AULA 3 JUROS COMPOSTOS

Prévia do material em texto

UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
1 
AULA 3 
JUROS COMPOSTOS 
 
 
 
Todos os direitos autorais reservados à 
 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 
 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
 
1- Entender a diferença entre regime de capitalização simples e regime de capitalização 
composto; 
 
2- Entender o valor do dinheiro ao longo do tempo em regime de capitalização composto; 
 
 3- Compreender o conceito de montante em regime de capitalização composto; 
 
4 - Entender o conceito de taxa nominal, taxa efetiva, taxa proporcional e taxa equivalente; 
 
5- Calcular as variáveis que envolvem as questões de juros compostos; 
 
6- Interpretar e resolver os problemas ao final da unidade. 
 
 
 
 
 
 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
2 
1- INTRODUÇÃO 
O Regime de Capitalização Composto, ou simplesmente, dos juros compostos, caracteriza-
se pela incidência da taxa de juros sobre o montante acumulado do período anterior. Ocorre a 
incidência dos juros sobre juros, com crescimento exponencial do valor futuro no tempo. 
 
Enquanto que no Regime de Capitalização Simples somente o capital inicial rende juros, 
que é diretamente proporcional à taxa e o tempo; e no Regime de Capitalização Composto os 
juros são acrescentados ao capital no final de cada período de capitalização (juros) e depois disso 
rendem juros. 
 
 
DIFERENÇA ENTRE OS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 
 Juros Simples Juros Compostos 
n Juro por período ($) Montante ($) Juro por período Montante ($) 
1 (1.000) (0,4) = 400 1.400 (1.000) (0,4) = 400 1.400 
2 (1.000) (0,4) = 400 1.800 (1.400) (0,4) = 560 1.960 
3 (1.000) (0,4) = 400 2.200 (1.960) (0,4) = 784 2.744 
4 (1.000) (0,4) = 400 2.600 (2.744) (0,4) =1.097,60 3.841,60 
 
 
 Formas de Estudo 
Capitalização Numérica Funcional 
Simples P.A. Função Linear 
Composta P.G. Função Exponencial 
 
 
 0 < n < 1 ⇒ juro simples maior juro composto 
 
n = 1 ⇒ juro simples igual juro composto 
 
n > 1 ⇒ juro simples menor juro composto 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
3 
 
 
2- MONTANTE 
O montante de um principal "P", colocado a render juros à taxa "i" de juros compostos 
durante "n" períodos de capitalização, é a soma desse principal com os juros que lhe são devidos no 
fim do prazo de aplicação. 
 Seja "P" o capital (ou principal) no começo do primeiro período de juros e "i" a taxa de juros 
por período de capitalização, o valor acumulado em cada período nada mais é do o valor acumulado 
do período anterior, portanto os valores acumulados nos finais dos períodos sucessivos de juros são: 
 
No final do 1o. período: 
P1 = P + J 
P1 = P + P i 
Colocando P em evidência fica: 
 P1 = P (1 + i) 
No final do 2o. período: 
 P2 = P1 + J 
 P2 = P1 + P1 i = P1 (1 + i) 
Montante 
0 1 2 3 4 
Capitalização Simples 
$ 1.000 
Capitalização Compostos 
Função Linear 
Períodos 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
4 
 P2 = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)2 
No final do 3o. período: 
P3 = P2 (1 + i) = P1 (1 + i) (1 + i) 
P3 = P (1 + i) (1 + i) (1 + i) 
P3 = P (1 + i)3 
Assim sendo, vemos que os valores sucessivos acumulados, 
 
.S = P (1 + i) n. 
Onde: 
n: Número de Períodos de Capitalização. 
i: Taxa Efetiva de Juros (Taxa por Período de Capitalização). 
S: Montante; ou Valor Acumulado; ou Valor Futuro 
P: Principal; ou Capital; ou Valor Descontado; ou Valor Atual 
(1 + i)n: Fator de Acumulação a Juros Compostos; ou Valor Acumulado de $ 1,00. 
 
 
Ex. 1: Sabendo que o principal é $ 1.500, o prazo de aplicação três anos e a taxa de juros compostos 
de 10% a.a, qual é o valor do montante? 
 
