e diferentes de 1, então logx2 é igual a:</p><p>a. 16</p><p>b. 8</p><p>c. 6</p><p>d. 4</p><p>e. 2</p><p>17. UFSC modificado</p><p>O valor de x compatível para a equação</p><p>log(x2 – 1) – log(x – 1) = 2 é:</p><p>a. um número primo.</p><p>b. um número par.</p><p>c. divisível por 5.</p><p>d. divisível por 11.</p><p>e. irracional.</p><p>18. UFSC modificado</p><p>Se 3 125</p><p>14</p><p>log( ) log</p><p>log log log</p><p>x y</p><p>x y</p><p>− =</p><p>+ =</p><p></p><p></p><p></p><p>, então o valor de x + y é:</p><p>a. 10</p><p>b. 29</p><p>c. 100</p><p>d. 47</p><p>e. 19</p><p>19. PUC-PR</p><p>Se log(3x + 23) – log(2x – 3) = log4, então o valor de x é:</p><p>a. 4</p><p>b. 3</p><p>c. 7</p><p>d. 6</p><p>e. 5</p><p>20. ESPM-SP modificado</p><p>O valor de y real positivo na equação (5y)log</p><p>x</p><p>5 – (7y)log</p><p>x</p><p>7 = 0, onde x é um</p><p>número real maior do que 1, é:</p><p>a. 70</p><p>b. 35</p><p>c. 1</p><p>d. 1</p><p>35</p><p>e. 1</p><p>70</p><p>21</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>MÓDULO 15 FUNÇÃO EXPONENCIAL</p><p>01. FGV-SP [branca]</p><p>Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo,</p><p>de modo que seu valor y, daqui a x anos, será y = A · kx, em que A e k são</p><p>constantes positivas.</p><p>Se hoje o computador vale R$ 5.000,00 e valerá a metade desse valor</p><p>daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será:</p><p>a. R$ 625,00</p><p>b. R$ 550,00</p><p>c. R$ 575,00</p><p>d. R$ 600,00</p><p>e. R$ 650,00</p><p>02. UFPR [branca]</p><p>Uma determinada substância radioativa desintegra-se com o tempo, se-</p><p>gundo a função M(t) = M0 · e− k · t sendo M0 a massa inicial, k uma constan-</p><p>te característica da substância e t o tempo dado em anos. Sabendo que a</p><p>quantidade inicial de 100 g dessa substância radioativa diminui para 50 g</p><p>em 28 anos, calcule quanto tempo será necessário para que 100 g dessa</p><p>substância se reduzam a 25 g.</p><p>Considere loge 2 = 0,7)</p><p>a. 56 anos</p><p>b. 48 anos</p><p>c. 72 anos</p><p>d. 42 anos</p><p>e. 64 anos</p><p>03. UFSCar-SP [branca]</p><p>Para estimar a área da figura ABDO (sombreada no desenho), em que</p><p>a curva AB é parte da representação gráfica da função f(x) = 2x, João</p><p>demarcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou um programa de com-</p><p>putador que “plota” pontos aleatoriamente no interior desse retângulo.</p><p>y</p><p>C B</p><p>A</p><p>x0 D = 2</p><p>Sabendo que, dos 1.000 pontos “plotados”, apenas 540 ficaram no interior</p><p>da figura ABDO, a área estimada dessa figura, em unidades de área, é igual a:</p><p>a. 4,32</p><p>b. 4,26</p><p>c. 3,92</p><p>d. 3,84</p><p>e. 3,52</p><p>04. UFBA modificado [branca]</p><p>Sendo as funções f e g: :* *</p><p>   → →+ +</p><p>definidas pelas equações</p><p>f(x) = 3–x2+4 e g(x) = log1</p><p>3</p><p>x , se k é o valor máximo de f(x), então g(k) é:</p><p>a. 0</p><p>b. –1</p><p>c. –2</p><p>d. –3</p><p>e. – 4</p><p>05. Mackenzie-SP [branca/amarela]</p><p>Dadas as funções f x e g xx x x( ) ( )= =− −2 42 24 2 , se x satisfaz f(x) = g(x),</p><p>então 2x é</p><p>a. 1</p><p>4</p><p>b. 1</p><p>c. 8</p><p>d. 4</p><p>e. 1</p><p>2</p><p>O texto abaixo se refere às questões 126, 127 e 128.</p><p>A curva de Gompertz é o gráfico de uma função expressa por N = C · AKt</p><p>, em que A, C e K são constantes. É usada para descrever fenômenos</p><p>como a evolução do aprendizado</p><p>e o crescimento do número de empre-</p><p>gados de muitos tipos de organizações.</p><p>Suponha que, com base em dados obtidos em empresas de mesmo porte,</p><p>o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM),</p><p>depois de um estudo estatístico, tenha chegado à conclusão de que, após t</p><p>anos, a empresa terá N (t) = 10.000 · (0,01) 0,5t funcionários (t ≥ 0).</p><p>06. FGV-SP [branca/amarela]</p><p>Segundo esse estudo, o número inicial de funcionários empregados pela</p><p>CNM foi de:</p><p>a. 10.000</p><p>b. 200</p><p>c. 10</p><p>d. 500</p><p>e. 100</p><p>07. FGV-SP [branca/amarela]</p><p>O número de funcionários que estarão empregados na CNM, após dois</p><p>anos, será de:</p><p>a. 103,5</p><p>b. 102,5</p><p>c. 102</p><p>d. 101,5</p><p>e. 100,25</p><p>08. FGV-SP [branca/amarela]</p><p>Depois de quanto tempo, a CNM empregará 1.000 funcionários?</p><p>a. 6 meses</p><p>b. 1 ano</p><p>c. 3 anos</p><p>d. 1 ano e 6 meses</p><p>e. 2 anos e 6 meses</p><p>09. Mackenzie-SP [amarela/roxa]</p><p>O menor valor assumido pela função g x</p><p>x</p><p>( )</p><p>( )</p><p>= </p><p></p><p></p><p></p><p>−1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>é:</p><p>a. 8</p><p>b. 4</p><p>c. 1</p><p>2</p><p>d. 1</p><p>4</p><p>e. 1</p><p>8</p><p>22</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemática</p><p>10. UFPR [amarela/roxa]</p><p>O teste de alcoolemia informa a quantidade de álcool no sangue levan-</p><p>do em conta fatores como a quantidade e o tipo de bebida ingerida. O</p><p>Código de Trânsito Brasileiro determina que o limite tolerável de álcool</p><p>no sangue, para uma pessoa dirigir um automóvel, é de até 0,6 g/L. Su-</p><p>ponha que um teste de alcoolemia tenha acusado a presença de 1,8 g/L</p><p>de álcool no sangue de um indivíduo. A partir do momento em que ele</p><p>para de beber, a quantidade, em g/L, de álcool no seu sangue decresce</p><p>segundo a função Q(t) = 1,8 · 2–0,5t sendo o tempo t medido em horas.</p><p>a. Quando t = 2, qual é a quantidade de álcool no sangue desse</p><p>indivíduo?</p><p>b. Quantas horas após esse indivíduo parar de beber a quantida-</p><p>de de álcool no seu sangue atingirá o limite tolerável para ele</p><p>poder dirigir?</p><p>(Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47)</p><p>11. Fuvest-SP [amarela/roxa]</p><p>Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráfico da função</p><p>f(x) = 1 – 2–|x| é:</p><p>a.</p><p>1</p><p>–1</p><p>y</p><p>x</p><p>b.</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>c.</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>d.</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>e.</p><p>1</p><p>2</p><p>y</p><p>x</p><p>12. FGV-SP [amarela/roxa]</p><p>O gerente de produção de uma indústria construiu a tabela abaixo, rela-</p><p>cionando a produção dos operários com sua experiência.</p><p>Experiência (meses) 0 6</p><p>Produção (unidades</p><p>por hora) 200 350</p><p>Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à experiência t, através da</p><p>função Q(t) = 500 – A · e–k · t, sendo e = 2,72 e k um número real, positivo.