EO - Matemática_VOLUME2

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Caro aluno 
O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às 
melhores universidades do Brasil.
Ao elaborar o seu Sistema de Ensino, o Hexag Medicina considerou como principal diferen-
cial em relação aos concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas 
e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu 
os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios:
• Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixa-
ção da matéria dada em aula.
• Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio,
buscando a consolidação do aprendizado.
• Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade.
• Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais ves-
tibulares do Brasil.
• Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano,
preparando o aluno para esse tipo de exame.
• Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das universi-
dades públicas de São Paulo.
• Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase
das universidades públicas de São Paulo
• Uerj (exame de qualificação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolida-
ção do aprendizado para o vestibular da Uerj.
• Uerj (exame discursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do apren-
dizado para o vestibular da Uerj.
Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado rece-
berão o encarte Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manu-
seio, a que conteúdo do livro teórico corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo 
a diagnosticar em quais assuntos você encontra mais dificuldade. Essa é uma inovação 
do material didático. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande aliado para seu 
sucesso nos vestibulares.
Bons estudos!
Herlan Fellini
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
ARITMÉTICA
GEOMETRIA PLANA
Aulas 9 e 10: Operações com intervalos 4
Aulas 11 e 12: Inequações do primeiro e segundo graus 9
Aulas 13 e 14: Relações, funções e definições 15
Aulas 15 e 16: Funções do primeiro grau 21
Aulas 9 e 10: Razão, proporção e grandezas proporcionais 34
Aulas 11 e 12: Teorema fundamental da aritmética, M.M.C. e M.D.C. 45
Aulas 13 e 14: Porcentagem 53
Aulas 15 e 16: Acréscimos e descontos 63
Aulas 9 e 10: Semelhança de triângulos 74
Aulas 11 e 12: Relações métricas no triângulo retângulo 85
Aulas 13 e 14: Trigonometria num triângulo qualquer 93
Aulas 15 e 16: Áreas dos triângulos 103 
Álgebra
 4
E.O. AprEndizAgEm
1. Quatro intervalos reais A, B, C e D são tais que:
• x [ A à – 10 ≤ x ≤ 10
• x [ B à 0 < x ≤ 5
• x [ C à –3 ≤ x < 2
• D = B – C
Sendo  D o complementar de D em relação ao conjunto 
A, então:
a) x [  D à –10 ≤ x < 2 ou 2 < x ≤ 10.
b) x [  D à –10 ≤ x < –3 ou 5 < x ≤ 10.
c) x [  D à –10 ≤ x ≤ 0 ou 2 < x ≤ 10.
d) x [  D à –10 ≤ x ≤ 2 ou 2 ≤ x ≤ 10.
e) x [  D à –10 ≤ x < 2 ou 5 < x ≤ 10.
2. Sendo A = {x [ R | –2 ≤ x < 3} e B = {x [ Z | –2 < x ≤ 3}, 
é correto afirmar que:
a) A < B = A.
b) A < B , Z.
c) A > B = A.
d) A > B , Z.
e) A > B = B.
3. Considere o intervalo J = ] 3 __ 7 , 8 __ 7 [. Assinale a única 
afirmativa verdadeira sobre J:
a) Não existem valores inteiros J.
b) Existem infinitos números reais no intervalo J.
c) Não existem números irracionais no intervalo J.
d) Existem exatamente quatro números racionais no 
intervalo J.
e) Existem exatamente seis números racionais no 
intervalo J.
4. Considere os seguintes conjuntos de números naturais:
A = {x [ N | 0 ≤ x ≤ 25} e
B = {x [ N | 16 ≤ x < 25}.
O número de elementos do conjunto A > B é:
a) 9. c) 11.
b) 10. d) 12.
5. O número x não pertence ao intervalo aberto de ex-
tremos –1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se, 
então, concluir que:
a) x ≤ –1 ou x > 3. c) x ≥ 2 ou x ≤ –1.
b) x ≥ 2 ou x < 0. d) x > 3.
6. Considere os intervalos reais a seguir:
A = ] –Ü, 2]
B = ]1, Ü[
O resultado da operação A > B é:
a) [ 1, 2 ]
b) ] 1, 2 ]
c) ] 1, 2 [
d) [ 1, 2 [
7. (PUC-RS) A determinação por compreensão do con-
junto A = [a; b] é:
a) {x [ N | a ≤ x ≤ b}.
b) {x [ Z | a ≤ x ≤ b}.
c) {x [ Q | a ≤ x ≤ b}.
d) {x [ R | a ≤ x ≤ b}.
e) {x [ C | a ≤ x ≤ b}.
8. (UFF) O número p – √
__
 2 pertence ao intervalo:
a) [ 1, 3 __ 2 ] .
b) [ 1 __ 2 , 1 ] .
c) ] 3 __ 2 , 2 [ .
d) (–1, 1).
e) [ – 3 __ 2 , 0 ] .
9. (UFSM) Dados os conjuntos
A = {x [ N | x é impar},
B = {x [ Z |–2 < x ≤ 9} e
C = {x [ R | x ≥ 5},
o produto dos elementos que formam o conjunto 
(A > B) – C é igual a:
a) 1. d) 35.
b) 3. e) 105.
c) 15.
10. Assinale a alternativa verdadeira.
a) {1, 2, 4, 6, 7} = [1, 7].
b) Se C = ] – 1, 3], então –1 Ó C, mas 3 [ C.
c) Se D = [2, 6], então 2 [ D, mas 3 Ó D.
d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre 
um intervalo numérico.
e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um 
conjunto vazio. 
OPERAÇÕES COM INTERVALOS
HABILIDADES: 19, 20, 21 e 22
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 9 e 10
 5
E.O. FixAçãO
1. (CFTMG) Sejam A = {x [ R | 2 ≤ x ≤ 5} e B = {x [ R | x > 4} 
subconjuntos de R. Podemos afirmar que:
a) A – B , B.
b) A – B , A.
c) B – A , A.
d) A – B = ]2, 4[.
2. (CFTMG) Subtraindo-se 66 anos do triplo da idade de 
uma pessoa obter-se-á o que lhe falta para completar 
metade de um século. Portanto, a idade dessa pessoa, 
em anos, pertence ao intervalo:
a) [21, 30]. c) [41, 50].
b) [31, 40]. d) [51, 60].
3. (CFTCE) Define-se a amplitude d do intervalo
[a, b] como sendo o número d = b – a, então
a amplitude de [–1, 7] > [1, 9] > [0, 8] é:
a) 4. d) 7.
b) 5. e) 8.
c) 6.
4. (UFJF) Define-se o comprimento de cada um
dos intervalos [a, b], ]a, b[, ]a,b] e [a, b[ como sen-
do a diferença (b – a). Dados os intervalos M = [3, 10], 
N = ]6, 14[, P = [5, 12[,
o comprimento do intervalo resultante de(M > P) < 
(P – N) é igual a:
a) 1. d) 7.
b) 3. e) 9.
c) 5.
5. (PUC-RJ) Os números m e n são tais que 4 ≤ m ≤ 8 e 
24 ≤ n ≤ 32. O maior valor possível de m __ n é:
a) 1 __ 2 . d) 1 __ 5 .
b) 1 __ 3 . e) 1 __ 8 .
c) 1 __ 6 .
6. (PUC-MG) Considere os seguintes subconjuntos de 
números naturais:
N = { 0,1,2,3,4,...}
P = { x [ N | 6 ≤ x ≤ 20 }
A = { x [ P | x é par }
B = { x [ P | x é divisor de 48 }
C = { x [ P | x é múltiplo de 5 }
O número de elementos do conjunto
(A – B) > C é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
7. (CFTCE) É unitário o conjunto:
a) {x [ Z | x < 1}.
b) {x [ Z | x2 > 0}.
c) {x [ R | x2 = 1}.
d) {x [ Q | x2 < 2}.
e) {x [ N | 1 < 2x < 4}.
8. (Mackenzie) Se A = {x [ Z | x é ímpar e 1 ≤ x ≤ 7} 
e B = {x [ R | x² – 6x + 5 = 0}, então a única sentença 
falsa é:
a) O conjunto das partes da intersecção dos conjun-
tos A e B é P(A > B) = {{1}, {5}, {1,5}}.
b) O conjunto complementar de B em relação a A é 
C B A = {3,7}.
c) O conjunto das partes do complementar de B em 
relação a A é P(C B A ) = {Ö, {3}, {7}, {3,7}}.
d) O conjunto A intersecção com o conjunto B é 
A > B = {1,5}.
e) O número de elementos do conjunto das partes da 
união dos conjuntos A e B é n[P(A < B)] = 16.
9. (CFTMG) A operação (D) entre os conjuntos A e B, nes-
sa ordem, é definida por:
A D B = {x [ R | x [ B e x Ó A}.
Sendo:
A = {x [ R | 1 ≤ x ≤ 3} e
B = {x [ R | 2 < x ≤ 7}
então o conjunto (A D B) é igual a:
a) ]3, 7].
b) [0, 4[.
c) ]–2, 7[.
d) [5, 7].
10. Dados os conjuntos A = ]0, 10] e B = [4, 6[, a alterna-
tiva que contém, respectivamente, os
conjuntos A – B e A > B é:
a) ]0, 4] < [6, 10] e ]4, 6[.
b) ]0, 4[ < [6, 10] e [4, 6[.
c) ]0, 4] < ]6, 10] e [4, 6[.
d) ]0, 4[ < [6, 10] e ]4, 6[.
E.O. COmplEmEntAr
1. (CFTMG) A operação (D) entre os conjuntos A e B é 
definida por:
A D B = (A – B) < (B – A).
Se:
A = {x [ R | 2 ≤ x ≤ 8} e
B = {x [ R| 6 < x ≤ 10}
então (A D B) é igual a:
a) Ö.
b) [0, 6[ < [8, 10].
c) [0, 2[ < [6, 8].
d) [2, 6] < ]8, 10].
 6
2. (UFC) Sejam x e y números reais tais que:
 1 __ 4 < x < 1 __ 3 ; 2 __ 3 < y < 3 __ 4 e A = 3x – 2y
Então é correto afirmar que:
a) 4 __ 3 < A < 5 __ 2 .
b) 3 __ 4 < A < 1.
c) – 4 __ 3 < A < – 3 __ 4 .
d) – 3 __ 4 < A < – 1 __ 3 .
e) – 1 __ 3 < A < 0.
3. (UECE) Se x e y são números reais que satisfazem, re-
spectivamente, às desigualdades 2 ≤ x ≤ 15 e 3 ≤ y ≤18, 
então todos os números da forma x __ y possíveis, perten-
cem ao intervalo:
a) [5, 9].
b) [ 2 __ 3 , 5 __ 6 ] .
c) [ 3 __ 2 , 6 ] .
d) [ 1 __ 9 , 5 ] .
4. (CFTMG) Sejam a e b números inteiros. A quantidade 
de números inteiros existentes no intervalo ]a,b[ é:
a) b – a – 1.
b) b – a.
c) b – a + 1.
d) b – a + 2.
5. (Fuvest) Se –4 < x < –1 e 1 < y < 2 então xy e 2 __ x estão 
no intervalo:
a) ] –8, –1 [.
b) ] –2, – 1 __ 2 . [
c) ]–2, –1[.
d) ] –8, – 1 __ 2 [.
e) ]–1, – 1 __ 2 [.
E.O. dissErtAtivO
1. Dados os conjuntos A = ]-3, 3] e B = [3, 5], determine:
a) A < B
b) A > B
2. Determine A < B, quando:
a) A = {x [ R | 0 < x < 3} e B = {x [ R | 1 < x < 5}
b) A = {x [ R | –4 < x ≤ 1} e B = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3}
c) A = {x [ R | 2 < x < 5} e B = {x [ R | 1 < x < 4}
d) A = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 2} e B = {x [ R | x ≥ 0}
3. Escreva os intervalos que estão representados abaixo, 
utilizando duas notações diferentes:
a) 
-3 5
b) 
7
3
c) 
0
d) 
4- �
e) 
82
3
f) 
- 4 2
4. Dados: M = {x | x [ R e 0 < x < 5} e S = { x | x [ R 
e 1 < x ≤ 7}, escreva, usando colchetes, os intervalos 
correspondentes a:
a) M – S. b) S – M
5. Represente os intervalos graficamente na reta real.
a) {x [ R | x < 3}
b) {a [ R | a ≥ –2}
c) {p [ R | p > p}
d) {x [ R | –1 ≤ x < 5}
e) { t [ R | – 2 __ 5 < t ≤ 7 } 
f) {x [ R | 0 < x < 1}
g) { x [ R | 4 ___ 11 ≤ x ≤ 1 __ 2 } 
h) (–Ü, –1]
i) [0,1]
j) ( √
__
 2 , 7]
k) [–7, Ü)
l) [–p, 3)
m) (4, Ü)
n) (–Ü, Ü)
6. Dados os subconjuntos de R calcule: (faça o gráfico)
A = {x [ R | –2 ≤ x < 3};
B = {x [ R | 1 ≤ x < 4};
C = {x [ R | x < 0}
a) A < B c) (A > C) > B
b) A > B
7. Represente em linguagem simbólica os seguintes 
subconjuntos de R.
a) 
-3 0
R
 7
b) 
7 10
R
8. Determine A > B, quando:
a) A = {x [ R | –1 ≤ x ≤ 2} e B = {x [ R | 0 ≤ x ≤ 5}
b) A = {x [ R | x < 3} e B = {x [ R | 1 ≤ x ≤4}
c) A = {x [ R | –3 ≤ x < 1} e B = {x [ R | 0 ≤ x ≤ 3}
d) A = {x [ R | x < 5} e {x [ R | x > 5}
9. Dados: A = ]–4, 3], B = [–5, 5] e E = ]–Ü, 1[, determine:
a) A > B > E
b) A < B < E
c) (A < B) > E
10. Dados A = [2,7], B = [–1, 5] e E = [3,9], calcule:
a) A – B
b) B – A
c) A – E
d) E – B
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. D 3. B 4. A 5. A
6. B 7. D 8. C 9. B 10. B
E.O. Fixação
1. B 2. A 3. C 4. C 5. B
6. A 7. E 8. A 9. A 10. B
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. D 4. A 5. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) ]-3, 5]
b) {3}
2. 
a) {x [ R | 0 < x < 5} ou ]0 ,5[ ou (0, 5)
b) {x [ R | –4 < x ≤ 3} ou ]–4 ,3] ou (–4, 3]
c) {x [ R | 1 < x < 5} ou ]1, 5[
d) {x [ R | x ≥ –2} ou [–2 , Ü[ ou [–2, Ü)
3. 
a) {x [ R | –3 ≤ x ≤ 5} ou [–3 ,5]
b) {x [ R | x ≤ 7 __ 
3
 } ou ]–Ü, 7 __ 
3
 ] ou (–Ü, 7 __ 
3
 ]
c) { x [ R | x > 0} ou ]0, Ü [ ou (0, Ü)
d) {x [ R | –p ≤ x < 4} ou [–p, 4[ ou [–p, 4)
e) {x [ R | 2 __ 
3
 < x < 8} ou ] 2 ___ 
3
 , 8[ ou ( 2 ___ 
3
 , 8)
f) {x [ R | –4 < x ≤ 2} ou ]–4,2] ou (–4, 2)
4. 
a) ]0, 1]
b) [5, 7]
5. 
a) x < 3
3
b) a ≥ –2
- 2
c) p > π
 p > p � � 3,14
d) –1 ≤ x < 5
-1 5
e) – 2 __ 5 ≤ t ≤ 7
= - 0,4 -2
5 7
f) 0 < x < 1
0 1
g) 4 ___ 11 ≤ x ≤ 1 __ 
2
 
4/11 � 0,36 1/5 = 0,5
h) (–Ü, –1]
- 1
i) [0,1]
10
j) ( √
__
 2 , 7]
72 � 1,4
k) [–7, Ü)
-7
l) [–p, 3)
-� 3��- 3,14
m) (4, Ü)
4
 8
n) (–Ü, Ü)
6. Observe a figura a seguir:
a) {x [ R | –2 ≤ x < 4}
b) {x [ R | 1 ≤ x < 3}
c) Ö
7. 
a) ]–3, 0]
b) [7, 10]
8. 
a) {x [ R | 0 ≤ x ≤ 2} ou [0, 2]
b) {x [ R | 1 ≤ x ≤ 3} ou [1 ,3[ ou [1, 3)
c) {x [ R | 0 ≤ x < 1} ou [0 ,1[ ou [0, 1)
d) Ö
9. 
a) ]–4, 1]
b) ]–Ü, 5]
c) [–5, 1]
10. 
a) {x [ R | 5 < x ≤ 7} ou ]5, 7] ou (5, 7]
b) {x [ R | –1 ≤ x < 2} ou [–1, 2[ ou [–1, 2]
c) {x [ R | 2 ≤ x < 3} ou [2, 3[ ou [2, 3)
d) {x [ R | 5 < x < 9} ou ]5, 9[ ou (5, 9)
 9
E.O. AprEndizAgEm 
1. (PUC-RJ) Quantos números inteiros satisfazem 
simultaneamente as desigualdades 2x + 3 ≤ x + 7 
e x + 5 ≤ 3x + 1? 
a) 0 d) 3
b) 1 e) infinitos
c) 2
2. (UFJF) Dadas as desigualdades, em : 
I. 3x + 1 < –x + 3 ≤ –2x + 5
II. 4x – 1 ________ x – 2 ≤ 1
O menor intervalo que contém todos os valores de x que 
satisfazem, simultaneamente, às desigualdades I e II é: 
a) ] 1 __ 3 , 3 __ 5 ].
b) ]–2, – 3 __ 2 ].
c) ]–∞, 3 __ 5 ].
d) [– 1 __ 3 , 1 __ 2 [.
e) [ 4 __ 3 , 3 __ 5 [. 
3. (FGV) O número de soluções inteiras da in-
equação 2x + 6 _______ 14 – 2x ≥ 0 é: 
a) 8. d) 11.
b) 9. e) infinito.
c) 10.
4. (CFT-MG) O conjunto solução S, em  da inequação 
–4 · (2x – 1) · ( x __ 3 – 1 ) > 0 é:
a) S = {x [ R | 1 < x < 2}.
b) S = { x [ R | 1 __ 2 < x < 3 } .
c) S = {x [ R |x < 1 ou x > 2}.
d) S = { x [ R | x < 1 __ 2 ou x > 3 } .
5. (PUC-RJ) Considere a inequação x + 1 ______ –x –5 ≤ 0 com x ∈ .
Qual é o conjunto solução da inequação? 
a) (–∞, 1] ∪ [5, ∞)
b) (–∞, –5) ∪ [–1, ∞)
c) [0, ∞)
d) [–5, ∞)
e) (–1, ∞)
6. (CFT-MG) O número de soluções inteiras da inequação 
–x2 + 13x – 40 ≥ 0 no intervalo I = {x [ Z |2 ≤ x ≤ 10} é: 
a) 1. c) 3.
b) 2. d) 4.
7. (IFCE) O conjunto solução S ;  da inequação 
(5x2 – 6x – 8)(2 – 2x) < 0 é:
a) S = ] 4 ___ 5 , 2[ ø ]–`, 1[.
b) S = ]2, + `[ ø ]– 4 __ 5 , 1[.
c) S = ]– 4 __ 5 , 2[ ø ]1, +`[.
d) S = ]–`, – 4 __ 5 [ ø ]1, 2[.
e) S = ]– 4 __ 5 , 1[ ø ]2, +`[.
8. (PUC-SP) Quantos números inteiros e estritamente 
positivos satisfazem a sentença 1 ______ x – 20 ≤ 1 ______ 12 – x ?
a) Dezesseis d) Treze 
b) Quinze e) Menos que treze
c) Quatorze
9. (UECE) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro 
par que satisfaz a desigualdade x2 – 32x + 252 < 0. O 
número que representa a idade de Paulo pertence ao 
conjunto: 
a) {12, 13, 14}.
b) {15, 16, 17}.
c) {18, 19, 20}.
d) {21, 22, 23}.
10. (Ibmecrj) A soma dos quadrados dos núme- 
ros naturais que pertencem ao conjunto solução 
de 
(3 – x) · (x2 – 1)
 ________________ x + 2 ≥ 0 é igual a:
a) 13. d) 19.
b) 14. e) 20.
c) 15.
E. O. FixAçãO
1. (CFT-MG) O número de soluções inteiras da inequação 
x – 1 < 3x – 5 < 2x + 1 é: 
a) 4. c) 2.
b) 3. d) 1.
INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAUS
HABILIDADE: 21
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 11 e 12
 10
2. (PUC-RJ) A soma dos números inteiros x que satis-
fazem 2x +1 ≤ x + 3 ≤ 4x é: 
a) 0. d) 3.
b) 1. e) –2.
c) 2.
3. (IFCE) Tomando-se R, o conjunto dos números reais, 
como universo, a inequação 3x2
 ___ 7 – ( 2x + 3x2
 ___ 7 ) ≤ 4 __ 5 tem 
como solução: 
a) { x [ R; x ≤ – 7 __ 5 } .
b) { x [ R; x ≥ 7 __ 5 } .
c) { x [ R; x ≥ – 5 __ 2 } .
d) { x [ R; x ≤ – 2 __ 5 } .
e) { x [ R; x ≥ – 2 __ 5 } .
4. (IFBA) Considere estas desigualdades:
 5x ___ 2 ≤ 7x + 5 _______ 3 
 –x + 6 ________ 4 ≤ 1
A quantidade de números inteiros x que satisfaz simul-
taneamente às duas desigualdades é: 
a) 11. d) 8.
b) 10. e) 7.
c) 9.
5. (Insper) Os organizadores de uma festa previram que 
o público do evento seria de, pelo menos, 1.000 pessoas 
e que o número de homens presentes estaria entre 60% 
e 80% do número de mulheres presentes. Para que tal 
previsão esteja errada, basta que o número de: 
a) homens presentes na festa seja igual a 360.
b) homens presentes na festa seja igual a 500.
c) homens presentes na festa seja igual a 1.000.
d) mulheres presentes na festa seja igual a 650.
e) mulheres presentes na festa seja igual a 1.000.
6. (Udesc) Se n é um número inteiro, entãoa quantidade 
de números racionais da forma 2n _______ 3n + 15 que são estrita-
mente menores que 7 ___ 13 é:
a) 21. d) infinita.
b) 25. e) 27.
c) 20.
7. (UERN) A soma de todos os números inteiros que 
satisfazem simultaneamente a inequação-produto 
(3x – 7) · (x + 4) < 0 e a inequação-quociente 
 2x + 1 _______ 5 – x > 0 é:
a) 3. c) 6.
b) 5. d) 7.
8. (CFT-MG) A solução da inequação (x – 3)2 > x – 3 é: 
a) x > 4. c) 3 < x < 4.
b) x < 3. d) x < 3 ou x > 4.
9. (ESPM)O número de soluções inteiras do sistema de 
inequações 
 2x – 3 ______ –2 < 3
x2 + 2x ≤ 8
 é igual a: 
a) 1. d) 4.
b) 2. e) 5.
c) 3.
10. (Mackenzie) A função f(x) = √
________
 9 – x2
 _____________ 
x2 + x – 2
 
tem como domínio o conjunto solução:
a) S = {x [ R | −3 < x ≤ –2 ou 1 ≤ x < 3}.
b) S = {x [ R | −3 ≤ x < –2 ou 1 < x ≤ 3}.
c) S = {x [ R | −3 ≤ x < –2 ou 1 ≤ x ≤ 3}.
d) S = {x [ R | −2 < x ≤ –1 ou 1 ≤ x ≤ 3}.
e) S = {x [ R | −2 ≤ x < –1 ou 1 < x ≤ 3}.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Ime) O sistema de inequações abaixo admite k 
soluções inteiras.
 x
2 – 2x – 14 _____________ x > 3
x ≤ 12
Pode-se afirmar que: 
a) 0 ≤ k < 2. d) 6 ≤ k < 8.
b) 2 ≤ k < 4. e) k ≥ 8.
c) 4 ≤ k < 6. 
2. (Col. Naval) No conjunto dos números reais, qual será 
o conjunto solução da inequação 88 _____ 
 √
____
 121 
 – 1 __ x ≤ 0,25 ?
a) { x [ R | 2 ___ 15 < x < 15 ___ 2 } 
b) { x [ R | 0 < x ≤ 2 ___ 15 } 
c) { x [ R | – 2 ___ 15 < x < 0 } 
d) { x [ R | – 15 ___ 2 ≤ x < – 2 ___ 15 } 
e) { x [ R | x < – 15 ___ 2 } 
3. (IFSP) Quatro unidades do produto A, com “peso” 
de 1 kg, custam 480 reais. Sete unidades do produto B, 
“pesando” 1 kg, custam 300 reais. Sabendo-se que 10 
unidades do produto A e x unidades do produto B, jun-
tas, “pesam” no mínimo 5 kg e não ultrapassam 2.000 
reais, então o número x é: 
a) primo.
b) divisível por 7.
c) divisível por 5.
d) múltiplo de 6.
e) múltiplo de 4.
4. (IME) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais 
que r _ s < t __ v . Considere as seguintes relações:
I. 
(r + s)
 _______ s < 
(t + v)
 _______ v 
 11
II. r _______ 
(r + s)
 < t ________ 
(t + v)
 
III. r _ s < 
(r + t)
 _________ 
(s + v)
 
IV. 
(r + t) 
 _______ s < 
(r + t)
 ________ v 
O número total de relações que estão corretas é: 
a) 0. d) 3.
b) 1. e) 4.
c) 2.
5. (PUC-MG) A função f é tal que f(x) = √
_____
 g(x) . Se o gráfico 
da função g é a parábola a seguir, o domínio de f é o 
conjunto:
a) {x [ R | x ≥ 0}.
b) {x [ R | x ≤ –2 ou x ≥ 2}.
c) {x [ R | 0 ≤ x ≤ 2}.
d) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 2}.
E.O. dissErtAtivO
1. (Ufrrj) Considere a função
f(x) = 4x2 – 6x ____________ 
–x2 – 3x – 28
 .
Determine os intervalos nos quais f(x) é estritamente 
negativa. 
2. (PUC-RJ) Determine para quais valores reais de x 
vale cada uma das desigualdades abaixo.
a) 1 ____________ 
x2 –8x + 15
 < 0
b) 1 _____________ 
x2 – 8x + 15
 < 1 __ 3 
3. (UFJF) Sejam f : R → R e g: R → R funções definidas 
por f(x) = x – 14 e g(x) = – x2 + 6x – 8, respectivamente.
a) Determine o conjunto dos valores de x tais que 
f(x) > g(x).
b) Determine o menor número real k tal que f(x) + k ≥ g(x) 
para todo x , R.
4. (Ufrrj) A interseção dos seguintes conjuntos, 
A = { x [ R | x2 – 6x + 5 < 0 }, B = { x [ R | –x2 + 2x + 3 > 0 } e 
C = { x [ R | x2 – 8x + 12 ≥ 0 } é um intervalo.
Determine o conjunto solução que representa esse intervalo. 
5. (UFJF) Uma empresa trabalha com placas de publici-
dade retangulares, de lados iguais a x + 3 e 2x – 4 metros.
a) Determine os valores de x, para que a área da placa 
varie de 12 m2 a 28 m2.
b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2.
6. (UFF) Resolva, em R –{–4, –2}, a inequação
 x – 4 _____ x + 2 < x – 2 ______ x + 4 .
7. (Unioeste) O maior número natural que pode ser 
acrescentado ao numerador e ao denominador de 3 __ 7 
de forma a obter um número pertencente ao intervalo 
] 1 __ 2 , 4 __ 5 [ é: 
8. (PUC-RJ) Considere a função real
g(x) = x4 – 40x2 + 144 e a função real
f(x) = x(x – 4) · (x + 4).
a) Para quais valores de x temos f(x) < 0?
b) Para quais valores de x temos g(x) < 0?
c) Para quais valores de x temos f(x) · g(x) > 0?
9. (ITA) Determine todos os valores de m [ R tais que a 
equação (2 – m) x2 + 2mx + m + 2 = 0 tenha duas raízes 
reais distintas e maiores que zero. 
10. (Ime) Resolva a inequação, onde x ∈ .
 9x2
 ____________ 
(1 – √
_____
 3x + 1 )2
 > 4
E.O. EnEm
1. (Enem) O setor de recursos humanos de uma empresa 
pretende fazer contratações para adequar-se ao artigo 
93 da Lei nº 8.213/91, que dispõe:
Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados 
está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% 
(cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários re-
abilitados ou pessoas com deficiência, habilitadas, na 
seguinte proporção:
I. até 200 empregados ........................2%; 
II. de 201 a 500 empregados ................3%; 
III. de 501 a 1.000 empregados .............4%; 
IV. de 1.001 em diante .........................5%. 
Disponível em: www.planalto.gov.br. acesso em: 3 fev. 2015.
Constatou-se que a empresa possui 1.200 funcionários, dos 
quais 10 são reabilitados ou com deficiência, habilitados.
Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará 
apenas empregados que atendem ao perfil indicado no 
artigo 93.
O número mínimo de empregados reabilitados ou com 
deficiência, habilitados, que deverá ser contratado pela 
empresa é:
a) 74. d) 60.
b) 70. e) 53.
c) 64. 
 12
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Em um sistema de codificação, AB representa os 
algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os 
algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a 
data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a:
A = 3 B = 0 C = 0 D = 7
Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à 
seguinte condição:
A + B + C + D = 20
O mês de nascimento dessa pessoa é: 
a) agosto
b) setembro
c) outubro
d) novembro
2. (UERJ) Sabe-se que o polinômio P(x) = –2x3 – x2 + 4x + 2 
pode ser decomposto na forma P(x) = (2x + 1) · (–x2 + 2). 
Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = –x2 + 2, num 
mesmo sistema de coordenadas cartesianas, obtém-se o 
gráfico a seguir:
Y
f
g
1
2
2 X2
Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a 
inequação –2x3 – x2 + 4x + 2 < 0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa inequação 
estão indicados na seguinte alternativa: 
a)x < – √
__
 2 ou x > – 1 __ 2 
b) x < – √
__
 2 ou x > √
__
 2 
c) x < – √
__
 2 ou – 1 __ 2 < x < √
__
 2 
d) – √
__
 2 < x < – 1 __ 2 ou x > √
__
 2 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) A tabela a seguir indica a quantidade dos pro-
dutos A, B e C, comprados nas lojas X, Y e Z, e as despe-
sas, em reais, relativas às compras efetuadas.
 Produtos
Lojas
A B C
Despesas 
(R$)
X 3 2 1 80
Y 1 2 3 100
Z 1 2 0 40
De acordo com os dados, determine:
a) o intervalo de variação do preço do produto B, 
comprado na loja Z;
b) o preço unitário do produto A, admitindo que o 
preço de venda de cada produto é igual nas três lojas.
2. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a 
seguir, estão representadas as funções f(x) = 4x – 4 e 
g(x) = 2x2 – 12x + 10.
unidades em cm
g(x)
f(x)P
x
y
Com base nos dados a seguir, determine:
a) as coordenadas do ponto P.
b) o conjunto-solução da inequação 
 