P = $ 1.500 n = 3 anos i = 10% a.a. S = ? 
Solução: .S = P (1 + i) n. 
 S = 1.500 (1 + 0,1)3 
 S = 1.500 (1,1)3 
S = 1.500 (1,3310) 
 S = $ 1.996,50 
Resposta: $ 1.996,50 
 
 
Ex. 2: Calcular o fator de acumulação a juros compostos sendo que o prazo é doze trimestres e a 
taxa de 4% a.t. 
 
i = 4% a.t P = $ 1 n = 12 trim. Fator = (1 + i)
n = ? 
Solução: .fator = (1 + i)
n
 . 
 fator = (1 + 0,04)12 
fator = (1,04)12 
fator = 1,6010 
Resposta: 1,6010 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
5 
Ex. 3: Um comerciante toma emprestado $ 3.500 à taxa de juros de 3,5% a.m. pelo prazo de dezoito 
meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? 
 
i = 3,5% a.m. P = $ 3.500 n = 18 m. S = ? 
Solução: .S = P (1 + i) n. 
 S = 3.500 (1 + 0,035)18 
 S = 3.500 (1,035)18 
 S = 3.500 (1,8575) 
S = $ 6.501,25 
Resposta: $ 6.501,25 
 
 
Ex. 4: Carlos investiu $ 5.400 pelo prazo de seis bimestres a uma taxa de juros de 4,7% a.b. Quanto 
resgatará Carlos no final do prazo? 
 
P = $ 5.400 i = 4,7% a.b. n = 6 bim. S = ? 
 
 
NOTA: 
 ���� Como não está explícito o regime de capitalização (simples ou composto), então, será o 
que acontece na prática que é regime de capitalização composto. 
 
 
Solução: .S = P (1 + i) n. 
S = 5.400 (1 + 0,047)6 
S = 5.400 (1,047)6 
S = 5.400 (1,3173) 
S = $ 7.113,42 
Resposta: $ 7.113,42 
 
 
Ex. 5: Foram aplicados dois capitais diferentes, um no valor de $ 8.600 e o outro 35% inferior. Se o 
primeiro capital foi por vinte meses e o segundo por quinze meses e a taxa de juros compostos para 
ambas aplicações 2,5% a.m, qual foi o montante total? 
 
P1 = $ 8.600 n1 = 20 meses. 
 P2 = (1 − 0,35) (8.600) = ( 0,65) (8.600) = $ 5.590 n2 = 15 meses 
 i = 2,5% a.m` S1 + S2 = ST = ? 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
6 
Solução: .S = P (1 + i) n. 
ST = 8.600 (1 + 0,025)20+ 5.590 (1 + 0,025)15 
ST = 8.600 (1,025)20+ 5.590 (1,025)15 
ST = 8.600 (1,025)20+ 5.590 (1,025)15 
ST = 14.092,10 + 8.095,99 
ST = $ 22.188,09 
Resposta: $ 22.188,09 
 
 
3- CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE JUROS 
3.1- Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juro 
Os conceitos de taxa nominal e de taxa efetiva de juros no regime de juros compostos são os 
mesmos que os do sistema de juros simples. 
Além das taxas, comissões, juros antecipados, artifícios nos cálculos de juros, costuma-se 
utilizar taxas para um período e capitalização em período distinto. 
 Como geralmente a taxa de juros contratada numa operação financeira é fornecida em 
termos anuais, e os períodos de capitalização são diários, mensais, trimestrais ou semestrais, 
portanto, essa forma de expressar a taxa, faz com que a taxa nominal ser divergente da taxa efetiva. 
Por convenção, como a taxa declarada será sempre a taxa nominal e a taxa efetiva é a taxa 
de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente, então a taxa efetiva geralmente 
não é igual a taxa nominal. Podemos citar como exemplos: 
 
 1) 90% ao ano, capitalizados diariamente; 
 2) 18% ao ano, acumulados mensalmente; 
 3) 2% ao mês. composto semestralmente 
 
A taxa nominal embora utilizada no mercado, porém não poderá ser usada nos cálculos 
financeiros, (por que nem sempre proporciona efetivamente o rendimento), e sim a taxa efetiva que 
está embutida na taxa nominal, pois é esta que é efetivamenteaplicada em cada período de 
capitalização. 
 A taxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade 
de tempo dos períodos de capitalização, isto é, é a taxa por período de juros (ou período de 
capitalização). Podemos citar como exemplos: 
 
 1) 12% ao trimestre, capitalizados trimestralmente. 
 2) 10% ao mês, composto mensalmente. 
 3) 30% ao ano acumulado anualmente 
Devido coincidência de medida dos tempos, simplesmente costuma-se dizer: 
1) 12% ao trimestre; 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
7 
 2) 10% ao mês; 
 3) 30% ao ano; omitindo-se o período de capitalização. 
 Quando não há coincidência dos tempos, isto é, a unidade de referência de tempo da taxa 
declarada não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, por exemplo: 
 
1) 45% ao semestre acumulado diariamente 
Taxa nominal (taxa declarada) = 45% 
 sem. 
Período de capitalização: diário 
Então, significa uma taxa efetiva diária de 0,25: 
(45%) . (1 sem) = 0,25% a.d. ⇒ taxa efetiva 
 sem. (180 dias) 
 
2) 3% ao trimestre capitalizado anualmente 
Taxa nominal (taxa declarada) = 3%. 
 trim. 
Período de capitalização: anual, 
Então, significa uma taxa efetiva anual de 12% 
(3%) (4 trim) = 12% = 12% a.a. ⇒⇒⇒⇒ taxa efetiva 
 (trim) (1 ano) ano 
 
 
NOTA: 
 ���� A Taxa Nominal por convenção será sempre proporcional a Taxa Efetiva. 
 