</p><p>a. Considerando que as projeções do gerente de produção dessa</p><p>indústria estejam corretas, quantos meses de experiência serão</p><p>necessários para que os operários possam produzir 425 unida-</p><p>des por hora?</p><p>b. Desse modo, qual será a máxima produção possível dos operá-</p><p>rios dessa empresa?</p><p>13. Unifesp [roxa]</p><p>A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas</p><p>hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A</p><p>representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe</p><p>a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas, as ba-</p><p>ses das hastes como dois pontos, A e B, e considera o ponto O, origem</p><p>do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O</p><p>comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função</p><p>f (x) = 2x +</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>, com domínio [A, B].</p><p>Figura 1</p><p>Figura 2</p><p>A 0 B x</p><p>y</p><p>a. Nessas condições, qual é a menor distância entre o cabo e a</p><p>plataforma de apoio?</p><p>b. Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a</p><p>distância entre elas, se o comportamento do cabo seguir preci-</p><p>samente a função dada?</p><p>14. Fuvest-SP [roxa]</p><p>Seja f(x) = a + 2bx + c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é</p><p>a semirreta ]–1, ∞[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos</p><p>pontos (1,0) e (0, – 3</p><p>4</p><p>). Então, o produto abc vale:</p><p>a. 4</p><p>b. 2</p><p>c. 0</p><p>d. –2</p><p>e. –4</p><p>23</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>15. UFPR [roxa]</p><p>Em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colo-</p><p>cou numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo que as</p><p>bactérias do tipo I são predadoras das bactérias do tipo II. Após</p><p>acompanhar o experimento por alguns minutos, o pesquisador con-</p><p>cluiu que o número de bactérias tipo I era dado pela função f(t)</p><p>= 2 · 3t +1 e o número de bactérias do tipo II era dado pela função</p><p>g(t) = 3 · 24−2t , ambas em função do número t de horas.</p><p>a. Qual era o número de bactérias de cada um dos tipos, no ins-</p><p>tante inicial do experimento?</p><p>b. Esboce, no plano cartesiano abaixo, o gráfico das funções f e g</p><p>apresentadas acima.</p><p>c. Após quantos minutos, a lâmina terá o mesmo número de bac-</p><p>térias do tipo I e II?</p><p>(Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47)</p><p>16. Insper [roxa]</p><p>Considere o gráfico da função f(x) = 3x – 2x, dado a figura:</p><p>–5 –4,5 –4 –3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1</p><p>–1</p><p>–0,5</p><p>–0,5</p><p>0,5</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1</p><p>1,5</p><p>1,5</p><p>2</p><p>2</p><p>2,5</p><p>2,5</p><p>3</p><p>3</p><p>3,5</p><p>3,5</p><p>4,5</p><p>4,5</p><p>4</p><p>4</p><p>y</p><p>x</p><p>A expressão 3 3 2 25 5−( ) vale aproximadamente:</p><p>a. 1,0</p><p>b. 1,2</p><p>c. 1,4</p><p>d. 1,6</p><p>e. 1,8</p><p>17. FEI-SP modificado</p><p>Considere a função f: IR → , tal que f(x) = 2x – 3. Assinale a alternativa</p><p>correta.</p><p>a. f(3) = 0.</p><p>b. no sistema cartesiano ortogonal xOy, o gráfico de f intercepta o</p><p>eixo y no ponto (0,1).</p><p>c. f(1) + f(–1) = 0.</p><p>d. o logartimo de f(8) na base 2 é igual a 32.</p><p>e. f(4) é um número primo.</p><p>18. UCS-RS</p><p>Ao estudar o processo de reprodução em uma cultura de bactérias, um</p><p>grupo de biólogos, a partir de dados experimentais coletados em um</p><p>determinado período de tempo, concluiu que o número aproximado de</p><p>indivíduos, N , em função do tempo t em horas, é dado por N(t)= 50 ·</p><p>20,3t. Dessa forma, a cultura terá 3.200 indivíduos depois de</p><p>a. 12 horas.</p><p>b. 20 horas.</p><p>c. 15 horas.</p><p>d. 23 horas.</p><p>e. 18 horas.</p><p>19. UFSC modificado</p><p>Suponha que a decomposição de uma substância siga a lei dada por Q(t)</p><p>= k · 2–0,2t, em que k é uma constante positiva e Q(t) é a quantidade da</p><p>substância (em gramas) no instante t (em minutos).</p><p>1</p><p>t0</p><p>t0</p><p>8</p><p>Q (t)</p><p>O valor de t0 em minutos, considerando os dados desse processo de decom-</p><p>posição mostrados no gráfico, é:</p><p>a. divisível por 7.</p><p>b. par.</p><p>c. divisível por 11.</p><p>d. divisível por 5.</p><p>e. primo.</p><p>20. FGV-SP</p><p>A figura indica os gráficos das funções f, g, h, todas de  em , e algumas</p><p>informações sobre elas.</p><p>x0</p><p>q</p><p>p</p><p>y</p><p>I. f(x) = 3 – 2x+2</p><p>II. g(x) = 22x</p><p>III. h(x) = f(x) + g(x), para qualquer x.</p><p>a. Indique, na figura de seu espaço de respostas, quais são os grá-</p><p>ficos das funções f, g, h. Em seguida, calcule p.</p><p>b. Calcule q.</p><p>24</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemática</p><p>01. [branca]</p><p>Indique para cada função abaixo, definida em sua condição de existên-</p><p>cia, se ela é crescente ou decrescente.</p><p>a. f(x) = log0,1x</p><p>b. f(x) = log</p><p>2</p><p>x</p><p>c. f(x) = log3x</p><p>d. f(x) = l n x</p><p>e. f(x) = log1</p><p>5</p><p>x</p><p>02. [branca]</p><p>Esboce o gráfico da função f(x) = log2(x + 1) e dê seu domínio.</p><p>03. [branca]</p><p>Esboce o gráfico da função f(x) = log ( )1</p><p>2</p><p>1x − e dê seu domínio.</p><p>04. ESPM-SP [branca]</p><p>Um móvel percorre uma trajetória no plano cartesiano. Suas coordena-</p><p>das x e y são dadas, respectivamente, por 2t e 2t + 1, em que t é o tempo</p><p>em segundos.</p><p>Pode-se afirmar que a equação cartesiana dessa trajetória para x > 0 é:</p><p>a. y = log2 x</p><p>b. y = 2 · log2 x</p><p>c. y = log2 (x2 + 1)</p><p>d. y = log2 (2x2)</p><p>e. y = 1 + log2x</p><p>05. [branca/amarela]</p><p>Por que os valores da função f(x) = log(a + 2)(x) + 10 são crescente?</p><p>06. [branca/amarela]</p><p>Por que os valores da função f(x) = log(a – 1)(x) + 10 são decrescentes?</p><p>07. UFSC [branca/amarela]</p><p>Assinale à(s) proposição(ões) correta(s).</p><p>01) O conjunto solução da inequação</p><p>log (x2 − 9) ≥ log (3 − x) é S=(−∞, −4] ∪ [3, +∞).</p><p>02) Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.</p><p>04) A equação ex = ex2 não possui solução inteira.</p><p>04) Considere as funções f(x) = ax e g(x) = loga</p><p>x. Para a > 1, temos f</p><p>crescente e g decrescente e para 0 < a < 1, temos f decrescente</p><p>e g crescente.</p><p>08) log 360 = 3 ⋅ log 2 + 2 ⋅ log 3 + log 5</p><p>08. ESPM-SP[branca/amarela]</p><p>A curva abaixo representa uma parte do gráfico da função f(x) = log2 (k · x),</p><p>com k > 0.