g(x)
 ____ 
f(x)
 < 0, f(x) ≠ 0. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Por recomendação médica, uma pessoa deve 
fazer, durante um curto período, dieta alimentar que 
lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de vi-
tamina A e 60 microgramas de vitamina D, alimentan-
do-se exclusivamente de um iogurte especial e de uma 
mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro 
do iogurte fornece 1 miligrama de vitaminaA e 20 mi-
crogramas de vitamina D. Cada pacote de cereais for-
nece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de 
vitamina D. Consumindo x litros de iogurte e y pacotes 
de cereais diariamente, a pessoa terá certeza de estar 
cumprindo a dieta se: 
a) x + 3y ≥ 7 e 20x + 15y ≥ 60.
b) x + 3y ≤ 7 e 20x + 15y ≤ 60.
c) x + 20y ≥ 7 e 3x + 15y ≥ 60.
d) x + 20y ≤ 7 e 3x + 15y ≤ 60.
e) x + 15y ≥ 7 e 3x + 20y ≥ 60.
 13
2. (Unesp 2017) No universo dos números reais, a equa-
ção 
(x2 – 13x + 40)(x2 – 13x + 42)
 ____________________________ 
 √
____________
 x2 – 12x + 35 
 = 0 é satisfeita 
por apenas:
a) três números.
b) dois números.
c) um número.
d) quatro números.
e) cinco números.
3. (Fuvest) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 
1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor 
em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o 
restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% 
ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta 
de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa 
decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas apli-
cações. Para garantir, após um ano, um rendimento total 
de pelo menos R$ 72.000,00 a parte da quantia a ser 
aplicada na poupança deve ser de, no máximo: 
a) R$ 200.000,00.
b) R$ 175.000,00.
c) R$ 150.000,00.
d) R$ 125.000,00.
e) R$ 100.000,00.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Três empresas A, B e C comercializam o mes-
mo produto e seus lucros diários (L(x)), em reais, variam 
de acordo com o número de unidades diárias vendidas 
(x) segundo as relações:
Empresa A: LA (x) = 10 ___ 9 x2 – 130 ____ 9  x + 580 ____ 9 
Empresa B: LB (x) = 10x + 20
Empresa C: LC (x) = 
120, se x < 15
10x – 30, se x ≥ 15
Unidades diárias vendidas x Lucro diário
Unidades diárias vendidas (x)
Lu
cr
o 
di
ár
io
 (
R$
)
Determine em que intervalo deve variar o número de 
unidades diárias vendidas para que o lucro da empresa 
B supere os lucros da empresa A e da empresa C. 
2. (Unesp) A demanda de um produto químico no mer-
cado é de D toneladas quando o preço por tonelada é 
igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante 
desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos 
econômicos do setor químico indicam que D e F variam 
em função de p, de acordo com as seguintes funções:
D(p) = 
3p2 – 21p
 __________ 4 – 2p e F(p) = 
5p – 10
 _________ 3 .
Admitindo-se p > 1 e sabendo que √
______
 7569 = 87, deter-
mine o valor de p para o qual a oferta é igual à deman-
da desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se 
p > 1, determine o intervalo real de variação de p para 
o qual a demanda D(p) do produto é positiva.
3. (Unicamp) Uma lâmpada incandescente de 100 
W custa R$ 2,00. Já uma lâmpada fluorescente de 24 
W, que é capaz de iluminar tão bem quanto a lâm-
pada incandescente de 100 W, custa R$ 13,40. Re-
sponda às questões a seguir, lembrando que, em 
uma hora, uma lâmpada de 100 W consome uma 
quantidade de energia equivalente a 100 Wh, ou 
0,1 kWh. Em seus cálculos, considere que 1 kWh de en-
ergia custa R$ 0,50.
a) Levando em conta apenas o consumo de energia, 
ou seja, desprezando o custo de aquisição da lâm-
pada, determine quanto custa manter uma lâmpada 
incandescente de 100 W acesa por 750 horas. Faça 
o mesmo cálculo para uma lâmpada fluorescente de 
24 W.
b) Para iluminar toda a sua casa, João comprou e 
instalou apenas lâmpadas fluorescentes de 24 W. 
Fernando, por sua vez, comprou e instalou somente 
lâmpadas incandescentes de 100 W para iluminar sua 
casa. Considerando o custo de compra de cada lâm-
pada e seu consumo de energia, determine em quan-
tos dias Fernando terá gasto mais com iluminação 
que João. Suponha que cada lâmpada fica acesa 3 
horas por dia. Suponha, também, que as casas pos-
suem o mesmo número de lâmpadas. 
4. (Unifesp) Os candidatos que prestaram o ENEM po-
dem utilizar a nota obtida na parte objetiva desse ex-
ame como parte da nota da prova de Conhecimentos 
Gerais da UNIFESP. A fórmula que regula esta possibili-
dade é dada por
95% CG + 5% ENEM, se ENEM > CG,
CG, se ENEM ≤ CG,
NF =
onde NF representa a nota final do candidato, ENEM 
a nota obtida na parte objetiva do ENEM e CG a nota 
obtida na prova de Conhecimentos Gerais da UNIFESP.
a) Qual será a nota final, NF, de um candidato que 
optar pela utilização da nota no ENEM e obtiver as 
notas CG = 2,0 e ENEM = 8,0?
b) Mostre que qualquer que seja a nota obtida no 
ENEM, se ENEM > CG então NF > CG.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem 
1. D 2. D 3. C 4. B 5. B
6. D 7. E 8. B 9. B 10. B
 14
E.O. Fixação 
1. B 2. D 3. E 4. C 5. A
6. B 7. A 8. D 9. D 10. B
E.O. Complementar 
1. D 2. B 3. D 4. D 5. D
E.O. dissertativo
1. ] –∞, 0 [ e ] 3 __ 
2
 , ∞[
2. 
a) 3 < x < 5
b) ]–`, 2[ ø ]3,5[ ø ]6, +`[
3. 
a) S = {x [ R | x < –1 ou x > 6}
b) k = – D ___ 
4a
 = – 49 _______ _ 
4 · (–1)
 = 49 ____ 
4
 
4. S = {x [ R | 1 < x ≤ 2 }
5. 
a) {x [ R | 3 ≤ x ≤ 4}
b) 7 m e 4 m. 
6. x < – 4 ou x > –2.
7. 12
8. 
a) {x [ R | x < –4 ou 0 < x < 4}.
b) {x [ R | –6 < x < –2 ou 2 < x < 6}.
c) {x [ R | –6 < x < –4 ou –2 < x < 0 ou 
2 < x < 4 ou x > 6}.
9. –2 < m < – √
__
 2 
10. x > 0 ⇒ S = R* + 
E.O. Enem
1. E
E.O. UErJ 
Exame de Qualificação
1. B 2. D
E.O. UErJ 
ExAmE discursivo
1. 
a) 0 < B < 20
b) 10 reais 
2. 
a) P (7, 24)
b) x < 5; x≠ 1
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. C 3. A
E.O. dissertativas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. ]10, 20[ 
2. p = 5; 2 < p < 7
3. 
a) 100W : R$37,50 ; 24W : R$9,00
b) Após 100 dias. 
4. 
a) 2,3
b) Se ENEM > CG, então:
NF = 0,95 · CG + 0,05 · ENEM > 0,95 · CG + 0,05 · CG > CG ⇔ NF > CG.
 15
E.O. AprEndizAgEm
1. (Unaerp) Qual dos seguintes gráficos não representa 
uma função f: R é R?
a) d)
y
xo
 y
0
b) e)
x
y
0
 y
0 x
c) 
y
x0
 
2. Há funções y = f(x) que possuem a seguinte proprie-
dade: “a valores distintos de x correspondem valores 
distintos de y”.
Tais funções são chamadas injetoras.
Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, 
é injetora?
a) c)
y
x
1
 
y
1
x
b) d)
y
x
1
 
y
x
1
 
e) y
x
1
3. (UFF) Considere as funções f, g e h, todas definidas 
em [m, n] com imagens em [p, q] representadas através 
dos gráficos a seguir:
y y y
f
q q q
g
h
p p p
n n nm m m
x x x
Pode-se afirmar que:
a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva.
b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva.
c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva.
d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva.
e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva.
4. (UEPG) Considerando os conjuntos:
R = {0, 1, 3, 5, 7}, S = {2, 4, 6} e P = {1, 2},
assinale o que for correto.
a) 1 [ (S – P).
b) Existe uma função f: S é P que é bijetora.
c) (S > P) < R = R.
d) R > S > P = Ö.
5. (PUC-Camp) Seja f a função de R em R, dada pelo 
gráfico a seguir:
0 1-1 X
Y
2
2
-2
-2
É correto afirmar que:
a) f é sobrejetora e não injetora.
b) f é bijetora.
c) f(x) = f(–x) para todo x real.
d) f(x) > 0 para todo x real.
e) o conjunto imagem de f é ] –Ü; 2 ].
RELAÇÕES, FUNÇÕES E DEFINIÇÕES
HABILIDADES: 13, 15, 20 e 25
COMPETÊNCIAS: 3, 4, 5 e 6
AULAS 13 e 14
 16
6. (FGV) Seja a função f(x) = x2. O valor de f (m + n) – f(m – n) 
é:
a) 2m2 + 2n2. d) 2m2.
b) 2n2. e) 0.
c) 4mn.
7. (FEI) Se f(x) = 2 ______ x – 1 , ?x ≠ 1, então √
________
 8f(f(2)) vale:
a) 1. d) 4.
b) 2. e) 5.
c) 3.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme 
começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do 
filme, sendo que:
• nos 10 primeiros dias desse período, as vendas fo-
ram feitas exclusivamente nas bilheterias;
• nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simulta-
neamente nas bilheterias e pela internet.
Considere que t representa o tempo, em dias, desde o 
início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, 
em milhões, atéo tempo t. 
8. (Insper) Durante as vendas exclusivas nas bilheterias, 
a capacidade de atendimento dos guichês dos cinemas 
do mundo todo, ao longo do tempo, era sempre a mes-
ma, totalizando a venda de 2 milhões de ingressos por 
dia. Assim, o gráfico que melhor descreve v(t) para esse 
período, em função de t, é:
a) d)
 
 
b) e) 
 
 
c) 
9. (CFT-MG) O crescimento de uma cultura de bactérias 
ao longo de seis dias é mostrado no gráfico abaixo.
O conjunto imagem dessa função é:
a) {y [ R | 5000 < y < 18500}.
b) { x [ R | 0 < x < 6}.
c) {5000, 18500}.
d) [0,6[.
10. Na função real definida por f(x) = 5x, f(a) · f(b) é 
sempre igual a:
a) f (a · b).
b) f (a + b).
c) f ( a __ 5 + b __ 5 ) .
d) f (5 · a · b).
e) f (a5 · b5).
E.O. FixAçãO
1. (CFT-MG) Sendo g(x) = f(x2 + 6) e a função 
f : R – {2} é R, definida por f(x) = 2 ______ x – 2 , o domínio da 
função g, é o conjunto:
a) R – {1}.
b) R – {– √
__
 5 , √
__
 5 }.
c) R – {0}.
d) R.
2. (UFSM) Escolhendo aleatoriamente alguns números 
das páginas de um livro adquirido numa livraria, foram 
formados os conjuntos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, 
sendo a relação definida por R = {(x,y) [ A × B | x ≥ y}.
Dessa forma:
a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}.
b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}.
c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}.
d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}.
e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8}.
3. (UECE) Se f(x) = √
__
 3 · x2 + 1, x [ R, então 
( √
__
 3 – 1) [f( √
__
 3 ) – f( √
__
 2 )+1] é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 2 √
__
 3 .
d) 3 √
__
 3 .
4. (UEL) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B 
= {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, definida por 
R = {(x,y) [ A x B | x é divisor de y}. Nestas condições, R é 
o conjunto:
a) {(0, 2), (0, 8), (0, 9), (1, 2), (1, 8), (1, 9), (2,2), (2, 
8), (3, 9), (4, 8)}.
b) {(1, 2), (1, 8), (1, 9), (2, 2), (2, 8), (3, 9), (4, 8)}.
c) {(2, 1), (2, 2), (8, 1), (8, 2), (8, 4), (9, 1), (9, 3)}.
d) {(0, 2), (0, 8), (0, 9), (2, 2)}.
e) {(2, 0), (2, 2), (2, 4)}.
 17
5. (UFPE) Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o gráf-
ico de uma função injetora y = f(x)?
a) d) y
0 x
 
y
x
0
b) e) 
0 x
y
 
y
x
0
c) 
x
y
0
6. (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as es-
colas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado 
pelos números que representam a quantidade de pro-
fessores de cada escola do conjunto E.
Se f: E é P é a função que a cada escola de E associa 
seu número de professores, então:
a) f não pode ser uma função bijetora.
b) f não pode ser uma função injetora.
c) f é uma função sobrejetora.
d) f é necessariamente uma função injetora.
7. (CFT-MG) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e 
R = {(x, y) [ P × P | x + y < 3}, o número de elementos do 
conjunto R é igual a:
a) 3. c) 5.
b) 4. d) 6.
8. (UFRN) Considerando K = {1, 2, 3, 4}, marque a opção, 
cuja figura representa o produto cartesiano K × K.
a) c) 
4
y
x
3
2
1
1 2 3 4
 4
y
x
3
2
1
1 2 3 4
b) d) 
4
y
x
3
2
1
1 2 3 4
 4
y
x
3
2
1
1 2 3 4
9. Considere a função f(x) = 1 – 4x ________ 
(x + 1)²
 , a qual está 
definida para x ≠ –1. Então, para todo x ≠ 1 e x ≠ –1, o 
produto f(x) ∙ f(–x) é igual a:
a) –1. d) x² + 1.
b) 1. e) (x – 1)².
c) x + 1.
10. (Espcex) O domínio da função real
f(x) = dXXXXX 2 – x ____________ 
x2 – 8x + 12
 é:
a) ]2, Ü[. d) ]–2, 2].
b) ]2, 6[. e) ]–Ü, 2[.
c) ]–Ü, 6].
E.O. COmplEmEntAr
1. (IFAL) O domínio da função dada por
f(x) = 
dXXXXX x – 2 _______ 
 dXXXXX 3 – x 
 é:
a) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3}.
b) {x [ R | –2 ≤ x < 3}.
c) {x [ R | 2 ≤ x < 3}.
d) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3}.
e) {x [ R | x ≠ 3}.
2. Através dos gráficos das funções f(x) e g(x), os valores 
de f(g(0)) e g(f(1)) são, respectivamente:
a) –5 e 0. d) 2 e –5.
b) –5 e 2. e) 2 e 0.
c) 0 e 0.
3. Uma função f de variável real satisfaz a 
condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que 
seja o valor da variável x. Sabendo-se que 
f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a:
a) 1 __ 2 . d) 5.
b) 1. e) 10.
c) 5 __ 2 .
4. (FEI) Sabendo-se que f(x + y) = f(x) · f(y) para qualquer 
valor real x e qualquer valor real y, é válido afirmar-se que:
a) f (0) = 1. d) f (1) = 0.
b) f (1) = 1. e) f (–1) = f(1).
c) f (0) = 0.
5. (ITA) Considere funções f, g, f + g : R é R.
Das afirmações:
I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora;
II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;
III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora;
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora,
é(são) verdadeira(s):
a) nenhuma.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas III e IV.
e) todas.
 18
E.O. dissErtAtivO
1. (UFF) Esboce, no sistema de eixos coordenados 
abaixo, o gráfico de uma função real, cujo domínio é 
o intervalo [1,2] e cuja imagem é o conjunto [–2, –1] 
< [2,3].
2. (Ufrrj) Considere a função real f, para a
qual f(x + 1) – f(x) = 2x, ? x [ R. Determine
o valor de f(7) – f(3).
3. (UFPE) Seja A um conjunto com 3 elementos e B um 
conjunto com 5 elementos. Quantas funções injetoras 
de A em B existem?
4. (UFPE) A função f : R é R é tal que f(x + y) = f(x) + f(y), 
para todo x e y. Calcule f(0) + 1.
5. Em cada uma das funções abaixo, indique os conjun-
tos domínio e imagem e classifique, se possível, se a 
função é injetora, sobrejetora ou bijetora.
a) 
y
1
f: [-2, 2] � R
x
-2
2
-1
b) 
9
-3 30
y
x
f:]-3,3[�[0,9[
c) 
3
y
f: [-3, 4[ � R+
-3
-2
4 x
R
6. (UFPE) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parên-
teses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se 
for falsa.
Sejam A e B conjuntos com m e n elementos respectiva-
mente. Analise as seguintes afirmativas:
( ) Se f: A é B é uma função injetora então 
m ≤ n.
( ) Se f: A é B é uma função sobrejetora então m ≥ n.
( ) Se f: A é B é uma função bijetora então 
m = n.
( ) Se f: A é B é uma função bijetora então o gráfico 
de f é um subconjunto de A × B com m × n elementos.
( ) Se m = n o número de funções bijetoras 
f: A é B é m!
7. Examine cada relação e escreva se é uma função de A 
em B ou não. Em caso afirmativo, determine o domínio, 
a imagem e o contradomínio.
a) 
-2. 0.
0. 4.
.16 .12
. 82.
A R1 B
4.
b) 
4. . 0
. 10
. 100
. 1000
. 1
A B
1.
2.
3.
0.
8. (CFT-CE) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e 
B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte 
relação: R = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 1}.
9. Uma função de variável real satisfaz a condição 
f(x + 2) = 2f(x) + f(1), qualquer que seja a variável x.
Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de:
a) f(1).
b) f(5).
10. Uma função tem domínio D = {3, 7, 10} e associa 
cada elemento do domínio ao dobro do valor dele. Qual 
é a imagem dessa função?
E.O. EnEm
1. (Enem) Em um exame, foi feito o monitoramento dos 
níveis de duas substâncias presentes (A e B) na corrente 
sanguínea de uma pessoa, durante um período de 24 h, 
 19
conforme o resultado apresentado na figura. Um nutri-
cionista, no intuito de prescrever uma dieta para essa 
pessoa, analisou os níveis dessas substâncias, determi-
nando que, para uma dieta semanal eficaz, deverá ser 
estabelecido um parâmetro cujo valor será dado pelo 
número de vezes em que os níveis de A e de B forem ig-
uais, porém, maiores que o nível mínimo da substância 
A durante o período de duração da dieta.
 
Considere que o padrão apresentado no resultado do 
exame, no período analisado, se repita para os dias sub-
sequentes.
O valor do parâmetro estabelecido pelo nutricionista, 
para uma dieta semanal, será igual a: 
a) 28. d) 7.
b) 21. e) 14.
c) 2.
2. (Enem) Atualmente existem diversas locadoras 
de veículos, permitindo uma concorrência saudável 
para o mercado, fazendo com que os preços se tor-
nem acessíveis. Nas locadoras P e Q o valor da diária 
de seus carros depende da distância percorrida, con-
forme o gráfico.
 
O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele 
pago na locadoraP para distâncias, em quilômetros, 
presentes em qual(is) intervalo(s)? 
a) De 20 a 100. 
b) De 80 a 130. 
c) De 100 a 160. 
d) De 0 a 20 e de 100 a 160. 
e) De 40 a 80 e de 130 a 160. 
3. (Enem) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo 
duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g. O gráfi-
co mostra o custo para enviar uma carta não comercial 
pelos Correios:
 
O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas 
é de: 
a) 8,35. d) 15,35.
b) 12,50. e) 18,05.
c) 14,40. 
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) O gráfico abaixo representa o consumo de 
oxigênio de uma pessoa que se exercita, em condições 
aeróbicas, numa bicicleta ergométrica. Considere que o 
organismo libera, em média, 4,8 kcal para cada litro de 
oxigênio absorvido.
0 5 15 20 (min)
1,4
1,0
Co
ns
um
o 
de
 O
2 
(L
/m
in
)
A energia liberada no período entre 5 e 15 minutos, em 
kcal, é: 
a) 48,0. c) 67,2.
b) 52,4. d) 93,6. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Considere os conjuntos A e B:
A = {–30, –20, –10, 0, 10, 20, 30} e
B = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}, e 
a função f: A é B, f(x) = x2 + 100.
 20
O conjunto imagem de f é:
a) {–30, –20, –10, 0, 10, 20, 30}.
b) {100, 200, 500, 1000}.
c) {300, 400, 600, 700, 800, 900}.
d) {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}.
e) conjunto vazio.
2. (Fuvest) A figura a seguir representa o gráfico de uma 
função da forma f(x) = 
(x + a)
 _________ 
(bx + c)
 , para –1 ≤ x ≤ 3.
-1
y
x
1
3
-1
-3
1/5
1 2 3
Pode-se concluir que o valor de b é: 
a) –2. d) 1.
b) –1. e) 2.
c) 0. 
3. (Unesp) Considere duas funções, f e g, definidas no inter-
valo I = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 5}, tais que f(1) = g(1) = 0, f(3) · g(3) = 0 e 
f(5) > g(5). Representando o gráfico de f em linha cheia 
e o de g em linha tracejada, a figura que melhor se ajus-
ta a esses dados é:
a) d) 
 
b) e) 
 
c) 
 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem 
1. E 2. E 3. A 4. D 5. A
6. C 7. D 8. C 9. A 10. B
E.O. Fixação 
1. D 2. B 3. A 4. B 5. E
6. C 7. D 8. A 9. B 10. E
E.O. Complementar 
1. C 2. B 3. C 4. A 5. A
E.O. Dissertativo
1. Exemplo de resposta:
2. f(7) – f(3) = 36
3. 60
4. 1
5. 
a) D(f) = [–2, 2] Im(f) = [–1, 1]
A função é injetora.
b) D(f) = ] –3, 3[ Im(f) = [0, 9[
A função é sobrejetora.
c) D(f) = [–3, 4[ Im(f) = ] –2, 3]
A função é injetora. 
6. V V V F V
7. 
a) É função; D = {–2, 0, 2, 4}; Im = {0, 4, 16}; 
CD = {0, 4, 8, 12, 16}
b) Não é função.
8. R = {(0, 1), (2, 3), (4, 5), (8, 9)}
9. 
a) f(1) = 2
b) f(5) = 14
10. {6, 14, 20}
E.O. Enem
1. E 2. D 3. D
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. C
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. D 3. C
 21
E.O. AprEndizAgEm
1. O gráfico representa a função real definida por 
f(x) = a x + b.
O valor de a + b é igual a:
a) 0,5. c) 1,5.
b) 1,0. d) 2,0.
2. Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 
2 e 3 seguem uma função polinomial do primeiro grau 
crescente com a numeração dos setores. Se o preço do 
ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 
400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa:
a) 140. c) 220.
b) 180. d) 260.
3. Na função f(x) = mx – 2(m – n), m e n ∈ . Sabendo que 
f(3) = 4 e f(2) = –2, os valores de m e n são, respectivamente 
a) 1 e –1. c) 6 e –1.
b) –2 e 3. d) 6 e 3.
GRÁFICO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES
4. (UFSM) O gráfico acima mostra a evolução das notas 
em Matemática de dois grupos de estudantes, denomi-
nados grupo I e grupo II. Analisando o gráfico e consid-
erando o período de 2007 a 2010, é possível afirmar:
a) Os dois grupos melhoraram as notas.
b) A nota do grupo I, em 2008, foi 80.
c) A nota do grupo I aumentou de 2008 a 2009 e 
diminuiu de 2009 a 2010.
d) A nota do grupo II não sofreu alteração.
e) A nota do grupo I aumentou, enquanto a nota do 
grupo II diminuiu.
5. (UFSM) Em relação ao gráfico, considerando 2007 
como x = 1, 2008 como x = 2 e assim, sucessivamente, a 
função afim y = ax + b que melhor expressa a evolução 
das notas em Matemática do grupo II é:
a) y = 5 __ 2 x + 145 _____ 2 .
b) y = – 5 __ 2 x + 145 ____ 2 .
c) y = – 2 __ 5 x – 145 _____ 2 .
d) y = 2 __ 5 x + 145 ____ 2 .
e) y = – 5x – 145.
6. (Unioeste) Uma empresa de telefonia celular possui 
somente dois planos para seus clientes optarem entre 
um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa 
de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer 
ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 
35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É 
correto afirmar que, para o cliente:
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso 
que o plano A.
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais 
vantajoso que o plano A.
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano 
A igual ao custo pelo plano B.
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano 
A, independente de quantos minutos sejam cobrados.
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano 
B, independente de quantos minutos sejam cobrados.
7. (IFSP) Uma empresa está organizando uma ação que 
objetiva diminuir os acidentes. Para comunicar seus fun-
cionários, apresentou o gráfico a seguir. Ele descreve a 
tendência de redução de acidentes de trabalho.
FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
HABILIDADES: 13, 15, 19, 20 e 25
COMPETÊNCIAS: 3, 4, 5 e 6
AULAS 15 e 16
 22
Assim sendo, mantida constante a redução nos aciden-
tes por mês, então o número de acidentes será zero em:
a) maio. d) agosto.
b) junho. e) setembro.
c) julho.
8. Um experimento da área de Agronomia mostra que 
a temperatura mínima da superfície do solo t(x), em °C, 
é determinada em função do resíduo x de planta e bio-
massa na superfície, em g/m2, conforme registrado na 
tabela seguinte. 
x(g/m2) 10 20 30 40 50 60 70
t(x) (°C) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60
Analisando os dados acima, é correto concluir que eles 
satisfazem a função:
a) y = 0,006x + 7,18.
b) y = 0,06x + 7,18.
c) y = 10x + 0,06.
d) y = 10x + 7,14.
9. (UECE) Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor 
inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia 
proporcional aos quilômetros percorridos. Se por uma 
corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida de 
5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da bandeirada é:
a) R$ 7,50. c) R$ 5,50.
b) R$ 6,50. d) R$ 4,50.
10. (Ufpr) O gráfico abaixo representa o consumo de 
bateria de um celular entre as 10 h e as 16 h de um 
determinado dia.
 
Supondo que o consumo manteve o mesmo padrão até 
a bateria se esgotar, a que horas o nível da bateria atin-
giu 10%?
a) 18 h. d) 21 h.
b) 19 h. e) 22 h.
c) 20 h.
E.O. FixAçãO
1. O custo total C, em reais, de produção de x kg de 
certo produto é dado pela expressão C(x) = 900x + 50. 
O gráfico abaixo é o da receita R, em reais, obtida pelo 
fabricante, com a venda de x kg desse produto.
 
Qual porcentagem da receita obtida com a venda de 1 
kg do produto é lucro?
a) 5%. d) 25%.
b) 10%. e) 50%.
c) 12,5%.
2. (Unisinos) Qual dos gráficos abaixo representa a reta 
de equação y = 2x + 3?
a) 
b) 
c)
d)
e) 
 23
3. (UEPA) O treinamento físico, na dependência da qual-
idade e da quantidade de esforço realizado, provoca, 
ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do 
volume do coração. De acordo com especialistas, o fíga-
do de uma pessoa treinada tem maior capacidade de 
armazenar glicogênio, substância utilizada no metabo-
lismo energético durante esforços de longa duração. De 
acordo com dados experimentais realizados por Thörner 
e Dummler (1996), existe uma relação linear entre a 
massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo 
fisicamente treinado. Nesse sentido, essa relação linear 
pode ser expressa por y = ax + b onde “y” representa 
o volume cardíaco em mililitros (ml) e “x” representa 
a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura 
do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação lin-ear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a 
massa do fígado de uma pessoa treinada é:
a) y = 0,91x – 585.
b) y = 0,92x + 585.
c) y = –0,93x – 585.
d) y = –0,94x + 585.
e) y = 0,95x – 585.
4. (FGV) Quando o preço por unidade de certo modelo 
de telefone celular é R$ 250,00, são vendidas 1400 
unidades por mês. Quando o preço por unidade é R$ 
200,00, são vendidas 1700 unidades mensalmente.
Admitindo que o número de celulares vendidos por mês 
pode ser expresso como função polinomial do primeiro 
grau do seu preço, podemos afirmar que, quando o preço for 
R$ 265,00, serão vendidas:
a) 1290 unidades.
b) 1300 unidades.
c) 1310 unidades.
d) 1320 unidades.
e) 1330 unidades.
5. O volume de água de um reservatório aumenta em 
função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo:
Para encher este reservatório de água com 2500 litros, 
uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário para 
que o reservatório fique completamente cheio?
a) 7h d) 7h30min
b) 6h50min e) 7h50min
c) 6h30min
6. (Mackenzie) Na figura, considere os gráficos das 
funções f(x) = ax + b e g(x) = mx + n. Se P = ( 7 __ 4 , 1 __ 2 ) , o 
valor de a + n _______ 
b · m
 é:
a) 3. b) 2. c) 6. d) 5. e) 1.
7. (Insper) Num restaurante localizado numa cidade do 
Nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de so-
bremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restau-
rante registrou numa tabela as temperaturas médias 
mensais na cidade para o horário do jantar e a média 
diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no 
período noturno.
mês jan fev mar abr mai
temperatura
média mensal
(graus Celsius)
29 30 28 27 25
bolas de 
sorvete
980 1000 960 940 900
mês jun jul ago set out nov dez
temperatura
média mensal
(graus Celsius)
24 23 24 24 28 30 29
bolas de 
sorvete
880 860 880 880 960 1000 980
Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Adminis-
tração, que fazia estágio de férias no restaurante, per-
cebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo y = 
ax + b sendo x a temperatura média mensal e y a média 
diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver 
o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta:
 24
“É possível com base nessa equação saber o quanto 
aumentam as vendas médias diárias de sorvete caso a 
temperatura média do mês seja um grau maior do que 
o esperado?”
Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode 
dar, baseando-se no estudo que fez é:
a) Não é possível, a equação só revela que quanto 
maior a temperatura, mais bolas são vendidas.
b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do 
mês em que a temperatura for mais alta.
c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação.
e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
8. (ESPM) O gráfico abaixo mostra o número de pessoas 
comprovadamente infectadas pelo vírus H1N1 numa 
certa cidade do Brasil, entre os meses de maio e se-
tembro de 2009. Na hipótese de um crescimento linear 
desse surto, representado pela reta r, pode-se prever 
que o número de pessoas infectadas em dezembro de 
2009 será igual a:
a) 30. b) 36. c) 40. d) 44. e) 48.
9. (FGV) Os gráficos abaixo representam as funções re-
ceita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto 
fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade 
produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir 
e vender 1350 unidades por mês?
a) 1740 b) 1750 c) 1760 d) 1770
e) 1780
10. (Epcar) Luiza possui uma pequena confecção arte-
sanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa 
o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a 
reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a 
confecção de x bolsas.
Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza 
obtém lucro se, e somente se, vender:
a) no mínimo 2 bolsas. c) exatamente 3 bolsas.
b) pelo menos 1 bolsa. d) no mínimo 4 bolsas.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Mackenzie) LOCADORA X
Taxa fixa: R$ 50,00
Preço por quilômetro percorrido: R$ 1,20
LOCADORA Y
Taxa fixa: R$ 56,00
Preço por quilômetro percorrido: R$ 0,90
Observando os dados anteriores, referente aos valores 
cobrados por duas locadoras X e Y de veículos, é COR-
RETO afirmar que:
a) para exatamente 20 quilômetros percorridos, esses 
valores são iguais.
b) a partir de 20 quilômetros rodados, o custo total 
em X é menor do que em Y.
c) para X, o custo total é sempre menor.
d) a partir de 15 quilômetros rodados, o custo total 
em Y é menor do que em X.
e) até 32 quilômetros rodados, o custo total em X é 
menor do que em Y.
2. (UEMG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha
14 milhões de usuários residenciais na rede mundial de 
computadores. Em fevereiro de 2008, esses internautas 
somavam 22 milhões de pessoas – 8 milhões, ou 57% 
a mais.
Deste total de usuários, 42% ainda não usam banda lar-
ga (internet mais rápida e estável).
Só são atendidos pela rede discada”.
atualiDaDe e vestibular 2009, 1º semestre, eD abril
Baseando-se nessa informação, observe o gráfico, a seguir:
 25
Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de 
crescimento linear, mostrada no gráfico acima, o 
número de usuários residenciais de computadores, em 
dezembro de 2009, será igual a:
a) 178 × 106. c) 182 × 107.
b) 174 × 105. d) 198 × 106.
3. (Espcex) Considere as funções reais f(x) = 3x, de 
domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9]. Os valores 
máximo e mínimo que o quociente 
f(x)
 _____ 
g(y)
 pode assumir 
são, respectivamente:
a) 2 __ 3 e 1 __ 2 . d) 3 __ 4 e 1 __ 3 .
b) 1 __ 3 e 1. e) 1 e 1 __ 3 .
c) 4 __ 3 e 3 __ 4 .
4. (ESPM) A função f(x) = ax + b é estritamente decres-
cente. Sabe-se que f(a) = 2b e f(b) = 2a. O valor de f(3) é:
a) 2. d) 0.
b) 4. e) –1.
c) –2.
5. (FGV) Como consequência da construção de futura 
estação de metrô, estima-se que uma casa que hoje 
vale R$ 280.000,00 tenha um crescimento linear com o 
tempo (isto é, o gráfico do valor do imóvel em função 
do tempo é uma reta), de modo que a estimativa de 
seu valor daqui a 3 anos seja de R$ 325. 000,00. Nes-
sas condições, o valor estimado dessa casa daqui a 4 
anos e 3 meses será de:
a) R$ 346.000,00. d) R$ 343.750,00.
b) R$ 345.250,00. e) R$ 343.000,00.
c) R$ 344.500,00.
E.O. dissErtAtivO
1. (UEMA) A fim de realizar o pagamento de uma festa 
de formatura, estabeleceu-se um valor de R$ 800,00 
para cada aluno formando e mais um valor adicional 
por cada convidado.
Considerando que um formando convidou 8 pessoas, 
tendo despendido o total deR$ 1.200,00, determine o 
valor pago por esse formando por cada convidado.
2. (UEL) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo 
de água é calculado pela companhia de saneamento, 
conforme mostra o quadro a seguir.
Quantidade de água
consumida (em m3)
Valor a ser pago pelo 
consumo de água 
(em reais)
Até 10 R$18,00
Mais do que 10
R$18,00 + (R$2,00 por m3
que excede 10 m3)
Na cidade B, outra companhia de saneamento determi-
na o valor a ser pago pelo consumo de água por meio 
da função cuja lei de formação é representada algebri-
camente por B(x) = { 17, se x ≤ 10 2,1x – 4, se x > 10 
 