 
 
 
NOTA: 
 ���� Todos os cálculos financeiros devem ser realizados com as taxas efetivas 
correspondentes as taxas nominais de juro. 
 
 
 
Ex. 6: Sabendo-se que o principal é $ 2.500, o prazo de aplicação seis semestres e a taxa de juros de 
10% a.a. capitalizados semestralmente, determinar o montante. 
 
P = $ 2.500 S = ? 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
8 
taxa nominal = 10% a.a. 
taxa efetiva = i = 10% (1 ano) ⇒⇒⇒⇒ i = 5% a.s. cap. sem. = 5% a.s. 
 ano ( 2 sem) 
prazo = 6 sem. ⇒⇒⇒⇒ n = 6 sem. 
Solução: .S = P (1 + i) n. 
 S = 2.500 (1,05)6 
S = $ 3.350,24 (Usando a memória da máquina) 
Resposta: $ 3.350,24 
 
 
Ex. 7: Um investidor aplicou $ 11.700 por três anos e meio a uma taxa de juros de 24% a.s. 
capitalizados mensalmente. Calcular o valor acumulado no final do prazo. 
 
P = $ 11.700,00 
taxa nominal = 24% a.s. 
taxa efetiva = i = 24% . (1 sem) ⇒⇒⇒⇒ i = 4% a.m. 
 sem (6 meses) 
prazo = 3,5 anos ⇒⇒⇒⇒ n = (3,5) (12) = 42 meses 
S = ? 
Solução: .S = P (1 + i) n. 
 S = 11.700 (1,04)(3,5) (12) 
S = 11.700,00 (1,04)(42) 
S = $ 60.755,57 
Resposta: $ 60.755,57 
 
 
Ex.8: Jane investiu $ 6.800 por oito semestres a taxa de juros compostos de 5% a.t. acumulado 
anualmente. Calcular o montante. 
 
P = $ 6.800 taxa nominal = 5% a.t. 
taxa efetiva = i = (5%/trim) (4 trim/1 ano) ⇒⇒⇒⇒ i = 20% a.a. 
prazo = 8 sem ⇒⇒⇒⇒ n = (8) (1/2) anos 
S = ? 
Solução: .S = P (1 + i) n. 
 S = 6.800 (1,2)(8/2) 
 S = 6.800 (1,2)4 
 S = $ 14.100,48 
Resposta: $ 14.100,48 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
9 
Ex. 9: Um investidor aplicou uma $ 8.900 pelo prazo de dez bimestres a uma taxa de juros 12% a.b. 
capitalizado quadrimestralmente e $ 17.600 pelo prazo de quatro quadrimestres a uma taxa de juros 
de 9% a.q. capitalizado bimestralmente. Calcular o total resgatado por Lia. 
 
P1 = $ 8.900 i1 = (12%) (2) = 24% a.q. n1 = (10/2) = 5 q. 
P2 = $ 17.600 i2 = (9%) (1/2) = 4,5% a.b. n1 = (4) (2) = 8 b 
ST = ? 
Solução: .S = P (1 + i) n. 
 ST = 8.900 (1,24)(5) + 17.600 (1,045)8 
ST = 26.091,46 + 25.028,97 
ST = $ 51.120,43 
Resposta: $ 51.120,43 
 
 
3.2- Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes 
 No regime de juros compostos os conceitos para taxas proporcionais e taxas equivalentes são 
os mesmos de juros simples, porém, no regime de juros compostos as taxas proporcionais não 
são equivalentes, pois produzem montantes diferentes para capitais iguais em prazos iguais. 
 Diz-se que a taxa trimestral it é equivalente à taxa anual ia quando: 
 
 P (1 + ia)
1 = P (1 + it)
4 
Ou seja: 
 Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes quando 
produzem o mesmo montante ou o mesmo juro no final do mesmo prazo, pela aplicação de um 
mesmo capital inicial. 
Deduz-se da igualdade acima, que: 
 
(1 + ia) = (1 + it)
4 
 
 
Ex. 10: Determinar a taxa mensal proporcional e a taxa mensal equivalente a 36% a.s. 
 
Solução: 
 Taxa Proporcional = (36%) (1 sem) 
 (sem) (6 meses) 
 Taxa Proporcional = 6% a.m. 
 