</p><p>A área da região sombreada vale:</p><p>MÓDULO 16 FUNÇÃO LOGARÍTMICA</p><p>–2</p><p>4</p><p>x</p><p>2</p><p>a. 6,5</p><p>b. 8,5</p><p>c. 10,5</p><p>d. 9</p><p>e. 12</p><p>09. UFF-RJ</p><p>Após acionado o “flash” de uma câmera fotográfica, a bateria começa</p><p>imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade</p><p>de carga elétrica (medida em Coulomb), dada por: Q = Q(t) = Q0(1 – e –λt )</p><p>Sendo</p><p>• Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t, medido em</p><p>segundo;</p><p>• Qo a carga máxima, e</p><p>• –λ uma constante.</p><p>Considerando λ = 1</p><p>2</p><p>e ln10 = 2,3, determine a expressão de t em</p><p>função de Q.</p><p>Texto para as questões 150 e 151.</p><p>Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a com-</p><p>preensão de grandezas que apresentam intervalos de variação excessi-</p><p>vamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução</p><p>numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada diretamente a con-</p><p>centração do íon H+ para fazer essa medida, teríamos uma escala bem</p><p>pouco prática, variando de 0,00000000000001 a 1.</p><p>Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma me-</p><p>dida da renda dos habitantes de um país chamada Renda Comparativa</p><p>(RC), definida por</p><p>RC</p><p>R</p><p>R</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>log</p><p>0</p><p>,</p><p>em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e R0 é o</p><p>salário mínimo, em dólares, praticado no país. (Considere que a notação</p><p>log indica logaritmo na base 10.)</p><p>10. Insper</p><p>As rendas, em dólares, de Paulo e Rafael, dois habitantes desse país, são</p><p>respectivamente iguais a R1 e R2. Considerando que a Renda Comparativa</p><p>de Paulo supera a de Rafael em 0,5, então a razão R</p><p>R</p><p>1</p><p>2</p><p>vale aproximadamente:</p><p>a. 5,0.</p><p>b. 3,2.</p><p>c. 2,4.</p><p>d. 1,0.</p><p>e. 0,5.</p><p>25</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411 Matemática</p><p>11. Insper</p><p>Dentre os gráficos abaixo, aquele que melhor representa a Renda Compa-</p><p>rativa de um habitante desse país em função de sua renda, em dólares, é:</p><p>13. PUC-RS [roxa]</p><p>Na sala de leitura da Área de Ciência e Tecnologia, encontram-se dis-</p><p>poníveis x revistas nacionais e y revistas estrangeiras de Matemática. O</p><p>número x é o zero da função f(x) = 3 log (x – 2) e o número y é o valor do</p><p>produto log log1</p><p>2</p><p>2</p><p>8 4</p><p>1</p><p>4</p><p>⋅ </p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>Assim, o número de revistas de Matemática disponíveis na sala de leitura é:</p><p>a. 5</p><p>b. 6</p><p>c. 7</p><p>d. 8</p><p>e. 9</p><p>14. UFF [roxa]</p><p>Sejam f: → uma função positiva em g: → a função definida por</p><p>g(x) = log10f(x). O gráfico de g é a reta da figura.</p><p>y</p><p>3</p><p>1</p><p>0 9 x</p><p>a. Determine a equação da reta da figura.</p><p>b. Calcule 9</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>c. Encontre uma expressão para f(x).</p><p>15. Insper [roxa]</p><p>O gráfico a seguir representa as funções f(x) = 2x e g(x) = log2x.</p><p>1–1</p><p>–1</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–3</p><p>–3</p><p>–4</p><p>–4</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>5</p><p>5</p><p>6</p><p>6</p><p>7</p><p>7</p><p>8</p><p>8</p><p>9</p><p>9</p><p>x</p><p>a. RC</p><p>1</p><p>RO R</p><p>b. RC</p><p>RO</p><p>RO</p><p>R</p><p>c. RC</p><p>1</p><p>1 RO R</p><p>d. RC</p><p>RO R</p><p>e. RC</p><p>RO</p><p>R</p><p>12. UFMG</p><p>Neste plano cartesiano, estão representados o gráfico da função</p><p>y = log2 x e o retângulo ABCD, cujos lados são paralelos aos eixos</p><p>coordenados:</p><p>y</p><p>x</p><p>y = log2x</p><p>A B</p><p>CD</p><p>Sabe-se que:</p><p>• os pontos B e D pertencem ao gráfico da função y = log2 x;</p><p>• as abscissas dos pontos A e B são, respectivamente, 1</p><p>4</p><p>e 8.</p><p>Então, é correto afirmar que a área do retângulo ABCD é:</p><p>a. 38,75</p><p>b. 38</p><p>c. 38,25</p><p>d. 38,5</p><p>26</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>411Matemática</p><p>O gráfico que melhor representa a função y = f(g(x)) é:</p><p>a. y</p><p>x</p><p>b. y</p><p>x</p><p>c. y</p><p>x</p><p>d. y</p><p>x</p><p>e. y</p><p>x</p><p>16. UFF-RJ [roxa]</p><p>O índice de Theil, um indicador usado para medir desigualdades econô-</p><p>micas de uma população, é definido por</p><p>T In</p><p>M</p><p>M</p><p>A</p><p>G</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>,</p><p>sendo</p><p>M</p><p>n</p><p>x</p><p>x x x</p><p>N</p><p>e M x x x xA i</p><p>i</p><p>N</p><p>N</p><p>G i</p><p>i</p><p>N</p><p>N N</p><p>N= =</p><p>+ +</p><p>= = ⋅ ⋅ ⋅</p><p>= =</p><p>∑ ∏1</p><p>1</p><p>1 2</p><p>1</p><p>1 2</p><p>...</p><p>... ,</p><p>respectivamente, as médias aritmética e geométrica das rendas x1, x2,</p><p>..., xN (consideradas todas positivas e medidas com uma mesma unidade</p><p>monetária) de cada um dos N indivíduos da população.</p><p>Com base nessas informações, assinale a afirmativa incorreta.</p><p>a. T = In(MA) – In(MG)</p><p>b. In</p><p>M</p><p>x</p><p>A</p><p>i</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>≥ 0 para todo xi > 0, i = 1, ..., N</p><p>c. x</p><p>N</p><p>i ≤ MA para todo i = 1, ..., N</p><p>d. Se x1 = x2 = ... = xN, então T = 0</p><p>e. T</p><p>N</p><p>In</p><p>M</p><p>x N</p><p>In</p><p>M</p><p>x</p><p>In</p><p>M</p><p>x</p><p>In</p><p>MA</p><p>ii</p><p>N</p><p>A A A=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ +</p><p>=</p><p>∑1 1</p><p>1 1 2</p><p>...</p><p>xxN</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>17.</p><p>Determine os valores de a para que a função f(x) = log|a|x seja crescente.</p><p>18.</p><p>Esboce o gráfico da função f(x) = log2|x|</p><p>19. FGV-SP</p><p>Os diretores de uma empresa de consultoria estimam que, com x funcio-</p><p>nários, o lucro mensal que pode ser obtido é dado pela função:</p><p>P x n</p><p>x</p><p>x milreais( ) ,= + </p><p></p><p></p><p></p><p>−20 1</p><p>25</p><p>0 1</p><p>2</p><p>Atualmente a empresa trabalha com 20 funcionários.</p><p>Use as aproximações: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1 para responder às questões</p><p>seguintes:</p><p>a. Qual é o valor do lucro mensal da empresa?</p><p>b. Se a empresa tiver necessidade de contratar mais 10 funcioná-</p><p>rios, o lucro mensal vai aumentar ou diminuir? Quanto?