 em que x repre-
senta a quantidade de água consumida (em m3) e B(x) 
representa o valor a ser pago (em reais).
a) Represente algebricamente a lei de formação da 
função que descreve o valor a ser pago pelo consumo 
de água na cidade A.
b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a 
ser pago será maior na cidade B do que na cidade A?
3. (UFMG) A fábula da lebre e da tartaruga, do escri-
tor grego Esopo, foi recontada utilizando se o gráfico 
abaixo para descrever os deslocamentos dos animais.
Suponha que na fábula a lebre e a tartaruga apostam 
uma corrida em uma pista de 200 metros de compri-
mento. As duas partem do mesmo local no mesmo in-
stante. A tartaruga anda sempre com velocidade con-
stante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme 
por certo tempo. Quando desperta, volta a correr com 
a mesma velocidade constante de antes, mas, quando 
completa o percurso,percebe que chegou 5 minutos 
depois da tartaruga.
Considerando essas informações:
a) determine a velocidade média da tartaruga duran-
te esse percurso, em metros por hora.
b) determine após quanto tempo da largada a tarta-
ruga alcançou a lebre.
c) determine por quanto tempo a lebre ficou dormindo.
4. (UFPR) Numa expedição arqueológica em busca de 
artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente 
encontraram um úmero, um dos ossos do braço huma-
no. Sabe-se que o comprimento desse osso permite cal-
cular a altura aproximada de uma pessoa por meio de 
uma função do primeiro grau.
a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o 
úmero do arqueólogo media 40 cm e sua altura era 1,90 m, 
e o úmero de seu assistente media 30 cm e sua altura era 
1,60 m.
b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico me-
dia 32 cm, qual era a altura aproximada do indivíduo 
que possuía esse osso?
5. Considere a função f: R é R, definida por 
f(x) = 2x – 1. Determine todos os valores de m [ R para 
os quais é válida a igualdade:
f(m2) – 2f(m) + f(2m) = m/2.
 26
6. (UFES) O preço de uma certa máquina nova é R$ 
10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada 
para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear 
com o tempo, ache a fórmula que dá o preço P(t) da 
máquina após t anos de funcionamento, 0 ≤ t ≤ 8, e es-
boce o gráfico da função P.
7. (UFJF) Uma construtora, para construir o novo pré-
dio da biblioteca de uma universidade, cobra um val-
or fixo para iniciar as obras e mais um valor, que au-
menta de acordo com o passar dos meses da obra. O 
gráfico abaixo descreve o custo da obra, em milhões 
de reais, em função do número de meses utilizados 
para a construção da obra.
a) Obtenha a lei y = f(x), para x > 0, que determina 
o gráfico.
b) Determine o valor inicial cobrado pela construtora 
para a construção do prédio da biblioteca.
c) Qual será o custo total da obra, sabendo que a 
construção demorou 10 meses para ser finalizada?
8. (Uel) ViajeBem é uma empresa de aluguel de veícu-
los de passeio que cobra uma tarifa diária de R$ 
160,00 mais R$ 1,50 por quilômetro percorrido, em 
carros de categoria A. AluCar é uma outra empresa 
que cobra uma tarifa diária de R$ 146,00 mais R$ 2,00 
por quilômetro percorrido, para a mesma categoria 
de carros.
a) Represente graficamente, em um mesmo plano car-
tesiano, as funções que determinam as tarifas diárias 
cobradas pelas duas empresas de carros da categoria 
A que percorrem, no máximo, 70 quilômetros.
b) Determine a quantidade de quilômetros percorri-
dos para a qual o valor cobrado é o mesmo. Justifique 
sua resposta apresentando os cálculos realizados. 
E.O. EnEm
1. (Enem) No Brasil há várias operadoras e planos de 
telefonia celular.
Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de 
planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está 
em função do tempo mensal das chamadas, conforme 
o gráfico.
Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por 
mês com telefone.
Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais van-
tajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto 
para essa pessoa?
a) A d) D
b) B e) E
c) C
2. (Enem) O saldo de contratações no mercado formal 
no setor varejista da região metropolitana de São Pau-
lo registrou alta. Comparando as contratações deste 
setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, 
houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 
880.605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. 
acesso em: 26 abr. 2010 (aDaptaDo).
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor 
varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses 
do ano. Considerando-se que y e x representam, respec-
tivamente, as quantidades de trabalhadores no setor 
varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, 
o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica 
que relaciona essas quantidades nesses meses é:
a) y = 4.300x.
b) y = 884.905x.
c) y = 872.005 + 4.300x.
d) y = 876.305 + 4.300x.
e) y = 880.605 + 4.300x.
3. (Enem) As frutas que antes se compravam por dúzi-
as, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, 
existindo também a variação dos preços de acordo 
com a época de produção. Considere que, indepen-
dente da época ou variação de preço, certa fruta custa 
R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que repre-
senta o preço m pago em reais pela compra de n quilo-
gramas desse produto é:
a) 
 27
b) 
c) 
d) 
e) 
4. (Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir uma 
rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi 
aberta uma licitação na qual concorreram duas empre-
sas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído 
(n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, en-
quanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km con-
struído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. 
As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qual-
idade dos serviços prestados, mas apenas uma delas 
poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, 
qual equação possibilitaria encontrar a extensão da ro-
dovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher 
qualquer uma das propostas apresentadas?
a) 100n + 350 = 120n + 150
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100(n + 350) = 120(n + 150)
d) 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000)
e) 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000)
5. (Enem) O gráfico mostra o número de favelas no mu-
nicípio do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, consideran-
do que a variação nesse número entre os anos consider-
ados é linear.
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se man-
tiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de 
favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 
2016 será:
a) menor que 1150.
b) 218 unidades maior que em 2004.
c) maior que 1150 e menor que 1200.
d) 177 unidades maior que em 2010.
e) maior que 1200.
6. (Enem) As curvas de oferta e de demanda de um pro-
duto representam, respectivamente, as quantidades 
que vendedores e consumidores estão dispostos a co-
mercializar em função do preço do produto. Em alguns 
casos, essas curvas podem ser representadas por retas. 
Suponha que as quantidades de oferta e de demanda 
de um produto sejam, respectivamente, representadas 
pelas equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
Em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de 
demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os 
economistas encontram o preço de equilíbrio de merca-
do, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de 
equilíbrio?
a) 5 d) 23
b) 11 e) 33
c) 13
7. (Enem) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e 
oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia 
peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 
2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. 
Os supermercados brasileiros se preparam para acabar 
com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a 
seguir, em que se considera a origem como o ano de 
2007.
De acordo com as informações, quantos bilhões de sac-
olas plásticas serão consumidos em 2011?
a) 4,0 d) 8,0
b) 6,5 e) 10,0
c) 7,0
 28
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) SABEDORIA EGÍPCIA
Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a 
sombra no chão provocada pela incidência dos raios 
solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de 
tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao 
meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, 
aumentava de tamanho. Depois de chegar a um com-
primento máximo, ela recuava até perto da vareta. As 
sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as 
mais curtas, com dias quentes.
(aDaptaDo De revista "galileu", janeiro De 2001.)
0 B
A
Sol
Início do
verão (sombra
mais curta)
Outono ou
primavera
Início do
inverno (sombra
mais longa)
Comprimento da
sombra ao meio-diaVa
re
ta
Um estudante fez uma experiência semelhante à de-
scrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros 
de comprimento. No início do inverno, mediu o compri-
mento da sombra OB, encontrando 8 metros.
Utilizou,para representar sua experiência, um sistema 
de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das orde-
nadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respec-
tivamente, os segmentos de reta que representavam a 
vareta e a sombra que ela determinava no chão.
Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte 
equação da reta que contém o segmento AB: 
a) y = 8 – 4x
b) x = 6 – 3y
c) x = 8 – 4y
d) y = 6 – 3x
2. (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença entre a 
quantidade de cálcio ingerida e a quantidade excreta-
da na urina e nas fezes. É usualmente positivo durante 
o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, 
quando pode ocorrer a osteoporose, uma doença car-
acterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo 
organismo.
A baixa concentração de íon cálcio (Ca++) no sangue 
estimula as glândulas paratireoides a produzirem 
hormônio paratireoideo (HP). Nesta situação, o hormô-
nio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, au-
mentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua ex-
creção pelos rins.
(aDaptaDo De alberts, b. et al., "urologia molecular 
Da célula." porto alegre: artes méDicas, 1997.)
Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da 
massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra o 
gráfico abaixo.
(aDaptaDo De "galileu", janeiro De 1999.)
Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 
90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos.
O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam 
aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos, é igual a: 
a) 14. c) 22.
b) 18. d) 26.
3. (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um super-
mercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 
pontos de uma mesma reta.
 
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na pro-
moção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: 
a) 4,50. c) 5,50.
b) 5,00. d) 6,00.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) O reservatório A perde água a uma taxa con-
stante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B 
ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. 
No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, 
em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, 
em função do tempo, em horas, representado no eixo x.
 
Determine o tempo x0, em horas, indicado no gráfico.
 29
2. (UERJ) Em um determinado dia, duas velas foram 
acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor, às 
16 horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham 
a mesma altura. Observe o gráfico que representa as 
alturas de cada uma das velas em função do tempo a 
partir do qual a vela A foi acesa.
 
Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas.
3. (UERJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a tem-
peratura do corpo e que, ao ser exalado, tem tempera-
tura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes 
do nariz. Através de medições realizadas em um labo-
ratório foi obtida a função: 
TA = 8,5 + 0,75 · TB , 12° ≤ TB ≤ 30°, 
em que TA e TB representam, respectivamente, a tem-
peratura do ar exalado e a do ambiente.
Calcule:
a) a temperatura do ambiente quando TA = 25 °C;
b) o maior valor que pode ser obtido para TA.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Em um experimento com sete palitos de fós-
foro idênticos, seis foram acesos nas mesmas condições 
e ao mesmo tempo. A chama de cada palito foi apagada 
depois de t segundos e, em seguida, anotou-se o com-
primento x, em centímetros, de madeira não chamusca-
da em cada palito. A figura a seguir indica os resultados 
do experimento.
Um modelo matemático consistente com todos os da-
dos obtidos no experimento permite prever que o tem-
po, necessário e suficiente, para chamuscar totalmente 
um palito de fósforo idêntico aos que foram usados no 
experimento é de 
a) 1 minuto e 2 segundos.
b) 1 minuto.
c) 1 minuto e 3 segundos.
d) 1 minuto e 1 segundo.
e) 1 minuto e 4 segundos.
2. (Unesp) A tabela indica o gasto de água, em m3 por 
minuto, de uma torneira (aberta), em função do quanto 
seu registro está aberto, em voltas, para duas posições 
do registro.
Abertura da torneira
(volta)
Gasto de água 
por minuto (m3)
 1 __ 
2
 0,02
1 0,03
(www.sabesp.com.br. aDaptaDo.)
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura 
é uma reta, e que o gasto de água, por minuto, quando 
a torneira está totalmente aberta, é de 0,034 m3. Por-
tanto, é correto afirmar que essa torneira estará total-
mente aberta quando houver um giro no seu registro 
de abertura de 1 volta completa e mais: 
a) 1 __ 2 de volta.
b) 1 __ 5 de volta.
c) 2 __ 5 de volta.
d) 3 __ 4 de volta.
e) 1 __ 4 de volta.
3. (Unicamp) O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em 
milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, 
nos anos de 2013 e 2014.
 
Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que 
a) A teve um crescimento maior do que C.
b) C teve um crescimento maior do que B.
c) B teve um crescimento igual a A.
d) C teve um crescimento menor do que B.
 30
4. (Unicamp) Em uma determinada região do planeta, 
a temperatura média anual subiu de 13,35 ºC em 1995 
para 13,8 ºC em 2010. Seguindo a tendência de aumen-
to linear observada entre 1995 e 2010, a temperatura 
média em 2012 deverá ser de:
a) 13,83 ºC. c) 13,92 ºC.
b) 13,86 ºC. d) 13,89 ºC.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) A função f está definida da seguinte maneira: 
para cada inteiro ímpar n, 
f(x) = { x – (n – 1), se n – 1 ≤ x ≤ n
 n + 1 – x, se n ≤ x ≤ n + 1 
 
 
a) Esboce o gráfico de f para 0 ≤ x ≤ 6. 
b) Encontre os valores de x, 0 ≤ x ≤ 6, tais que 
f(x) = 1 __ 5 .
2. (Unicamp) A numeração dos calçados obedece a pa-
drões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numer-
ação varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adul-
tos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em 
meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para 
mulheres.
a) Considere a tabela abaixo.
Numeração 
brasileira (t)
Comprimento 
do calçado (x)
35 23,8 cm
42 27,3 cm
Suponha que as grandezas estão relacionadas por 
funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasilei-
ra e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. En-
contre os valores dos parâmetros a e b da expressão 
que permite obter a numeração dos calçados brasile-
iros em termos do comprimento, ou os valores dos 
parâmetros c e d da expressão que fornece o compri-
mento em termos da numeração.
b) A numeração dos calçados femininos nos Estados 
Unidos pode ser estabelecida de maneira aproxima-
da pela função real f definida por f(x) = 5(x – 20)/3, 
em que x é o comprimento do calçado em cm. Sa-
bendo que a numeração dos calçados nk forma uma 
progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo 
n1 = 5, em que nk = f (ck), com k natural, calcule o 
comprimento c5. 
3. (Unicamp) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner 
quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto 
foi monitorado oficialmente e os valores obtidos es-
tão expressos de modo aproximado na tabela e no 
gráfico abaixo.
a) Supondo que a velocidade continuasse variando de 
acordo com os dados da tabela, encontre o valor da 
velocidade, em km/h, no 30º segundo.
Tempo (segundos) 0 1 2 3 4
Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140
b) Com base no gráfico, determine o valor aproxi-
mado da velocidade máxima atingida e o tempo, em 
segundos, em que Felix superou a velocidade do som. 
Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem 
1. C 2. D 3. C 4. E 5. B
6. B 7. C 8. A 9. D 10. B
E.O. Fixação
1. A 2. A 3. E 4. C 5. D
6. E 7. C 8. B 9. B 10. B
E.O. Complementar 
1. A 2. D 3. E 4. C 5. D
E.O. Dissertativo
1. R$ 50,00
2. 
a) { 18, para 0 < x ≤ 10
 2x - 2 se x > 10 
 
 
b) x > 20
3. 
a) 50 m/h
b) 1 hora
c) 3h45min
4. 
a) f(x) = 3x + 0,7
b) 1,66 metros
5. m = 0 ou m = 1 __ 
4
 
 31
6. P(t) = –1250t + 10000 (0 ≤ t ≤ 8)
t (anos)
10 000
0 8
(R$) P(t)
Observe o gráfico a seguir:
7. 
a) f(x) = (1/2)x + 2, com x ≥ 0.
b) De (a), temosque o valor inicial, cobrado pela con-
strutora para a construção do prédio da biblioteca, é 
igual a 2 milhões.
c) f(10) = 1/2 · 10 + 2 = 7 milhões de reais
8. 
a) 
 
b) 28 km.
E.O. Enem
1. C 2. C 3. E 4. A 5. C
6. B 7. E
E.O. UErJ 
Exame de Qualificação
1. C 2. D 3. A
E.O. UErJ 
ExAmE discursivo
1. x0 = 30 horas
2. As velas A e B tinham, respectivamente, 8 cm e 6 cm antes de 
serem acesas. 
3. 
a) TB = 22 °C
b) TA = 31 °C
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. B 3. B 4. B
E.O. dissertativas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 
 
 
b) S = { 1 ___ 5 ; 9 ___ 5 ; 11 ____ 5 ; 19 ____ 5 ; 21 ____ 5 ; 29 ____ 5 } . 
2. 
a) { a = 2 
b = –12,6
 
 
 ⇒ t(x) = 2x – 12,6.
b) c5 = 24,2 cm
3. 
a) V(30) = 1050 km/h
b) Velocidade máxima ≅ 1320 km/h.
 Tempo ≅ 37,5 s.
ARITMÉTICA
 34
E.O. AprEndizAgEm
1. Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região 
coberta pela caatinga, em quase 800 mil km² de área. 
Quando não chove, o homem do sertão e sua família 
precisam caminhar quilômetros em busca da água dos 
açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que 
mais interferem na vida do sertanejo.
Disponível em: http://www.wwf.org.br. 
Acesso em: 23 Abr. 2010.
Segundo este levantamento, a densidade demográfi-
ca da região coberta pela caatinga, em habitantes por 
km², é de:
a) 250. d) 0,25.
b) 25. e) 0,025.
c) 2,5.
2. (UTFPR) Em um exame de seleção concorreram 4800 
candidatos para 240 vagas. A razão entre o número de 
vagas e o número de candidatos foi de:
a) 1 _____ 2000 . d) 1 __ 2 .
b) 1 ____ 200 . e) 1.
c) 1 ___ 20 .
3. (Upf) Um quadrilátero áureo apresenta um valor es-
pecial para a razão entre as suas medidas da base (lado 
maior) e da altura (lado menor).
Os passos para a construção de um quadrilátero áureo 
são:
1. Construir um quadrado de lado "a"
 
2. Dividir esse quadrado em dois retângulos iguais.
 
3. Traçar a diagonal do segundo retângulo e, com o 
compasso, marcar o ponto sobre a horizontal.
4. Dessa forma, ficam definidas as medidas da base, 
——
 AR = a __ 2 +d, e da altura, 
——
 AB = a, desse retângulo.
Sendo assim, a razão entre a medida da base e da altura 
do quadrilátero áureo é: 
a) 1 + √
__
 5 
b) 1 + √
__
 2 
c) 1 + √
__
 2 _______ 2 
d) 1 + √
__
 5 ______ 2 
e) 
a(1 + √
__
 5 )
 _________ 2 
4. A Secretaria de Saúde de um município avalia um 
programa que disponibiliza, para cada aluno de uma 
escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada 
no trajeto de ida e volta entre sua casa e escola. Na 
fase de implantação do programa, o aluno que mora-
va mais distante da escola realizou sempre o mesmo 
trajeto, representado na figura, na escala 1:25000, por 
um período de cinco dias.
RAZÃO, PROPORÇÃO E 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
HABILIDADES:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 
16, 17 e 18
COMPETÊNCIAS: 3 e 4
AULAS 9 e 10
 35
Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de 
implantação do programa?
a) 4 d) 20
b) 8 e) 40
c) 16
5. (Cftrj 2017) Qual o número mínimo de passos idênti-
cos, de 3/4 de metro cada, suficientes para caminhar em 
linha reta por 13,5 m?
a) 13 c) 40,5
b) 18 d) 54
6. A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em 
forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente 
proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua al-
tura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância entre os suportes da viga, que coincide com o 
seu comprimento (x), conforme ilustra a figura a seguir. 
A constante de proporcionalidade k é chamada de re-
sistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de 
madeira é:
a) S = k · b · d2
 ________ 
x2 .
b) S = k · b · d ________ 
x2 .
c) S = k · b · d2
 _________ x . 
d) S = k ·b2 · d ________ x .
e) S = k · b · 2d _________ x .
7. Para se construir um contrapiso, é comum, na cons-
tituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, 
na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de 
areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso 
de uma garagem, uma construtora encomendou um 
caminhão betoneira com 14m3 de concreto.
Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concre-
to trazido pela betoneira?
a) 1,75
b) 2,00
c) 2,33
d) 4,00
e) 8,00
8. (CFTRJ) Carol pretende preparar um enorme bolo. Sua 
receita, entre outros ingredientes, leva 500 g de trigo, 
300 g de chocolate e 150 g de açúcar. Sabendo que Car-
ol usará 2,5 kg de trigo na receita, quanto deverá usar 
de chocolate e açúcar, respectivamente?
a) 1 kg e 400 g c) 1,5 kg e 800 g
b) 1,5 kg e 750 g d) 1,6 kg e 800 g
9. Um dos grandes problemas da poluição dos manan-
ciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de 
jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que 
estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso 
ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 
10 milhões (107) de litros de água potável.
mAnuAl De etiquetA. pArte integrAnte DAs revistAs vejA 
(eD. 2055), cláuDiA (eD. 555), nAtionAl geogrAphic 
(eD. 93) e novA escolA (eD. 208) (ADAptADo).
Suponha que todas as famílias de uma cidade descar-
tem os óleos de frituras através dos encanamentos e 
consumam 1000 litros de óleo em frituras por semana.
Qual seria, em litros, a quantidade de água potável con-
taminada por semana nessa cidade?
a) 102 d) 105
b) 103 e) 109
c) 104
10. Uma fábrica de calçados, localizada em Nova Serrana, 
emprega 16 operários, os quais produzem 120 pares de 
calçados em 8 horas de trabalho diárias. A fim de ampliar 
essa produção para 300 pares por dia, a empresa mudou 
a jornada de trabalho para 10 horas diárias. Nesse novo 
contexto, o número de operários será igual a:
a) 16. c) 32.
b) 24. d) 50.
E.O. FixAçãO
1. (ESPM) O consumo de combustível de um trator de 
arado, por tempo de trabalho, é de 18 litros por hora. 
Esse mesmo consumo, por área trabalhada, é de 15 li-
tros por hectare. Podemos estimar que, em 10 horas de 
trabalho, esse trator poderá arar cerca de:
a) 12 hectares. d) 6 hectares.
b) 15 hectares. e) 10 hectares.
c) 8 hectares.
2. (Epcar 2017) Certa máquina, funcionando normal-
mente 5 horas por dia, gasta 3 dias para produzir 
1.200 embalagens.
Atualmente está com esse tempo de funcionamento 
diário reduzido em 20% trabalhando, assim, apenas T 
horas por dia.
Para atender uma encomenda de 1.840 embalagens, 
aproveitando ao máximo em todos os dias o seu tempo 
T de funcionamento, ela gastará no último dia 
a) 120 minutos c) 180 minutos
b) 150 minutos d) 200 minutos
 36
3. A figura a seguir mostra as medidas reais de uma 
aeronave que será fabricada para utilização por com-
panhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa 
fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha 
de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação 
às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em 
centímetros, que essa folha deverá ter?
a) 2,9 cm × 3,4 cm
b) 3,9 cm × 4,4 cm
c) 20 cm × 25 cm
d) 21 cm × 26 cm
e) 192 cm × 242 cm
4. Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas 
e representou-as em uma mesma malha quadriculada, 
utilizando escalas diferentes, conforme indicações na 
figura a seguir.
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?
a) I d) IV
b) II e) V
c) III
5. (UTFPR) Paula, Flávia e Olga se uniram para comprar 
uma confecção. Paula entrou com R$ 36.000,00, Flávia 
com R$ 45.000,00 e Olga com R$ 63.000,00. Um ano 
após o início desta sociedade, constatou-se que a con-
fecção havia dado a elas um lucro de R$ 19.200,00. Di-
vidindo esse lucro proporcionalmente ao investimento 
inicial das sócias, quanto Paula, Flávia e Olga deverão 
receber, respectivamente?
a) R$ 4.800,00, R$ 6.000,00 e R$ 8.400,00.
b) R$ 3.400,00, R$ 6.500,00 e R$ 9.300,00.
c) R$ 5.200,00, R$ 6.400,00 e R$ 7.600,00.
d) R$ 4.200,00, R$ 6.800,00 e R$ 8.200,00.
e) R$ 5.400,00, R$ 6.850,00 e R$ 6.950,00.
6. (CFTSC) Um barco fez uma viagem em 12 dias,percor-
rendo 250 km por dia. Quantos dias seriam necessários 
para ele fazer a mesma viagem percorrendo 300 km 
por dia?
a) 9 dias. d) 14,4 dias.
b) 10 dias. e) 8,5 dias.
c) 15 dias.
7. (G1 – epcar (Cpcar)) O dono de uma loja de produtos sem-
inovos adquiriu, parceladamente, dois eletrodomésticos.
Após pagar 2/5 do valor dessa compra, quando ainda 
devia R$ 600,00 resolveu revendê-los.
Com a venda de um dos eletrodomésticos, ele conse-
guiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do 
outro eletrodoméstico representou um prejuízo de 10% 
sobre o custo. Com o valor total apurado na revenda, 
ele pôde liquidar seu débito existente e ainda lhe so-
brou a quantia de R$ 525,00 
A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais 
caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais bara-
to, nessa ordem, é equivalente a 
a) 5 c) 3
b) 4 d) 2
8. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos 
arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis 
para doar a uma comunidade carente da região.
Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias 
trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimen-
tos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos 
somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por 
dia nos dias seguintes até o término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido 
constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao 
final do prazo estipulado seria de:
a) 920 kg. b) 800 kg. c) 720 kg.
d) 600 kg. e) 570 kg.
E.O. COmplEmEntAr
1. Um pintor dispõe de 35 litros de tinta vermelha e de 
30 litros de tinta branca. Ele deseja misturar essas tintas 
na proporção de 5 litros de tinta vermelha para cada 3 li-
tros de tinta branca para obter um tom de tinta mais claro. 
Para obter o maior volume possível de tinta misturada, ele 
deverá utilizar toda a tinta disponível de uma das cores e 
sobrará uma certa quantidade de tinta da outra cor.
Quantos litros de tinta sobrarão sem serem misturados?
a) 5. b) 9. c) 12. d) 14. e) 17. 
2. (G1 – col. naval) Uma placa será confeccionada de 
modo que o emblema da empresa seja feito de um 
metal que custa R$ 5,00 o centímetro quadrado. O em-
blema consiste em três figuras planas semelhantes que 
lembram três árvores. Para as bases “árvores”, constro-
em-se segmentos de reta proporcionais a 3, 4 e 5. Se o 
custo da maior árvore do emblema ficou em R$ 800,00 
qual o valor, em reais de todo o emblema? 
a) 1600 b) 1500 c) 1200 d) 1120
e) 1020
 37
3. (UFSC) Assinale a alternativa que responde correta-
mente à pergunta a seguir.
Um criador de frangos tem ração para alimentar seus 42 
frangos durante 30 dias; no fim de 6 dias compra mais 
30 frangos. Quanto tempo durará a ração, se a quanti-
dade de ração diária de cada frango for constante?
a) 18 dias b) 16 dias c) 9 dias d) 14 dias
4. A relação da resistência elétrica com as dimensões 
do condutor foi estudada por um grupo de cientistas 
por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles 
verificaram que existe proporcionalidade entre:
• resistência (R) e comprimento (ℓ), dada a mesma 
seção transversal (A);
• resistência (R) e área da secção transversal (A), 
dado o mesmo comprimento
• comprimento (ℓ) e área da seção transversal (A), 
dada a mesma resistência (R). 
Considerando os resistores como fios, podese exempli-
ficar o estudo das grandezas que influem na resistência 
elétrica utilizando as figuras seguintes.
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes 
entre resistência (R) e comprimento (ℓ), resistência (R) e 
área da seção transversal (A), e entre comprimento (ℓ) e 
área da seção transversal (A) são, respectivamente:
a) direta, direta e direta.
b) direta, direta e inversa.
c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
5. (EPCAR) Uma empresa foi contratada para executar 
serviço de pintura no alojamento dos alunos do 1º ano 
da EPCAR. O prazo estabelecido no contrato para a con-
clusão do serviço foi de 10 dias.
O serviço começou a ser executado por uma equipe 
de 6 funcionários da empresa, cada um trabalhando 6 
horas por dia.
Ao final do 8º dia de serviço, somente 3 __ 5 do serviço de 
pintura havia sido executado.
Para terminar o serviço dentro do prazo, a equipe de 
serviço recebeu mais 2 funcionários, e todos passaram 
a trabalhar 9 horas por dia. Com isso, a produtividade 
da equipe duplicou. A nova equipe, para concluir o tra-
balho, gastou mais de 1 dia, porém menos de 2 dias.
Se h representa o número de horas que cada funcionário 
da nova equipe trabalhou no 10º dia de trabalho, então 
h é um número compreendido entre:
a) 0 e 2.
b) 2 e 4.
c) 4 e 6.
d) 6 e 8.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPR) A tela de uma TV está no formato widescreen, no 
qual a largura e a altura estão na proporção de 16 para 9. 
Sabendo que a diagonal dessa tela mede 37 polegadas, 
qual é sua largura e a sua altura, em centímetros? (Para 
simplificar os cálculos, use as aproximações dXXXX 337 ≈ 18,5 e 
1 polegada ≈ 2,5 cm.)
2. (Uema) Um comerciante comprou a prazo 10 (dez) 
conjuntos de mesas com cadeiras para alugar. O custo 
da compra foi de R$ 1.500,00. Para pagar esse débito, 
ele pretende alugá-los, todos os sábados e domingos, 
ao preço de R$ 5,00 ao dia, por conjunto. 
Nessas condições, em quantos finais de semana o 
comerciante quitará o débito? 
3. (UFRJ) O painel de um automóvel indica o consumo mé-
dio de combustível da seguinte forma: 12,5 L / 100 km.
Determine quantos quilômetros esse automóvel per-
corre, em média, com 1 litro desse combustível.
4. (FGV) Quando representamos um apartamento, uma 
casa ou a distância entre duas cidades em um mapa, 
as medidas são reduzidas de modo proporcional. As 
razões entre as distâncias em uma representação plana 
e as correspondentes medidas reais chamam-se escala. 
A Volta da França (Tour de France) é a volta ciclísti-
ca mais importante do mundo e tem o mesmo sig-
nificado, para os ciclistas, que a Copa do Mundo 
para os fãs do futebol. O Tour de France, com suas 
21 etapas de planícies e montanhas, percorreu países 
além da França, como, Espanha, Mônaco e Suíça. 
A 18º etapa, que ocorreu em 23/07/2009, não teve 
praticamente nenhuma escalada de montanha. Por isso, 
considere o percurso do início ao fim exatamente como 
uma linha reta.
A escala da representação plana é 1:400000, isto é, 1 
centímetro na representação plana corresponde a 400 000 
centímetros na distância real.
O ciclista que ganhou a etapa manteve uma velocidade 
média de 48 km/h. Se ele partiu às 10 horas da manhã, 
a que horas terminou a corrida?
 38
5. (UFRN) Ao planejar uma viagem à Argentina, um tur-
ista brasileiro verificou, pela Internet, que no Banco de 
La Nación Argentina, em Buenos Aires, 1 real equivalia 
a 2 pesos e 1 dólar a 4 pesos. Verificou também que nas 
casas de câmbio, no Brasil, 1 dólar equivalia a 1,8 reais.
Se o turista optar por pagar suas contas na Argentina com 
a moeda local, é melhor levar reais para comprar pesos ou 
comprar dólares no Brasil e levar para depois convertê-los 
em pesos em Buenos Aires? Justifique sua resposta.
6. (Fgv 2017) No fim de dezembro de 2013, quando 
surgiram os primeiros sinais da crise hídrica, o nível 
do Cantareira era de 27,5% do volume útil, sem contar 
com nenhuma cota do volume morto. (...)
Três índices de medição
O site da Sabesp informa três percentuais diferentes 
do nível do Cantareira. O primeiro índice [Índice 1], que 
hoje está em 29,3% corresponde ao volume armazena-
do de água em relação ao volume útil do sistema. 
Por determinação da Justiça, a companhia foi obrigada 
a fornecer outros dois índices. A taxa 2 [Índice 2], que 
está em 22,6% e é adotada pelo UOL, equivale à quan-
tidade de água existente em relação ao volume total 
do Cantareira, incluindo as duas cotas do volume morto 
que passaram a ser usadas. 
Já o índice 3 [Índice 3], que está em 0% representa o 
quanto de água tem, excluindo o volume morto, em 
comparaçãocom o volume útil do sistema.
ADAptADo De: http://noticiAs.uol.com.br/cotiDiAno/
ultimAs-noticiAs/2015/12/30/Apos-mAis-De-um-Ano-e-
meio-cAntAreirA-sAi-Do-volume-morto.htm?mobile 
A partir da leitura do texto acima, responda às se-
guintes questões.
a) Qual é o tamanho do volume útil do Cantareira, em 
porcentagem, em relação ao volume total desse sistema?
b) Se o Índice 1 passar de 29,3% para 35%, para 
quanto passará o Índice 2?
c) Suponha que o sistema Guarapiranga demore 1 hora 
para fornecer 60.000 metros cúbicos de água e que 
um outro sistema disponível para abastecer a região da 
Grande São Paulo demore 2 horas para fornecer essa 
mesma quantidade de água. Trabalhando juntos, quan-
to tempo (em minutos) esses dois sistemas demorarão 
para fornecer 60.000 metros cúbicos de água? 
7. (CFTCE) Doze fábricas, trabalhando 8 horas por dia, 
liberam 800 m3 de gases em 15 dias. Quantas fábricas, 
trabalhando 7 horas e 12 minutos por dia, durante 10 
dias, liberarão 600 m3 de gases?
8. (CFTCE) Três números, x, y e z, são inversamente propor-
cionais a 12, 20 e 15, nesta ordem. Se 3 x – 2 y + z = 39, 
calcule x + y + z.
9. (UFG) Um paciente deve receber, por via intravenosa, 
uma solução de soro glicosado durante um período T 
em horas. Sabendo-se que o volume de 1 mL correspon-
de a 20 gotas de soro:
a) Qual frequência em gotas por minuto deve ser ad-
ministrada para que um volume de 900 mL de soro 
seja aplicado durante 6 horas?
b) Obtenha uma expressão que dê o número de gotas 
a serem administradas, por minuto, em função do vol-
ume V de soro, em mL, e do tempo T, em horas.
E.O. EnEm
1. A Figura 1 representa uma gravura retangular com 8 
m de comprimento e 6 m de altura. 
Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular 
com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando 
livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2.
A reprodução da gravura deve ocupar o máximo pos-
sível da região disponível, mantendo-se as proporções 
da Figura 1.
prADo, A. c. superinteressAnte. eD. 301, fev. 2012 (ADAptADo).
A escala da gravura reproduzida na folha de papel é:
a) 1:3. d) 1:25.
b) 1:4. e) 1:32.
c) 1:20.
2. Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola 
sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em 
uma formação de base triangular, buscando derru-
bar o maior número de pinos. A razão entre o total 
de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e 
o número de jogadas determina seu desempenho. Em 
uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os 
seguintes resultados:
 39
Jogador I Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas.
Jogador II Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas.
Jogador III Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas.
Jogador IV Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas.
Jogador V Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas.
Qual desses jogadores apresentou melhor desempenho?
a) I. d) IV.
b) II. e) V.
c) III.
3. Um show especial de Natal teve 45.000 ingressos ven-
didos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol 
que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas 
eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, 
passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O públi-
co foi igualmente dividido pela quantidade de portões e 
catracas, indicados no ingresso para o show, para a efe-
tiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que 
compraram ingressos irão ao show e que todos passarão 
pelos portões e catracas eletrônicas indicados.
Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas 
catracas?
a) 1 hora.
b) 1 hora e 15 minutos.
c) 5 horas.
d) 6 horas.
e) 6 horas e 15 minutos.
4. A suspeita de que haveria uma relação causal entre 
tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela pri-
meira vez a partir de observações clínicas. Para testar 
essa possível associação, foram conduzidos inúmeros 
estudos epidemiológicos. Entre eles, houve o estudo 
do número de casos de câncer em relação ao número 
de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são 
mostrados no gráfico a seguir.
Casos de câncer pulmonar dado o número de
 cigarros consumidos diariamente
Ca
so
s 
de
 c
ân
ce
r 
pu
lm
on
ar
60
50
40
Número de cigarros consumidos diariamente
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS
Summer Course - 1992 (adaptado).
1 2 3 4 50
0
10
20
20
30
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25
De acordo com as informações do gráfico,
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas inversamente 
proporcionais.
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas que não se rel-
acionam.
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas diretamente pro-
porcionais.
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será 
diagnosticada com câncer de pulmão.
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas que estão rela-
cionadas, mas sem proporcionalidade.
5. Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais 
como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apre-
sentam escalas construídas a partir da relação entre 
superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas 
escalas, por exemplo, considera que ”o cubo da área S 
da superfície de um mamífero é proporcional ao qua-
drado de sua massa M“.
hughes-hAllett, D. et Al. cálculo e AplicAções. 
são pAulo: eDgArD blücher, 1999 (ADAptADo). 
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 
0, a área S pode ser escrita em função de M por meio 
da expressão:
a) S = k · M.
b) S = k · M1/3.
c) S = k1/3 · M1/3.
d) S = k1/3 · M2/3.
e) S = k1/3 · M2.
6. José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bi-
cicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram 
dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sen-
do que ao final da primeira parte eles redistribuiriam 
a quantidade de laranjas que cada um carregava de-
pendendo do cansaço de cada um. Na primeira parte 
do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na 
proporção 6:5:4, respectivamente. Na segunda parte do 
trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na pro-
porção 4:4:2, respectivamente.
Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no 
segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, 
Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda 
parte do trajeto?
a) 600, 550, 350
b) 300, 300, 150
c) 300, 250, 200
d) 200, 200, 100
e) 100, 100, 5
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ 2017) Um anel contém 15 gramas de ouro de 
16 quilates. Isso significa que o anel contém 10 g de 
ouro puro e 5 g de uma liga metálica. Sabe-se que o 
ouro é considerado de 18 quilates se há a proporção de 
3 g de ouro puro para 1 g de liga metálica.
Para transformar esse anel de ouro de 16 quilates em 
outro de 18 quilates, é preciso acrescentar a seguinte 
quantidade, em gramas, de ouro puro: 
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
 40
2. (UERJ) Na imagem da etiqueta, informa-se o valor a ser 
pago por 0,256 kg de peito de peru.
PEITO PERU
2 2 243 8
DATA : 27/03/14
DEPTO. :
R$/kg:
PESO : 0,256 kg
12,80VALIDADE : 31/03/14
000 10 04
TOTAL R$
O valor, em reais, de um quilograma desse produto é 
igual a:
a) 25,60.
b) 32,76.
c) 40,00.
d) 50,00.
3. (UERJ) Na figura a seguir, estão representados o 
triângulo retângulo ABC e os retângulos semelhantes I, 
II e III, de alturas h1, h2 e h3 respectivamente proporcio-
nais às bases 
——
 BC , 
——
 AC e 
——
 AB .
 