Taxa Equivalente: 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
10 
Escolhendo o prazo igual a um semestre, então a taxa mensal (im) incidirá seis vezes e a taxa 
semestral (is) incidirá uma vez, ficando: 
 
 P (1 + im)6 = P (1 + is)
1 
(1 + im)6 = (1 + 0,36) 
 (1 + im)(6) (1/6) = (1,36)(1/6) 
 (1 + im) = (1,36)(1/6) 
im = (1,36)1/6 − 1 
 im = 1,0526 − 1 
Taxa Equivalente: im = 0,0526 a.m. = 5,26% a.m. 
Resposta: 6% e 5,26% 
 
Nota: 
 ���� A equivalência é sempre entre taxas efetivas e não taxas nominais. 
 
 
 
Ex. 11: Determinar as taxas juros composto ao quadrimestre equivalente a taxa de juros composto 
de 5,5% a.m. 
 
Solução: 
 Escolhendo o prazo igual a um quadrimestre, então a taxa quadrimestral (iq) incidirá uma 
vez e a taxa mensal (im) incidirá quatro vezes, ficando: 
 
P (1 + iq) = P (1 + im)4 
 (1 + iq) = (1,055)4 
iq = (1,055)4 − 1 
 iq = 0,2388 = 23,88% 
Resposta: 23,88% 
 
 
Ex. 12: Se um banco de investimento está pagando por uma aplicação uma taxa de juros de 78% 
a.a, qual seria a taxa mensal desta aplicação? 
 
Solução: 
Como não diz se o regime é de capitalização simples ou capitalização composto será 
sempre regime de capitalização composto. 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
11 
 
78% a.a ⇒⇒⇒⇒ 78% a.a capitalizado anualmente 
Taxa nominal = 78% a.a. 
Taxa efetiva = 78% a.a. (capitalização anual) 
taxa mensal = ? (capitalização mensal) 
Então teremos que mudar a capitalização anual para capitalização mensal 
Mudar a Capitalização ⇒⇒⇒⇒ Somente através de Taxas Equivalentes 
 P (1 + ia)1 = P (1 + im)12 (prazo = 1 ano) 
 (1 + 0,78) = (1 + im)12 
 (1,78)(1/12) = 1 + im 
im = 1,0492 − 1 
im = 0,0492 = 4,92% 
 
 
NOTA: 
 ���� A Taxa Proporcional não muda a Capitalização, somente a Taxa Equivalente que 
muda a Capitalização dos Juros. 
 
 
Resposta: 4,92% 
 
 
Ex. 13: Se a taxa de juros for 7% a.q. composta anualmente, qual seria a taxa de juros ao 
quadrimestre? 
1 – achar a taxa efetiva correspondente a taxa nominal (taxa declarada) 
Taxa Efetiva = ia = ( 7% ) x (3 quad) = 21% a.a 
 (quad) (1 ano) 
 
2 – achar a taxa quadrimestral equivalente a taxa anual (prazo = 1 ano) 
P (1 + iq)
3 = P (1 + ia)
 
 P (1 + iq)
3 = P (1 + 0,21)1 
 (1 + iq) = (1,21)1/3 
 iq = (1,21)1/3
 − 1 
 iq =
 6,56% a.q. 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
12 
Resposta: 6,56% 
 
 
LEMBRETE: 
 � Usar sempre Taxa Proporcional quando querer mudar a unidade de referência 
de tempo, isto é,a Taxa Nominal. (Taxa Proporcional não muda a capitalização). 
 
���� Usar sempre Taxa Equivalente quando desejar mudar o Período de Capitalização. 
 
� A Equivalência entre as Taxas somente pode ser feita através de Taxas Efetivas. 
 
 
 
Ex. 14: Se a taxa de juros for 45% a.t, qual seria a taxa de juros ao mês capitalizado 
bimestralmente? 
 
Solução: 
taxa efetiva = taxa nominal = 45% a.t (capitalização é ao trimestre) 
1 – achar a taxa bimestral equivalente a taxa trimestral (prazo = 6 meses) 
P (1 + ib)
3 = P (1 + it)
2 
 (1 + ib)
3 = (1,45)2 
 (1 + ib)
1 = (1,45)2/3 
 ib = (1,45)2/3 − 1 
ib =
 28,11% a.b. ⇒⇒⇒⇒ 28,11% a.b. capitalizado bimestralmente 
2 – achar a taxa nominal mensal correspondente a taxa efetiva ao bimestre 
Taxa Nominal: (28,11%) x (1 bim) = 14,05% a.m. 
 (bim) (2 m) 
14,05% ao mês capitalizado bimestralmente 
Resposta: 14,05% 
 
 
Ex. 15: Se a taxa de juros for 40% a.a. acumulada semestralmente, qual seria a taxa de juros ao 
trimestre acumulada anualmente? 
 