</p><p>20. UFRGS-RS</p><p>Definindo funções convenientes e traçando seus gráficos num mesmo</p><p>sistema de coordenadas, verifica-se que o número de soluções da equa-</p><p>ção log(x + 1) = x2 – 3x é:</p><p>a. 0</p><p>b. 1</p><p>c. 2</p><p>d. 3</p><p>e. 4</p><p>27</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>01. FGV-RJ [branca]</p><p>Há muitas histórias escritas sobre o mais antigo matemático grego que</p><p>conhecemos, Tales de Mileto. Não sabemos se elas são verdadeiras,</p><p>porque foram escritas centenas de anos após sua morte.</p><p>Uma delas fala do método usado por ele para medir a distância de um</p><p>navio no mar, em relação a um ponto na praia.</p><p>Uma das versões diz que Tales colocou uma vara na posição horizontal</p><p>sobre a ponta de um pequeno penhasco, de forma que sua extremidade</p><p>coincidisse com a imagem do barco.</p><p>Conhecendo sua altura (h), o comprimento da vara (c) e a altura do</p><p>penhasco (d), ele calculou a distância x em relação ao barco.</p><p>d</p><p>x</p><p>c</p><p>h</p><p>Descreva com suas palavras um método para calcular a distância x . Em</p><p>seguida, determine a distância do navio à praia com estes dados:</p><p>h = 1,80 m; c = 0,75 m; d = 298,20 m;</p><p>02. Vunesp [branca]</p><p>Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto se-</p><p>parado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são</p><p>projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma dis-</p><p>tância de 0,005 mm.</p><p>1 mm</p><p>0,005 mm</p><p>15 mm Fora de escalax</p><p>Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual</p><p>ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a</p><p>15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos,</p><p>distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este</p><p>os perceba separados, é:</p><p>a. 1</p><p>b. 2</p><p>c. 3</p><p>d. 4</p><p>e. 5</p><p>03. FTT [branca]</p><p>O Realismo foi um movimento em que o artista procurava retratar, com</p><p>rigor fotográfico, objetos da vida real, obedecendo rigorosamente a</p><p>efeitos de textura, cor e luz em suas pinturas.</p><p>Suponha que um desses pintores, em seu ateliê, disponha sobre uma</p><p>mesa um cálice de estanho e uma vela acesa.</p><p>Ao tornar o ambiente desprovido de qualquer outra fonte luminosa, o</p><p>comprimento da sombra do cálice, em cm, deverá ser igual a:</p><p>Dados:</p><p>– distância do centro do cálice ao centro da vela: 20 cm;</p><p>– altura da vela, contando com a chama: 32 cm;</p><p>– altura do cálice de estanho: 12 cm.</p><p>a. 6</p><p>b. 9</p><p>c. 12</p><p>d. 15</p><p>e. 18</p><p>04. ENEM [branca]</p><p>A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de</p><p>Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posi-</p><p>cionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.</p><p>Fotografia obtida da Internet</p><p>Posição da</p><p>câmera</p><p>Posição da</p><p>turista</p><p>Posição da</p><p>esfinge</p><p>c</p><p>a b</p><p>d</p><p>d’</p><p>MÓDULO 09 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS</p><p>28</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que</p><p>a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a</p><p>2</p><p>3</p><p>da medi-</p><p>da do queixo da esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas</p><p>medidas, na realidade, são representadas por d e d’, respectivamente,</p><p>que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no</p><p>plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por</p><p>b, e que a distância da turista à mesma lente, por a. A razão entre b e a</p><p>será dada por:</p><p>a. b</p><p>a</p><p>d</p><p>c</p><p>=</p><p>'</p><p>b. b</p><p>a</p><p>d</p><p>c</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>c. b</p><p>a</p><p>d</p><p>c</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>'</p><p>d. b</p><p>a</p><p>d</p><p>c</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>'</p><p>e. b</p><p>a</p><p>d</p><p>c</p><p>=</p><p>2 '</p><p>05. Unicid-SP [branca/amarela]</p><p>Observe o que segue:</p><p>y A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>x</p><p>O menor caminho para se ir do ponto A = (1, 3) até o ponto C = (9, 1)</p><p>passa necessariamente pelo ponto B sobre o eixo x, tal como a figura.</p><p>Sabendo-se que CD = DE e que A, B e E são colineares, então o compri-</p><p>mento do menor caminho de A até C, passando por B, é:</p><p>a. 4 5</p><p>b. 5 5</p><p>c. 6 5</p><p>d. 7 5</p><p>e. 8 5</p><p>06. UFRN [branca/amarela]</p><p>Dois postes, um de 10 m e outro de 6 m, devem ser sustentados, respec-</p><p>tivamente, por cabos de aço de comprimentos a e b, conforme ilustra a</p><p>figura a seguir.</p><p>a a</p><p>b</p><p>6 m</p><p>10 m</p><p>40 m</p><p>b</p><p>F2F1 F3</p><p>Os pontos de fixação F1, F2 e F3 devem ser determinados de modo que a</p><p>quantidade de cabo de aço seja mínima.</p><p>A distância do ponto F2 até a base do poste menor deverá ser:</p><p>a. 10 m</p><p>b. 15 m</p><p>c. 20 m</p><p>d. 25 m</p><p>e. 30 m</p><p>07. UFOP-MG [branca/amarela]</p><p>Uma pessoa, após caminhar 10,5 metros sobre uma rampa plana com</p><p>inclinação de q radianos, em relação a um piso horizontal, e altura de h</p><p>metros na sua parte mais alta, está a 1,5 metro de altura em relação ao</p><p>piso e a 17,5 metros do ponto mais alto da rampa.</p><p>10,5 m</p><p>17,5 m</p><p>1,5 m</p><p>θ</p><p>h</p><p>Sendo assim, a altura h da rampa, em metros, é de:</p><p>a. 2,5</p><p>b. 4,0</p><p>c. 7,0</p><p>d. 8,5</p><p>08. Vunesp [branca/amarela]</p><p>Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade</p><p>inicial, e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm.</p><p>Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movi-</p><p>mento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo</p><p>retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a</p><p>uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros,</p><p>ela atingirá o outro lado da quadra?</p><p>09. UFTM-MG [amarela/roxa]</p><p>Na figura, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de raio r e cen-</p><p>tro O, sendo AE o diâmetro da circunferência, BC = a e AH = ha.</p><p>A</p><p>c</p><p>B</p><p>H</p><p>O</p><p>r</p><p>E</p><p>C</p><p>b</p><p>a</p><p>ha</p><p>Determine:</p><p>a. a altura ha, em função de r, b e c;</p><p>b. a área do triângulo ABC, em função de a e ha.</p><p>10. UEPB [amarela/roxa]</p><p>Para que uma folha com 18 cm de comprimento, quando dobrada ao</p><p>meio, conforme nos mostra a figura, mantenha a mesma forma que ti-</p><p>nha quando estendida, sua largura, em cm, encontra-se entre:</p><p>29</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>18</p><p></p><p>a. 12 e 13.</p><p>b. 10 e 11.</p><p>c. 11 e 12.</p><p>d. 14 e 15.</p><p>e. 15 e 16.