Se AC = 4 m e AB = 3m, a razão 
4h2 + 3h3 ___________ 
h1
 é igual a: 
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
4. (UERJ) Observe no gráfico o número de médicos ati-
vos registrados no Conselho Federal de Medicina (CFM) 
e o número de médicos atuantes no Sistema Único de 
Saúde (SUS), para cada mil habitantes, nas cinco regiões 
do Brasil.
O SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes.
Na região Norte, o valor de x é aproximadamente igual a: 
a) 660
b) 1000
c) 1334
d) 1515
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
Em um laboratório, duas torneiras enchem dois reci-
pientes,de mesmo volume V, com diferentes soluções 
aquosas. Observe os dados da tabela:
Recipiente Solução Tempo de enchimento (s)
R1 ácido clorídrico 40
R2 hidróxido de sódio 60
O gráfico abaixo mostra a variação do volume do con-
teúdo em cada recipiente em função do tempo.
 
5. (UERJ) Considere que as duas torneiras foram abertas 
no mesmo instante a fim de encher um outro recipiente 
de volume V. O gráfico que ilustra a variação do volume 
do conteúdo desse recipiente está apresentado em: 
a)
b)
c)
d)
 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Distância de frenagem é aquela percorrida por 
um carro do instante em que seu freio é acionado até o 
momento em que ele para. Essa distância é diretamente 
proporcional ao quadrado da velocidade que o carro está 
desenvolvendo no instante em que o freio é acionado.
 41
O gráfico abaixo indica a distância de frenagem d, em 
metros, percorrida por um carro, em função de sua ve-
locidade v, em quilômetros por hora.
 
Admita que o freio desse carro seja acionado quando 
ele alcançar a velocidade de 100 km/h.
Calcule sua distância de frenagem, em metros. 
2. (UERJ) Para preencher sua necessidade diária de 300 
g de carboidratos, um adulto ingere um tipo de alimen-
tação mista que consiste em batatas e soja.
Admita que 100 g de batata e 100 g de soja contêm, 
respectivamente, 19 g e 35 g de carboidratos, e que x e 
y representam as quantidades diárias, em gramas, que 
esse adulto irá consumir, respectivamente, de batatas e 
soja. Considerando a necessidade diária de carboidra-
tos desse adulto,
a) calcule a quantidade de soja, em gramas, que ele 
deverá ingerir num determinado dia em que tenha 
consumido 400 g de batata;
b) estabeleça uma equação que relacione as variáveis 
x e y. 
3. (UERJ) O VOO HIPERSÔNICO
Australianos testam protótipo de motor de avião cuja 
velocidade atinge 9.800 quilômetros por hora. (...) Caso 
venha a equipar um avião de passageiros, o motor, 
batizado como HyShot, pode reduzir o tempo de uma 
viagem entre São Paulo e Paris para pouco menos de 
uma hora. A velocidade do Concorde, o avião de pas-
sageiros mais rápido hoje, é de 2.200 km/h.
 (ADAptADo De vejA, 07/08/2002)
Considere que, utilizando o motor HyShot, em sua velo-
cidade máxima, um avião gaste exatamente 55 minutos 
para fazer a viagem de São Paulo a Paris.
Determine o tempo que será gasto por um Concorde 
para fazer essa mesma viagem, a uma velocidade de 
2.200 km/h. 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS DUAS QUESTÕES 
OS RICOS DA RECEITA
Entre os brasileiros, há 2745 com rendimento superior 
a meio milhão de reais por ano. Apenas um em cada 
60.000 brasileiros está nessa categoria.
Veja como eles se dividem 
Renda anual (em reais) 
Total de 
pessoas
Patrimônio 
médio (em 
reais)
Mais de 10 milhões 9 200 milhões
Entre 5 milhões 
e 10 milhões
27 31 milhões
Entre 1 milhão e 5 milhões 616 23 milhões
Entre meio 
milhão e 1 milhão
2093 6 milhões
fonte: receitA feDerAl - DADos referentes A 1998
(ADAptADo De vejA, 12/07/2000)
4. (UERJ) Suponha que cada uma das 9 pessoas com 
renda anual de mais de 10 milhões de reais ganhem, 
exatamente, 12 milhões de reais em um ano.
Com a quantia total recebida por essas 9 pessoas nesse 
ano, determine o número aproximado de trabalhadores 
que poderiam receber um salário mensal de R$ 151,00, 
também durante um ano. 
5. Com os dados apresentados no texto introdutório da 
tabela, calcule a população do Brasil considerada pela 
Receita Federal. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) A razão entre a idade de Pedro e a de seu 
pai é igual a 2 __ 9 . Se a soma das duas idades é igual a 55 
anos, então Pedro tem:
a) 12 anos.
b) 13 anos.
c) 10 anos.
d) 15 anos.
2. (Unicamp) A tabela abaixo informa alguns valores nu-
tricionais para a mesma quantidade de dois alimentos, 
A e B.
Alimento A B
Quantidade 20g 20g
Valor Energético 60 80kcal
Sódio 10mg 20 mg
Proteína 6g 1 g
Considere duas porções isocalóricas (de mesmo valor 
energético) dos alimentos A e B. A razão entre a quanti-
dade de proteína em A e a quantidade de proteína em 
B é igual a: 
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
 42
3. (Unesp) Os professores de matemática e educação 
física de uma escola organizaram um campeonato de 
damas entre os alunos. 
Pelas regras do campeonato, cada colocação admitia 
apenas um ocupante. Para premiar os três primeiros colo-
cados, a direção da escola comprou 310 chocolates, que 
foram divididos entre o 1º, 2º e 3º colocados no campe-
onato, em quantidades inversamente proporcionais aos 
números 2, 3 e 5, respectivamente. As quantidades de 
chocolates recebidas pelos alunos premiados, em ordem 
crescente de colocação no campeonato, foram:
a) 155, 93 e 62.
b) 155, 95 e 60.
c) 150, 100 e 60.
d) 150, 103 e 57.
e) 150, 105 e 55.
4. (Unesp) As medições da elevação do nível dos mares 
e oceanos feitas por mareógrafos ao longo da costa, no 
período de 1880 a 2000, mostram que o nível global 
destes subiu a uma taxa média de 1,7 cm por década. Já 
as medições realizadas por altímetros, radares a bordo 
de satélites de sensoriamento remoto, para o período 
de 1990 a 2000, indicam que o nível subiu a uma taxa 
média de 3,1 cm por década.
Admitindo que as condições climáticas que provocam 
esta elevação não se alterem nos próximos 50 anos, o 
nível global dos mares e oceanos deverá subir nesse 
período, em centímetros, entre
a) 8,5 e 15,5.
b) 6,5 e 13,5.
c) 7,5 e 10,5.
d) 5,5 e 10,5.
e) 5,5 e 15,5.
5. (Unicamp) Considere três modelos de televisores 
de tela plana, cujas dimensões aproximadas são for-
necidas na tabela a seguir, acompanhadas dos preços 
dos aparelhos.
Modelo Largura (cm) Altura (cm) Preço (R$)
23’’ 50 30 750,00
32’’ 70 40 1.400,00
40’’ 90 50 2.250,00
Com base na tabela, pode-se afirmar que o preço por 
unidade de área da tela
a) aumenta à medida que as dimensões dos apare-
lhos aumentam.
b) permanece constante do primeiro para o segundo 
modelo, e aumenta do segundo para o terceiro.
c) aumenta do primeiro para o segundo modelo, e 
permanece constante do segundo para o terceiro.
d) permanece constante.
6. (Fuvest) Um veículo viaja entre dois povoados da 
Serra da Mantiqueira, percorrendo a primeira terça par-
te do trajeto à velocidade média de 60 km/h, a terça 
parte seguinte a 40 km/h e o restante do percurso a 
20 km/h. O valor que melhor aproxima a velocidade 
média do veículo nessa viagem, em km/h é 
a) 32,5
b) 35
c) 37,5
d) 40
e) 42,5
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unifesp) Sabe-se que o comprimento C de um 
quadrúpede, medido da bacia ao ombro, e sua largu-
ra L, medida na direção vertical (espessura média do 
corpo), possuem limites para além dos quais o corpo 
do animal não se sustentaria de pé. Por meio da física 
médica, confrontada com dados reais de animais, é pos-
sível identificar que esses limites implicam a razão C:L2/3 
ser, no máximo, próxima de 7:1, com as medidas de C e 
L dadas em centímetros.
a) Qual é, aproximadamente, a largura L, em centímet-
ros, de um cachorro que tenha comprimento C igual a 
35 cm, para que ele possa se sustentar de pé na situ-
ação limite da razão C:L2/3? Adote nos cálculos finais 
 dXX 5 = 2,2, dando a resposta em número racional.
b) Um elefante da Índia, com L = 135 cm possui razão 
C:L2/3 igual a 5,8:1. Calcule o comprimento C desse 
quadrúpede, adotando nos cálculos finais 3 dXX 5 = 1,7 e 
dando a resposta em número racional.
2. (Unicamp) Um pequeno avião a jato gasta sete horas a 
menos do que um avião a hélice para ir de São Paulo até 
Boa Vista. O avião a jato voa a uma velocidade média de 
660 km/h, enquanto o avião a hélice voa em média a 275 
km/h. Qual é a distância entre São Paulo e Boa Vista?
3. (Unifesp) O carro modelo flex de Cláudia, que estava 
com o tanque vazio, foi totalmente abastecido com 20% 
de gasolina comum e 80% de etanol. Quando o tanque 
estava com o combustível em 40% de sua capacidade, 
Cláudia retornou ao posto para reabastecimento e 
completou o tanque apenas com gasolina comum.a) Após o reabastecimento, qual a porcentagem de 
gasolina comum no tanque?
b) No primeiro abastecimento, o preço do litro de gas-
olina comum no posto superava o de etanol em 50% 
 43
e, na ocasião do reabastecimento, apenas em 40%. 
Sabe-se que houve 10% de aumento no preço do 
litro de etanol, do primeiro para o segundo abasteci-
mento, o que fez com que o preço da gasolina comum 
superasse o do etanol em R$ 0,704 na ocasião do 
reabastecimento. Calcule o preço do litro de gasolina 
comum na ocasião do primeiro abastecimento. 
4. (Unifesp) Para testar a durabilidade de uma bateria 
elétrica foram construídos dois pequenos aparatos mó-
veis, A e B, que desenvolvem, respectivamente, as velo-
cidades constantes de 30 cm/s e 20 cm/s. Cada um dos 
aparatos é inicialmente posicionado em uma das duas 
extremidades de uma pista retilínea e horizontal de 9 m 
de comprimento, e correm em sentido contrário, um em 
direção ao outro, cada um em sua faixa. Ao chegarem à 
extremidade oposta, retornam ao início, num fluxo con-
tínuo de idas e vindas, programado para durar 1 hora e 
30 minutos. O tempo gasto pelos aparatos para virarem-
-se, em cada extremidade da pista, e iniciarem o retorno 
rumo à extremidade oposta, é desprezível e, portanto, 
desconsiderado para o desenvolvimento do experimento.
a) Depois de quantos segundos os aparatos A e B vão 
se encontrar, pela primeira vez, na mesma extremi-
dade da pista?
b) Determine quantas vezes, durante toda a experiên-
cia, os aparatos A e B se cruzam. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. C 3. D 4. E 5. B
6. A 7. B 8. B 9. E 10. C
E.O. Fixação
1. A 2. C 3. D 4. D 5. A 
6. B 7. C 8. A
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. D 4. C 5. B
E.O. Dissertativo
1. Portanto, (27)2 = L2 + H2 ⇒ ( 16 ___ 
9
 H ) 2 + H2 = 272 ⇒ H = 45cm 
e L = 80cm 
2. O comerciante apura, por final de semana, a quantia de 2 · 10 
· 5 = R$ 100,00. Logo, supondo que ele conseguirá alugar todos 
os conjuntos, em todos os finais de semana, tem-se que o débito 
será quitado em 1500 ____ 
100
 finais de semana. 
3. 100 _____ 12,5 = 8 km
4. 1 cm na representação corresponde a 400.000 cm na vida 
real, ou seja, 1 cm = 4 km. Como temos uma distância de 
10 cm na representação, teremos 40 km na vida real. Assim, 
40 km/48 km = 5/6 h = 50 minutos.
Portanto a corrida terminou às 10h50 minutos.
5. Sem perda de generalidade, suponhamos que o turista preten-
da gastar 1.000 pesos na Argentina. Assim, ele precisaria dispor 
de 1000 _____ 
2
 = 500 reais.
Por outro lado, como 1.000 pesos valem 1000 _____ 
4
 = 250 dólares na 
Argentina,ele desembolsaria 250 · 1,8 = 450 reais comprando 
dólares no Brasil.
Portanto, como 450 < 500, é melhor comprar dólares no Brasil e 
levar para depois convertê- los em pesos em Buenos Aires.
6. Considerando que:
Vu = volume útil
Vm = volume morto
xu = quantidade de água no volume útil
xm = quantidade de água no volume morto
a) De acordo com os índices citados no enunciado, 
podemos escrever o seguinte sistema:
 
xu + xm ________ 
Vu
 = 0,293
 
xu + xm _________ 
Vu + vm
 = 0,226
 
xu _______ 
Vu + Vm
 = 0 ⇒ Xu = 0
Do sistema acima podemos escrever que:
xm = vu · 0,293
xm = (vu + Vm) · 0,226
Igualando as equações, temos:
vu · 0,293 = (Vu + Vm) · 0,226
 
Vu _______ 
Vu + Vm
 = 0,226 ______ 
0,293
 
 
Vu _______ 
Vu + Vm
 = 77,13%
b) Considerando que o aumento ocorre apenas nas 
quantidades de água, já que os volumes são constan-
tes, podemos escrever que o índice 2 passará a ser:
 35% _____ 
29,3%
 · 22,6 % = 27%
c) A represa de Guarapiranga fornece em uma hora 
60.000 metros cúbicos de água.
A outra represa fornece 30.000 metros cúbicos por hora.
Portanto estas duas represas juntos fornecem 90.000 
metros cúbicos por hora.
Considerando que t é o tempo para que juntas 
forneçam 60.000 metros cúbicos, temos:
t = 60.000 _______ 
90.000
 = 2 __ 
3
 h = 40 minutos.
7. 15
 44
8. x + y + z = 36
9.
a) 50 gotas por minuto.
b) V/(3T) gotas por minuto.
E.O. Enem
1. D 2. D 3. B 4. E 5. D
6. B
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. B 2. D 3. A 4. D 5. C
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. Como d é diretamente proporcional ao quadrado de v 
e 100 = 2 ∙ 50, segue que a distância de frenagem para a 
velocidade de 100 km/h é igual ao quádruplo da distância de 
frenagem para a velocidade de 50 km/h ou seja, 4 ∙ 32 = 128m
2. 
a) 640 g de soja
b) 0,19 x + 0,35 y = 300 
3. 4 h 05 min ou 245 min 
4. 59.602 pessoas 
5. 164.700.000 habitantes 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. C 3. C 4. A 5. D
6. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Para C = 35cm, C : L3/2 = 7 : 1 e dXX 5 ≈ 2,2 
obtemos 35 ____ 
L2/3 = 7/1 ⇔ L = 53/2
⇔ L = 5 dXX 5 
⇔ L ≅ 11cm
b) Para L = 135cm, C : L2/3 e 3 dXX 5 ≅ 1,7, vem
 C ______ 
1352/3 = 5,8 ___ 1 ⇔ C = (33 · 5)2/3 · 5,8
⇔ C = 32 · ( 3 dXX 5 )2 · 5,8
⇔ C ≅ 9 · (1,7)2 · 5,8
⇔ C ≅ 150,9cm.
2. Jato 660km/h _____ x
Hélice 275km/h _____ x + 7
660 x = 275 x + 7 . 275
x = 1925 _____ 
385
 = 5
Resposta: A distância é de 3300km/h. 
3. 
a) V: Volume do tanque cheio
0,2V: quantidade de gasolina e 0,8V: quantidade de 
álcool 
0,4V: volume do tanque com 40%
0,4 · 0,2V = 0,08V (gasolina) e 0,4 · 0,8V = 0,32V 
(álcool)
Foram colocados 0,6V de gasolina comum, portanto 
a porcentagem de gasolina no tanque será 
0,08V + 0,6V = 0,68V, ou seja, 68%.
b) preço inicial da gasolina: x
preço inicial do álcool: y
preço atual da gasolina: w
preço atual do álcool: z
Temos então, o seguinte sistema:
x 1,5y (I)
z 1,4w (II)
z 1,1y (III)
w z 0,704 (IV)
=
 =
 =
 = +
Resolvendo um sistema com (II) e (IV), temos: z = 1,76.
Substituindo z = 1,76 em (III), temos: y = 1,6.
Substituindo y = 1,6 em (I), temos: x = 2,40. 
Portanto, o preço da gasolina comum na ocasião do 
primeiro abastecimento era R$2,40. 
4. 
a) O aparato A leva 900 ____ 
30
 = 30 segundos para percorrer a 
pista, enquanto que o aparato B leva 900 _____ 
20
 = 45 segun-
dos. Assim, apóssegundos haverá o primeiro encontro 
dos aparatos na mesma extremidade da pista. 
b) Considere o gráfico abaixo, que descreve a posição 
dos aparatos em função do tempo.
 
Os aparatos se encontram 5 vezes a cada 180 ____ 
60
 = 3 
min. Portanto, em 1 h 30 min = 90 minutos eles se 
encontram 
5· 90 ____ 
3
 = 150 vezes.
 45
E.O. AprEndizAgEm
1. (CFT-MG) O maior divisor primo dos números 222, 
333, 444 e 555 é: 
a) 11.
b) 17.
c) 37.
d) 111.
2. (Uespi) Qual o expoente da maior potência de 3 que 
divide 27030? 
a) 70.
b) 80.
c) 90.
d) 100.
e) 110.
3. (IFCE) O número de divisores do produto dos fatores 
é (20)8 · (200)3 é:
a) 112.
b) 135.
c) 160.
d) 350.
e) 390.
4. (UECE) Ao fatorarmos o número inteiro positivo n, ob-
temos a expressão n = 2x ∙ 5y, onde x e y são números 
inteiros positivos. Se n admite exatamente 12 diviso-
res positivos e é menor do que o número 199, então, a 
soma x + y é igual a: 
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
5. (UTF-PR) Três vendedores viajam a serviço para uma 
empresa. O primeiro viaja de 12 em 12 dias, o segundo 
de 16 em 16 dias e o terceiro de 20 em 20 dias. Se todos 
viajarem hoje, calcule daqui quantos dias eles voltarão 
a viajar no mesmo dia. 
a) 220 dias.
b) 120 dias.
c) 240 dias.
d) 250 dias.
e) 180 dias.
6. (Epcar (Cpcar)) Um agricultor fará uma plantação 
de feijão em canteiro retilíneo. Para isso, começou a 
marcar os locais onde plantaria as sementes. A figura 
abaixo indica os pontos já marcados pelo agricultor e 
as distâncias, em cm, entre eles.
Esse agricultor, depois, marcou outros pontos entre os 
já existentes, de modo que a distância d entre todos 
eles fosse a mesma e a maior possível.
Se x representa o número de vezes que a distância d foi 
obtida pelo agricultor, então x é um número divisível por: 
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
7. (Udesc) Mariarecebeu alta do hospital, mas deverá 
continuar o tratamento em casa por mais 30 dias com-
pletos. Para isso, ela deverá tomar o remédio A a cada 
4 horas, o B a cada 5 horas e o C a cada 6 horas. Em 
casa, Maria iniciou o tratamento tomando o remédio A, 
o B e o C no mesmo horário. Supondo que ela atenderá 
rigorosamente às recomendações médicas quanto ao 
horário da ingestão dos medicamentos, então o núme-
ro de vezes em que os três remédios foram ingeridos 
simultaneamente foi: 
a) 12 vezes.
b) 13 vezes.
c) 1 vez.
d) 6 vezes.
e) 7 vezes.
8. (ESPM) As moedas de 10 e 25 centavos de real tem, 
praticamente, a mesma espessura. 162 moe das de 10 
centavos e 90 moedas de 25 cen tavos serão empilha-
das de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do 
mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura. 
O menor número possível de pilhas é: 
a) 12.
b) 13.
c) 14.
d) 15.
e) 16.
9. (G1 – IFPE) Na Escola Pierre de Fermat, foi realiza-
da uma gincana com o objetivo de arrecadar alimentos 
para a montagem e doação de cestas básicas. Ao fim da 
gincana, foram arrecadados 144 pacotes de feijão, 96 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA 
ARITMÉTICA, M.M.C. E M.D.C.
HABILIDADES: 3, 4, 5 e 21
COMPETÊNCIAS: 1 e 5
AULAS 11 e 12
 46
pacotes de açúcar, 192 pacotes de arroz e 240 pacotes 
de fubá. Na montagem das cestas, a diretora exigiu que 
fosse montado o maior número de cestas possível, de 
forma que não sobrasse nenhum pacote de alimento e 
nenhum pacote fosse partido.
Seguindo a exigência da diretora, quantos pacotes de 
feijão teremos em cada cesta? 
a) 1. d) 4.
b) 2. e) 5.
c) 3.
10. (Cefet-MG) Nas afirmações abaixo, os números a, 
b e n são inteiros positivos. Analise-as, atribuindo (V) 
para as verdadeiras e (F) para as falsas.
( ) Se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por 
n, então a − b é múltiplo de n. 
( ) Se (a − b) é múltiplo de n, então a e b são múltiplos 
de n.
( ) Se (a · b) é múltiplo de n então a ou b é múltiplo 
de n. 
( ) Se d = MDC(a, b) e m = MMC(a, b), então m é múltiplo 
de d.
A sequência correta encontrada é: 
a) V, V, F, V.
b) V, F, F, V.
c) V, F, V, V.
d) V, F, F, F.
e) F, V, F, V.
E.O. FixAçãO
1. (Insper) O menor número inteiro e positivo que deve 
ser multiplicado por 2.012 para que o resultado obti-
do seja um cubo perfeito é: 
a) 8.048.
b) 253.009.
c) 506.018.
d) 1.012.036.
e) 4.048.144.
2. (PUC-MG) Os participantes de um cruzeiro, que nave-
gam em um navio com capacidade para 2.500 passage-
iros, podem ser divididos em grupos com 7, 11, 33 e 70 
pessoas, de modo que, em cada divisão, ninguém fique 
sem grupo. O número de participantes desse cruzeiro é: 
a) 2.160. c) 2.420.
b) 2.310. d) 2.500.
3. (UFTM) A sequência de inteiros maiores do que 1, 
dada por (x, 569, y, ...), é tal que cada termo, depois do 
primeiro, é um a menos do que o produto dos termos 
imediatamente anterior e sucessor. Em tais condições, a 
quantidade de números diferentes que x pode assumir 
é igual a:
a) 14. d) 44.
b) 24. e) 56.
c) 36.
4. (Epcar (Cpcar)) Se somarmos sete números inteiros 
pares positivos e consecutivos, obteremos 770.
O número de divisores naturais do maior dos sete 
números citados é: 
a) 6. c) 10.
b) 8. d) 12.
5. (ESPM) O número natural N = 474747 ........47X pos-
sui 47 algarismos e é múltiplo de 9. O valor do algaris-
mo X é: 
a) 4. d) 8.
b) 7. e) 5.
c) 3.
6. (UESC) X e Y trabalham todos os dias, tendo direito a 
uma folga semanal. De acordo com suas escalas de tra-
balho, sabe-se que, em determinada semana, X estará 
de folga na terça-feira e, após, cada seis dias, enquanto 
Y estará de folga na quarta-feira e, após, cada sete dias.
Contando-se os dias transcorridos a partir da segun-
da-feira da referida semana até o primeiro dia em que 
X e Y terão folga simultânea, obtém-se um número ig-
ual a: 
a) 40. d) 43.
b) 41. e) 44.
c) 42.
7. (IFSP) Certo dia, a sirene de uma fábrica e as badala-
das do sino de uma igreja tocaram juntos às 8 horas, às 
13 horas e às 18 horas. Sabendo-se que a igreja toca o 
sino de uma em uma hora e a sirene da fábrica toca a 
cada x minutos, então, o valor mínimo de x, maior que 
uma hora, é: 
a) 72. d) 96.
b) 75. e) 100.
c) 84.
8. (IFSP) Miro ganhou um prêmio em dinheiro que é 
superior a R$ 2.000,00 e inferior a R$ 2.500,00. Se ele 
contá-lo de 30 em 30 reais, ou de 40 em 40 reais, ou 
ainda de 50 em 50 reais, sempre sobrarão 25 reais. O 
valor do prêmio foi: 
a) R$ 2.185,00.
b) R$ 2.275,00.
c) R$ 2.305,00.
d) R$ 2.375,00.
e) R$ 2.425,00.
9. (CFT-CE) O produto de dois números positivos e con-
secutivos é 240. O triplo do Máximo Divisor Comum 
desses números é: 
a) 1. d) 240.
b) 30. e) 120.
c) 3.
10. (Epcar (Cpcar)) Em um prédio de 90 andares, numer-
ados de 1 a 90, sem contar o térreo, existem 4 elevador-
es que são programados para atender apenas determi-
nados andares.
 47
Assim, o elevador:
• O para nos andares múltiplos de 11;
• S para nos andares múltiplos de 7;
• C para nos andares múltiplos de 5;
• T para em todos os andares.
Todos estes elevadores partem do andar térreo e fun-
cionam perfeitamente de acordo com sua programação.
Analise as afirmativas abaixo, classificando cada uma 
em V (verdadeira) ou F (falsa).
( ) No último andar para apenas 1 elevador.
( ) Não há neste prédio um andar em que parem todos 
os elevadores, com exceção do próprio térreo.
( ) Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 
elevadores com exceção do próprio térreo.
Tem-se a sequência correta em: 
a) F – V – V
b) F – V – F
c) V – F – V
d) F – F – V
E.O. COmplEmEntAr
1. (IFCE) Se p e q são números primos, tais que p – q = 41, 
então o valor de p + q é 
a) 91. d) 45.
b) 79. e) 43.
c) 73.
2. (IFSP) Em uma empresa, 1 __ 7 dos funcionários são 
solteiros e 1 ___ 13 dos solteiros pretendem casar em 2011. 
Analisando esses dados podemos concluir que uma 
quantidade possível de funcionários é: 
a) 1 300.
b) 1 000.
c) 910.
d) 710.
e) 500.
3. (ESPM) Dividindo-se 218 ou 172 pelo natural n, ob-
tém-se resto 11. Dividindo-se n por 11 obtém-se resto 
igual a: 
a) 3.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 5.
4. (ESPM) Uma parede retangular pode ser totalmente 
revestida com ladrilhos retangulares de 30 cm por 40 
cm ou com ladrilhos quadrados de 50 cm de lado, intei-
ros, sem que haja espaço ou superposição entre eles. A 
menor área que essa parede pode ter é igual a: 
a) 4,5 m2. d) 4,0 m2.
b) 2,5 m2. e) 3,5 m2.
c) 3,0 m2.
5. (UPE) Três colegas caminhoneiros, Santos, Yuri e Bel-
miro, encontraram-se numa sexta-feira, 12 de agosto, 
em um restaurante de uma BR, durante o almoço. San-
tos disse que costuma almoçar nesse restaurante de 8 
em 8 dias, Yuri disse que almoça no restaurante de 12 
em 12 dias, e Belmiro, de 15 em 15 dias.
Com base nessas informações, analise as afirmativas 
seguintes:
I. Os três caminhoneiros voltarão a se encontrar nova-
mente no dia 13 de dezembro.
II. O dia da semana em que ocorrerá esse novo encontro 
é uma sexta-feira.
III. Santos e Yuri se encontrarão 4 vezes antes do novo 
encontro dos três colegas.
Está CORRETO o que se afirma, apenas, em: 
a) I d) I e II
b) II e) I e III
c) III
6. Um álbum de figurinhas possui 35 páginas, cada uma 
com 25 figurinhas, distribuídas em 5 linhas e 5 colunas. 
As figurinhas estão ordenadas e numeradas de 1 até 
875. Nesse álbum, são consideradas figurinhas espe-
ciais a 7ª, 14ª, 21ª, 28ª e assim sucessivamente. A figura 
ilustra a primeira página desse álbum.
 