Solução: 
1– achar a taxa efetiva correspondente a taxa nominal (Taxa declarada) 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
13 
taxa efetiva = (40%) x (1 ano) = 20% a.s. 
 (ano) (2 sem) 
 
2– achar a taxa anual equivalente a semestral 
P (1 + is)
2 = P (1 + ia)
1 
(1 + 0,20)2 = (1 + ia)
 
(1,20)2 = (1 + ia)
 
 ia = 0,44 a.a. = 44% a.a. capitalizado anualmente. 
3– achar a taxa nominal trimestral correspondente a taxa efetiva anual 
Taxa = (44%) x (1 ano) 
 (ano) (4 trim) 
Taxa = 11% a.t. capitalizado anualmente 
Resposta: 11% 
 
 
Ex. 16: Se um banco pagou por uma aplicação de cento e cinqüenta dias uma taxa de 30%, qual 
seria a rentabilidade mensal ? 
 
Solução: prazo = 150 dias 
P (1 + i150 dias)
(150/150) = P (1 + i30 dias)
(150/30) 
(1 + 0,30)1 = (1 + i30 dias)
5 
 (1,30)1 = (1 + i30 dias)
5 
(1,30)1/5 = 1 + i30 dias
 
 i = 5,39% 
Resposta: 5,39% 
 
 
Ex. 17: Par um capital de $ 15.800, prazo quinze meses e taxa de juros 30% a.t, qual será o 
montante? 
 
P = $ 15.8000 
 
taxa = 30% a.t ⇒⇒⇒⇒ 30% a.t. cap. trimestralmente 
Taxa nominal = 30% a.t. 
Taxa efetiva = 30% a.t. 
prazo = 15 meses ⇒⇒⇒⇒ n = (15/3) trim n = 5 trim 
S = ? 
 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
14 
 
NOTA: 
 ���� Como não está explícito o regime de capitalização (simples ou composto), então, será o 
que acontece na prática que é regime de capitalização composto. 
 
 
Solução 1: .S = P (1 + i) n.
 
Taxa efetiva = 30% a.t. e n = 5 trim 
S = 15.800 (1,3)5 
S = $ 58.664,29 
 
Solução 2: Usando taxas equivalentes (Mudar a capitalização trimestral para mensal)
 Taxa efetiva: mensal e n = 15 meses 
P(1 + it)
1 = P (1 + im)3 
(1,3) = (1 + im)3 
im = (1,3)1/3 − 1 
im = 9,14% 
.S = P (1 + i) n. 
S = 15.800 (1 + im)15 
S = 15.800 [1 + (1,3)(1/3) − 1]
15
 
S = 15.800 (1,3)(1/3)(15) 
S = 15.800 (1,3)5 
S = $ 58.664,29 
Resposta: $ 58.664,29 
 
 
 
Ex. 18: Investiu-se $ 23.000 pelo prazo de vinte e cinco meses em uma poupança. Se para os quinze 
primeiros meses a taxa de juros foi 4% a.m. e para os meses restantes 3% a.m, qual será o montante, 
se o regime foi de capitalização composto? 
 
P = $ 23.000 prazo = 25 meses S = ? 
i1
 = 4% a.m. n1
 = 15 meses i2
 = 3% a.m n2
 = 10 meses 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
15 
Solução: .S = P (1 + i) n. 
 
S = 7.300 (1,04)15 (1,03)10 
S = $ 17.668,32 
Resposta: $ 17.668,32 
 
 
Ex. 19: Tony investiu $ 7.300 pelo prazo de sete anos. Se a taxa de juros foi 15% a.b. para os três 
primeiros anos; e 42% a.s. para os anos seguintes, quanto receberá Tony no final do prazo? 
 
P = $ 7.300 prazo = 7 anos S = ? 
Solução 1: Trabalhando com capitalização bimestral para os três primeiros anos e 
capitalização semestral para os anos seguintes. 
 
.S = P (1 + i) n. 
S = 7.300,00 (1,15)18 (1,42)8 
S = $ 1.493.450,19 
Solução 2: Trabalhando com capitalização anual nos sete anos 
Então, para os três primeiros anos temos que mudar a capitalização bimestral para 
anual (usando taxas equivalentes) ; e para os anos restantes temos que mudar a capitalização 
semestral para anual (usando taxas equivalentes) . 
$ 7.300,00 
3 anos 4 anos 
3 7 anos 
i = 15% a.b. 
n = 18 bim. 
i = 42% a.s. 
n = 8 sem. S = ? 
0 
 $ 23.000 
15 meses 10 meses 
3 25 meses i = 4% a.m. 
n = 15 meses 
i = 3% a.m. 
n = 10 meses S = ? 
0 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
16 
 
 
Taxa de 15% a.b: Taxa de 42% a.s: 
P(1 + i
b
)6 = P (1 + ia1)
1 P(1 + i
s
)2 = P (1 + ia2)
1 
(1,15)6 = (1 + ia1)
1 (1,42)2 = (1 + ia2)
1 
ia1 = (1,15)6 − 1 ia2 = (1,42)2 − 1 
 
