AULA 4 EQUAÇÕES DE EQUIV

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UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 4: EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
1 
AULA 4 
 EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA DE 
 VALORES DATADOS 
 
 
 
Todos os direitos autorais reservados à 
 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 
 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
 
1- Fazer um bom diagrama de tempo. 
2- Elaborar uma equação de equivalência de valores datados 
3- Resolver uma equação de equivalência de valores datados. 
4- Interpretar e resolver os problemas propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA DE VALORES DATADOS 
 A maioria dos princípios e dos procedimentos é feita sobre uma taxa de juros compostos. 
 
 
1.1- Definição 
 A uma dada taxa de juros compostos "i", $ X devidos em uma determinada data será 
equivale a $ Y devidos "n" períodos mais tarde, se: 
 
Y = X (1 + i)n 
 
Valores Datados Equivalentes a um Dado Valor Datado de $ X: 
 
 
1.2- Propriedades da Equivalência 
 
 � Se $ X for equivalente a $ Y, a uma determinada taxa de juros compostos, e se $ Y for 
equivalente a $ Z, então $ X será sempre equivalente a $ Z. (propriedade transitiva). 
 
 � Se dois grupos de pagamentos são equivalentes em uma data de vencimento, então serão 
equivalentes em qualquer data de vencimento. 
 
 
NOTA: 
 ���� Estas propriedades são só válidas para regimes de juros composto. 
 
 
���� Como no regime de juros compostos a comparação de valores datados não depende da 
data focal considerada, então, a data focal poderá ser escolhida de modo arbitrário. 
 Data 
Anterior 
Data 
Dada 
 Data 
Posterior 
$ X (1 +i)−n 
$ X (1 +i)n 
 $ X 
n períodos 
n períodos 
 
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Data Focal: 
É a data a qual se compara valores referidos a datas diferentes, que também é 
denominada data de avaliação ou data de referência. 
 
 
 
1.3- Procedimento para a Elaboração da Equação de Equivalência de Valores Datados 
Para se elaborar uma equação de equivalência de valores datados, recomenda-se realizar as 
seguintes etapas: 
 
Etapa 1: Fazer um bom diagrama de tempo, colocando os valores datados, do primeiro conjunto 
de pagamentos (ou recebimentos) de um lado da linha de tempo, e os valores datados do 
segundo conjunto de pagamentos (ou recebimentos) do outro lado da linha de tempo. 
 
Etapa 2: Escolher uma data focal e transferir todos os valores datados para a data focal que foi 
escolhida, utilizando a taxa de juros especificada. 
 
Etapa 3: Escrever a equação de equivalência de valores datados nesta data focal. 
 
Etapa 4: Resolver a equação de equivalência de valores datados, usando os métodos algébricos 
adequados. 
 
 
Ex. 1: Uma obrigação de $ 7.000 vencível no final de três anos. Se o dinheiro valer 12% a.a. 
capitalizados trimestralmente, achar a dívida equivalente: a) hoje; e b) no final de quatro anos e 
meio. 
 
a) $ 7.000 vencível em 3 anos i = 12% / 4 = 3% a.t 
 n = 12 trim. X = ? (hoje) 
 
Solução 1: Equação de Valor na Data Focal: Zero 
 
 X (1,03)(DF − 0) = 7.000 (1,03)(DF − 12) 
X = ? 
0 6 12 18 
Data Focal 
$ 7.000 
Trim. 
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X (1,03)(0 − 0) = 7.000 (1,03)(0 − 12) 
X (1,03)(0) = 7.000 (1,03)−12 
X = . 7.000 
 (1,03)12 
X = $ 4.909,66 
 
Solução 2: Equação de Valor na Data Focal: 12 trim 
 
 
X (1,03)(DF − 0) = (7.000) (1,03)(DF − 12) 
X (1,03)(12− 0) = (7.000) (1,03)(12 − 12) 
X (1,03)12 = (7.000) (1,03)(0) 
X (1,03)12 = 7.000 
X = . 7.000 
 (1,03)12 
X = $ 4.909,66 
Resposta: $ 4.909,66 
 
b) i = 3% a.t. n = 18 trim. X = ? (4,5 anos = 18 trim.) 
Solução: Equação de Valor na Data Focal: 18 trim. 
 