</p><p>11. Mackenzie-SP [amarela/roxa]</p><p>A área do quadrado assinalado na figura é igual a:</p><p>3 5</p><p>a. 15</p><p>b. 20</p><p>c. 12</p><p>d. 18</p><p>e. 16</p><p>12. UFTM-MG [amarela/roxa]</p><p>A figura mostra um retângulo ABCD de dimensões</p><p>AB = 5 11 cm e AD = 7 cm. O ponto E pertence ao lado CD e os segmentos</p><p>AC e BE interceptam-se no ponto F.</p><p>F</p><p>B</p><p>CED</p><p>A</p><p>a. Calcule a medida da diagonal AC.</p><p>b. Se a distância entre os pontos F e C é igual a 3 cm, calcule a</p><p>distância entre os pontos C e E.</p><p>13. UFRJ [roxa]</p><p>Manuel e Joaquim estavam tentando decidir qual o caminho poligonal</p><p>mais curto que liga o ponto A0 ao ponto A12 na figura a seguir.</p><p>C2</p><p>C1</p><p>B1</p><p>A0</p><p>A1</p><p>A2</p><p>A3</p><p>A4</p><p>A5</p><p>A6</p><p>A7</p><p>A8</p><p>A9</p><p>A10</p><p>A11</p><p>A12</p><p>B2</p><p>Depois de muito pensar, concluíram que havia três caminhos possíveis:</p><p>a. A0A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12;</p><p>b. A0C2A12;</p><p>c. A0B1C1B2A12.</p><p>Manuel indicou o caminho a como o mais curto, argumentando que esse</p><p>era o caminho que estava mais próximo do segmento A0A12. Joaquim</p><p>escolheu o caminho b, por ser o que tinha menor número de segmentos.</p><p>Indique qual das afirmativas a seguir está correta.</p><p>I. O caminho mais curto é o proposto por Manuel.</p><p>II. O caminho mais curto é o proposto por Joaquim.</p><p>III. Nenhum dos dois patrícios escolheu o caminho mais curto.</p><p>Justifique sua resposta.</p><p>14. FGV-SP [roxa]</p><p>Na figura, a corda EF é perpendicular à corda BC, sendo M o ponto mé-</p><p>dio de BC. Entre B e C toma-se U, sendo que o prolongamento de EU</p><p>intercepta a circunferência em A. Em tais condições, para qualquer U</p><p>distinto de M, o triângulo EUM é semelhante ao triângulo</p><p>A</p><p>B</p><p>U M</p><p>F</p><p>C</p><p>E</p><p>a. EFC.</p><p>b. AUB.</p><p>c. FUM.</p><p>d. FCM.</p><p>e. EFA.</p><p>15. UFPR [roxa]</p><p>Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais</p><p>de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura abaixo. Os</p><p>suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6</p><p>metros de altura. A altura do suporte em B é, então, de:</p><p>4 m</p><p>12 m 8 m</p><p>6 m</p><p>CBA</p><p>a. 4,2 metros.</p><p>b. 4,5 metros.</p><p>c. 5 metros.</p><p>d. 5,2 metros.</p><p>e. 5,5 metros.</p><p>16. Unicamp-SP [roxa]</p><p>Considere uma gangorra composta por uma tábua de 240 cm de com-</p><p>primento, equilibrada, em seu ponto central, sobre uma estrutura na</p><p>forma de um prisma cuja base é um triângulo equilátero de altura igual</p><p>a 60 cm, como mostra a figura. Suponha que a gangorra esteja instala-</p><p>da sobre um piso perfeitamente horizontal.</p><p>30</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>240 cm</p><p>60 cm</p><p>a. Desprezando a espessura da tábua e supondo que a extremi-</p><p>dade direita da gangorra esteja a 20 cm do chão, determine a</p><p>altura da extremidade esquerda.</p><p>b. Supondo, agora, que a extremidade direita da tábua toque o</p><p>chão, determine o ângulo a formado entre a tábua e a lateral</p><p>mais próxima do prisma, como mostra a vista lateral da gangor-</p><p>ra, exibida abaixo.</p><p>60 cm α</p><p>240 cm</p><p>17. UFG-GO</p><p>As “Regras Oficiais de Voleibol”, aprovadas pela Federação Interna-</p><p>cional de Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse</p><p>esporte deve ser retangular, medindo 18 m de comprimento por 9</p><p>m de largura.</p><p>A rede colocada verticalmente sobre a linha central da quadra deve</p><p>ter altura de 2,43 m para jogos profissionais masculinos. Em cada</p><p>campo da quadra, há uma linha de ataque, desenhada a 3 m de dis-</p><p>tância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura</p><p>a seguir.</p><p>Linha de fundo</p><p>do campo adversário</p><p>B</p><p>9 m 3 m</p><p>18 m</p><p>R</p><p>H</p><p>A</p><p>9</p><p>m</p><p>Lin</p><p>ha</p><p>d</p><p>e</p><p>at</p><p>aq</p><p>ue</p><p>Lin</p><p>ha</p><p>ce</p><p>nt</p><p>ra</p><p>l</p><p>Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do</p><p>seguinte modo: estando sobre a linha de ataque de seu campo, saltou</p><p>verticalmente batendo na bola no ponto H, fazendo-a descrever uma</p><p>trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R, tocan-</p><p>do a quadra exatamente no ponto B, pertencente à linha de fundo do</p><p>campo adversário.</p><p>Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador al-</p><p>cançou para conseguir fazer o ponto.</p><p>18. UEG-GO</p><p>O formato dos papéis que utilizamos, tais como A0, A1, A2, A3, A4,</p><p>...A10, tem uma relaçao muito interessante, conforme descrevemos a</p><p>seguir. Partindo do papel A0, obtem-se o papel A1 do seguinte modo:</p><p>o menor lado do papel A1 é a metade do maior lado do papel A0, e o</p><p>maior lado do papel A1 é igual ao menor lado do A0. Do mesmo modo,</p><p>a folha do papel A2 é obtida da folha A1, a folha do papel A3 é obtida da</p><p>folha do papel A2 e assim sucessivamente. Considerando que as folhas</p><p>de papel descritas acima são retangulares e que os papéis como A0, A1,</p><p>A2, A3, A4, ...A10 são semelhantes, então a razão entre o maior e o me-</p><p>nor lado do papel A4 é igual a:</p><p>a. 2</p><p>b. 2</p><p>c. 1</p><p>2</p><p>d. 2</p><p>2</p><p>19. UEMS</p><p>Considere um retângulo R1, cujos lados medem (a + b) cm e a cm, e um re-</p><p>tângulo R2, cujos lados medem a cm e b cm, com a > b > 0. Se os retângulos</p><p>R1 e R2 são semelhantes e os números reais r e s são raízes da equação ax2</p><p>+ bx + c = 0 na variável x, então r + s é igual a:</p><p>a. 1 5</p><p>2</p><p>+</p><p>b. 1 5</p><p>2</p><p>−</p><p>c. 5 1</p><p>2</p><p>−</p><p>d. −</p><p>+1 5</p><p>2</p><p>e.</p><p>1 5</p><p>2</p><p>−</p><p>20. Cefet-SP</p><p>No plano cartesiano, a flecha A foi ampliada, obtendo-se a flecha B,</p><p>como mostra a figura, que foi danificada.</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>-1</p><p>-2</p><p>-3</p><p>A</p><p>B</p><p>P</p><p>1 2 3 4 5 6</p><p>Na flecha B, o ponto correspondente ao ponto P da flecha A tem coor-</p><p>denadas:</p><p>a. (10, 1)</p><p>b. (8, 2)</p><p>c. (7, 1)</p><p>d. (4, 1)</p><p>e. (3, –1)</p><p>31</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>01. Fuvest-SP [branca]</p><p>O valor de x na figura é:</p><p>x</p><p>2</p><p>3</p><p>D</p><p>E</p><p>A C</p><p>B</p><p>10</p><p>04. Inatel-MG [branca]</p><p>Na figura abaixo, têm-se uma tangente AT e uma secante AP a um círculo. Se</p><p>AT = 12 cm e PR = 10 cm, calcule o comprimento de AR.