 
S = 7.300 (1 + ia1)
n1 (1 + ia2)
n2 
S = 7.300 [1 + (1,15)6 − 1]3 [1 + (1,42)2 − 1]4 
S = 7.300 [(1,15)6 ]3 [(1,42)2 ]4 
S = 7.300 [(1,15)18 (1,42)8] 
S = $ 1.493.450,19 
Resposta: $ 1.493.450,19 
 
 
 
4- CÁLCULO DOS JUROS 
 
O Juro (ou Rendimento) pode ser obtido através da seguinte fórmula: 
S = P +J 
Por outro lado, temos: 
 S = P (1 + i)
n 
(1) 
Então como: 
J = S − P (2) 
Substituindo a equação (1) em (2) fica: 
J = P (1 + i)
n − P 
Colocando “P” em evidência teremos: 
$ 7.300 
3 anos 
4 anos 
3 7 anos 
ia1 = (1,15)6 − 1 
n1 = 3 anos. 
ia2 = (1,42)2 − 1 
n2 = 4 anos. 
S = ? 
0 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
17 
.J = P [(1 + i)
n − 1]. 
 
 
Ex. 20: Um capital de $ 3.000 foi aplicado por dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% 
a.m. Calcular o rendimento. 
 
P = $ 3.000 i = 8% a.m. J = ? 
prazo = 2 anos n = 24 meses 
Solução 1: .J = P [(1 + i)
n − 1]. 
i = 8% a.m. n = 24 meses 
 J = 3.000 [(1,08)24 − 1] 
J = 3.000 (6,3412 − 1) 
J = 3.000 (5,3412) 
J = $ 16.023,60 
Solução 2: Usando taxas equivalentes (Mudar a capitalização mensal para anual) 
 P(1 + im)12 = P (1 + ia)
1 
(1,08)12= (1 + ia)
1 
ia = (1,08)12 − 1 ia = 151,82% a.a 
.J = P [(1 + i)
n − 1]. 
J = 3.000 [(1 + ia)
2 − 1]2 
J = 3.000 {[1 + (1,08)12 − 1]2 − 1} 
J = 3.000 {[(1,08)(12) (2)] − 1} 
J = 3.000 [(1,08)24 − 1] 
J = 3.000 (6,3412 − 1) 
J = 3.000 (5,3412) 
J = $ 16.023,60 
Resposta: $ 16.023,60 
 
 
Ex. 21: Se o principal for $ 10.500; o prazo cinco semestres; a taxa de juros para o primeiro ano 
3,5% a.m; e para os semestres seguintes 18% a.t; quanto será o juro, se o regime for de 
capitalização composto? 
 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
18 
P = $ 10.500 prazo = 5 sem J = ? 
 
Solução 1: J = S − P S = P (1 + i)
n 
 
S = 10.500 (1,035)12 (1,18)6 
S = $ 42.831,72 
.S = P + J. 
J = 42.831,72 − 10.500 
J = $ 32.331,72 
Solução 2: .J = P [(1 + i)
n − 1]. 
J = 10.500 [(1,035)12 (1,18)6 − 1] 
J = $ 32.331,72 
Resposta: $ 32.331,72 
 
 
 
5- CÁLCULO DO CAPITAL OU PRINCIPAL OU VALOR ATUAL 
 
O Principal ou o capital pode ser obtido através da fórmula do montante ou do juro. 
 
 .S = P (1 + i)
n.
 
.J = P [(1 + i)
n − 1]. 
Ex. 22: Se o valor de resgate for $ 5.000; o prazo dois anos e quatro meses; e a taxa de juros 21% 
a.s. composta mensalmente; qual foi o capital? 
 
S = $ 5.000i = (21%/6) a.m. = 3,5% a.m. 
$10.500 
1 ano 3 sem 
ano 
 
 
i = 3,5% a.m. 
n = 12 meses. 
i = 18% a.t. 
n = 6 trim. 
S 
0 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
19 
n = (2) (12) + 4 = 28 meses. P = ? 
Solução: .S = P (1 + i)
n.
 
5.000 = P (1,035)28 
 5.000 = P (1,035)28 
(1,035)28 
5.000 (1,035)−28 = P Fator de Valor Atual = (1,035)−28 
P = $ 1.908,27 
Resposta: $ 1.908,27 
Ex. 23: Foi aplicada inicialmente em uma poupança uma determinada quantia pelo prazo de 
quarenta bimestres. Se a rentabilidade da poupança foi de 10% a.q; e o rendimento $ 38.000; quanto 
foi aplicado inicialmente? 
 
J = $ 38.000 i = 10% a.q. 
n = (40) (1/2) = 20 quad. P = ? 
Solução: .J = P [(1 + i)
n − 1]. 
 38.000 = P [(1,10)20 − 1] 
. 38.000 = P 
 (1,10)20 − 1 
P = $ 6.634,66 
Resposta: $ 6.634,66 
 
LEMBRETE: 
���� Como não está explícito o regime de capitalização, então, será o que acontece 
na prática que é regime de capitalização composto. 
 