 
 
 
 
 
 
X = ? 
0 6 12 18 
Data Focal 
$ 7.000 
Trim. 
X = ? 
0 6 12 18 
Data Focal 
$ 7.000 
Trim. 
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X (1,03)(DF − 18) = (7.000) (1,03)(DF − 12) 
X (1,03)(18 − 18) = (7.000) (1,03)(18 − 12) 
X (1,03)(0) = (7.000) (1,03)(6) 
X = 7.000 (1,03)6 
X = $ 8.538,37 
Resposta: $ 8.538,37 
 
 
Ex. 2: Um atacadista deve $ 3.000; vencível ao final de 1,5 anos e $ 4.500 vencível no início do 33º 
mês, e se o dinheiro valer 13% a.b. capitalizado mensalmente; qual será o pagamento único que 
liquidará com a dívida em: a) 1 ano; b) no início do quarto ano 
 
i = (13%/2) = 6,5% a.m. 
$ 3.000 (vencível em 1,5 anos = 18 meses) 
$ 4.500 (início do 33º mês = vencível no final do 32 ºmês) 
 
a) X = ? (12 meses) i = 6,5% a.m. 
 
Solução: Data Focal: 12 meses 
 
 
X = 3.000 (1 + 0,065)(DF − 18)
 + 4.500 (1+ 0,065)(DF − 32)
 
X = 3.000 (1,065)(12 − 18)
 + 4.500 (1,065)(12 − 32)
 
Eq. de Valor na Data Focal = 12 meses: X = 3.000 (1,065)−6
 + 4.500 (1,065)−20 
X = 3.000 (0,69) + 4.500 (0,28) 
X = $ 3.330 
Resposta: $ 3.330 
b) X = ? (início 4o ano = final 3o ano = 36 meses) 
X = ? 
0 12 18 36 
$ 3.000,00 
meses 32 
$ 4.500,00 
Data Focal 
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Solução: Equação de Valor na Data Focal: 36 meses. 
 
X (1 + 0,065)(DF− 36)
 = 3.000 (1 + 0,065)(DF− 18)
 + 4.500 (1 + 0,065)(DF − 32) 
X (1,065)(36− 36)
 = 3.000 (1,065)(36 − 18)
 + 4.500 (1,065)(36 − 32) 
X (1,065)(0)
 = 3.000 (1,065)(18)
 + 4.500 (1,065)(4) 
Eq. de Valor na Data Focal = 36 meses: X = 3.000 (1,065)18
 + 4.500 (1,065)4 
X = 3.000 (3,11) + 4.500 (1,29) 
X = 9.330 + 5.805 
X = $ 15.135 
Resposta: $ 15.135 
 
 
 NOTA: Cálculo no mínimo com duas casas decimais 
 
 
 
Ex. 3: Um a parelho de jantar à vista custa $ 1.650 e a prazo é necessário uma entrada de 20% do 
preço à vista e mais dois pagamentos. Se o valor do 1º pagamento for 30% inferior ao valor do 2º 
pagamento e vencendo respectivamente em nove e dezoito meses, qual será o valor do 1º 
pagamento a uma taxa de juros for 12% a.t? 
 
P = $ 1.650 i = 12% a.t. 1ºpagamento = ? 
Solução: Data Focal = 6 trim. 
E = (20%) (Preço à vista) = (0,2) (1.650) = $ 330 
1ºpagamento = X − 0,30 X = 0,7 X vencim.: 9 meses = 3 trim 
2ºpagamento = X vencim.: 18 m. = 6 trim. 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
X = ? 
0 12 18 36 
$ 3.000,00 
meses 32 
$ 4.500,00 
Data Focal 
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Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 6) = Entrada(DF = 6) + Prestações(DF = 6) 
 
 
 
1.650 (1,12)(DF − 0) = 330 (1,12)(DF − 0) + (0,7) X (1,12)(DF − 6) + X (1,12)(DF − 6) 
1.650 (1,12)(6 − 0) = 330 (1,12)(6 − 0) + (0,7) X (1,12)(6 − 3) + X (1,12)(6− 6) 
1.650 (1,12)(6) = 330 (1,12)(6) + (0,7) X (1,12)(3) + X (1,12)(0) 
Eq. de Valor na Data Focal = 6 trim. : 1.650 (1,12)6 = 330 (1,12)6 + (0,7) X (1,12)3 + X. 
(1.650 − 330) (1,12)6 = (0,7) X (1,12)3 + X 
 2.605,45 = 0,98 X + X 
2.605,45 = 1,98 X 
 2º PAGAM = X = $ 1.315,88 
1º PAGAM. = (0,7) X 
1º PAGAM. = (0,7) (1.315,88) 
1º PAGAMENTO = $ 921,12 
Resposta: $ 921,12 
 