</p><p>P R</p><p>T</p><p>A</p><p>05. FMC-SP [branca/amarela]</p><p>Na figura, o segmento AB, de medida 6, está contido numa reta suporte</p><p>tangente à circunferência de centro O. O segmento AC tem medida 4 e é</p><p>colinear com o diâmetro CD. O raio da circunferência é:</p><p>D C</p><p>B</p><p>O A</p><p>a. 2,5</p><p>b. 3</p><p>c.</p><p>3,2</p><p>d. 4</p><p>e. 4,5</p><p>06. ITA-SP [branca/amarela]</p><p>Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED inter-</p><p>ceptam essa circunferência nos pontos B e A e C e D, respectivamente. A corda</p><p>AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7,</p><p>EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale:</p><p>a. 20</p><p>3</p><p>b. 3</p><p>5</p><p>c. 1</p><p>d. 5</p><p>e. 4</p><p>02. UFMA [branca]</p><p>De um ponto exterior a uma circunferência, são traçadas uma tangente</p><p>e uma secante, conforme a figura seguinte. A tangente AB mede 10 m</p><p>e as medidas de AC e CD são iguais. Assim, o comprimento da secante</p><p>AD é igual a:</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>A</p><p>a. 10 m</p><p>b. 5 2 m</p><p>c. 10 2 m</p><p>d. 15 2 m</p><p>e. 15 m</p><p>03. [branca]</p><p>O raio do círculo indicado na figura é:</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>a. 2</p><p>b. 6</p><p>c. 8</p><p>d. 4</p><p>e. 1</p><p>a. 1</p><p>b. 2</p><p>c. 3</p><p>d. 4</p><p>e. 5</p><p>07. FEI-SBC [branca/amarela]</p><p>Na figura, o segmento PT mede 2 21 cm e a sua reta suporte é tangen-</p><p>te à circunferência g, cujo raio mede 4 cm. A medida do segmento PB é:</p><p>B</p><p>T</p><p>A P</p><p>γ</p><p>a. 14 cm</p><p>b. 21cm</p><p>c. 21</p><p>2</p><p>cm</p><p>d. 21</p><p>3</p><p>cm</p><p>e. 21</p><p>4</p><p>cm</p><p>MÓDULO 10 RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA</p><p>32</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>08. Mackenzie-SP [branca/amarela]</p><p>Numa circunferência de raio 5, uma corda perpendicular a um diâmetro</p><p>separa esse diâmetro em duas partes, uma das quais mede 2. O compri-</p><p>mento da corda é:</p><p>Sabendo-se que os segmentos EF e BC são paralelos, e que AC = 25 cm</p><p>e FC = 9 cm, pode-se concluir que BC – EF é, em centímetros, igual a:</p><p>E</p><p>F C</p><p>BA O</p><p>a. 4,2</p><p>b. 5,4</p><p>c. 5,8</p><p>d. 8,4</p><p>e. 9,6</p><p>12. UFG-GO [amarela/roxa]</p><p>Um professor pediu a seus alunos que desenhassem em seus cadernos</p><p>uma circunferência de raio r e um ponto P fora do círculo delimitado por</p><p>ela. Depois, pediu que traçassem por P duas retas: uma delas tangente</p><p>à circunferência em um ponto T e a outra secante à circunferência nos</p><p>pontos A e B, sendo PA < PB. Em seguida, usando semelhança de triân-</p><p>gulos, provou que PA × PB = PT2 .</p><p>Sabendo que a corda AB mede 5 cm e que PT = 6 cm, calcule a medida</p><p>de PA, em centímetros.</p><p>13. UERJ [roxa]</p><p>A figura abaixo representa um círculo de centro O e uma régua retangu-</p><p>lar, graduada em milímetros. Os pontos A, E e O pertencem à régua e os</p><p>pontos B, C e D pertencem, simultaneamente, à régua e à circunferência.</p><p>E D C</p><p>OBA</p><p>0 1 2 3 4 5</p><p>Considere os seguintes dados:</p><p>Segmentos Medida (cm)</p><p>AB 1,6</p><p>ED 2,0</p><p>EC 4,5</p><p>O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a:</p><p>a. 3,1</p><p>b. 3,3</p><p>c. 3,5</p><p>d. 3,6</p><p>14. Unicamp-SP [roxa]</p><p>Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r.</p><p>Sabe-se que o ângulo  tem 90° e que o cículo inscrito tangencia o lado</p><p>a. 4</p><p>b. 6</p><p>c. 7</p><p>d. 8</p><p>e. 5</p><p>09. FGV-SP [amarela/roxa]</p><p>A circunferência λ, de centro C, é tangente aos eixos cartesianos coor-</p><p>denados e à hipotenusa do triângulo PQT. Se m PTQ = ° =60 1 e QT ,</p><p>como indica a figura, o raio da circunferência λ é igual a:</p><p>y</p><p>C</p><p>P</p><p>Q</p><p>0 1</p><p>60°</p><p>T x</p><p>a. 3 2 3</p><p>2</p><p>+</p><p>b. 3 3</p><p>2</p><p>+</p><p>c. 2 3</p><p>2</p><p>+</p><p>d. 3 3</p><p>3</p><p>+</p><p>e.</p><p>2 3</p><p>3</p><p>+</p><p>10. FEI-SP [amarela/roxa]</p><p>Se AB = 10 cm, então o perímetro do triângulo AMN hachurado vale:</p><p>(E, B e T são pontos de tangência.)</p><p>B M</p><p>T</p><p>E N</p><p>A</p><p>a. 10 cm</p><p>b. 15 cm</p><p>c. 20 cm</p><p>d. 30 cm</p><p>e. 40 cm</p><p>11. UFTM-MG [amarela/roxa]</p><p>Na figura, AB é o diâmetro da circunferência de centro O e B é o ponto</p><p>de tangência do segmento BC à circunferência.</p><p>33</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemáti ca</p><p>BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimento PB</p><p>= 10 e PC = 3.</p><p>a. Determine r.</p><p>b. Determine AB e AC.</p><p>15. UFOP-MG [roxa]</p><p>Um círculo de raio r encontra-se inscrito em um triângulo ABC isósceles</p><p>retângulo em B, que, por sua vez, está inscrito em um círculo de raio R,</p><p>conforme mostra a figura.</p><p>B C</p><p>A</p><p>r</p><p>R</p><p>É correto afirmar que r</p><p>R</p><p>vale:</p><p>17. UFV-MG</p><p>Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm tendo AB como</p><p>segmento tangente em B. Sejam C um ponto sobre OA, tal que OC = 6</p><p>cm, e D um ponto sobre AB, tal que CD é perpendicular a AB .</p><p>Sabendo-se que AB = 4,5 cm, então o comprimento de CD, em cm, é:</p><p>MÓDULO 11 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO</p><p>01. UFRGS-RS [branca]</p><p>O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem 1</p><p>2</p><p>e 6</p><p>5</p><p>, a</p><p>distância do lampião ao teto é:</p><p>a. 1</p><p>2 1+</p><p>b. 1</p><p>2 1−</p><p>c. 1</p><p>3 1+</p><p>d. 1</p><p>3 1−</p><p>16. UFOP-MG [roxa]</p><p>Considerando as medidas indicadas na figura e sabendo que o círculo</p><p>está inscrito no triângulo, determine x.</p><p>a. 1,69</p><p>b. 1,3</p><p>c. 0,6</p><p>d. 1</p><p>2</p><p>e. 6</p><p>13</p><p>a. 1,3</p><p>b. 1,5</p><p>c. 1,2</p><p>d. 1,4</p><p>18. Mackenzie-SP</p><p>O ponto P está no interior de uma circunferência de</p><p>13 cm de raio e dista 5 cm do centro da mesma. Pelo ponto P traça-se a cor-</p><p>da AB de 25 cm. Os comprimentos que P determina sobre a corda AB são:</p><p>a. 11 cm e 14 cm.</p><p>b. 7 cm e 18 cm.</p><p>c. 16 cm e 9 cm.</p><p>d. 5 cm e 20 cm.</p><p>e. 8 cm e 17 cm.</p><p>19.</p><p>De um ponto P exterior a um círculo de raio 6, traçam-se secantes PXY</p><p>(PX < PY), sendo X e Y pontos variáveis pertencentes à circunferência</p><p>desse círculo. Os pontos médios das cordas XY descrevem um arco de</p><p>circunferência de raio R. Assim sendo, qual será o valor de R, sabendo-se</p><p>que a tangente PT ao círculo mede 8?