 
 
Ex. 24: Joana investiu uma determinada quantia pelo prazo cinco anos e meio em uma poupança 
que pagou uma taxa de juros de 36% ao ano. Calcular o principal e o rendimento da poupança, 
sabendo se, que para o primeiro ano a capitalização foi mensal; para os dois anos seguintes foi 
quadrimestral, e para os anos restantes foi trimestral; e que o valor de resgate foi $ 365.400. 
 
S = $ 365.400 taxa nominal = 36% a.a. 
i1 = (36%/12) a.m. = 3% a.m. n1 = (1) (12) = 12 meses 
i2 = (36%/3) a.q. = 12% a.q. n2 = (2) (3) = 6 quad. 
i3 = (36%/4) a.t. = 9% a.t. n3 = (2,5) (4) = 10 trim. 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
20 
P = ? J = ? 
Solução: .S = P (1 + i)
n. 
365.400 = P (1,03)12 (1,12)6 (1,09)10 
P = $ 54.846,48 
.S = P + J. 
J = 365.400 − 54.846,48 
J = $ 310.553,52 
Resposta: $ 310.553,52 
 
 
6- CÁLCULO DA TAXA DE JUROS 
 A taxa de juros pode ser obtida através da fórmula do montante ou do juro. 
 
 .S = P (1 + i)
n.
 
.J = P [(1 + i)
n − 1]. 
 
Ex. 25: Se foi aplicado $ 24.600 pelo prazo de vinte trimestres em um fundo. Se o valor de resgate 
foi $ 89.996,06, qual foi a taxa de juros compostos do fundo? 
 
 P = $ 24.600 prazo = 20 trim. S = $ 89.996,06 i = ? 
Solução: .S = P (1 + i)
n.
 
 89.996,06 = 24.600,00 (1 + i)20 
 89.996,06 . = (1 + i)20 
 24.600 
3,6584 = (1 + i)20 
3,6584(1/20) = (1 + i)(20) (1/20) 
3,6584(1/20) = (1 + i) 
3,6584(1/20) − 1 = i 
 i = 1,0670 − 1 
i = 0,0670 = 6,7% a.t. 
Resposta: 6,7% a.t. 
 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
21 
Ex. 26: Para um rendimento de $ 35.300; o capital foi $ 12.400; e o prazo dois anos. Calcular a taxa 
de juros mensal. 
 
J = $ 35.300 prazo = 2 anos 
 P = $ 12.400 i = ? (a.m) n = 24 meses 
Solução 1: .J = P [(1 + i)
n − 1]. 
 35.300 = 12.400 [(1 + i)24 − 1] 
 
35.300 = (1 + i)24 − 1 
 12.400 
 2,8468 +1 = (1 + i)24 
 3,8468 = (1 + i)24 
 (3,8468)(1/24) = (1 + i)(24) (1/24) 
(3,8468)(1/24) = (1 + i) 
i = 3,8468(1/24) − 1 
i = 1,0577 − 1 
i = 0,0577 = 5,77% 
 
Solução 2: .S = P + J. .S = P (1 + i)
n. 
 35.300 + 12.400 = 12.400 (1 + i)24 
 47.700 = (1 + i)24 
 12.400 
 3,8468 = (1 + i)24 
 i = 3,8468(1/24) − 1 
i = 0,0577 = 5,77% 
 
Solução 3: Trabalhando com período de capitalização anual 
 35.300 + 12.400 = 12.400 (1 + i)2 
3,8468 = (1 + i)2 
Taxa efetiva anual = 3,8468(1/2) − 1 
Para mudar a capitalização anual para a capitalização mensal terá que usar taxa equivalente. 
 P(1 + ia)
1 = P (1 + im)12 
[1 + 3,8468)(1/2) − 1]1 = (1 + im)12 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
22 
[(3,8468(1/2)]1 = (1 + im)12 
[3,8468(1/2)](1/12) = (1 + im)(12) (1/12) 
(3,8468)(1/24) = 1 + im
 
i = 0,0577 = 5,77% 
Resposta: 5,77% 
 
 
Ex. 27: Se o valor de resgate ao final de trinta meses for $ 31.645; o juro $ 4.270; qual será a taxa 
de juros ao mês composto anualmente? 
 
S = $ 31.645 J = $ 4.270 prazo = 30 meses 
taxa = ? (a.m. composta anualm.) 
 
Solução 1: Trabalhando com períodos de capital. anuais: n = 30/12 = 2,5 anos 
 .S = P + J. .S = P (1 + i)
n.
 