 
Ex. 4: Foi feito dois depósitos em um fundo; um de $ 1.200 no segundomês e outro de $ 1.800 no 
quinto mês; depois foram feitas duas retiradas iguais a $ 1.500, uma no nono mês e a outra no final 
0 3 6 
$1.650 
Trim. 
$ 330 
 
0,7 X 
X 
Data Focal 
Data Focal 
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do primeiro ano. Calcular o saldo um ano após a última retirada sendo que a rentabilidade do fundo 
era 9% a.t. composto mensalmente. 
 
Depósitos: $ 1.200 → 2º mês $ 1.800 → 5º mês 
 Retiradas: $ 1.500 → 9º mês $ 1.500 → 12º mês 
 Saldo = X = ? → 24º mês i = 3% a.m. 
Solução: Data Focal = 24 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
1.200 (1,03)(DF − 2) + 1.800 (1,03)(DF − 5) − 1.500 (1,03)(DF − 9) − 1.500 (1,03)(DF − 12) = X (1,03)(DF − 24) 
1.200 (1,03)(24 − 2) + 1.800 (1,03)(24 − 5) − 1.500 (1,03)(24 − 9) − 1.500 (1,03)(24 − 12) = X (1,03)(24 − 24) 
1.200 (1,03)(22) + 1.800 (1,03)(19) − 1.500 (1,03)(15) − 1.500 (1,03)(12) = X (1,03)(0) 
Eq. de Valor na Data Focal = 24 meses 
 1.200 (1,03)(22) + 1.800 (1,03)(19) − 1.500 (1,03)(15) − 1.500 (1,03)(12) = X 
2.299,32 + 3.156,31 − 2.336,95 − 2.138,64 = X 
 
X = $ 980,04 
Resposta: $ 980,04 
 
NOTA: A DATA FOCAL pode ser escolhida de forma arbitrária. 
0 2 9 
$ 1.200 
Meses 
Data Focal 
 X 
$ 1.5000 
24 5 
i = 3% a.m. 
$ 1.800 
$ 1.500 
12 
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Ex. 5: O preço a vista de uma máquina é $ 21.000, e a prazo tem que dar uma entrada e mais três 
prestações, sendo a primeira $ 5.400; a segunda $ 7.100; e a terceira $ 9.200; vencendo em três; 
sete; e onze meses respectivamente. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 3,5% a.m, 
quanto tem que dar de entrada? 
 
P = $ 21.000 i = 3,5% a.m.. E = ? 
 1ª prest = $ 5.400 (3o. mês) 
2ª prest = $ 7.100 (7o. mês) 
3ª prest = $ 9.200 (11o. mês.) 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
E (1 + 0,035)(DF − 0) + 5.400 (1 + 0,035)(DF − 3) + 7.100 (1 + 0,035)(DF − 7) + 9.200 (1 + 0,035)(DF − 11) = 
 = 21.000 (1 + 0,035)(DF − 0) 
E (1,035)(0 − 0) + 5.400 (1,035)(0 − 3) + 7.100 (1,035)(0 − 7) + 9.200 (1,035)(0 − 11) = 
 21.000 (1,035)(0 − 0) 
E (1,035)(0) + 5.400 (1,035)(− 3) + 7.100 (1,035)(− 7) + 9.200 (1,035)(− 11) = 21.000 (1,035)(0) 
E + 5.400 (1,035)(− 3) + 7.100 (1,035)(− 7) + 9.200 (1,035)(− 11) = 21.000 
E = 21.000 − 5.400 (1,035)(− 3) − 7.100 (1,035)(− 7) − 9.200 (1,035)(− 11) 
E = 21.000 − 4.870,49 − 5.580,54 − 6.301,50 
E = $ 4.247,47 
 