</p><p>a. 5</p><p>b. 6</p><p>c. 10</p><p>d. 4 2</p><p>e. 4 3</p><p>20.</p><p>Calcule a medida do lado BC do quadrilátero circunscrito na circunferência,</p><p>sendo AB = 10 cm, CD = 15 cm e AD = 13 cm.</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>D</p><p>34</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>02. FAAP-SP [branca]</p><p>No retângulo ABCD de lados AB = 4 cm e BC = 3 cm, o segmento DM é</p><p>perpendicular à diagonal AC. Calcule o comprimento do segmento AM.</p><p>D</p><p>A</p><p>M</p><p>C</p><p>B</p><p>03. UFSCar-SP [branca]</p><p>A hipotenusa do triângulo retângulo ABC está localizada sobre a reta</p><p>real, conforme indica a figura.</p><p>A</p><p>B</p><p>CD</p><p>x 7– 4</p><p>Se x > 0 e a medida da altura BD relativa ao lado AC do triângulo ABC é</p><p>2 6 , então x é o número real:</p><p>a. 2 3</p><p>b. 4</p><p>c. 3 2</p><p>d. 5</p><p>e. 3 3</p><p>04. ENEM [branca]</p><p>Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de</p><p>outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro</p><p>tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com</p><p>raio maior.</p><p>Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos</p><p>maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos</p><p>cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores</p><p>for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para</p><p>produzir tubos maiores, com raio da base igual a:</p><p>a. 12 cm</p><p>b. 12 2 cm</p><p>c. 24 2 cm</p><p>d. 6(1 + 2 ) cm</p><p>e. 12(1 + 2 ) cm</p><p>05. Ufla-MG [branca/amarela]</p><p>Uma escada de abrir tem 2 metros de comprimento quando completa-</p><p>mente fechada. Ela possui duas possibilidades de abertura: a primeira,</p><p>com uma abertura na base de 40 cm e a segunda com uma abertura</p><p>de 80 cm. A diferença h na altura da escada com a abertura menor e a</p><p>maior é de:</p><p>a. 20 3 11 4 6( )− cm</p><p>b. ( )6 11 8 6− cm</p><p>c. 20 cm</p><p>d. 18 cm</p><p>06. FGV-SP [branca/amarela]</p><p>A, B e C são quadrados congruentes de lado igual a 1 em um mesmo</p><p>plano. Na situação inicial, os três quadrados estão dispostos de forma</p><p>que dois adjacentes possuem um lado em comum e outro sobre a reta</p><p>r. Na situação final, os quadrados A e C permanecem na mesma posição</p><p>inicial, e o quadrado B é reposicionado, conforme indica a figura.</p><p>r</p><p>Situação inicial</p><p>A B C</p><p>r</p><p>Situação final</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>30°</p><p>A menor distância da reta r a um vértice do quadrado B é:</p><p>a. 2 3</p><p>4</p><p>−</p><p>b. 3 3</p><p>4</p><p>−</p><p>c. 4 3</p><p>4</p><p>−</p><p>d. 3 3</p><p>3</p><p>−</p><p>e. 4 3</p><p>2</p><p>−</p><p>07. UFOP-MG [branca/amarela]</p><p>Considere um retângulo com lados medindo a e 2a unidades de comprimen-</p><p>to. Os segmentos com extremos nos pontos médios de lados adjacentes</p><p>formam um losango. Qual o raio da circunferência inscrita nesse losango?</p><p>a. a 3</p><p>4</p><p>b. a 5</p><p>5</p><p>c. a 2</p><p>3</p><p>d. a 6</p><p>6</p><p>35</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>08. Unimontes-MG [branca/amarela]</p><p>Na figura a seguir, temos R = 12 cm e a = 60°. O valor de r é:</p><p>12. UFG-GO [amarela/roxa]</p><p>Três números inteiros positivos constituem uma terna pitagórica</p><p>se o quadrado do maior for igual à soma dos quadrados</p><p>dos outros</p><p>dois, ou seja, os três números são medidas dos lados de um triân-</p><p>gulo retângulo. Diofanto de Alexandria (século III) desenvolveu um</p><p>método para gerar ternas pitagóricas: para quaisquer dois núme-</p><p>ros inteiros positivos m e n , com m > n , os inteiros m2 – n2 , 2mn e</p><p>m2 + n2 formam uma terna pitagórica.</p><p>Qual é, em função de m e n , o raio da circunferência inscrita no triângulo</p><p>retângulo obtido no método de Diofanto?</p><p>13. UFG-GO [roxa]</p><p>Uma empresa fabrica tubos de aço com diâmetro 100 mm e armazena-</p><p>os empilhando-os em “camadas”, conforme ilustrado na figura abaixo.</p><p>Camadas</p><p>Se a altura dessa pilha de tubos deve ser de, no máximo, 2 m, a quanti-</p><p>dade máxima de “camadas” que deve ser empilhada é:</p><p>a. 18</p><p>b. 19</p><p>c. 22</p><p>d. 26</p><p>e. 30</p><p>Use 3 = 1,73</p><p>14. UFSCar-SP [roxa]</p><p>O triângulo ABE e o quadrado ABCD estão em planos perpendiculares,</p><p>conforme indica a figura.</p><p>C D</p><p>B A</p><p>E</p><p>x</p><p>Se EA = 3 e AB = 5, então ED é igual a:</p><p>a. 24</p><p>b. 5</p><p>c. 3 3</p><p>d. 4 2</p><p>e. 34</p><p>α</p><p>r</p><p>R</p><p>a. 6 cm</p><p>b. 12 2 3 3( )− cm</p><p>c. 4 cm</p><p>d. 12 2 3 3( )+ cm</p><p>09. UFMS [amarela/roxa]</p><p>São construídos dois semicírculos tangentes entre si, cada um com raio</p><p>de 30 cm. Em seguida, constrói-se um terceiro semicírculo, tangencian-</p><p>do internamente os dois semicírculos já construídos.</p><p>Determine, em cm, o raio r do círculo que tangencia os três semicírculos</p><p>construídos.</p><p>30 cm 30 cm</p><p>r</p><p>10. UFV-MG [amarela/roxa]</p><p>A figura abaixo representa uma porção do mapa rodoviário de uma ci-</p><p>dade, em que o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles; DEFC, BIJC</p><p>e AHGB são quadrados de lados medindo 2 km, 6 km e 2 km, respecti-</p><p>vamente, e ∠DCB = 60°. É correto afirmar que a distância percorrida</p><p>por um veículo que trafega pela poligonal EDABGI é igual a:</p><p>60°</p><p>B</p><p>I J</p><p>C</p><p>F</p><p>E</p><p>DA</p><p>H</p><p>G</p><p>a. 2(5 + 7 ) km</p><p>b. 2(4 + 11 ) km</p><p>c. 2(5 + 13 ) km</p><p>d. 2(4 + 5 ) km</p><p>11. UFPE [amarela/roxa]</p><p>Na figura abaixo, AB = AD = 25, BC = 15 e DE = 7. Os ângulos D E A, BĈA e</p><p>B F A são retos. Determine AF.</p><p>A F E</p><p>DC</p><p>B</p><p>36</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>15. UFTM-MG [roxa]</p><p>Uma praça tem a forma de um pentágono convexo, mostrado na figura,</p><p>onde as dimensões estão indicadas em metros.</p><p>A</p><p>B</p><p>80</p><p>60</p><p>120</p><p>E</p><p>D</p><p>C</p><p>Figura fora</p><p>de escala</p><p>Existem duas opções para ir do ponto A até o ponto C, contornando a praça.</p><p>São elas:</p><p>I. saindo de A, pode-se seguir em linha reta até E, depois até D e,</p><p>finalmente, encaminhar-se até C;</p><p>II. saindo de A, pode-se seguir em linha reta até B e,</p><p>depois, dirigir-se até C.