31.645 = (31.645 − 4.270) (1 + i)2,5 
 31.645 = (1 + i)2,5 
 27.375 
1,1560 = (1 + i)2,5 
1,1560(1) (1/2,5) = (1 + i)(2,5) (1/2,5) 
1,1560(1/2,5) − 1 = i 
1,0597 − 1 = i 
i = 0,0597 a.a = 5,97% a.a. composta anualmente 
 Taxa = (5,97%) x . (1 ano) . 
 (ano) (12 meses) 
 Taxa = 0,50% (a.m. composta anualmente) 
 
Solução 2: Trabalhando com períodos de capitalizações mensais n = 30 meses 
 .S = P + J. .S = P (1 + i)
n.
 
31.645 = (31.645 − 4.270) (1 + i)30 
31.645 = 27.375 (1 + i)30 
31.645 = (1 + i)30 
27.375 
1,1560 = (1 + i)30 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
23 
 1,1560(1/30) − 1 = im 
Para mudar a capitalização mensal para a capitalização anual terá que usar taxa equivalente. 
 P(1 + im)12 = P (1 + ia)
1 
[1 + 1,1560(1/30) − 1]12 = (1 + ia)
1 
1,1560(12/30) = (1 + ia)
1 
1,1560(1/2,5) = (1 + ia)
1 
i = 0,0597 a.a = 5,97% a.a. composta anualmente 
 
Taxa = (5,97%) x . (1 ano) . 
 (ano) (12 meses) 
 Taxa = 0,50% (a.m. composta anualmente) 
 
Resposta: 0,50% 
 
 
 
7- CÁLCULO DO TEMPO 
Para calcular o tempo, isto é, o número de períodos "n" tem que usar ou logarítimo decimal 
ou logarítimo neperiano ou na fórmula do montante ou na fórmula do juro a seguir. 
 
 .S = P (1 + i)
n. 
 
.J = P [(1 + i)
n − 1]. 
 
 
Ex. 28: João aplicou $ 27.600 em uma poupança e após certo tempo ele recebeu de juros $ 
5.654,80. Se a taxa de juros paga foi de 6% a.m, por quantos anos ficou o dinheiro aplicado? 
 
P = $ 27.600 J = $ 5.654,80 i = 6% a.m. n = ? (anos) 
Solução 1: Trabalhando com capitalização mensal 
 .S = P + J. .S = P (1 + i)
n. 
27.600 + 5.654,80 = 27.600 (1 + 0,06)n 
33.254,80 = (1,06)n 
 27.600 
1,2049 = (1,06)n 
Ln(1,2049) = Ln(1,06)n 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
24 
Ln 1,2049 = (n) Ln 1,06 
0,1846 = (n) (0,0583) 
n = 3,20 meses = 0,27 anos 
Solução 2: Trabalhando com capitalização anual 
Temos que mudar a capitalização mensal para a capitalização anual que é através de taxas 
equivalentes. 
 
P(1 + ia)
1= P (1 + im)12 
(1 + ia)
 = (1 + 0,06)12 
1 + ia = (1,06)12 
ia = 1,0122a.a. 
.S = P + J. .S = P (1 + i)
n. 
 27.600 + 5.654,80 = 27.600,00 (1 + 1,0122)n 
1,2049 = (2,0122)n 
 n = (Ln 1,2049) = 0,1846 
 (Ln 2,0122) 0,6992 
n = 0,27 anos 
Resposta: 0,27 
 
 
Ex. 29: Investiu-se uma determinada quantia em poupança que pagava um taxa de juros de 2,5% 
a.m. capitalizado quadrimestralmente. Se o rendimento da mesma foi $ 27.000; e o montante $ 
32.300; por quantos meses ficou aplicado tal quantia? 
 
J = $ 27.000 S = $ 32.300 i = (2,5%) (4) = 10% a.q. 
prazo = ? (meses) 
Solução 1: Trabalhando com capitalização quadrimestral 
32.300 = (32.300 − 27.000) (1 + 0,1)n 
32.300 = (1,1)n 
 5.300 
6,0943 = (1,1)n 
Ln (6,0943) = Ln(1,1)n 
Ln (6,0943) = (n) Ln (1,1) 
1,8074 = (n) (0,0953) 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula)AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
25 
n = 19,97 quadrim. 
Prazo = (19,97) (4) 
Prazo = 75,9 ≈ 76 
Solução 2: Trabalhando com capitalização mensal 
Temos que mudar a capitalização quadrimestral para a capitalização mensal (somente através 
de taxas equivalentes) 
 i = (2,5%) (4) = 10% a.q. 
P(1 + im)4 = P (1 + iq)
1 
(1 + im)4 = (1 + 0,1)1 
im = (1,1)1/4 − 1 
im = 0,0241 = 2,41% a.m. 
32.300 = (32.300 − 27.000) (1 + 0,0241)n 
32.300 = (1,0241)n 
300,00 
6,0943 = (1,0241)
n 
Ln (6,0943) = Ln(1,0241)n 
Ln (6,0943) = (n) Ln (1,0241) 
1,8074 = (n) (0,0238) 
n = 75,9 meses 
Prazo = 75,9 ≈ 76 
Resposta: 76