Depois que o álbum for completado com todas as fig-
urinhas, a última página que se iniciará com uma fig-
urinha especial é a de número: 
a) 27. 
b) 28. 
c) 32. 
d) 33. 
e) 34. 
E.O. dissErtAtivO
1. Quantos divisores têm o número dado por 25 · 38 · 73? 
Deixe seus cálculos anotados na folha.
2. O número 24 · 3a · 53 tem 120 divisores. Qual é o valor 
de a? 
3. (UEG) Prove que todo número de quatro algarismos, 
alternadamente iguais, isto é, números da forma abab 
(por exemplo, o número 5353), são divisíveis por 101. 
 48
4. (CFT-CE) Mostre que a expressão 34n + 2 + 2· 43n + 1 é 
igual a um número múltiplo de 17 para n = 1. 
5. (FGV) Calcule o quociente entre o MMC e o MDC das 
expressões a seguir:
A: x3 – xy2 – x2y + y3
B: x2 – y2
C: x3 – y3 
6. (UFMG) Sobre uma pista circular de ciclismo existem 
6 pontos de observação igualmente espaçados, indica-
dos com as letras A, B, C, D, E e F. Dada a largada de 
uma corrida, dois ciclistas partem do ponto A e percor-
rem a pista no sentido da seta, como indicado na figura 
abaixo. Um deles completa uma volta a cada 5 minu-
tos, e o outro, mais lento, completa uma volta a cada 
8 minutos. As velocidades dos ciclistas são constantes.
Considerando essas informações:
a) Determine em qual dos pontos de observação os 
dois ciclistas irão se encontrar pela primeira vez de-
pois da largada.
b) Um cronômetro zerado é ligado no momento da 
largada e é desligado assim que os dois ciclistas se 
encontram pela segunda vez. Determine os minutos e 
segundos mostrados pelo cronômetro neste instante.
c) Determine em qual dos pontos de observação os 
dois ciclistas irão se encontrar pela oitava vez depois 
da largada. 
7. Dados os polinômios calcule um MDC e um MMC 
para cada item:
a) A = 12 m2n2p
 B = 16 m2np2
 C = 18 mn2p2
b) A = x2 + x
 B = x3 + x
 C = x4 + x 
8. Determine o MMC e o MDC dos polinômios:
a) a4 + a3 e a5 + a4
b) 3a + 6 e a3 – 2a2 + a – 2
c) a5 – 2a4 + a3 e a4 – a2
d) x2 – 4x + 4; x2 – 4 e x3 – 2x2
E.O. EnEm
1. (Enem) O gerente de um cinema fornece anualmente 
ingressos gratuitos para escolas. Este ano, serão dis-
tribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 
320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo 
filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receber-
em ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos 
ingressos:
1) cada escola deverá receber ingressos para uma única 
sessão;
2) todas as escolas contempladas deverão receber o 
mesmo número de ingressos;
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os in-
gressos serão distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas 
para obter ingressos, segundo os critérios estabeleci-
dos, é: 
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
2. (Enem) Um arquiteto está reformando uma casa. 
De modo a contribuir com o meio ambiente, decide 
reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele 
dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 
1080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pe-
diu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços 
de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo 
que as novas peças ficassem com o maior tamanho pos-
sível, mas de comprimento menor que 2m:
Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro de-
verá produzir: 
a) 105 peças.
b) 120 peças.
c) 210 peças.
d) 243 peças.
e) 420 peças.
3. (Enem) Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao 
modelo apresentado na Figura 1, deverá ser descarre-
gada no porto de uma cidade. Para isso, uma área retan-
gular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento 
desses contêineres (Figura 2).
 49
 
De acordo com as normas desse porto, os contêineres 
deverão ser empilhados de forma a não sobrarem es-
paços nem ultrapassarem a área delimitada. Após o 
empilhamento total da carga e atendendo a norma do 
porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de 
contêineres é: 
a) 12,5 m. 
b) 17,5 m. 
c) 25,0 m. 
d) 22,5 m. 
e) 32,5 m. 
4. (Enem) Durante a Segunda Guerra Mundial, para deci-
frarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de 
decomposição em fatores primos. Um número N é dado 
pela expressão 2x ∙ 5y ∙ 7z, na qual x, y e z são números 
inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 
e não é múltiplo de 7. 
O número de divisores de N, diferentes de N, é: 
a) x ∙ y ∙ z. 
b) (x + 1) ∙ (y + 1). 
c) x ∙ y ∙ z – 1. 
d) (x + 1) ∙ (y + 1) ∙ z. 
e) (x + 1) ∙ (y + 1) ∙ (z + 1) – 1. 
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) O número de fitas de vídeo que Marcela possui 
está compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 
12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta 
uma fita.
A soma dos três algarismos do número total de fitas 
que ela possui é igual a: 
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
2. (UERJ) O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múl-
tiplo de 4. O ano de 2012 foi o último bissexto. Porém, 
há casos especiais de anos que, apesar de múltiplos de 
4 não são bissextos: são aqueles que também são múl-
tiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 1900 
foi o último caso especial.
A soma dos algarismos do próximo ano que será um 
caso especial é: 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
3. (UERJ) Na tabela abaixo, estão indicadas três possibi-
lidades de arrumar n cadernos em pacotes:
Nº de 
pacotes
Nº de cadernos 
por pacotes
Nº de cadernos 
que sobram
X 12 11
Y 20 19
Z 18 17
Se n é menor do que 1200, a soma dos algarismos do 
maior valor de n é: 
a) 12.
b) 17.
c) 21.
d) 26.
4. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num de-
terminado instante. Um deles permanece 10 segundos 
fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro per-
manece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto.
O número mínimo de segundos necessários, a par-
tir daquele instante, para que os dois sinais voltem a 
fechar juntos outra vez é de: 
a) 150.
b) 160.
c) 190.
d) 200.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Campanha do governo de Dubai contra a obe-
sidade oferece prêmio em ouro por quilogramas per-
didos
A campanha funciona premiando os participantes de 
acordo com a seguinte tabela:
Massa perdida
(kg)
Ouro recebido
(g/kg perdido)
até 5 1
6 a 10 2
mais de 10 3
Assim, se uma pessoa perder 4 kg, receberá 4 g de ouro; 
se perder 7 kg, receberá 14 g; se perder 15 kg, receberá 
45 g.
ADAptADo De g1.globo.com, 18/08/2013.
 50
Considere um participante da campanha que receba 16 
g de ouro pelo número inteiro de quilogramas perdidos.
Sabendo que a massa dessa pessoa, ao receber o prê-
mio, é de 93,0 kg, determine o valor inteiro de sua mas-
sa, em quilogramas, no início da campanha. 
2. (UERJ) Um professor propõe a um aluno uma tarefa 
de matemática composta das etapas descritas a seguir.
1ª. Escrever o número de quatro algarismos da data de 
seu aniversário, dois referentes ao dia e dois referentes 
ao mês.
2ª. Misturar os quatro algarismos desse número for-
mando um número N, de modo que a ordem das uni-
dades de milhar não seja ocupada por zero.
3ª. Subtrair 1001 do número N, tantas vezes quantas 
forem necessárias, até obter o primeiro valor menor do 
que 1001.
4ª. Informar ao professor o valor obtido na 3ª etapa.
5ª. Calcular o resto R da divisão do número N, obtido na 
2ª etapa, por 11.
O professor consegue determinar o valor de R sem 
conhecer o valor de N. Sabendo que o valor obtido na 
3ª etapa foi 204, determine R.
3. (UERJ)Os anos do calendário chinês, um dos mais an-
tigos que a história registra, começam sempre em uma 
lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do calen-
dário gregoriano. Eles recebem nomes de animais, que 
se repetem em ciclos de doze anos.
A tabela a seguir apresenta o ciclo mais recente 
desse calendário.
Ano do calendário chinês
início no calendário gregoriano nome
31 - janeiro - 1995 porco
19 - fevereiro - 1996 rato
08 - fevereiro - 1997 boi
28 - janeiro - 1998 tigre
16 - fevereiro - 1999 coelho
05 - fevereiro - 2000 dragão
24 - janeiro - 2001 serpente
12 - fevereiro - 2002 cavalo
01 - fevereiro - 2003 cabra
22 - janeiro - 2004 macaco
09 - fevereiro - 2005 galo
29 - janeiro - 2006 cão
Admita que, pelo calendário gregoriano, uma deter-
minada cidade chinesa tenha sido fundada em 21 de 
junho de 1089 d.C., ano da serpente no calendário 
chinês. Desde então, a cada 15 anos, seus habitantes 
promovem uma grande festa de comemoração. Portan-
to, houve festa em 1104, 1119, 1134, e assim por diante.
Determine, no calendário gregoriano, o ano do século 
XXI em que a fundação dessa cidade será comemorada 
novamente no ano da serpente. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest 2017) Sejam a e b dois números inteiros pos-
itivos. Diz-se quea e b são equivalentes se a soma dos 
divisores positivos de "a" coincide com a soma dos di-
visores positivos de b. 
Constituem dois inteiros positivos equivalentes: 
a) 8 e 9. 
b) 9 e 11.
c) 10 e 12. 
d) 15 e 20.
e) 16 e 25. 
2. (Fuvest) Na cidade de São Paulo, as tarifas de trans-
porte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. 
A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus 
ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma viagem de in-
tegração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recar-
regar seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 
12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possí-
vel zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é:
a) R$ 0,85. 
b) R$ 1,15. 
c) R$ 1,45. 
d) R$ 2,50. 
e) R$ 2,80. 
3. (Fuvest) Sabendo que os anos bissextos são os múlti-
plos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-fei-
ra, o próximo ano a começar também em uma segun-
da-feira será: 
a) 2012.
b) 2014.
c) 2016.
d) 2018.
e) 2020. 
4. (Fuvest) Uma empresa de construção dispõe de 117 
blocos de tipo X e 145 blocos de tipo Y. Esses blocos têm 
as seguintes características: todos são cilindros retos, o 
bloco X tem 120 cm de altura e o bloco Y tem 150 cm 
de altura.
tipo X tipo Y
A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as 
seguintes condições: cada coluna deve ser construída 
sobrepondo blocos de um mesmo tipo e todas elas de-
vem ter a mesma altura. Com o material disponível, o 
número máximo de colunas que podem ser construídas 
é de: 
a) 55. d) 58.
b) 56. e) 59.
c) 57.
 51
5. (Unesp) Uma empresa de cerâmica utiliza três ti-
pos de caixas para embalar seus produtos, conforme 
mostram as figuras.
Essa empresa fornece seus produtos para grandes ci-
dades, que, por sua vez, proíbem o tráfego de caminhões 
de grande porte em suas áreas centrais. Para garantir a 
entrega nessas regiões, o proprietário da empresa de-
cidiu adquirir caminhões com caçambas menores.
A tabela apresenta as dimensões de cinco tipos de 
caçambas encontradas no mercado pelo proprietário.
tipo de 
caçamba
comprimento
(m)
largura
(m)
altura 
(m)
I 3,5 2,5 1,2
II 3,5 2,0 1,0
III 3,0 2,2 1,0
IV 3,0 2,0 1,5
V 3,0 2,0 1,0
Sabe-se que:
• A empresa transporta somente um tipo de caixa 
por entrega.
• A empresa deverá adquirir somente um tipo de ca-
çamba.
• A caçamba adquirida deverá transportar qualquer 
tipo de caixa.
• As caixas, ao serem acomodadas, deverão ter seus 
“comprimento, largura e altura” coincidindo com 
os mesmos sentidos dos “comprimento, largura e 
altura” da caçamba.
• Para cada entrega, o volume da caçamba deverá estar 
totalmente ocupado pelo tipo de caixa transportado.
Atendendo a essas condições, o proprietário optou pela 
compra de caminhões com caçamba do tipo: 
a) II.
b) IV.
c) III.
d) I.
e) V.
6. (Unicamp) Um investidor dispõe de R$ 200,00 por mês 
para adquirir o maior número possível de ações de cer-
ta empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era 
R$ 9,00. No segundo mês houve uma desvalorização 
e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com 
o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor re-
solveu vender o total de ações que possuía. Sabendo 
que só é permitida a negociação de um número inteiro 
de ações, podemos concluir que com a compra e venda 
de ações o investidor teve: 
a) lucro de R$ 6,00.
b) nem lucro nem prejuízo.
c) prejuízo de R$ 6,00.
d) lucro de R$ 6,50.
7. (Unifesp) O número de inteiros positivos que são divi-
sores do número N = 214 × 353, inclusive 1 e N, é: 
a) 84.
b) 86.
c) 140.
d) 160.
e) 162. 
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Considere o número inteiro 3600, cuja fa-
toração em primos é 3600 = 24 · 32 · 52. Os divisores 
inteiros e positivos de 3600 são os números da for-
ma 2x · 3y · 5n, com x [ {0, 1, 2, 3, 4}, y [ {0, 1, 2} e 
n [ {0, 1, 2}. Determine:
a) o número total de divisores inteiros e positivos de 
3600 e quantos desses divisores são também divi-
sores de 720.
b) quantos dos divisores inteiros e positivos de 3600 
são pares e quantos são quadrados perfeitos. 
2. (Unicamp) Uma sala retangular medindo 3 m por 
4,25 m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados 
iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos 
vizinhos, pergunta-se:
a) Qual deve ser a dimensão máxima, em centímetros, 
de cada um desses ladrilhos para que a sala possa ser 
ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho?
b) Quantos desses mesmos ladrilhos são necessários? 
3. (Unicamp) Sabe-se que o número natural D, quando 
dividido por 31, deixa resto r ∈ N e que o mesmo núme-
ro D, quando dividido por 17, deixa resto 2r.
a) Qual é o maior valor possível para o número nat-
ural r?
b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo 
quociente for igual a 7, calcule o valor numérico de D. 
4. (Unicamp) Sejam a e b dois números inteiros positi-
vos tais que mdc (a, b) = 5 e o mmc (a, b) = 105.
a) Qual é o valor de b se a = 35?
b) Encontre todos os valores possíveis para (a, b). 
 52
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. C 3. E 4. B 5. C
6. D 7. A 8. C 9. C 10. B
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. A 4. A 5. D
6. D 7. B 8. E 9. C 10. A
E.O. Complementar
1. D 2. C 3. C 4. C 5. C
6. E
E.O. Dissertativo
1. 216
2. 5
3. Queremos mostrar que abad/101,isto é,abab = 101 · k, onde 
k é um número inteiro não negativo.
De fato,
abab = 1000 · a + 100 · b + 10 · a + b
abab = 1010 · a + 101 · b
abab = 101 (10 · a + b)
Como a e b são inteiros não negativos,
k = 10 · a + b e abab = 101k.
4. 17
Substituindo n = 1, temos:
36 + 2 · 24
36 + 2 · 28
36 + 29
729 + 512 = 1241
1241 = 17 - 73, então 17 é multiplo.
5. (x + y) (x3 – y3)
6. 
a) Ponto E.
b) 26 minutos e 40 segundos.
c) Ponto C. 
7. 
a) MDC = 2 mnp
MMC = 24 . 32 . m2 . n2 . p2
b) MDC = x
MMC = x(x + 1) (x2 + 1) (x2 - x + 1)
8. 
a) MDC: a3(a + 1)
MMC: a4(a + 1)
b) MDC: 1
MMC: 3(a + 2) (a – 2) (a2 + 1)
c) MDC: a2(a – 1)
MMC: a3(a – 1)2 (a + 1)
d) MDC: x – 2
MMC: x2(x – 2)2 (x + 2)
E.O. Enem
1. C 2. E 3. A 4. E
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. B 2. A 3. B 4. D
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 101 Kg
2. R = 6
3. 2049 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. B 3. D 4. E 5. E
6. A 7. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 45; 30
b) 36; 12
2. 
a) 25 cm
b) 204 ladrilhos 
3. 
a) r = 8
b) D = 129 e r = 5 
4. 
a) b = 15
b) (5, 105), (15, 35), (35, 15) ou (105, 5) 
 53
E.O. AprEndizAgEm
1. (cftmg) Atualmente um trabalhador que recebe um 
salário bruto até determinado valor possui isenção so-
bre a tributação do Imposto de Renda Retido na Fonte 
(IRRF). Uma pessoa, que é isenta, pediu o maior aumen-
to possível ao seu chefe de forma que ainda deixe o seu 
salário bruto dentro dessa faixa de isenção. Suponha 
que o valor máximo para a isenção do IRRF seja de R$ 
1.900,00 e que essa pessoa pediu ao seu chefe um au-
mento de 12%. Caso o chefe conceda os 12% de au-
mento solicitado, essa pessoa receberá, em reais, um 
aumento de 
a) 203,57.
b) 228,00.
c) 252,43.
d) 276,00.
2. (IFSP) Numa pesquisa dos candidatos a prefeito de uma 
cidade, têm-se os candidatos Pedro Divino, Maria Bemvis-
ta e José Inocêncio. Com relação ao gráfico das intenções 
de votos, a seguir, se a cidade possui 50.000 eleitores, o 
número de votos do candidato mais cotado será:
a) 7.000.
b) 11.500.
c) 15.000.
d) 17.500.
e) 20.000.
3. (UEL) Uma das tentativas para minimizar os conges-
tionamentos de trânsito nas metrópoles é o rodízio de 
veículos. Na cidade de São Paulo, isso se faz de acordo 
com o final das placas. Na segunda-feira, não circulam 
os veículos com placas de final 1 e 2; na terçafeira, com 
finais 3 e 4; na quarta-feira, com finais 5 e 6; na quin-
ta-feira, com finais 7 e 8 e na sexta-feira, com finais 9 e 
0. Com esse tipo de rodízio, supondo uma distribuição 
uniforme de finais de placas, somente 80% da frota de 
veículos circulam diariamente. Considere outro rodízio 
de veículos como descrito na tabela a seguir.
Nova proposta de rodízio
Dia da semana
Finaisde placas que 
NÃO podem circular
segunda-feira 0, 1, 2, 3
terça-feira 2, 3, 4, 5
quarta-feira 4, 5, 6, 7
quinta-feira 6, 7, 8, 9
sexta-feira 8, 9, 0, 1
Supondo uma distribuição uniforme de finais de placas, 
a partir da configuração proposta nessa tabela, assinale 
a alternativa que apresenta, corretamente, o percentual 
da frota que circulará diariamente.
a) 40%. d) 65%.
b) 55%. e) 70%.
c) 60%.
4. (UECE) Em um empreendimento imobiliário, o centro 
comercial e o parque de estacionamento ocupam, re-
spectivamente, 42% e 53% da área do terreno. A área 
restante, que corresponde a 3.000 m2 é destinada a jar-
dins e vias de circulação. Nestas condições, a medida da 
área do terreno ocupada pelo centro comercial, em m2, é:
a) 24.800. c) 25.200.
b) 25.000. d) 25.400.
5. (UFSM) A safra nacional de grãos atingirá 192,3 milhões 
de toneladas neste ano, um crescimento de 2,2% em re-
lação a 2013, quando foi de, aproximadamente, 188,1 mi-
lhões de toneladas. As estimativas são do Instituto Brasi-
leiro de Geografia e Estatística (IBGE) e foram divulgadas 
na terça-feira, 10 de julho. O destaque na produção será 
a região Centro-Oeste responsável por 42% da produção 
nacional, seguida pela região Sul com 38% do total.
Disponível em:<http//www.AgenciAbrAsil.ebc.com.br/economiA/
noticiA/2014-06/ibge-sAfrA-serA-22-mAior-que-em 
2013-inDo-192-milhoes-De-tonelADAs>Acesso 
em: 10 set. 2014. (ADAptADo)
Qual será, aproximadamente, a quantidade, em milhões de 
toneladas, da produção da região Centro-Oeste em 2014?
a) 153,84.
b) 150,48.
c) 80,80.
d) 79,00.
e) 73,10.
HABILIDADES: 21, 23 e 25
COMPETÊNCIAS: 5 e 6
AULAS 13 e 14
PORCENTAGEM
 54
6. (ESPM) O gráfico abaixo mostra a variação da quan-
tidade de unidades vendidas por uma pequena fábrica 
de pranchas de surf, durante um ano.
 
De acordo com o gráfico, podemos concluir que o au-
mento nas vendas do 2º trimestre para o 3º trimestre 
foi de: 
a) 10%. 
b) 15%. 
c) 20%. 
d) 25%. 
e) 30%. 
7. (IFSC) Uma cooperativa de Santa Catarina recebe, por 
mês, certa quantidade de matéria-prima para produzir 
ração. A quantidade de ração produzida equivale a 20% 
do total da matéria-prima recebida. Sabendo-se que 1 
tonelada corresponde a 1.000 kg, qual a quantidade de 
matéria-prima, em kg, que será necessária para produ-
zir 150 toneladas de ração? 
a) 150.000 kg.
b) 750 kg.
c) 300 kg.
d) 300.000 kg.
e) 750.000 kg.
8. (UEG) Uma companhia tem 4 filiais distribuídas nos 
estados de Goiás, São Paulo, Bahia e Rio de Janeiro. O 
quadro a seguir apresenta a porcentagem de produção 
de cada filial em relação ao total da companhia e o lu-
cro da filial por peça produzida.
Baseando-se nessas informações, o lucro médio dessa 
companhia é
a) R$ 41,00
b) R$ 25,00
c) R$ 20,00
d) R$ 18,50
e) R$ 16,50
9. (CFTMG) Em 2018, o Brasil passou a integrar o Grupo 
5 da União Matemática Internacional (IMU) que reúne as 
nações mais desenvolvidas em pesquisa matemática no 
mundo. Um dos fatores para a aprovação do Brasil no 
grupo de elite mundial em Matemática é o crescimento 
de publicações científicas brasileiras por matemáticos.
Observe os gráficos que seguem.
A produção acadêmica em números
número De Artigos publicADos por mAtemáticos 
brAsileiros em publicAções internAcionAis
Analisando os gráficos apresentados, é correto afirmar que
a) em 2015, houve mais de 90.000 publicações cien-
tíficas no mundo por matemáticos.
b) o número de artigos internacionais produzidos por 
matemáticos brasileiros, entre 1995 e 2015, dobrou 
a cada década.
c) supondo que 450 artigos foram publicados por ma-
temáticos brasileiros internacionalmente, em 1995, a 
produção mundial, nesse ano, foi de, aproximada-
mente, 4.500 artigos.
d) considerando o período entre 2000 e 2015, houve 
aumento do número de artigos publicados por ma-
temáticos brasileiros em publicações internacionais, 
porém houve queda na porcentagem desses artigos 
no total mundial de publicações.
10. (UNESP)Em um dia de aula, faltaram 3 alunas e 2 
alunos porque os cinco estavam gripados. Dos alunos 
e alunas que foram à aula, 2 meninos e 1 menina tam-
bém estavam gripados. Dentre os meninos presentes à 
aula, a porcentagem dos que estavam gripados era 8% 
e, dentre as meninas, a porcentagem das que estavam 
gripadas era 5%. Nos dias em que a turma está comple-
ta, a porcentagem de meninos nessa turma é de
a) 52%. d) 56%.
b) 50%. e) 46%.
c) 54%.
E.O. FixAçãO
1. (Cefet-MG) Para um evento com a duração de 
3h40min foram tocados, sem repetição, dois gêneros 
musicais: clássico e popular (MPB). A duração de cada 
música clássica foi de 5min e a de MPB, 4min. Saben-
do-se que 40% das músicas selecionadas são clássicas, 
então o total de músicas populares tocado foi de:
a) 20. d) 30.
b) 23. e) 33.
c) 26.
 55
2. Considere os dados aproximados, obtidos em 2010, 
do Censo realizado pelo IBGE.
Idade (anos) Nº de pessoas
De 0 a 17 56 300 000
De 18 a 24 23 900 000
De 25 a 59 90 000 000
60 ou mais 20 600 000
Total 190 800 000
A partir das informações, é correto afirmar que o núme-
ro aproximado de mulheres com 18 anos ou mais, em 
milhões, era:
a) 70. d) 59.
b) 52. e) 65.
c) 55.
3. (Acafe) Sobre porcentagens, considere as seguintes 
afirmações:
l. A razão entre o número de meninos e meninas de uma 
sala de aula é de 5 __ 3 . O percentual de meninas na classe 
é de 37,5%.
II. Uma pessoa gastou 40% do que tinha e ainda ficou 
com R$ 570,00. Então, essa pessoa gastou R$ 380,00.
III. Numa fábrica de tintas, certa quantidade de água 
deve ser misturada com 840 litros de tinta corante, de 
modo que a mistura tenha 25% de água. Portanto, essa 
mistura tem 280 litros de água.
IV. Um colégio particular informa aos pais que a mensali-
dade paga até a data do vencimento tem um desconto de 
8%, e a mensalidade paga com atraso tem um acréscimo 
de 8%. Se um pai paga a primeira mensalidade no ven-
cimento e a segunda com atraso, o segundo pagamento 
teve, em relação ao primeiro, um acréscimo de 16%.
Todas as afirmações corretas estão em:
a) II – III – IV. c) I – IV.
b) II – III. d) I – II – III.
4. (Uemg) Uma bebida A é comercializada em garrafas 
de 600 ml pelo preço de R$ 250,00 a garrafa, enquanto 
uma bebida B é vendida em garrafas de 1 L, custando 
R$ 200,00 a garrafa. Dessa forma, comparando os preços 
por litro dessas duas bebidas, é correto afirmar que 
a) a bebida A é 25% mais cara do que a bebida B.
b) a bebida B é 20% mais barata do que a bebida A.
c) a bebida B é 40% mais barata do que a bebida A.
d) a bebida B é 52% mais barata do que a bebida A.
5. (FGV) Em uma prova de matemática de 10 questões, 
cada questão vale zero ou um ponto, não havendo pon-
tuações intermediárias. Concede-se conceito C para os 
alunos que fizerem de 5 a 6 pontos, conceito B para os 
que fizerem de 7 a 8 pontos, e A para os que fizerem 
de 9 a 10 pontos. Alunos que fizerem menos do que 5 
pontos recebem conceito insatisfatório. A respeito do 
desempenho dos alunos de uma classe nessa prova, 
sabe-se que nenhum deles recebeu conceito insatisfa-
tório, 20% receberam conceito A, 36 alunos não recebe-
ram conceito A e x% dos alunos receberam conceito C, 
sendo x um número inteiro positivo.
Apenas com os dados informados, é possível concluir 
que a pontuação dos alunos que tiraram conceito A ou 
conceito B nessa prova pode ter sido, no máximo, igual a 
a) 162. d) 290.
b) 226. e) 306.
c) 234. 
6. (IFSUL) Visando economizar energia elétrica, uma 
pessoa substituiu lâmpadas fluorescentes de 25 W por 
lâmpadas LED de 16 W. 
Em termos percentuais, a economia de energia elétrica, 
em cada troca de lâmpada, será de 
a) 25% c) 36%
b) 32% d) 41%
7. (IFSC) Quando servimos chopp em copos de 330 
mL, em média temos 300 mL de chopp e o restante de 
espuma (colarinho) que serve para evitar a oxidação 
da bebida. 
Se o índice alcoólico do chopp servido em uma festa 
for de 5%, e um indivíduo consumir 3 copos da bebida, 
considerando-se a capacidade total de cada copo igual 
a 330 mL, é CORRETO afirmar que o total deálcool in-
gerido pela pessoa será 
a) 4,5 mL.
b) mais de 15 mL.
c) menos de 4 mL.
d) 15 mL.
e) 10,5 mL.
8. (ESPM) No início de 2016, 90% da população econo-
micamente ativa de uma cidade estava em - pregada. 
Ao fim do primeiro semestre desse ano, 30% dos em-
pregados deixaram seus empregos e 10% dos que esta-
vam desem - pregados conseguiram emprego. Durante 
o segundo semestre desse ano, 20% dos trabalhadores 
foram demitidos ou pediram demissão, enquanto 50% 
dos desempregados foram admitidos no mercado de tra-
balho. Podemos concluir que, no fim de 2016, a porcen-
tagem de desempregados dessa cidade era próxima de
a) 27% d) 47%
b) 42% e) 35%
c) 31%
9. (UNESP)Os estudantes 1, 2 e 3 concorreram a um 
mesmo cargo da diretoria do grêmio de uma faculdade 
da UNESP, sendo que 1 obteve 6,25% do total de votos 
que os três receberam para esse cargo. Na figura, a área 
 56
de cada um dos três retângulos representa a porcenta-
gem de votos obtidos pelo candidato correspondente. 
Juntos, os retângulos compõem um quadrado, cuja área 
representa o total dos votos recebidos pelos três can-
didatos.
a) 61,75%. d) 62,00%.
b) 62,75%. e) 62,25%.
c) 62,50%. 
10. (INSPER) Observe os gráficos.
Utilizando apenas a análise dos dados expressos nos 
gráficos, é possível concluir corretamente que
a) a África do Sul foi o país que teve a maior redução na 
porcentagem de fumantes diários de 1980 para 2015.
b) em 2015 o Brasil tinha mais fumantes diários do 
que os EUA.
c) no Brasil houve uma redução maior no percentual de 
homens fumantes do que no de mulheres fumantes de 
1980 para2015.
d) o país com maior número de fumantes em 1980 era 
a Dinamarca e, em 2015, passou a ser a Croácia.
e) o Japão sempre teve mais fumantes do que o Brasil 
no período de 1980 a 2015.
E.O. COmplEmEntAr
1. (ESPM) Apenas dois candidatos se apresentaram para 
a eleição ao cargo de prefeito de uma pequena cidade 
do interior. O candidato A recebeu 60% dos votos, sen-
do 70% de mulheres. O candidato B recebeu 35% dos 
votos, sendo 60% de homens. Sabendo-se que 620 pes-
soas votaram em branco ou anularam o voto, podemos 
avaliar que o número de mulheres que votaram em A 
ou em B foi:
a) 7.816. d) 7.228.
b) 6.338. e) 6.944.
c) 8.116.
2. (FGV) Um mercado vende três marcas de tomate en-
latado, as marcas A, B e C. Cada lata da marca A custa 
50% mais do que a da marca B e contém 10% menos 
gramas do que a da marca C. Cada lata da marca C con-
tém 50% mais gramas do que a da marca B e custa 25% 
mais do que a da marca A. Se o rendimento do produto 
das três marcas é o mesmo por grama, então, é mais 
econômico para o consumidor comprar a marca:
a) A.
b) B.
c) C.
d) A ou B, indistintamente.
e) B ou C, indistintamente.
3. (Epcar (Cpcar)) Analise as afirmativas abaixo.
I. Uma pessoa perdeu 30% de seu peso em um mês. No 
mês seguinte, aumentou seu peso em 40%. Ao final dess-
es dois meses, o peso inicial dessa pessoa diminuiu 2%. 
II. Quando num supermercado tem-se a promoção “pa-
gue 3 produtos e leve 4", o desconto concedido é de 30%. 
III. Há alguns meses, uma certa casa podia ser comprada 
por 25% do seu valor atual. O aumento no valor da casa 
nesse período foi de 75%. 
Entre as afirmativas acima, é(são) FALSA(S) 
a) apenas a II.
b) apenas I e III.
c) apenas II e III.
d) I, II e III.
4. (Ufpa) O coração bombeia aproximadamente 70 cm3 
de sangue por batida e em média bate 65 vezes por 
minuto. Uma pessoa de 70 kg tem aproximadamente 
5,5 litros de sangue, e uma perda de 40% desta quanti-
dade leva à morte por choque. Considere uma situação 
na qual, em um acidente, uma pessoa tenha uma artéria 
 57
parcialmente cortada, por onde vai perder 25% do 
sangue bombeado. Sem socorro apropriado, o intervalo 
de tempo em que a pessoa perderá 40% de seu sangue, 
aproximadamente, será de:
a) 01 min 56 seg.
b) 02 min 05 seg.
c) 03 min 10 seg.
d) 04 min 20 seg.
e) 12 min 20 seg.
5. (UEG) Um empresário determinou que o orçamento 
de sua empresa fosse dividido em setores, sendo 30% 
para o setor de produção, 50% para o setor de publici-
dade e o restante para os outros setores. No setor de 
produção ele determinou que se use 1 __ 8 para os custos, 1 __ 2 
para o pagamento de funcionários e o restante para a 
manutenção das máquinas. Sabendo-se que o orçamen-
to da empresa é de R$ 1.200.000,00 o valor do orça-
mento destinado à manutenção das máquinas é de 
a) R$ 90.000,00
b) R$ 135.000,00
c) R$ 150.000,00
d) R$ 360.000,00
e) R$ 450.000,00
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
 