</p><p>Se, nas duas opções, a distância total a ser percorrida é a mesma e sendo DE</p><p>> DC, então a distância entre D e E, em metros, é igual a:</p><p>a. 70</p><p>b. 80</p><p>c. 90</p><p>d. 100</p><p>e. 110</p><p>16. UFG-GO [roxa]</p><p>A figura plana apresentada a seguir representa um boiadeiro no ponto B</p><p>que decide cavalgar até um ponto P, localizado na margem de uma repre-</p><p>sa, para deixar seu cavalo beber água, antes de ir até o curral, no ponto C.</p><p>Represa</p><p>P D</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>6 km</p><p>5 km</p><p>3 km</p><p>Em cada um dos percursos retilíneos BP e PC, o boiadeiro consegue</p><p>manter uma velocidade constante de cavalgada, porém, depois de beber</p><p>água, o cavalo fica mais lento, e a velocidade no percurso PC é a metade</p><p>da velocidade no percurso BP.</p><p>Considerando que o ponto P pertence ao segmento AD, qual deve ser a</p><p>medida de AP para que o tempo gasto em cada um dos dois percursos</p><p>seja o mesmo?</p><p>17. UFPR</p><p>Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um</p><p>bloco de madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, con-</p><p>forme o esquema abaixo. Observe que o ponto mais alto dessa polia</p><p>está 1,5 m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja</p><p>puxada 1,4 m, na direção indicada abaixo, a distância x que o bloco des-</p><p>lizará será de:</p><p>3,9 m</p><p>x</p><p>1,5 m</p><p>1,4 m</p><p>a. 1,0 m</p><p>b. 1,3 m</p><p>c. 1,6 m</p><p>d. 1,9 m</p><p>e. 2,1 m</p><p>18. UFMT</p><p>Em uma malha quadriculada com 9 pontos, é possível desenhar 8 dife-</p><p>rentes triângulos, com todos os vértices coincidindo com os vértices dos</p><p>quadrados que formam a malha. A figura mostra um desses triângulos.</p><p>3 cm</p><p>3 cm</p><p>Dos 8 possíveis diferentes triângulos, 3 são isósceles e retângulos.</p><p>Determine:</p><p>a. as medidas das hipotenusas dos três triângulos isósceles e re-</p><p>tângulos;</p><p>b. a medida do lado maior do triângulo obtusângulo mostrado na</p><p>figura.</p><p>19. Unicid-SP</p><p>Uma esfera de raio R está no chão e encostada na parede. Deseja-se pas-</p><p>sar outra esfera pelo vão entre a parede, o chão e a esfera original, sem</p><p>desencostá-la da parede, tal como mostra a figura a seguir.</p><p>R</p><p>Qual o raio máximo dessa outra esfera?</p><p>a. R</p><p>2</p><p>b. 2 1−( )R</p><p>c. R 3 2 2−( )</p><p>d. R</p><p>2</p><p>e. R 2</p><p>37</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412 Matemática</p><p>20. Uespi</p><p>Se um ponto P está no interior de um retângulo ABCD, como ilustrado</p><p>abaixo, e PA = 41 , PB = 5, PC = 13 , quanto mede PD?</p><p>P</p><p>C</p><p>BA</p><p>D</p><p>MÓDULO 12 LEIS DOS SENOS E DOS COSSENOS</p><p>01. UFV-MG [branca]</p><p>No triângulo ABC, exibido na figura, AB = 5 cm, BC = 8 cm e o ângulo</p><p>ABC = 60°.</p><p>CB</p><p>A</p><p>60°</p><p>Seja p , em cm, a medida do perímetro do triângulo ABC. O volume, em</p><p>litros, do cubo com aresta p é:</p><p>a. 6</p><p>b. 8</p><p>c. 10</p><p>d. 12</p><p>02. IFET-MG [branca]</p><p>Um triângulo tem ângulos de 30° e 45°. Sabendo que o lado oposto ao</p><p>ângulo de 45° mede 6 cm de comprimento, então o lado oposto ao ân-</p><p>gulo de 30° tem comprimento (em centímetros) igual a:</p><p>a. 2 2</p><p>b. 2 3</p><p>c. 6 2</p><p>d. 3 2</p><p>e. 5 2</p><p>03. PUC-Rio [branca]</p><p>Considere o triângulo ABC inscrito na circunferência de raio 1 com ângu-</p><p>los BAC = 60° e ABC = 45°, conforme a figura abaixo.</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>a. Calcule o comprimento de cada um dos três lados do triângulo</p><p>ABC.</p><p>b. Calcule a área do triângulo ABC.</p><p>04. UFPA [branca]</p><p>Após um naufrágio, um sobrevivente se vê na situação de ter de atra-</p><p>vessar um rio de águas calmas. Prudente, decide só atravessá-lo depois</p><p>de ter estimado a largura do rio. Improvisou, então, uma trena métrica</p><p>e um transferidor rústicos e, para calcular a distância entre duas árvores,</p><p>digamos uma árvore A, situada na margem em que se encontrava, e uma</p><p>árvore B, situada na margem oposta, procedeu da seguinte forma:</p><p>– postando-se ao lado da árvore A e usando o transferidor cons-</p><p>truído, aferiu o ângulo entre a visada para a árvore B e para</p><p>uma árvore C, situada na mesma margem em que se encontra-</p><p>va, obtendo o valor 105°;</p><p>– caminhou até a árvore C e, usando a trena métrica, estimou em</p><p>300 metros a distância entre esta e a árvore A;</p><p>– estando então junto à árvore C, mediu o ângulo entre as visadas</p><p>para a árvore A e a árvore B, obtendo o valor 30°.</p><p>C</p><p>B</p><p>Rio</p><p>A</p><p>105°</p><p>30° 300</p><p>Após os procedimentos descritos, as informações obtidas foram reuni-</p><p>das e foi estimada corretamente a distância entre a árvore A e a árvore</p><p>B, obtendo o valor de, aproximadamente:</p><p>a. 150 metros.</p><p>b. 175 metros.</p><p>c. 189 metros.</p><p>d. 212 metros.</p><p>e. 250 metros.</p><p>05. FURG-RS [branca/amarela]</p><p>Ao sair de um quiosque (em A) na Praia do Cassino, um turista avista</p><p>um navio parado (em N), sob um ângulo de 30°. Ele caminha em linha</p><p>reta pela praia, em direção aos Molhes da Barra, e instala seu guarda-sol</p><p>(em B) a 1.500 m do quiosque. Nesse ponto, ele avista o mesmo navio</p><p>sob um ângulo de 45°, conforme a figura abaixo. A distância do navio ao</p><p>guarda-sol, em metros, é de:</p><p>a. 3 3</p><p>b. 2 7</p><p>c. 26</p><p>d. 29</p><p>e. 5</p><p>38</p><p>PV</p><p>3A</p><p>-1</p><p>2-</p><p>24</p><p>412Matemática</p><p>B</p><p>N</p><p>A</p><p>a. 1.500 3 1−( )</p><p>b. 750 2</p><p>c. 750 6 2−( )</p><p>d. 375 6 2−( )</p><p>e. 1.500 3 2−( )</p><p>06. Cefet-MG [branca/amarela]</p><p>Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha até o topo,</p><p>representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do</p><p>acampamento B e de 60° do acampamento A.</p><p>D</p><p>A</p><p>60°</p><p>160 m</p><p>30°</p><p>40°</p><p>B C</p><p>Dado: sen 20° = 0,342</p><p>Considerando que o percurso de 160 m entre A e B é realizado segundo</p><p>um ângulo de 30° em relação à base da montanha, então a distância</p><p>entre B e D, em m, é de, aproximadamente:</p><p>a. 190</p><p>b. 234</p><p>c. 260</p><p>d. 320</p><p>07. Uespi [branca/amarela]</p><p>Se os lados de um triângulo medem a, b e a ab b2 2+ + , quanto mede</p><p>o maior ângulo do triângulo?</p><p>a. 30°</p><p>b. 45°</p><p>c. 60°</p><p>d. 90°</p><p>e. 120°</p><p>08. Fuvest-SP [branca/amarela]</p><p>No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem--se que M é</p><p>o ponto médio de AB e N é o ponto</p>