0 3 
E = ? 
$ 7.100 
$ 5.400 
7 
i = 3,5% a.m. 
$ 9.200 
 11 
$ 21.000 
 
Data Focal 
meses
m. 
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Resposta: $ 4.247,47 
 
 
Ex. 6: Inicialmente foi depositado em um determinado investimento $ 23.500; depois deste mesmo 
investimento foram feitas duas retiradas, sendo a primeira no nono mês e a segunda no final do 
vigésimo sétimo mês; sendo que o valor da primeira retirada foi 20% superior ao valor da segunda 
retirada; e ainda restou um saldo de $ 5.300 no terceiro ano. Calcular o valor da primeira retirada se 
a taxa de juros for 9% a.t. para o primeiro ano e 12% a.s. para os anos restantes. 
 
Solução: Data Focal = 36 meses 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
23.500 (1,09)4 (1,12)4 − (1,2) X (1,09)1(1,12)4 − X (1,12)(36 − 27) (1/6) = 5.300 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq. de Valor na Data Focal = 36 meses: 
 23.500 (1,09)4 (1,12)4 −−−− X (1,2) (1,09) (1,12)4 − X (1,12)1,5 = 5.300 
52.197,05 + 3,24 X = 5.300 
X = $ 14.474,40 
1ºret = (1,2) (14.474,40) = $ 17.369,28 
Resposta: $ 17.369,28 
 
 
0 9 27 
$ 23.500 
Meses 
Data Focal 
1,2X 
X 
$ 5.300 
36 12 
12% a.s. 
1 ano = 4 trim 
9% a.t. 
2 anos = 4 sem. 
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Ex. 6: Um casal investiu em um fundo $ 150.000 para os seus três filhos quando estavam com 6, 10 
e 15 anos de idade, e que seria retirado quando completassem vinte um anos de idade. Se o fundo 
pagou 7% a.s., e que o mais novo receberia o triplo do que receberia o do meio, e este receberia o 
dobro do que receberia o mais velho. Quanto receberia cada um? 
 
+ Novo = 6X 21 – 6 = 15 anos = 30 sem. 
Meio = 2X 21 – 10 = 11 anos = 22 sem. 
+ Velho = X 21 – 15 = 6 anos = 12 sem. 
Solução: Data Focal = 30 sem. 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
 
 150.000 (1 + 0,07)(DF − 0) = X (1 + 0,07)(DF − 12) + 2X (1 + 0,07)(DF − 22) + 6X (DF − 30) 
 150.000 (1,07)(30 − 0) = X (1,07)(30 − 12) + 2X (1,07)(30 − 22) + 6X (1,07)( (30 − 30) 
150.000 (1,07)30 = X (1,07)18 + 2X (1,07)8 + 6X (1,07)(0) 
150.000 (1,07)30 = X (3,38) + 2X (1,72) + 6X 
1.141.838,26 = 12,82X 
 X = $ 89.092,63 = $ 89.092,63 (+Velho) 
2X = ($ 89.092,63) (2) = $ 178.133,90 (Meio) 
 6X = ($ 89.092,63) (6) = $ 534.401,70 (+Novo) 
Resposta: $ 534.401,70 (+N); $ 178.133,90 (M); $ 89.092,63 (+V) 
 
 
0 12 30 
$ 150.000 
Sem. 
Data Focal 
2X 
X 
22 
i = 7% a.s. 
6X 
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Ex. 7: Um comerciante deve $ 3.000; $ 6.000; e $ 8.000 que vencem daqui a trinta dias; dois meses 
e quatro meses, respectivamente. Não podendo saldá-los nos prazos de vencimento acima, deseja 
reformá-lo de modo a fazer dois pagamentos; sendo o primeiro pagamento 1/3 do segundo 
pagamento. Se o 1º pagamento vencer em cinco meses; o 2º pagamento vencer em seis trimestres e 
se o dinheiro valer 10,5% a.t. acumulado mensalmente, qual será o valor do primeiro pagamento? 
 