6. (PUC-MG) Extraído de uma reportagem sobre os im-
pactos do sistema de cotas no país, esse gráfico ilustra 
a distribuição de jovens brancos, negros e pardos em 
quatro níveis de ensino. As informações representadas 
permitem observar que, na faixa etária pesquisada, 
a) a quantidade de brancos no ensino fundamental é 
menor que a de negros e pardos.
b) mais da metade dos estudantes brasileiros no ensi-
no fundamental são considerados pardos.
c) apenas um terço de negros que concluem o ensino 
fundamental consegue ingressar no ensino superior.
d) o número de negros em programas de alfabetização de 
jovens e adultos é quase o dobro do número de brancos.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFG) Segundo a reportagem “Gastos de turistas 
da Europa e EUA no Brasil é mais do que o dobro dos 
sul-americanos”, publicada no jornal O Estado de S. Paulo, 
5,67 milhões de turistas visitaram o Brasil em 2012. O 
gasto médio dos estrangeiros do turismo de negócios 
foi de US$ 1.599,00, sendo que eles representaram 
25,3% do total, enquanto o valor médio gasto pelos 
turistas de viagens a lazer foi de US$ 877,00, repre-
sentando 46,8% do total.
Considerando as informações apresentadas, calcule a 
diferença entre o valor gasto pelos turistas de viagens 
a lazer e pelos turistas de negócios no Brasil, no ano 
de 2012.
2. (UFMG) Iraci possui vários litros de uma solução de 
álcool hidratado a 91%, isto é, formada por 91 partes 
de álcool puro e 9 partes de água pura. Com base nes-
sas informações, e desconsiderando a contração de vo-
lume da mistura de álcool e água:
a) determine quanto de água é preciso adicionar a 
um litro da solução, para que a mistura resultante 
constitua uma solução de álcool hidratado a 70%.
b) determine quanto da solução de Iraci e quanto de 
água pura devem ser misturadas, para se obter um 
litro de solução de álcool hidratado a 70%.
3. (UFMG) No início de cada ano escolar, a Livraria Futu-
ra compra e vende livros didáticos usados. Para tanto, 
cada livro usado é comprado por 1 ___ 4 do valor de capa 
do mesmo livro novo e vendido por 1 ___ 3 do valor do livro 
novo.
a) Determine o lucro obtido pela Livraria Futura nesse 
processo de compra e venda de um livro usado de 
Matemática do 6º ano, que, novo, custa R$ 90,00.
b) Considerando esse processo de compra e venda de 
um livro usado qualquer, determine o lucro percentual, 
referente ao preço do mesmo livro, novo, obtido pela 
livraria Futura.
c) Se quiser passar a lucrar 10% do valor de um 
livro novo, então, a Livraria Futura deve substituir a 
fração 1 __ 4 por um número a. Determine o valor de a.
4. (FGV) Para o consumidor individual, a editora fez esta 
promoção na compra de certo livro: “Compre o livro 
com 12% de desconto e economize R$ 10,80 em rela-
ção ao preço original”. Qual é o preço original do livro?
5. (UFG) Em um determinado ano, a partir do mês de fe-
vereiro, houve uma redução de 18% no preço da energia 
elétrica e um aumento de 6% no preço da gasolina. No 
mês de fevereiro, uma família consumiu as mesmas quan-
tidades de energia elétrica e gasolina que em janeiro, e, 
coincidentemente, o valor total, em dinheiro, gasto com 
estes dois itens também se manteve o mesmo. Nesse sen-
tido, determine a razão entre os valores gastos, por esta 
família, com energia elétrica e gasolina no mês de janeiro.
6. (Cftrj) O município de Cefetópolis teve no segundo 
turno da última eleição para prefeito grande número de 
abstenções, 40%. Isso significa que dos eleitores aptosa votar, 40% não compareceram às urnas.
 58
Considerando os eleitores que compareceram para vo-
tar tivemos a seguinte distribuição: 
• Candidato A: 30% dos votos.
• Candidato B: 45% dos votos.
• Votos nulos ou brancos: 25% dos votos.
O TRE divulga os resultados a partir dos votos válidos, 
dos quais NÃO são computados os votos nulos ou bran-
cos. Nesse caso de segundo turno, por exemplo, foram 
computados como válidos apenas os votos recebidos 
pelos candidatos A e B. 
a) Qual o percentual de votos válidos recebidos polo 
candidato A? 
b) Considerando o total de eleitores aptos a votar, qual 
o percentual de votos recebidos pelo candidato eleito? 
7. (Ufpr) Em uma pesquisa de intenção de voto com 
1075 eleitores, foi constatado que 344 pretendem votar 
no candidato A e 731 no candidato B. 
a) Qual é a porcentagem de pessoas entrevistadas que 
pretendem votar no candidato A? 
b) Sabendo que esse mesmo grupo de 1075 entrevis-
tados é composto por 571 mulheres e 504 homens, e 
que 25% dos homens pretendem votar no candidato 
A, quantas mulheres pretendem votar no candidato B? 
8. (UFG) Leia o fragmento a seguir.
Quanto custa a felicidade
Uma pesquisa feita nos Estados Unidos pelo Instituto 
Gallup, determinou que a renda recebida pelas pessoas 
torna a vida delas mais satisfatória. Neste estudo cons-
tatou-se que uma renda anual de 75.000 dólares seria o 
salário que oferecia as condições para se alcançar a fe-
licidade, isto é, seria o “preço da felicidade”. Os dados 
da pesquisa indicaram que pessoas com renda superior 
a esse nível não eram mais felizes do que aqueles com 
renda compatível com a média indicada no estudo. Em 
contrapartida, indivíduos com renda abaixo dos 75.000 
dólares se consideravam pessoas infelizes.
revistA plAnetA, eDição 463. (ADAptADo)
Considerando o contexto do texto apresentado, perce-
be-se que a realidade brasileira é bem distinta deste 
panorama, pois o rendimento médio mensal do tra-
balhador brasileiro é de R$ 1.908,00. Levando em con-
sideração essas informações, determine a diferença 
entre as rendas anuais em reais recebidas por um tra-
balhador que recebe o “salário da felicidade” e outro 
que recebe um salário equivalente ao rendimento mé-
dio do trabalhador brasileiro e a porcentagem que esta 
diferença representa em relação à renda anual recebida 
pelo trabalhador brasileiro.
Dado: 1 dólar = R$ 2,35. 
E.O. EnEm
1. (Enem) De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente:
• 25% são para tomar banho, lavar as mãos e esco-
var os dentes.
• 33% são utilizados em descarga de banheiro.
• 27% são para cozinhar e beber.
• 15% são para demais atividades. 
No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, 
a 200 litros por dia. O quadro mostra sugestões de consumo 
moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades.
Atividade
Consumo total de água 
na atividade (em litros)
Tomar banho 24,0
Dar descarga 18,0
Lavar as mãos 3,2
Escovar os dentes 2,4
Beber e cozinhar 22,0
Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado 
no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais 
atividades, então economizará diariamente, em média, 
em litros de água:
a) 30,0. d) 130,4.
b) 69,6. e) 170,0.
c) 100,4.
2. (Enem) Uma ponte precisa ser dimensionada de for-
ma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se 
que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. 
O ponto de sustentação central receberá 60% da carga 
da ponte, e o restante da carga será distribuído igual-
mente entre os outros dois pontos de sustentação. No 
caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três 
pontos de sustentação serão, respectivamente:
a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t.
b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t.
c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t.
d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t.
e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t.
3. (Enem) O Brasil é um país com uma vantagem 
econômica clara no terreno dos recursos naturais, dis-
pondo de uma das maiores áreas com vocação agrícola 
do mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões 
de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e 
as áreas de preservação, incluindo florestas e manan-
ciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. 
Aproximadamente 280 milhões se destinam à agro-
pecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões 
para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as pe-
renes, como o café e a fruticultura. 
fortes, g. “recuperAção De pAstAgens é AlternAtivA pArA 
AmpliAr cultivos”. folhA De s. pAulo, 30 out. 2011.
De acordo com os dados apresentados, o percentual 
correspondente à área utilizada para agricultura em re-
lação à área do território brasileiro é mais próximo de:
a) 32,8%. d) 9,4%.
b) 28,6%. e) 8,0%.
c) 10,7%.
 59
4. (Enem) O LIRAa, Levantamento Rápido do Índice de In-
festação por Aedes aegypti, consiste num mapeamento 
da infestação do mosquito Aedes aegypti. O LIRAa é dado 
pelo percentual do número de imóveis com focos do mos-
quito, entre os escolhidos de uma região em avaliação.
O serviço de vigilância sanitária de um município, no 
mês de outubro do ano corrente, analisou o LIRAa de 
cinco bairros que apresentaram o maior índice de in-
festação no ano anterior. Os dados obtidos para cada 
bairro foram:
I. 14 imóveis com focos de mosquito em 400 imóveis 
no bairro;
II. 6 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis 
no bairro;
III. 13 imóveis com focos de mosquito em 520 imóveis 
no bairro;
lV. 9 imóveis com focos de mosquito em 360 imóveis 
no bairro;
V. 15 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis 
no bairro.
O setor de dedetização do município definiu que o dire-
cionamento das ações de controle iniciarão pelo bairro 
que apresentou o maior índice do LlRAa.
Disponível em: http://bvsms.sAuDe.gov.br. Acesso em: 28 out. 2015.
As ações de controle iniciarão pelo bairro: 
a) I. d) IV.
b) II. e) V.
c) III.
5. (Enem) Uma organização não governamental divul-
gou um levantamento de dados realizado em algumas 
cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resul-
tados indicam que somente 36% do esgoto gerado nes-
sas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de 
litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados 
todos os dias nas águas.
Uma campanha para melhorar o saneamento básico 
nessas cidades tem como meta a redução da quanti-
dade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem 
tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses.
Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e 
a meta dessa campanha se concretizar, o percentual de 
esgoto tratado passará a ser:
a) 72%
b) 68%
c) 64%
d) 54%
e) 18%
E.O. UErJ 
ExAmE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ 2017) Para combater a subnutrição infantil, foi 
desenvolvida uma mistura alimentícia composta por 
três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. Esses 
suplementos, por sua vez, contêm diferentes concen-
trações de três nutrientes: A, B e C. Observe as tabelas 
a seguir, que indicam a concentração de nutrientes nos 
suplementos e a porcentagem de suplementos na mis-
tura, respectivamente.
Nutriente
Concentração dos 
Suplementos Alimentares 
I II III
A 0,2 0,5 0,4
B 0,3 0,4 0,1
C 0,1 0,4 0,5
Suplemento limentar Quantidade a Mistura 
I 45
II 25
III 30
A quantidade do nutriente C, em g/kg, encontrada na 
mistura alimentícia é igual a: 
a) 0,235. c) 0,275.
b) 0,265. d) 0,295.
2. (UERJ) No ano letivo de 2014, em uma turma de 40 
alunos, 60% eram meninas. Nessa turma, ao final do 
ano, todas as meninas foram aprovadas e alguns meni-
nos foram reprovados. Em 2015, nenhum aluno novo foi 
matriculado, e todos os aprovados confirmaram suas 
matrículas. Com essa nova composição, em 2015, a tur-
ma passou a ter 20% de meninos. O número de meninos 
aprovados em 2014 foi igual a:
a) 4. c) 6.
b) 5. d) 8.
3. (UERJ) No Brasil, o imposto de renda deve ser pago 
de acordo com o ganho mensal dos contribuintes, com 
base em uma tabela de descontos percentuais. Esses 
descontos incidem, progressivamente, sobre cada par-
cela do valor total do ganho, denominadas base de cál-
culo, de acordo com a tabela a seguir.
Base de cálculo aproximada (R$) Desconto(%)
até 1.900,00 Isento
de 1.900,01 até 2.800,00 7,5
de 2.800,01 até 3.750,00 15,0
de 3.750,01 até 4.665,00 22,5
acima de 4.665,00 27,5
Segundo a tabela, um ganho mensal de R$ 2.100,00 
corresponde a R$ 15,00 de imposto. Admita um con-
tribuinte cujo ganho total, em determinado mês, tenha 
sido de R$ 3.000,00. Para efeito do cálculo progressivo 
 60
do imposto, deve-se considerar esse valor formado por 
três parcelas: R$ 1.900,00, R$ 900,00 e R$ 200,00. 
O imposto de renda, em reais, que deve ser pago nesse 
mês sobre o ganho total é aproximadamente igual a: 
a) 55. c) 128.
b) 98. d) 180.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Para comprar os produtos A e B em uma loja, 
um cliente dispõe da quantia X, em reais. O preço do 
produto A corresponde a 2 __ 3 de X, e o do produto B cor-
responde à fração restante.
No momento de efetuar o pagamento, uma promoção 
reduziu em 10% o preço de A.
Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 
na compra dos produtos A e B, calcule o valor, em reais, 
que o cliente deixou de gastar.
2. (UERJ) Uma fábrica de doces vende caixas com 50 
unidades de bombons recheados com dois sabores, mo-
rango e caramelo. O custo de produção dos bombons 
de morango é de 10 centavos por unidade, enquanto 
o dos bombons de caramelo é de 20 centavos por uni-
dade. Os demais custos de produção são desprezíveis.
Sabe-se que cada caixa é vendida por R$ 7,20 e que o 
valor de venda fornece um lucro de 20% sobre o custo 
de produção de cada bombom.
Calcule o número de bombons de cada sabor contidos 
em uma caixa. 
3. (UERJ) Um grupo de alunos de uma escola deveria 
visitar o Museu de Ciências e o Museu de História da 
cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos 
um desses museus. 20% dos que foram ao museu de 
Ciências visitaram o de História e 25% dos que foram 
ao museu de História visitaram também o de Ciências.
Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. 
4. (UERJ) O coquetel preferido de João tem 15% de ál-
cool e é uma mistura de tequila e cerveja. No bar onde 
pediu que lhe preparassem esse coquetel, a tequila e a 
cerveja tinham, respectivamente, 40% e 5% de álcool.
Calcule a razão entre os volumes de tequila e cerveja 
usados nessa mistura. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Um apostador ganhou um prêmio de R$ 
1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor 
em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o 
restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% 
ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta 
de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa 
decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas apli-
cações. Para garantir, após um ano, um rendimento total 
de pelo menos R$ 72.000,00 a parte da quantia a ser 
aplicada na poupança deve ser de, no máximo, 
a) R$ 200.000,00. d) R$ 125.000,00.
b) R$ 175.000,00. e) R$ 100.000,00.
c) R$ 150.000,00.
2. (Unesp) A taxa de analfabetismo representa a por-
centagem da população com idade de 15 anos ou mais 
que é considerada analfabeta. A tabela indica alguns 
dados estatísticos referentes a um município.
Taxa de 
analfabetismo
População 
com menos 
de 15 anos
População 
com 15 anos 
ou mais
8% 2.000 8.000
Do total de pessoas desse município com menos de 15 
anos de idade, 250 podem ser consideradas alfabetizadas.
Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar 
que, da população total desse município, são alfabetizados: 
a) 76,1%.
b) 66,5%.
c) 94,5%.
d) 89,0%.
e) 71,1%.
3. (Unicamp) A figura abaixo exibe, em porcentagem, a 
previsão da oferta de energia no Brasil em 2030, segun-
do o Plano Nacional de Energia.
Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do 
país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas equiva-
lentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever que a 
parcela oriunda de fontes renováveis, indicada em cinza 
na figura, equivalerá a:
a) 178,240 milhões de tep.
b) 297,995 milhões de tep.
c) 353,138 milhões de tep.
d) 259,562 milhões de tep.
4. (Fuvest) Um reservatório, com 40 litros de capacida-
de, já contém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool 
 61
com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com 
uma nova mistura gasolina/álcool de modo que a mis-
tura resultante tenha 20% de álcool. A porcentagem de 
álcool nessa nova mistura deve ser de: 
a) 20%
b) 22%
c) 24%
d) 26%
e) 28%
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Os gráficos indicam a diversificação de apli-
cações para um investimento, por grau de risco, sugeri-
das por cada um dos bancos A, B e C.
 
Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00 
em partes que foram distribuídas pelos três bancos, se-
guindo a diversificação do grau de risco sugerida por 
cada banco. O capital aplicado foi distribuído da se-
guinte forma:
• total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os 
três graus de risco juntos);
• R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco (nos 
três bancos juntos);
• R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco (nos 
três bancos juntos);
• R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco (nos 
três bancos juntos).
O gráfico a seguir representa a diversificação da apli-
cação, por grau de risco, juntando os três bancos.
 
Calcule os montantes de capital que foram investidos 
nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos a, b e g 
indicados no gráfico.
2. (Unifesp)
 
Os resultados apresentados no infográfico foram ob-
tidos a partir de um levantamento informal feito com 
1840 adultos, dos quais 210 eram mulheres que nun-
ca haviam navegado na internet, 130 eram homens 
que nunca haviam navegado na internet, e os demais 
pesquisados navegam na internet.
a) Dos 1840 adultos, quantos nunca pesquisaram in-
formações médicas na internet?
b) Do grupo das pessoas que navegam na internet e já 
fizeram pesquisas de informações médicas nesse ambi-
ente, sabe-se que 12,5% das mulheres possuem apenas 
o diploma de ensino fundamental (ou equivalente) em sua 
escolarização. Desse mesmo grupo de pessoas, quantos 
são os homens que possuem apenas o diploma de ensino 
fundamental (ou equivalente) em sua escolarização? 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. D 3. C 4. C 5. C
6. C 7. E 8. D 9. A 10. C
E.O. Fixação
1. D 2. A 3. D 4. D 5. E
6. C 7. B 8. C 9. C 10. C
E.O. Complementar
1. E 2. B 3. C 4. A
5. B 6. D
E.O. Dissertativo
1. US$ 33.390.630,00
2. 
a) 1 Litro de água com 0,91 L de álcool e 0,009 L de água.
Acrescentando x litros de água, temos a seguinte equação:
 0,91 _____ 1 + x = 0,7 ⇒ 0,91 _____ 
0,7
 = x + 1 ⇒ x = 0,3 L
b) Água: 3 ___ 
13
 litros
Solução: 10 ___ 
13
 litros
3. 
a) preço de compra: 90/4 = R$ 22,50
preço de venda: 90/3 = R$ 30,00
lucro: R$7,50
b) lucro = 
 P __ 
3
 – P __ 
4
 
 _______ 
12
 = 1 ___ 
12
 = 8,33%
c) P ___ 3 - a · P = 10P ___ 
100
 ⇔ a = 7 ___ 
30
 
4. R$ 90,00
 62
5. 1 __ 
3
 
6. 
a) 40 % 
b) 27 %
7. 
a) 32%
b) 353
8. 670%
E.O. Enem
1. C 2. C 3. D 4. A 5. B
E.O. UErJ 
Exame de Qualificação
1. D 2. C 3. B
E.O. UErJ 
ExAmE discursivo
1. R$ 25,00
2. 40 bombons de morango e 10 bombons de caramelo 
3. 6 alunos
4. 2/5 
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. A 3. D 4. D
E.O. dissertativas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. Os montantes aplicados em cada banco foram de R$ 1.000,00 
no banco A, R$ 2.000,00 no banco B e R$ 3.000,00 no banco C. 
E os valores de a, b e g são, respectivamente, 87º, 162º e 111º.
2. 
a) 640 adultos
b) 420 homens
 63
E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-RJ) Um imóvel em São Paulo foi comprado por 
x reais, valorizou 10% e foi vendido por R$ 495.000,00. 
Um imóvel em Porto Alegre foi comprado por y re-
ais, desvalorizou 10% e também foi vendido por R$ 
495.000,00.
Os valores de x e y são:
a) x = 445.500,00 e y = 544.500,00.
b) x = 450.000,00 e y = 550.000,00.
c) x = 450.000,00 e y = 540.000,00.
d) x = 445.500,00 e y = 550.000,00.
e) x = 450.000,00 e y = 544.500,00.
2. (PUC-Camp)O tempo “é uma obsessão para os at-
letas olímpicos em busca de recordes”. O recorde da 
corrida dos 5000 metros pertence a Kenenisa Bekele e 
é de 12 minutos e 37 segundos. Um atleta que reduzir 
esse tempo em 2% completará a distância com uma di-
minuição do tempo do recorde de, aproximadamente: 
a) 7 segundos. d) 8 segundos.
b) 23 segundos. e) 11 segundos.
c) 15 segundos. 
3. (UEMG) No mês de outubro do ano de 2014, devido 
às comemorações natalinas, um comerciante aumentou 
os preços das mercadorias em 8% Porém, não venden-
do toda a mercadoria, foi feita, em janeiro do ano se-
guinte, uma liquidação dando um desconto de 6% so-
bre o preço de venda. 
Uma pessoa que comprou um objeto nessa loja, em ja-
neiro de 2015, por R$ 126,90 pagaria em setembro, do 
ano anterior, uma quantia: 
a) menor que R$ 110,00. 
b) entre R$ 120,00 e R$ 128,00. 
c) igual a R$110,00.
d) entre R$110,00 e R$120,00. 
4. (PUC-MG) Conforme dados divulgados pelo Departa-
mento Nacional de Trânsito (Denatran), Belo Horizonte 
tinha, em agosto de 2014, pouco mais de 1,62 milhão 
de veículos, número que cresceu 120% desde agosto 
de 2002. Com base nesses dados, se N era o número de 
carros em Belo Horizonte em agosto de 2002, expresso 
em milhares de unidades, é CORRETO afirmar que: 
a) N ≅ 1620 _____ 2,20 . c) N ≅ 1620 ⋅ 1,20.
b) N ≅ 1620 _____ 1,20 . d) N ≅ 1620 ⋅ 2,20.
5. (IFSC) Após uma semana de muita chuva na região 
onde mora, Maria, que é responsável pelas compras de 
sua casa, foi à feira comprar verduras. Ao chegar lá, as-
sustou-se ao se deparar com um aumento muito eleva-
do no preço dos produtos. Por exemplo, o pé de alface 
que, na semana anterior, custava R$ 1,50, agora estava 
custando R$ 2,85. Com base nessas informações, qual o 
percentual de aumento que esse produto sofreu? 
a) 185%. d) 135%.
b) 85%. e) 90%.
c) 35%.
6. (Insper) O preço de um produto na loja A é 20% maior 
do que na loja B, que ainda oferece 10% de desconto 
para pagamento à vista. Sérgio deseja comprar esse 
produto pagando à vista. Nesse caso, para que seja in-
diferente para ele optar pela loja A ou pela B, o descon-
to oferecido pela loja A para pagamento à vista deverá 
ser de 
a) 10%. d) 25%.
b) 15%. e) 30%.
c) 20%.
7. (Unifesp) Uma empresa brasileira tem 30% de sua 
dívida em dólares e os 70% restantes em euros. Admi-
tindo-se uma valorização de 10% do dólar e uma DES-
valorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, 
pode-se afirmar que o total da dívida dessa empresa, 
em reais:
a) aumenta 8% d) diminui 1,4%
b) aumenta 4,4% e) diminui 7,6%
c) aumenta 1.6%
8. (FGV) Aumentando a base de um triangulo em 10% e 
reduzindo a altura relativa a essa base em 10%, a área 
do triângulo:
a) aumenta em 1% d) diminui em 1%
b) aumenta em 0,5% e) não se altera
c) diminui 0,5%
9. (IFSC)O Produto Interno Bruto (PIB) é uma representa-
ção da soma dos valores monetários de todos os bens e 
serviços produzidos em uma determinada região em um 
determinado espaço de tempo. O Balinsky (país fictício) 
tinha em 2016 um PIB que em comparação com o PIB de 
2015 cresceu 2%. Já em 2017 o PIB de Balinsky diminui 
5% em relação à 2016. A previsão para 2018 é de um cres-
cimento de 3% em relação à 2017. Dessa forma, se a pre-
visão para 2018 se confirmar, podemos afirmar que a va-
riação do PIB de Balinsky do período de 2015 à 2018 foi:
HABILIDADES: 21, 23 e 25
COMPETÊNCIAS: 5 e 6 
AULAS 15 e 16
ACRÉSCIMOS E DESCONTOS
 64
Assinale a alternativa CORRETA .
a) Um decrescimento de aproximadamente 0,2%.
b) Não cresceu nem diminui.
c) Um aumento de aproximadamente 1,8%.
d) Um decrescimento de mais de 2%.
e) Um acréscimo de menos de 1%
E.O. FixAçãO
1. (PUC-RJ) Em uma loja, uma peça de roupa que custa-
va R$ 200,00 passou a custar R$ 100,00 na liquidação. 
O desconto foi de:
a) 200%.
b) 100%.
c) 50%.
d) 20%.
e) 10%.
2. (FGV) Toda segunda-feira, Valéria coloca R$ 100,00 de 
gasolina no tanque de seu carro. Em uma determinada 
segunda-feira, o preço por litro do combustível sofreu 
um acréscimo de 5% em relação ao preço da segunda-
-feira anterior. Nessas condições, na última segunda-fei-
ra, o volume de gasolina colocado foi x% inferior ao da 
segunda-feira anterior. É correto afirmar que x pertence 
ao intervalo:
a) [4,9; 5,0[.
b) [4,8; 4,9[.
c) [4,7; 4,8[.
d) [4,6; 4,7[.
e) [4,5; 4,6[.
3. (Ufrgs) Uma mercadoria com preço inicial de R$ 
500,00 sofreu reajustes mensais e acumulados de 0,5% 
O preço dessa mercadoria, ao fim de 12 meses, é:
a) 500 · 0,00512.
b) 500 · 0,0512.
c) 500 · 1,00512.
d) 500 · 1,0512.
e) 500 · 0,512.
4. (UPE) De acordo com a matéria publicada no Jornal 
do Commercio, em 14 de maio de 2014, ocorreu uma 
“explosão de dengue” em Campinas, interior de São 
Paulo. Lá se identificou a maior epidemia de dengue, 
com mais de 17 mil casos registrados entre janeiro e 
abril do referido ano. Sobre essa epidemia de dengue 
na cidade paulista, analise o gráfico a seguir:
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a 
seguir: 
I. A média de casos de dengue entre os anos de 2001 e 
2005 é superior a 500 casos por ano. 
II. Em comparação ao ano de 1998, só houve aumento 
superior a 50% dos casos nos anos de 2002, 2007, 2010, 
2011, 2013 e 2014. 
III. De janeiro a abril de 2014, houve um aumento su-
perior a 140% nos casos dessa doença, em comparação 
ao ano de 2013. 
Está CORRETO o que se afirma, apenas, em 
a) I.
b) II.
c) I e II.
d) I e III.
e) II e III.
5. (UERJ)
De acordo com a projeção apresentada na tabela, no 
período de 2011 a 2020, o país com maior aumento per-
centual na produção de petróleo seria o Iraque.
O segundo país com maior aumento percentual seria:
a) E.U.A. c) Canadá
b) Brasil d) Arábia Saudita
6. (Uepg 2018) Assinale o que for correto. 
01) Do preço de venda de um determinado produto, 
15% correspondem a impostos. Do restante, 40% cor-
respondem ao preço de custo desse produto. Se o preço 
de custo é R$ 238,00 então, o preço de venda desse 
produto é menor que R$ 800,00.
02) Um tanque em forma de paralelepípedo retângulo, cujas 
medidas da base são 4 m e 5 m contém água até uma altura 
de 3 m. Um cubo é colocado dentro desse tanque, apoiado 
no fundo e totalmente coberto pela água. Se a altura da 
água sobe 10% então a aresta do cubo é maior que 2 m.
04) Pedro digitou, 5
8 
pela manhã, do total de páginas de 
uma apostila, em 3 horas de trabalho ininterrupto. À tarde, 
ele digitou o restante, mas sua capacidade de produção 
correspondeu a 80% do período da manhã. Então, para 
digitar as páginas restantes ele levou 2 horas e 15minutos. 
08) Um comerciante aumentou o preço de seus produ-
tos em 30%. Como as vendas caíram muito, ele resolveu 
baixar os preços atuais em 20%. Dessa forma, o preço 
final a ser cobrado, depois desse desconto, será 10% 
maior que o preço inicial, de antes do aumento.
 65
7. (G1 - ifpe 2018) Em um saldão de início de ano, Tar-
císio resolveu comprar uma calça e uma camisa. A calça 
que ele foi comprar marcava um preço de R$ 120,00 e 
ele a comprou com 40% de desconto. A camisa tinha 
preço anunciado de R$ 70,00 e estava sendo vendida 
com 30% de desconto. Sabendo que Tarcísio aproveitou 
os descontos e comprou a calça e a camisa, podemos 
afirmar que ele pagou um total de 
a) R$ 133,00 d) R$ 121,00
b) R$ 69,00 e) R$ 97,00
c) R$ 114,00
8. (Enem) Para construir uma piscina, cuja área total 
da superfície interna é igual a 40 m², uma construtora 
apresentou o seguinte orçamento:
1. R$ 10.000,00 pela elaboração do projeto;
2. R$ 40.000,00 pelos custos fixos;
3. R$ 2.500,00 por metro quadrado para construção da 
área interna da piscina.
Após a apresentação do orçamento, essa empresa de-
cidiu reduzir o valor de elaboração do projeto em 50% 
mas recalculou o valor do metro quadrado para a cons-
trução da área interna da piscina, concluindo haver a 
necessidade de aumentá-lo em 25%. Além disso, a 
construtora pretende dar um desconto nos custos fixos, 
de maneira que o novo valor do orçamento seja reduzi-
do em 10% em relação ao totalinicial.
O percentual de desconto que a construtora deverá 
conceder nos custos fixos é de 
a) 23,3% d) 87,5%
b) 25,0% e) 100,0%
c) 50,0%
E.O. COmplEmEntAr
1. (Insper) Um retângulo tem comprimento X e largura 
Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100. 
Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largu-
ra aumentar X% então a sua área aumentará:
a) ( X + Y + XY ____ 100 ) %. d) (X + Y)%.
b) ( XY + X + Y _____ 100 ) %. e) (XY)%.
c) ( X + Y + XY _________ 100 ) %.
2. (PUC) Em uma floresta, existe uma espécie de lagarto 
que possui duas subespécies, uma verde e uma azul. Ini-
cialmente, 99% dos lagartos desta espécie são verdes. 
Houve uma peste e muitos lagartos verdes morreram, 
mas os azuis eram imunes à peste, e nenhum morreu. 
Depois da peste, 96% dos lagartos eram verdes.
Que porcentagem da população inicial total de lagartos 
foi morta pela peste? 
a) 2% d) 10%
b) 3% e) 75%
c) 5%
3. (PUC-PR) O imposto sobre a renda da pessoa físi-
ca, IRPF, é calculado sobre a renda tributável de uma 
pessoa seguindo a tabela abaixo. A partir do exercício 
2016, ano-calendário de 2015:
Base de Cálculo (R$) Alíquota (%)
Até 22.499,13 –
De 22.499,14 até 33.477,72 7,5
De 33.477,73 até 44.476,74 15
De 44.476,75 até 55.373,55 22,5
Acima de 55.573,55 27,5
Disponível em: <http://www.receitA.fAzenDA.gov.br/AliquotAs/
contribfont2012A2015.htm>. 
Acesso em: 27/08/2015
Ou seja, pessoas com rendimentos tributáveis anual-
mente (já consideradas todas as deduções) até R$ 
22.499,13 estão isentos do IRPF; o que ultrapassar esse 
valor é calculado 7,5% até R$ 33.477,72; o que ultrapas-
sar esse valor é calculado 15% até R$ 44.476,74; o que ul-
trapassar esse valor é calculado 22,5% até R$ 55.373,55 
e o que ultrapassar esse valor é calculado 27,5%. 
Supondo que a média mensal dos rendimentos 
tributáveis (já consideradas todas as deduções) de uma 
pessoa seja R$ 3.000,00 o valor calculado do IRPF é: 
a) R$ 825,00.
b) R$ 1.012,57.
c) R$ 1.201,73.
d) R$ 1.379,65.
e) R$ 2.025,00.
4. (UECE) Considerando a redução do volume de vendas 
de seus produtos, uma empresa comercial adotou os se-
guintes procedimentos:
1. Reduziu em 12%, no mês de junho, seu quadro de vend-
edores, tendo como base o total existente no mês de maio.
2. Após nova avaliação, reduziu novamente, no mês de 
novembro, seu quadro de vendedores, desta vez em 
5%, considerando o total existente no mês de outubro. 
Após os dois procedimentos, a empresa ficou com 1881 
vendedores. Se de junho a outubro o número de vende-
dores ficou estável, então, o número de vendedores no 
mês de maio localizava-se 
a) abaixo de 2225.
b) entre 2225 e 2235.
c) entre 2235 e 2245.
d) acima de 2245.
5. (ESPM) Uma empresa propôs um sistema de reajuste 
salarial aos seus funcionários de modo que o percen-
tual de aumento fosse inversamente proporcional ao 
salário atual de cada um. Um funcionário que ganhava 
R$ 3.000,00 passou a ganhar R$ 3.600,00 segundo essa 
regra. Um outro funcionário que ganhava R$ 6.000,00 
passou a receber, então:
a) R$ 6.600,00
b) R$ 7.200,00
c) R$ 6.800,00
d) R$ 6.400,00
e) R$ 7.400,00
 66
E.O. dissErtAtivO
1. (UFES) O Senhor Silva comprou um apartamento e, 
logo depois, o vendeu por R$ 476.000,00. Se ele tivesse 
vendido esse apartamento por R$ 640.000,00, ele teria 
lucrado 60%. Calcule:
a) quanto o Senhor Silva pagou pelo apartamento.
b) qual foi, de fato, o seu lucro percentual.
2. (UFSC) Na segunda-feira, um comerciante decide ven-
der um produto com um desconto de 10%. Na sexta-fei-
ra, como não obteve muito sucesso, decide acrescentar 
um novo desconto de 20% sobre o valor obtido após o 
primeiro desconto. Calcule o desconto total no preço 
original do produto.
3. (UEMA) Um estabelecimento comercial determinou 
uma norma para evitar o crescente número de vendas 
no cartão de crédito. Por essa norma, as vendas em di-
nheiro teriam um desconto de 20%. Um cliente que efe-
tuou uma despesa de R$ 240,00 foi informado que teria 
20% de desconto, caso o pagamento fosse efetuado em 
dinheiro. Após análise, o cliente verificou que pagaria 
R$ 192,00 no momento da compra. 
Determine a taxa de acréscimo, em porcentagem, entre 
a compra em dinheiro e a operação no cartão, em que o 
valor atual é R$ 192,00 e o valor futuro, no vencimento 
da fatura, é R$ 240,00. 
Utilize a expressão VF = VA ( 1 + taxa ____ 100 ) , onde
VF é o valor futuro e VA é o valor atual. 
4. (FGV) Uma editora utiliza couro para as capas da 
frente e de trás e para a lombada de seus livros. Atu-
almente, produz apenas livros com capa de 20 cm de 
altura × 10 cm de largura. A espessura mínima possível 
da lombada é de 1 cm, a qual comporta até 100 pági-
nas. A partir desta espessura mínima, o incremento na 
espessura da lombada é diretamente proporcional ao 
incremento no número de páginas, de maneira que um 
livro de 500 páginas teria lombada de 3 cm. Considere 
que a espessura do couro é desprezível e que a capa 
tem as mesmas dimensões das páginas do livro. O custo 
do couro utilizado na lombada é de R$ 0,05/cm2 e o do 
utilizado na capa, de R$ 0,02/cm2.
 