$ 3.000 (vence: 30 dias) $ 6.000 (vence: 2 meses) $ 8.000 (vence: 4 meses) 
 1º pag = (1/3) (2º pag) 
1º pag. (vence: 5 meses) 2º pag. (vence: 6 trim. = 18 meses) 
Taxa = 10,5% a.t. acumulado mensalmente 
 i = (10,5%) (1/3) = 3,5% a.m. 
Solução: Data Focal: 18 meses 
 
 
 
 
 
 
3.000 (1 + 0,035)(DF − 1) + 6.000 (1 + 0,035)(DF − 2) + 8.000 (1 + 0,035)(DF − 4) = 
 = (1/3) X (1 + 0,035)(DF − 5) + X (1 + 0,035)(DF − 18) 
 
3.000 (1,035)(18 − 1) + 6.000 (1,035)(18 − 2) + 8.000 (1,035)(18 − 4) = 
 = (1/3) X (1,035)(18 − 5) + X (1,035)(18 − 18) 
Eq. de Valor na Data Focal: 18 meses 
 3.000 (1,035)17 + 6.000 (1,035)16 + 8.000 (1,035)14 = (1/3) X (1,035)13 + X 
28.737,50 = 0,52 X + X 
28.737,50 = 1,52 X 
X = $ 18.906,25 
2º. PAGAMENTO = $ 18.906,25 
0 1 4 
$ 3.000 
Meses 
Data Focal 
(1/3) X 
2 
i = 3,5% a.m. 
X 
5 
 $ 6.000 
 $ 8.000 
18 
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13 
(1/3) X = (1/3) (18.906,25) 
1º. PAGAMENTO = $ 6.302,08 
Resposta: $ 6.302,08 
 
 
Ex. 9: A fim de constituir uma poupança, um jovem deposita $ 1.500 no fim de cada trimestre em 
uma instituição financeira que paga 5% a.t. Qual será o saldo após o terceiro depósito? 
 
3 depósitos trimestrais de $ 1.500 i = 5% a.t. Saldo = ? 
Solução: Data Focal = Três trim. 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF)1.500 (1 + 0,05)(DF − 1) + 1.500 (1 + 0,05)(DF − 2) + 1.500 (1 + 0,05)(DF − 3) − 0 = 
 = X (1 + 0,05)(DF − 3) 
 
1.500 (1,05)(3−1) + 1.500 (1,05)(3−2) + 1.500 (1,05)(3−3) − 0 = X (1,05)(3−3) 
1.500 (1,05)2 + 1.500 (1,05)1 + 1.500 (1,05)0 − 0 = X (1,05)0 
Eq. de Valor na Data Focal: 3 trim. 1.500 (1,05)2 + 1.500 (1,05)1 + 1.500 = X 
X = $ 4.728,75 
Resposta: $ 4.728,75 
 
 
Ex. 10: Qual é o preço à vista de um terreno se a prazo tem que dar uma entrada de $ 19.000 e mais 
quatro prestações mensais de $ 3.500; sendo a primeira prestação no final do primeiro mês e a taxa 
de juros cobrada no financiamento for 12% a.t. cap. mensalmente. 
$ 1.500,00 
0 1 2 
$ 1.500,00 
Trim
. 
DF 
Saldo = X = ? 
$ 1.500,00 
 3 
 UFRRJ - DCAC – 2013 (Notas de Aula) AULA 4: EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
14 
 
Preço à Vista = X = ? E = $ 19.000 i = 4% a.m. 
4 de $ 3.500/mês 
Solução: Data Focal: Zero 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
 
19.000 (1 + 0,04)(DF − 0) + 3.500 (1 + 0,04)(DF − 1) + 3.500 (1 + 0,04)(DF − 2) + 
 + 3.500 (1 + 0,04)(DF − 3) + 3.500 (1 + 0,04)(DF − 4) = X (1 + 0,04)(DF − 0) 
 
19.000 (1,04)(0−0) + 3.500 (1,04)(0−1) + 3.500 (1,04)(0−2) + 3.500 (1,04)(0−3) + 
 + 3.500 (1,04)(0−4) = X (1,04)(0−0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq. de Valor na Data Focal: Zero 
 19.000 + 3.500 (1,04)(−1) + 3.500 (1,04)(−2) + 3.500 (1,04)(−3) + 3.500 (1,04)(−4) = X.
 
X = $ 31.704,63 
Resposta: $ 31.704,63 
 
0 1 3 
X = ? 
meses
m. 
$ 3.500,00 $ 3.500,00 
2 
i = 4% a.m. 
$ 3.500,00 
 
 4 
$ 3.500,00 
$ 19.000,00 
 
Data Focal