a) A editora considera reeditar um de seus livros (que 
atualmente possui 300 páginas) utilizando uma fonte 
maior. Qual será o aumento no custo do couro utilizado 
por livro se a editora mantiver a altura e a largura das 
páginas, aumentando em 20% o número de páginas?
b) Um dos livros da editora é atualmente editado em 
dois volumes de 80 páginas cada um. Qual seria a 
economia no custo do couro caso os dois volumes 
fossem unidos em um só, com 160 páginas?
c) Qual deveria ser o volume total de uma caixa para 
acomodar 20 livros de 200 páginas cada um, em uma 
pilha única? 
5. (FGV) Uma livraria recebeu o pedido de um exemplar 
do livro "Descobrindo o Pantanal", para cada um de 11 
clientes. Ela decidiu adquirir os 11 exemplares da Edito-
ra Progresso e vender os livros a seus clientes com um 
preço entre 5% e 10% a mais que o preço conseguido 
na editora. A editora lhe propôs duas opções:
1ª. Comprar 10 livros e levar 1 de graça.
2ª. Comprar 10 livros e pagar somente 9, adquirindo 
mais um exemplar, o 11º, com um desconto de 10% so-
bre o preço original.
a) Qual das opções é mais vantajosa à livraria?
b) Se o preço original de cada livro na editora for R$ 54,00, 
qual é o maior lucro que a livraria pode obter com a venda 
dos 11 livros aos seus clientes, em cada caso? 
6. (Fuvest - Modificado) O Sistema Cantareira é cons-
tituído por represas que fornecem água para a Região 
Metropolitana de São Paulo. Chama-se de “volume útil” 
do Sistema os 982 bilhões de litros que ficam acima 
do nível a partir do qual a água pode ser retirada sem 
bombeamento. Com o uso de técnicas mais elaboradas, 
é possível retirar e tratar parte da água armazenada 
abaixo desse nível. A partir de outubro de 2014, a Sa-
besp passou a contabilizar uma parcela de 287 bilhões 
de litros desse volume adicional, denominada “reser-
va técnica” ou “volume morto”, e chamou de “volume 
total” a soma do volume útil com a reserva técnica. A 
parte do volume total ainda disponível para consumo 
foi chamada de “volume armazenado”.
O primeiro índice usado pela Sabesp para divulgar o 
nível do Sistema, após o início do uso da reserva técni-
ca, foi o percentual do volume armazenado em relação 
ao volume útil (e não ao volume total). Chama-se este 
percentual de Índice 1.
a) Calcule o valor que terá o Índice 1 quando as represas 
estiverem completamente cheias, supondo que a defini-
ção de “volume armazenado” não tenha mudado.
A partir de abril de 2015, a Sabesp passou a divulgar out-
ros dois índices, além do Índice 1 (veja o Quadro). Note 
que o Índice 3 pode assumir valores negativos e valerá 
100% quando as represas do Sistema estiverem comple-
tamente cheias.
QUADRO
volume armazenadoÍndice 1 100%
volume útil
= ×
volume armazenadoÍndice 2 100%
volume total
= ×
(volume armazenado) (volume da reserva técnica)Índice 3 100%
volume útil
−
= ×
 67
7. (Fgv) Numaloja, os preços dos produtos expostos na 
vitrine incluem um acréscimo de 50% sobre o preço de 
custo. Durante uma liquidação, o lojista decidiu vender 
os produtos com um lucro real de 20% sobre os preços 
de custo.
a) Calcule o desconto que ele deve dar sobre os pre-
ços da vitrine.
b) Quando não há liquidação, sua venda é a prazo, com 
um único pagamento após dois meses e uma taxa de 
juros compostos de 10% ao mês. Nessa condição, qual 
será a porcentagem do lucro sobre o preço de custo? 
8. (Fgv) Um supermercado fez a seguinte oferta para a 
compra de determinada marca de suco de laranja em 
caixa de 1 litro:
Expresse, em porcentagem, o desconto obtido por uni-
dade em relação ao preço original, para quem comprar 
8 sucos de laranja. 
E.O. EnEm
1. (Enem) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma 
loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa 
R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva 
sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária para 
comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas 
extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de 
que o preço daquele produto havia aumentado 20% Devido 
a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia 
exata para comprar duas unidades a menos em relação à 
quantidade habitualmente comprada.
A quantia que essa pessoa levava semanalmente para 
fazer a compra era:
a) R$ 166,00. d) R$ 46,00.
b) R$ 156,00. e) R$ 24,00.
c) R$ 84,00.
2. (Enem) Em uma cidade, o valor total da conta de en-
ergia elétrica é obtido pelo produto entre o consumo 
(em kWh) e o valor da tarifa do kWh (com tributos), 
adicionado à Cosip (contribuição para custeio da ilumi-
nação pública), conforme a expressão:
Valor do kWh (com tributos) x consumo (em kWh) + Cosip
O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O 
quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas
Faixa de consumo mensal (kWh) Valor da Cosip (R$)
Até 80 0,00
Superior a 80 até 100 2,00
Superior a 100 até 140 3,00
Superior a 140 até 200 4,50
Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo 
seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja 
de R$ 0,50. O morador dessa residência pretende di-
minuir seu consumo mensal de energia elétrica com 
o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo 
menos 10%. Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, 
dessa residência para produzir a redução pretendida 
pelo morador?
a) 134,1 d) 138,6
b) 135,0 e) 143,1
c) 137,1
3. (Enem) O censo demográfico é um levantamento es-
tatístico que permite a coleta de várias informações. 
A tabela apresenta os dados obtidos pelo censo de-
mográfico brasileiro nos anos de 1940 e 2000, refer-
entes à concentração da população total, na capital e 
no interior, nas cinco grandes regiões.
População residente, na capital e interior segundo as 
Grandes Regiões 1940/2000
Grandes 
regiões
População residente
Total Capital Interior
1940 2000 1940 2000 1940 2000
Norte 1.632.917 12.900.704 368.528 3.895.400 1.264.389 9.005.304
Nordeste 14.434.080 47.741.711 1.270.729 10.162.346 13.163.351 37.579.365
Sudeste 18.278.837 72.412.411 3.346.991 18.822.986 14.931.846 53.589.425
Sul 5.735.305 25.107.616 459.659 3.290.220 5.275.646 21.817.396
Centro-
Oeste
1.088.182 11.636.728 152.189 4.291.120 935.993 7.345.608
fonte: ibge, censo Demográfico 1940/2000.
O valor mais próximo do percentual que descreve o au-
mento da população nas capitais da Região Nordeste é: 
a) 125%. d) 700%.
b) 231%. e) 800%.
c) 331%.
4. (Enem) A fim de acompanhar o crescimento de cri-
anças, foram criadas pela Organização Mundial da 
Saúde (OMS) tabelas de altura, também adotadas pelo 
Ministério da Saúde do Brasil. Além de informar os da-
dos referentes ao índice de crescimento, a tabela traz 
gráficos com curvas, apresentando padrões de cresci-
mento estipulados pela OMS.
O gráfico apresenta o crescimento de meninas, cuja 
análise se dá pelo ponto de intersecção entre o com-
primento, em centímetro, e a idade, em mês completo 
e ano, da criança.
 
 68
Uma menina aos 3 anos de idade tinha altura de 85 
centímetros e aos 4 anos e 4 meses sua altura chegou 
a um valor que corresponde a um ponto exatamente 
sobre a curva p50. 
Qual foi o aumento percentual da altura dessa menina, 
descrito com uma casa decimal, no período considerado? 
a) 23,5% d) 11,8%
b) 21,2% e) 10,0%
c) 19,0%
5. (Enem) Uma pessoa comercializa picolés. No segundo 
dia de certo evento ela comprou 4 caixas de picolés, pa-
gando R$ 16,00 a caixa com 20 picolés para revendê-los 
no evento. No dia anterior, ela havia comprado a mes-
ma quantidade de picolés, pagando a mesma quantia, e 
obtendo um lucro de R$ 40,00 (obtido exclusivamente 
pela diferença entre o valor de venda e o de compra dos 
picolés) com a venda de todos os picolés que possuía.
Pesquisando o perfil do público que estará presente 
no evento, a pessoa avalia que será possível obter um 
lucro 20% maior do que o obtido com a venda no pri-
meiro dia do evento.
Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os pi-
colés disponíveis foram vendidos no segundo dia, o 
valor de venda de cada picolé, no segundo dia, deve ser 
a) R$ 0,96. d) R$ 1,50.
b) R$ 1,00. e) R$ 1,56.
c) R$ 1,40.
E.O. UErJ 
ExAmE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Considere uma mercadoria que teve seu preço 
elevado de x reais para y reais. Para saber o percentual 
de aumento, um cliente dividiu y por x, obtendo quo-
ciente igual a 2,08 e resto igual a zero.
Em relação ao valor de x o aumento percentual é equiv-
alente a:
a) 10,8%. c) 108%
b) 20,8%. d) 208,0%.
2. (UERJ)
O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o com-
primento de seu peixe aumenta 50 vezes, ou seja, 5000%.
Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse 
peixe atinge 1,53 metros. O comprimento original do 
peixe, em centímetros, corresponde a:
a) 2,50. c) 3,00.
b) 2,75. d) 3,25.
3. (UERJ) Um índice de inflação de 25% em um determi-
nado período de tempo indica que, em média, os preços 
aumentaram 25% nesse período. Um trabalhador que 
antes podia comprar uma quantidade X de produtos, 
com a inflação e sem aumento salarial, só poderá com-
prar agora uma quantidade Y dos mesmos produtos, 
sendo Y < X. 
Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra 
desse trabalhador é de: 
a) 20%. c) 50%.
b) 30%. d) 80%.
4. (UERJ) Observe as guias para pagamento em cota 
única do IPTU-2010 mostradas abaixo.
Em uma delas, com o desconto de 15%, será pago o 
valor de R$ 1.530,00; na outra, com o desconto de 7%, 
será pago o valor de R$ 2.790,00.
O desconto percentual médio total obtido com o paga-
mento desses valores é igual a: 
a) 6%. c) 11%.
b) 10%. d) 22%.
5. (UERJ) No dia 5 de dezembro, uma loja aumenta os 
preços de seus produtos em 60%. Na liquidação após 
o Ano Novo, os mesmos produtos sofrem um desconto 
de 27,5%, em relação aos preços reajustados em 5 de 
dezembro.
Após esta liquidação, podemos constatar que os preços 
dos produtos, em relação aos preços do dia 4 de dezem-
bro, sofreram uma variação percentual de: 
a) 16,0%. c) 32,5%.
b) 29,0%. d) 44,0%.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Um trem transportava, em um de seus vagões, 
um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma 
estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em 
seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de 
passageiros que nele permaneceu após o desembarque. 
Dessa forma, o número final de passageiros no vagão 
corresponde a 120. Determine o valor de n.
2. (UERJ) Observe o anúncio abaixo, que apresenta des-
contos promocionais de uma loja. 
 69
Admita que essa promoção obedeça à seguinte sequência:
• primeiro desconto de 10% sobre o preço da mer-
cadoria;
• segundo desconto de 10% sobre o valor após o pri-
meiro desconto;
• desconto de R$ 100,00 sobre o valor após o segun-
do desconto.
Determine o preço inicial de uma mercadoria cujo valor, 
após os três descontos, é igual a R$ 710,00.
3. (UERJ) Leia a tirinha:
 
Suponha que existam exatamente 700 milhões de anal-
fabetos no mundo e que esse número seja reduzido, a 
umataxa constante, em 10% ao ano, totalizando n mil-
hões daqui a três anos.
Calcule o valor de n. 
4. (UERJ) Observe os gráficos I, II, III e IV, reproduzidos 
adiante, que demonstram o ritmo de contágio da epi-
demia de dengue no Rio de Janeiro, entre os meses de 
janeiro e março de 2002.
Um
contágio
a cada
20 minutos
I
INÍCIO DA
EPIDEMIA
(janeiro)
RITMO DE CONTÁGIO
DUAS
SEMANAS
DE EPIDEMIA
Um
contágio
a cada
7 minutos
II
UM
MÊS DE
EPIDEMIA
Um
contágio
a cada
3 minutos
III
MARÇO
Um
contágio
a cada
minuto
IV
(ADAptADo De "vejA", 13/03/2002)
Baseando-se nos dados fornecidos pelos gráficos I e IV, 
determine o número de pessoas contagiadas em um 
dia, em cada situação, e calcule o percentual de aumen-
to verificado entre essas duas situações. 
5. (UERJ) MUNICÍPIOS DO RIO DE JANEIRO ENRIQUE-
CEM COM DINHEIRO PROVENIENTE DA EXPLORAÇÃO 
DE PETRÓLEO
Por um feliz acaso da geografia, eles estão situados 
em frente à Bacia de Campos, responsável por 80% da 
produção nacional de petróleo. E recebem "royalties" 
por isso.
Cidade
Qanto entrou em royalties (em reais)
1997 1999
Campos 3,9 milhões 45 milhões
Macaé 8,2 milhões 32 milhões
Quissamã 2,3 milhões 13,4 milhões
ADAptADo De vejA, 12/07/2000
Determine a porcentagem aproximada do aumento de 
"royalties" recebidos pela cidade de Campos no perío-
do considerado na tabela.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) O Ministério da Saúde e os estados brasilei-
ros investigaram 3.670 casos suspeitos de microcefalia 
em todo o país. O boletim de 02 de fevereiro aponta 
que, desse total, 404 tiveram confirmação de microce-
falia ou de outras alterações do sistema central, e ou-
tros 709 casos foram descartados. Anteriormente, no 
boletim de 23 de janeiro, havia 732 casos investigados 
e classificados como confirmados ou como descartados.
(https://AgenciA.fiocruz.br. ADAptADo.)
De acordo com os dados do texto, do boletim de 23 de 
janeiro para o de 02 de fevereiro, o aumento no número 
de casos classificados, como confirmados ou como des-
cartados, foi de, aproximadamente: 
a) 52%. d) 48%.
b) 30%. e) 28%.
c) 66%.
2. (Unicamp) Um automóvel foi anunciado com um fi-
nanciamento “taxa zero” por R$ 24.000,00 (vinte e qua-
tro mil reais), que poderiam ser pagos em doze parcelas 
iguais e sem entrada. Para efetivar a compra parcelada, 
no entanto, o consumidor precisaria pagar R$ 720,00 
(setecentos e vinte reais) para cobrir despesas do ca-
dastro. Dessa forma, em relação ao valor anunciado, o 
comprador pagará um acréscimo: 
a) inferior a 2,5%.
b) entre 2,5% e 3,5%.
c) entre 3,5% e 4,5%.
d) superior a 4,5%.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest - Modificado)) O Sistema Cantareira é consti-
tuído por represas que fornecem água para a Região 
Metropolitana de São Paulo. Chama-se de “volume útil” 
do Sistema os 982 bilhões de litros que ficam acima 
do nível a partir do qual a água pode ser retirada sem 
bombeamento. Com o uso de técnicas mais elaboradas, 
é possível retirar e tratar parte da água armazenada 
abaixo desse nível. A partir de outubro de 2014, a Sa-
besp passou a contabilizar uma parcela de 287 bilhões 
de litros desse volume adicional, denominada “reser-
va técnica” ou “volume morto”, e chamou de “volume 
total” a soma do volume útil com a reserva técnica. A 
parte do volume total ainda disponível para consumo 
foi chamada de “volume armazenado”.
O primeiro índice usado pela Sabesp para divulgar o 
nível do Sistema, após o início do uso da reserva técnica, 
 70
foi o percentual do volume armazenado em relação ao 
volume útil (e não ao volume total). Chama-se este per-
centual de Índice 1.
a) No momento em que o Índice 1 for 50%, que va-
lores terão os Índices 2 e 3?
b) Qual é o valor do Índice 2 no momento em que o 
Índice 3 é negativo e vale –10%? 
Quadro
Índice 1 = volme armazenado 
volume útil
 ∙ 100% Índice 2 = volume armazenado 
volume total
 ∙ 100%
Índice 3 = 
(volume armazenado) – (volume da reserva técnica)
 
volume útil
 ∙ 100%
2. (Unicamp 2017) Diversas padarias e lanchonetes 
vendem o “cafezinho” e o “cafezinho com leite”. Uma 
pesquisa realizada na cidade de Campinas registrou 
uma variação grande de preços entre dois estabeleci-
mentos, A e B que vendem esses produtos com um vol-
ume de 60 ml, conforme mostra a tabela abaixo.
Produto A B
Cafezinho R$2,00 R$3,00
Cafezinho com leite R$2,50 R$4,00
a) Determine a variação percentual dos preços do es-
tabelecimento A para o estabelecimento B, para os 
dois produtos. 
b) Considere a proporção de café e de leite servida 
nesses dois produtos conforme indica a figura abaixo. 
Suponha que o preço cobrado se refere apenas às 
quantidades de café e de leite servidas. Com base 
nos preços praticados no estabelecimento B, calcule 
o valor que está sendo cobrado por um litro de leite. 
 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. C 3. B 4. A 5. E
6. D 7. C 8. D 9. A
E.O. Fixação
1. C 2. C 3. C 4. D 5. B
6. [01] CORRETA. Sendo PVo preço de venda, pode-se calcular:
238 (PV 0,15PV) 0,4 238 04PV 0,06PV 238 0,34PV PV 700= − ⋅ ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
[02] INCORRETA. Calculando:
3 3
cuboV a 0,1 (4 5 3) a 6 a 1,82= = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ ≈
[04] CORRETA. Se o rendimento de Pedro a tarde tivesse sido 
igual ao da manhã, teríamos:
3 h 5
8
x
x 1,8 h
3
8
⇒ =
Mas o rendimento foi de apenas 80% e este é inversamente pro-
porcional ao número de horas gastas. Assim, pode-se escrever:
100% 1,8 h
80%
80x 180 x 2,25 h 2 h 15 min
x
⇒ = ⇒ = =
[08] INCORRETA. Sendo o preço inicial igual a pode-se escrever:
x x 0,3x 1,3x
1,3x 0,2 1,3x 1,3x 0,26x 0,04x
⇒ + =
− ⋅ = − =
7. D 8. D
E.O. Complementar
1. A 2. E 3. C 4. D 5. A
E.O. Dissertativo
1. 
a) R$ 400.000,00.
b) 19%
2. 28%
3. i = 25%
4. 
a) R$ 0,30 por livro.
b) R$ 8,70 por livro.
c) 6.000 cm3.
5. 
a) Segunda opção.
b) Na primeira opção, o maior lucro possível é igual 
R$ 54,00. Na segunda opção, o maior lucro possível 
é R$ 53,46.
6. Considere: o volume útil o volume morto o volume total 
VT 982 287 1269= + = e o volume armazenado VA.
a) Se as represas estiverem completamente cheias, VA 
será igual a VT. Logo:
VA 1269Índice 1 1,2923 Índice 1 129,23%
VU 982
= = = ⇒ =
7.
a) 20%
b) 81,5%
8. Preço de unidades: 6 . 3,60 = 21,60 (mas levou 8 unidades)
O preço de cada uma das oito unidades será R$ 2,70 
(21,60 : 8)
Desconto em porcentagem
3,60 2,70 0,25 25%
3,60
−
= =
 71
E.O. Enem
1. B 2. C 3. D 4. A 5. C
E.O. UErJ 
Exame de Qualificação
1. C 2. C 3. A 4. B 5. A
E.O. UErJ 
ExAmE discursivo
1. n = 125.
2. R$ 1.000,00
3. n = 510.300.000 
4. Situação I: 72 por dia
Situação IV: 1.440 por dia
percentual de aumento 1.900%
5. 1053%
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. B
E.O. dissertativas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Considerando os dados do enunciado, pode-se escrever:
VA VAÍndice 1 50% 0,5 0,5 VA 491
VU 982
VA 491Índice 2 0,3869 Índice 2 38,69%
VT 1269
VA VM 491 287Índice 3 0,2077 Índice 3 20,77%
VU 982
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= = = ⇒ =
− −
= = = ⇒ =
b) Considerando os dados do enunciado, pode-se escre-
ver:
VA VM VA 287Índice 3 0,1 0,1 VA 188,8
VU 982
VA 188,8Índice 2 0,1488 Índice 2 14,88%
VT 1269
− −
= − ⇒ = = − ⇒ =
= = = ⇒ =
2. 
a) 50% e 60%
b) R$ 100,00
73
GEOMETRIA PLANA
74
E.O. AprEndizAgEm
1. (CFTCE) Sendo, na figura a seguir, AB//DE, AB = 5 cm, 
BC = 7 cm, AC = 6 cm e DE = 10 cm, o valor de CD e CE, 
nesta ordem, em centímetros, é:
A B
C
D E
a) 14 e 12. d) 16 e 14.
b) 12 e 10. e) 8 e 6.
c) 10 e 8.
2. Na figura a seguir, os triângulos são semelhantes. En-
tão, o valor de x é:
H
I J
E
12
F G
2 x
30 4 x + 10
a) 10. c) 12.
b) 11. d) 13.
3. (CFTSC) Sabendo que uma pessoa de 1,80 m pro-
jeta uma sombra de 1,60 m, calcule a altura de uma 
árvore que projeta umasombra de 20 m nas mesmas 
condições.
a) 22 m. d) 28,80 m.
b) 22,50 m. e) 17,80 m.
c) 24 m.
4. A rampa de um hospital tem na sua parte mais eleva-
da uma altura de 2,2 metros. Um paciente, ao caminhar 
sobre a rampa, percebe que se deslocou 3,2 metros e 
alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve cami-
nhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:
a) 1,16 metros. d) 5,6 metros.
b) 3,0 metros. e) 7,04 metros.
c) 5,4 metros.
5. (UFRN) Numa projeção de filme, o projetor foi colo-
cado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que apa-
recesse a imagem de um homem com 3 m de altura. 
Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um 
homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a 
distância do projetor em relação à tela era de:
a) 18 m. c) 36 m.
b) 8 m. d) 9 m.
6. (CFTMG) Um cabo de aço AC de 7 m de comprimento 
foi utilizado para sustentar um muro, e uma barra de 
aço EB, paralela ao chão, foi fixada nesse cabo, perpen-
dicularmente ao muro, como mostra a figura.
E B
D C
A
Se AB = 3 m e AE = 2,4 m então AD, em metros, é:
a) 3,0. c) 4,6.
b) 4,0. d) 5,6.
7. (CFTMG) A figura a seguir apresenta um quadrado 
DEFG e um triângulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a 
altura, AH, 24 cm.
A medida do lado desse quadrado é um número:
a) par. c) divisível por 4.
b) primo. d) múltiplo de 5.
8. (UFRGS) Observe os discos de raios 2 e 4, tangentes 
entre si e às semirretas s e t, representados na figura 
abaixo. A distância entre os pontos P e Q é:
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9, 12 e 14
COMPETÊNCIAS: 2 e 3
AULAS 9 e 10
75
a) 9. d) 12.
b) 10. e) 13.
c) 11.
9. (IFCE) Sobre os lados AB e AC do triângulo ABC, são 
marcados os pontos D e E, respectivamente, de tal for-
ma que DE // BC, AE = 6 cm, DB = 2 cm, EC = 3 cm e 
DE = 8 cm. Nessas condições, a soma das medidas dos 
segmentos AD e BC, em centímetros, vale:
a) 12. d) 24.
b) 16. e) 30.
c) 18.
10. (IFCE)
O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo 
retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é:
a) 10. d) 4.
b) 8. e) 2.
c) 6.
E.O. FixAçãO
1. (PUC-RJ) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo 
isósceles ABC, como na figura abaixo:
Assumindo 
 DE = 

 GF = 12, 
 EF = 

 DG = 8 e 
 AB = 15, a altura 
do triângulo ABC é:
a) 35 ___ 4 . d) 180 ____ 7 .
b) 150 ____ 7 . e) 28 ___ 5 .
c) 90 ___ 7 .
2. (UFPR) Um telhado inclinado reto foi construído so-
bre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos 
A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas 
extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros 
e 6 metros de altura.
A altura do suporte em B é, então, de:
a) 4,2 metros. d) 5,2 metros.
b) 4,5 metros. e) 5,5 metros.
c) 5 metros.
3. (CPS) Marcelo mora em um edifício que tem a forma 
de um bloco retangular e, no topo desse edifício, está 
instalada uma antena de 20 metros.
Após uma aula de Matemática, cujo tema era Semel-
hança de Triângulos, Marcelo resolveu aplicar o que 
aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. 
Para isso, tomou algumas medidas e construiu o se-
guinte esquema:
• O segmento 

 AC é perpendicular aos segmentos 
 BF 
e 

 CE ;
• o segmento 
 AB representa a antena;
• o segmento 

 BC representa a altura do prédio;
• ponto D pertence ao segmento 

 CE ;
• o ponto F pertence ao segmento 
 AE ;
• o ponto B pertence ao segmento 

 AC ;
• os segmentos 

 BC e 
 FD são congruentes;
• a medida do segmento 
 BF é 12 m;
• a medida do segmento 
 DE é 36 m.
Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, 
em metros:
a) 45. d) 65.
b) 50. e) 70.
c) 60.
4. (CPS) Leia o texto a seguir.
Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi tam-
bém um próspero comerciante. Certa vez, visitou o Egi-
to em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele assom-
brou o faraó e toda a corte egípcia medindo a sombra 
da pirâmide de Quéops, cuja base é um quadrado de 
230 metros de lado.
Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou vertical-
mente no solo uma estaca que ficou com altura de 1 
metro acima do solo. As medidas dos comprimentos da 
sombra da pirâmide e da sombra da estaca são, respec-
tivamente, 255 metros e 2,5 metros.
AdAptAdo de: JAKUBoVIC, J., CeNtURIoN, M. e LeLLIS, 
M.C. MAteMátICA NA MedIdA CeRtA. São pAULo: SCIpIoNe.
76
raios de sol
estaca
sombra
da estaca
vara de medir
raios
de solaltura da
pirâmide
metade da
medida da
base
estaca incada
verticalmente
no solo
comprimento
da sombra da
estaca
comprimento
da sombra
da pirâmide
Com base nas informações do texto e das figuras, é váli-
do afirmar que a altura da pirâmide, em metros, é:
a) 14,80. d) 925.
b) 92,50. e) 1.480.
c) 148.
5. (UFRGS) Para estimar a profundidade de um poço 
com 1,10 m de largura, uma pessoa, cujos olhos estão 
a 1,60 m do chão, posiciona-se a 0,50 m de sua borda. 
Desta forma, a borda do poço esconde exatamente seu 
fundo, como mostra a figura.
1,10 m 1,60 m
0,50 m
Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundi-
dade do poço é:
a) 2,82 m d) 3,52 m
b) 3,00 m e) 3,85 m
c) 3,30 m
6. (CPS) A erosão é o processo de desgaste, transporte 
e sedimentação das rochas e, principalmente, dos solos. 
Ela pode ocorrer por ação de fenômenos da natureza 
ou do ser humano.
A imagem mostra uma fenda no solo, proveniente de erosão.
 
Para determinar a distância entre os pontos A e B da 
fenda, pode-se utilizar o modelo matemático da figura.
Na figura, tem-se:
• os triângulos AFC e EFD; 
• o ponto E pertencente ao segmento 
——
 AF ; 
• o ponto D pertencente ao segmento 
——
 CF ; 
• os pontos C, D e F pertencentes ao terreno plano 
que margeia a borda da fenda; e
• as retas 
 
»
 
 AC e 
 
»
 
 ED que são paralelas entre si.
Sabendo-se que BC = 5 cm, CD = 3 m, DF = 2 m e ED = 4,5m, 
então, a distância entre os pontos A e B e, em metros, 
a) 6,25. d) 7,25.
b) 6,50. e) 7,75.
c) 6,75.
7. (Udesc) Quando olhamos para um ambiente qualquer, 
a percepção de profundidade é possível devido a nos-
sa visão binocular. Por estarem separados em média 
65 mm em adultos, cada um dos nossos olhos registra 
uma imagem de um ângulo ligeiramente diferente. Ao 
interpretar essas imagens ao mesmo tempo, o cérebro 
forma um “mapa” dessas diferenças, tornando possível 
estimar a distância dos objetos em relação a nós.
A estereoscopia (popularmente conhecida como “ima-
gem 3D”) é uma técnica que consiste em exibir imagens 
distintas para cada olho do observador, representando 
o que se observaria em uma situação real. Assim, o 
cérebro pode ser “enganado” a interpretar os objetos 
representados como se estivessem flutuando diante da 
tela ou atrás dela.
Diversas tecnologias existem atualmente para conseguir 
isso. A mais comum delas, usada nas salas de cinema 3D, 
funciona com o uso de óculos polarizadores que filtram 
a imagem projetada na tela, permitindo que cada olho 
receba somente a imagem correspondente.
Um observador está em uma sala de cinema 3D usando 
óculos polarizadores e sobre a tela são projetados dois 
pontos A e B a uma distância de 30 cm um do outro, 
com A à esquerda de B. Os filtros polarizadores dos ócu-
los fazem com que o ponto A seja visto apenas por seu 
olho direito e o ponto B apenas por seu olho esquerdo, 
de forma que as linhas de visão de cada um dos olhos 
se interseccionem em um ponto X, conforme a figura. O 
observador verá apenas um único ponto, resultado da 
junção em seu cérebro dos pontos A e B, localizado em X.
Sabendo que a reta imaginária que passa por seus olhos é 
paralela àquela que passa pelos pontos A e B e estas dis-
tam 20 m entre si, e que sua distância interocular é de 60 
mm, a distância da tela em que ele verá a imagem virtual, 
formada no ponto X, é aproximadamente:
77
a) 6,6 m d) 16,7 m
b) 3,3 m e) 16 m
c) 4 m
8. Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 
7 cm, 9 cm e 14 cm. Qual é o perímetro do triângulo 
semelhante ao dado cujo ladomaior é de 21 cm?
a) 45 cm c) 60 cm
b) 55 cm d) 75 cm
9. (CPS) Os parques eólicos marítimos apresentam van-
tagens em relação aos parques eólicos terrestres, pois 
neles não há problema com o impacto sonoro e o des-
gaste das turbinas é menor, devido a menor turbulência 
do vento.
Na instalação dos parques eólicos marítimos, é preciso 
calcular sua distância até o continente, a fim de instalar 
os cabos condutores de eletricidade.
 
Observe o esquema que representa um parque eólico 
(A), uma estação elétrica (B) no continente e pontos 
auxiliares C, D e E para o cálculo da distância do parque 
eólico até a estação elétrica no continente.
 
No esquema temos:
• Ponto A: parque eólico marítimo;
• Ponto B: estação elétrica no continente;
• Ponto C: ponto auxiliar (C ∈ 
——
 AB ); 
• Ponto D: ponto auxiliar (D ∈ 
——
 AE ); 
• Ponto E: ponto auxiliar;
• A medida do segmento 
——
 CD é 150 metros;
• A medida do segmento 
——
 BC é 100 metros;
• A medida do segmento 
——
 BE é 200 metros;
• Os segmentos 
——
 CD e 
——
 BE são paralelos entre si.
Assim sendo, é correto afirmar que a distância do 
parque eólico marítimo até a estação elétrica no con-
tinente é, em metros, 
a) 75. d) 400.
b) 100. e) 425.
c) 300.
10. (FGV) Os pontos A, B, C, D, E e F estão em 
 AF e divi-
dem esse segmento em 5 partes congruentes. O ponto 
G está fora de 
 AF , e os pontos H e J estão em 

 GD e 

 GF , 
respectivamente.
Se 

 GA , 

 HC e  JE são paralelos, então a razão HC ____ JE é:
a) 5 __ 3 . d) 5 __ 4 .
b) 3 __ 2 . e) 6 __ 5 .
c) 4 __ 3 .
E.O. COmplEmEntAr
1. (EPCAR) Seja ABCD um paralelogramo cujos lados 
 AB 
e 

 BC medem, respectivamente, 5 e √
___
 10 . Prolongando o 
lado 
 AB até o ponto P, obtém-se o triângulo APD, cujo ân-
gulo A 
 ̂ 
 P D é congruente ao ângulo A 
 ̂ 
 C B, conforme a figura.
Então, a medida 
 AP é:
a) 0,2. c) 2 dXXX 10 _____ 5 .
b) 2. d) 
dXXX 10 ____ 5 .
2. (CP2) Observe a imagem (Figura 1) produzida pelo 
Observatório Astronômico de Lisboa (OAL) do eclipse 
total ocorrido no mês de setembro de 2015. Nela per-
cebe-se a existência de um cone de sombra.
78
A partir desta imagem, foi construído o esquema matemático 
apresentado na Figura 2:
Com base no esquema da Figura 2, e sabendo que os 
raios da Terra (RT) e do Sol (RS) medem, aproximada-
mente, 6.000 km e 690.000 km, respectivamente, e que 
a distância entre Terra e Sol (DTS) é de 150.000.000 km, 
então o comprimento aproximado da altura x desse 
cone de sombra é de 
a) 570.000 km.
b) 800.000 km.
c) 1.300.000 km.
d) 1.500.000 km.
3. (FGV) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7 e AC = 6/s e 
o lado 

 BC foi prolongado, como mostra a figura, até o 
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao 
triângulo PCA.
P
C
A B
7
6
8
O comprimento do segmento PC é:
a) 7. d) 10.
b) 8. e) 11.
c) 9.
4. (UFPR) Em uma rua, um ônibus com 12 m de compri-
mento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da 
base de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás 
do ônibus para um carro, cujo motorista tem os olhos a 
1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro, conforme 
indica a figura a seguir. Determine a menor distância (d) 
que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motor-
ista possa enxergar o semáforo inteiro.
1 m
5 m 2 md12 m
5 
m
a) 13,5 m d) 15,0 m
b) 14,0 m e) 15,5 m
c) 14,5 m
5. (Uel) Após um tremor de terra, dois muros paralelos 
em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abala-
dos. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os 
muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a 
figura adiante. Sabendo que os muros têm alturas de 9 
m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão 
as duas barras se interceptam? Despreze a espessura 
das barras.
9 m
3 m
a) 1,50 m d) 2,25 m
b) 1,75 m e) 2,50 m
c) 2,00 m
E.O. dissErtAtivO
1. (FGV)
a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade 
de cruzá-lo, foram feitas várias medições, como mos-
tra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio.
b) Demonstre que a distância do vértice B ao bari-
centro M de um triângulo é o dobro da distância do 
ponto E ao baricentro M.
2. (CCampos) Na figura abaixo, O é o centro de uma 
circunferência que tangencia o segmento BQ no pon-
to T. Considerando também que o segmento BA é per-
pendicular ao segmento AO, que M é o ponto médio do 
segmento AO e que BM = 4 MT, determine a medida do 
ângulo T 
 ̂ 
 M O.
79
3. (UFG) As “Regras Oficiais de Voleibol”, aprovadas 
pela Federação Internacional de Voleibol (FIVB), defi-
nem que a quadra para a prática desse esporte deve 
ser retangular, medindo 18 m de comprimento por 9 m 
de largura.
A rede, colocada verticalmente sobre a linha central 
da quadra, deve ter uma altura de 2,43 m para jogos 
profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há 
uma linha de ataque, desenhada a 3 m de distância da 
linha central, marcando a zona de frente, conforme a 
figura a seguir.
Durante um jogo profissional masculino, um jogador 
fez um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha 
de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo 
na bola no ponto H, fazendo-a descrever uma trajetória 
retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R, 
tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencen-
te à linha de fundo do campo adversário.
Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, 
que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto.
4. (Ufsc) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo 
como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de um 
rio, cuja largura é constante e igual a 2,5 km, e a distân-
cias de 2,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma 
das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A 
até B que, por razões de economia de orçamento, deve 
cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou 
seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em 
cada lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis 
para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estra-
da está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada:
 
Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a 
AC e a distância 
——
 HK' = 18 km. 
Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar 
a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade 
B (ou seja, o ponto D do ponto K, de modo que o 
percurso total da cidade A até a cidade B tenha com-
primento mínimo. 
5. Na figura, sabe-se que 
 ̂ 
 C e 
 ̂ 
 B são congruentes AR = 7cm, 
AS = 5 cm, SR = 4 cm e AB = 10 cm. Determine AD = x 
e BD = y.
6. (Ufg) Considere duas paredes paralelas, com distância 
de 4 m entre si e alturas de 10 m e 5 m. Uma fonte de luz 
puntiforme encontra-se na base da parede mais baixa e 
começa a deslocar-se horizontalmente no sentido oposto 
à parede mais alta, com velocidade constante. São rea-
lizadas medições consecutivas, em intervalos de tempo 
iguais, da distância da fonte de luz até a base da parede 
mais baixa, obtendo-se uma sequência, cujos três primei-
ros valores são: x – 1, 3x – 2 e 2x. Sabendo-se que são 
realizadas 11 medições, determine a altura da sombra da 
parede mais baixa na parede mais alta, projetada pela 
fonte de luz, no instante da décima primeira medição.
7. (FGV) Bem no topo de uma árvore de 10,2 metros 
de altura, um gavião-caboclo, no ponto A da figura, ob-
serva atentamente um pequeno roedor que subiu na 
mesma árvore e parou preocupado no ponto B, bem 
abaixo do gavião, na mesma reta vertical em relação ao 
chão. Junto à árvore, um garoto fixa verticalmente no 
chão uma vareta de 14,4 centímetros de comprimento 
e, usando uma régua, descobre que a sombra da vareta 
mede 36 centímetros de comprimento.
Exatamente nesse instante, ele vê, no chão, a sombra do 
gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar sobre 
a sombra do roedor, que não se havia movido de susto.
Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de 
voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente 
de A para B?
8. (Ufmg) Nosséculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no 
Japão uma forma particular de produzir matemática. 
Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar 
em templos placas contendo problemas, em geral de 
geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, 
apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, 
sem registrar a solução dos autores. O seguinte prob-
lema foi adaptado de um desses sangakus: considere 
ABCD um retângulo com AB = 160 e AD = 80; tome uma 
circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC 
e CD do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, 
interceptando a circunferência nos pontos P e Q.
80
 
Considerando essas informações,
a) DETERMINE o raio QO da circunferência.
b) DETERMINE o comprimento do segmento PQ. 
9. (UFPE) Na figura abaixo 
 AB = 
 AD = 25, 

 BC = 15 e 
 DE = 7. 
Os ângulos D 
 ̂ 
 E A, B 
 ̂ 
 C A e B 
 ̂ 
 F A são retos. Determine 
 AF .
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Na figura adiante, as distâncias dos pontos 
A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A 
e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de 
CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do 
segmento 

 CD , para que CÊA=DÊB?
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
2. (Fuvest) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver 
figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é 
o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retân-
gulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:
D
B
E
b
F
hG
C
A
a) 
(bh)
 _______ 
(h + b) 
 . b) 
(2bh)
 _______ 
(h + b) 
 . c) 
(bh)
 ________ 
(h + 2b) 
 .
d) 
(bh)
 ________ 
(2h + b) 
 . e) 
(bh)
 __________ 
[2(h + b)]
 .
3. (Fuvest) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita 
no triângulo isósceles ABC, no qual 
 AB = 

 AC . A altura 
relativa ao lado 

 BC mede 8 cm. O comprimento de 

 BC é, 
portanto, igual a:
a) 24 cm. d) 9 cm.
b) 13 cm. e) 7 cm.
c) 12 cm.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unifesp) No triângulo ABC da figura, que não está 
desenhada em escala, temos:
BAC � CBE,
ADF � BDF,
AC = 27,
A^ ^
^ ^
F
B
9
9
D 2715
8 E
C
BE = 8,
BD = 15 e
DE = 9.
BC = 9,
a) Mostre que os triângulos ABC e BEC são semelhan-
tes e, em seguida, calcule AB e EC.
b) Calcule AD e FD.
2. (Unesp) Para que alguém, com o olho normal, possa 
distinguir um ponto separado de outro, é necessário 
que as imagens desses pontos, que são projetadas em 
sua retina, estejam separadas uma da outra a uma dis-
tância de 0,005 mm.
Adotando-se um modelo muito simplificado do olho 
humano no qual ele possa ser considerado uma esfera 
cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, calcule a maior 
distância x, em metros, que dois pontos luminosos, dis-
tantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, 
para que este os perceba separados.
81
3. (Fuvest) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola 
branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, 
conforme o esquema a seguir.
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a 
trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha.
Assumindo que, em cada colisão da bola branca com 
uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de 
reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-
se jogar a bola branca?
4. (Unesp) Uma semicircunferência de centro O e raio r 
está inscrita em um setor circular de centro C e raio R 
conforme a figura.
O ponto D é de tangência de 

 BC com a semicircunferên-
cia. Se 
 AB = s, demonstre que R · s = R · r + r · s.
5. (Fuvest) Um teleférico transporta turistas entre os 
picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 
500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância 
entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 
m. Na figura, T representa o teleférico em um momento 
de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, 
os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em 
metros, até este momento.
 
a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico 
quando o seu deslocamento vertical é igual a 20 m?
b) Se o teleférico se desloca com velocidade constan-
te de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir 
do pico A ao pico B? 
6. (Unesp) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 
21 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, 
a uma altura de 9 dm.
Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar 
e do seu movimento parabólico, considere a trajetória 
descrita pela bola como sendo retilínea e contida num 
plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma 
distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, 
em metros, ela atingirá o outro lado da quadra? 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. A 3. B 4. D 5. B
6. D 7. D 8. D 9. B 10. D
E.O. Fixação
1. D 2. D 3. C 4. C 5. D
6. A 7. D 8. A 9. D 10. A
E.O. Complementar
1. B 2. C 3. C 4. D 5. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) Supondo que CAB ≅ BED = 90°, é fácil ver que os 
triângulos ABC e EBD são semelhantes por AA. Desse 
modo, temos
 
 
 AC ___ 
 
 ED 
 = 

 AB ___ 
 
 BE 
 ⇔  x __ 
2
 = 24 ___ 
2,5
 ⇔ x = 19,2 m.
b) Queremos mostrar que 
 BM = 2 · 
 ME .
De fato, sabendo que D e E são pontos médios de AB 
e AC respectivamente, tem-se que DE é base média do 
triângulo ABC e, portanto, 
 DE = 1/2 · 

 BC e DE // BC. Em 
consequência, os triângulos DEM e BCM são semelhantes 
por AA. Daí, 

 BM ___ 
 
 ME 
 = 

 BC ____ 
 
 DE 
 ⇒  

 BM ___ 
 
 ME 
 = 

 BC ______ 
 1 __ 
2
 · 

 BC 
 ⇔ 
⇔  
 BM = 2 · 
 ME .
82
2. 
Os triângulos MTO e MAB são semelhantes, logo:
 k __ a = a ___ 
4k
 ⇔ a² = 4k² ⇔ a = 2k.
Logo, no triângulo MTO, temos: cos α = k ___ 
2k
 ⇔ 
⇔ α = 60°.
3. 
Como AC // PD, pelo Teorema de Tales, segue que
 

 AP ___ 
 
 PB 
 = 
 
 CD ___ 
 
 DB 
 ⇔  
 
 AP ___ 
 
 PB 
 = 3 __ 
9
 = 1 __ 
3
 .
Os triângulos H 
 ̂ 
 A B e R 
 ̂ 
 P B são semelhantes. Portanto,
 

 HA ___ 
  
 RP 
 = 
 
 AB ___ 
  
 PB 
 ⇔  
 
 HA ___ 
 
 RP 
 = 

 AP + 
 PB __________ 
 
 PB 
 ⇔    

 HA ______ 
2,43
 = 4 ___ 
3
 ⇔ 
 
 HA = 3,24 m.
4. Considere a figura.
 
O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são 
colineares. Com efeito, se D' é um ponto da reta 
 
»
 
 DK e C' é o pé da 
perpendicular baixada de D' sobre a reta 
——
 HK' , então, pela Desigual-
dade Triangular, 
——
 BD' + 
——
 D'H = 
——
 BD' + 
——
 AC' > 
——
 BD + 
——
 DH = 
——
 BH . 
Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por 
AA, segue-se que 
 
——
 DK ___ 
 
——
 CH 
 = 
——
 BK ___ 
 
——
 CD 
 ⇔   
——
 DK __________ 
18 – 
——
 DK 
 = 5 ___ 
2,5
 
⇔ 
——
 DK = 12 km.
5. x = 14
y = 8
6. Como as três primeiras distâncias são x – 1, 3x – 2 e 2x e a 
velocidade da fonte de luz é constante. Então:
3x – 2 – (x – 1) = 2x – (3x – 2)
3x – 2 x + 1 = 2x – 3x + 2
2x – 1 = –x + 2
3x = 3
Concluímos então que a primeira medição indicará 0 m, a segun-
da medição indicará 1 m a terceira medição indicará 2 m e a 11ª 
medição indicará 10 m.
Logo, a figura que representa a sombra da fonte luminosa até 
a 11ª medição está representada abaixo, onde foi calculado o 
comprimento da sombra por semelhança de triângulo.
 
7. Cálculo da medida da sombra da árvore.
 10,2 _____ x = 14,4 _____ 
36
 ⇔ x = 25,5 m 
Aplicando Teorema de Tales, temos:
 d _____ 
10,2
 = 16 ____ 
255
 ⇔ d = 6,4 m
 8. 
83
a) O raio da circunferência é 80/2 = 40.
b) Admita PQ = x
 BQ2 = 402 + 802 ⇒ BQ = 40 √
__
 5 
 ∆POM ~ ∆MQB, logo:
 MQ ___ 
80
 = 40 _____ 
40 √
__
 5 
 
 √
__
 5 MQ = 80
 MQ = 16 √
__
 5 
 Logo, QP = 32 √
__
 5 
9. Considere afigura.
Como 
 AB = 25 = 5 · 5 e 

 BC = 15 = 5 · 3, segue que o triângulo 
ABC é semelhante ao triângulo retângulo de lados 5, 3 e 4. Logo, 
 

 AC = 5 · 4 = 20.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE, vem
 
 AD ² = 
 DE ² + 
 AE ² ⇔ 
 AE ² = 25² – 7² ⇒ 
 AE = √
____
 576 ⇔ 
 AE = 24.
Como os triângulos ADE e BGC são semelhantes por AA, temos 
que 

 GC ___ 
 
 DE 
 = 

 BC ___ 
 
 AE 
 ⇒  
 GC = 15 × 7 ________ 
24
 = 35/8.
Logo, 

 AG = 
 AD – 

 GC = 20 – 35 _______ 
8
 = 125 _____ 
8
 .
Por outro lado, os triângulos ADE e AGF também são semelhan-
tes por AA. Desse modo, 
 
 AF ___ 
 
 AE 
 = 

 AG ___ 
 
 AD 
 ⇔ 
 AF = 
 125 ____ 
8
 · 24
 ___________ 
25
 = 15.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. D 3. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Os triângulos ABC e BEC são semelhantes, pois 
B 
 ̂ 
 A C ≈ C 
 ̂ 
 B E e B 
 ̂ 
 C A ≈ E 
 ̂ 
 C B
AB = 24
EC = 3
b) AD = 15 e FD = 9
2. 1 _______ 0,005 = x ____ 15 ⇔ x = 15 ______ 
0,005
 ⇔ x = 3000 mm = 3 m.
3. D1 ~ D2 ~ D3
 1,2 – x _______ 
0,9
 = x __ y = 0,4 _______ 
0,8 – y
 
Aplicando a propriedade da proporção nas duas últimas razões:
 1,2 – x _______ 
0,9
 = x + 0,4 ________ 
y + 0,8 – y
 
 1,2 – x _________ 
0,9
 = x + 0,4 _________ 
0,8
 6,17 m
Resolvendo, temos: x = 6/17
Resposta x = 6/17 m
4. Considere a figura.
Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes. Logo,
 

 OC ___ 
 

 BC 
 = 

 OD ___ 
 
 BA 
 ⇔   R – r _____ 
R
 = r _ s ⇔ R·s – r · s = R · r ⇔ R · s = R · r + r · s c.q.d.
5. 
 
a) ∆ATD ~ ∆ABC: x ____ 
900
 = 20 ____ 
300
 ⇒ x = 60 m. 
b) AB = √
_______________
 (300)2 + (900)2 = 300 √
___
 10 
Sendo t o tempo para o teleférico ir de A até B, temos:
300 √
___
 10 = 1,5 · t ⇒ t = 200 √
___
 10 
84
6. Considere a figura abaixo.
 
Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes por AA.
Portanto, sabendo que 
——
 AB = 21 dm, 
——
 DE = 9 dm e 
——
 BE = 120 dm, vem
 
——
 AB ___ 
 
——
 DE 
 = 
——
 BC ___ 
 
——
 EC 
 ⇔  21 ___ 
9
 = 120 + 
——
 EC __________ 
 
——
 EC 
 
⇔ 7 · 
——
 EC = 360 + 3 · 
——
 EC 
⇔ 
——
 EC = 90 dm = 9 m.
85
E.O. AprEndizAgEm
1. (CFT-SC) O lado de um quadrado mede dXX 2 cm. Quanto 
mede sua diagonal?
a) 2 cm. d) 2 dXX 3 cm.
b) dXX 3 cm. e) 2 dXX 2 cm.
c) dXX 6 cm.
2. (PUC-RJ) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 
8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na di-
reção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta 
e o hidrante passou a ser:
a) 8 metros. d) 14 metros.
b) 10 metros. e) 16 metros.
c) 12 metros.
3. (IFCE) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um 
triângulo retângulo, mede 12 cm, e as projeções dos ca-
tetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do 
triângulo são, em centímetros, iguais a:
a) 10, 15 e 20. d) 16, 21 e 26.
b) 12, 17 e 22. e) 18, 23 e 28.
c) 15, 20 e 25.
4. (Insper) Duas cidades X e Y são interligadas pela ro-
dovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de ex-
tensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade 
Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e 
perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova 
rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do es-
tado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, 
distante 120 km da cidade Z.
O governo está planejando, após a conclusão da obra, cons-
truir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor 
extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é:
a) 250. d) 200.
b) 240. e) 180.
c) 225.
5. (Espcex) Na figura, o raio da circunferência de centro 
O é 25 ____ 2 e a corda MP mede 10 cm.
 
A medida, em centímetros, do segmento PQ é: 
a) 25 ___ 2 . d) √
___
 21 .
b) 10. e) 2 √
___
 21 .
c) 5 √
___
 21 .
6. (CFT-MG) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em 
Â. Sabendo-se que AD = 2, CD = 8 e BD = 5, a medida 
do lado BC é:
A 2 D 8 C
B
x
5
a) 11. c) 13.
b) 12. d) 14.
7. No triângulo da figura a seguir, o valor de x é:
a) 6. d) 9.
b) 7. e) 10.
c) 8.
8. (Acafe-SC) As projeções dos catetos de um triângulo 
retângulo sobre a hipotenusa medem 9 dm e 16 dm. 
Neste caso os catetos medem:
a) 15 e 20. c) 3 e 4.
b) 10 e 12. d) 8 e 6.
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
HABILIDADES: 7, 8, 9 e 12
COMPETÊNCIAS: 2 e 3
AULAS 11 e 12
86
9. (UFSJ) Considere uma corda AB, perpendicular ao 
diâmetro EC de um círculo de centro O. Sendo o pon-
to D a interseção dos segmentos AB e EC e sabendo 
que CD = 4 cm e ED = 9 cm, a área do triângulo AED, 
em cm2, é igual a:
a) 27. c) 36.
b) 18. d) 78.
10. (IFSP) Ao ligar, por segmentos de retas, os pontos mé-
dios dos lados de um quadrado de lado 60 cm, obtém-se 
um quadrilátero, cujo perímetro é, em centímetros:
a) 30 dXX 2 . d) 120 dXX 2 .
b) 60 dXX 2 . e) 150 dXX 2 .
c) 90 dXX 2 .
E.O. FixAçãO
1. (Insper) Na figura, 
——
 AD é um diâmetro da circunferên-
cia que contém o lado 
——
 BC do quadrado sombreado, cu-
jos vértices E e F pertencem à circunferência.
Se a é a medida do segmento 
——
 AB e ℓ é a medida do lado 
do quadrado, então ℓ __ a é igual a: 
a) √
__
 5 – 2. d) √
__
 5 ____ 2 .
b) √
__
 5 – 1 ________ 2 . e) √
__
 5 + 2.
c) √
__
 5 + 1 ________ 2 .
2. Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e 
D estão dispostas como vértices de um quadrado de 
40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central 
que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A 
e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova 
estação deve ser localizada:
a) no centro do quadrado.
b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando 
por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.
c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando 
por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB 
oposto a essa base.
e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
3. (Insper) A figura mostra parte de um campo de fute-
bol, em que estão representados um dos gols e a marca 
do pênalti (ponto P).
Considere que a marca do pênalti equidista das duas 
traves do gol, que são perpendiculares ao plano do 
campo, além das medidas a seguir, que foram aproxi-
madas para facilitar as contas.
• Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 
11 metros.
• Largura do gol: 8 metros.
• Altura do gol: 2,5 metros.
Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, se-
guindo uma trajetória reta, choca-se contra a junção da 
trave esquerda com o travessão (ponto T). Nessa situação, 
a bola terá percorrido, do momento do chute até o cho-
que, uma distância, em metros, aproximadamente igual a:
a) 12. d) 18.
b) 14. e) 20.
c) 16.
4. (Uespi) Uma circunferência de raio R é tangente 
externamente a duas circunferências de raio r, com 
r < R. As três circunferências são tangentes a uma mes-
ma reta, como ilustrado a seguir. Qual a distância entre 
os centros das circunferências de raio r?
a) 4 dXXX Rr . d) dXXX Rr .
b) 3 dXXX Rr . e) 
dXXX Rr _____ 2 .
c) 2 dXXX Rr .
5. (IFAL) Num retângulo, o comprimento é 8 cm e a altu-
ra é 15 cm. Quanto se deve subtrair da altura e do com-
primento a fim de diminuir em 4 cm a sua diagonal?
a) 4 cm. d) 1 cm.
b) 5 cm. e) 3 cm.
c) 2 cm.
6. As medidas dos catetos de um triângulo re-
tângulo são, respectivamente, 30 cm e 40 cm. 
A altura relativa à hipotenusa mede:
a) 24 cm. d) 23 cm.
b) 20 cm. e) 25 cm.
c) 31 cm.
7. (ITA) Seja ABC um triângulo retângulo, cujos
catetos 
 AB e 

 BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. 
Se D é um ponto sobre 
 ABe o triângulo ADC é isósceles, 
a medida do segmento 
 AD , em cm, é igual a:
a) 3 __ 4 . d) 25 ___ 4 .
b) 15 ___ 6 . e) 25 ___ 2 .
c) 15 ___ 4 .
87
8. (Ufrrj) Um arquiteto vai construir um obelisco de base 
circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes tri-
angulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é 
o centro do círculo de raio 2 m e os ângulos B 
 ̂ 
 O C e O 
 ̂ 
 B 
C são iguais.
B
C
O
A
O comprimento do segmento AB é:
a) 2 m. d) 2 dXX 5 m.
b) 3 m. e) 2 dXX 3 m.
c) 3 dXX 2 m.
9. (ESPM) A figura mostra um quadrado, dois círculos 
claros de raios R e dois círculos escuros de raios r, tan-
gentes entre si e aos lados do quadrado.
A razão entre R e r é igual a:
a) dXX 2 . d) 2.
b) dXX 3 . e) 
dXX 5 ___ 2 .
c) 3 __ 2 .
10. ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semi-
circunferência, traçada internamente ao quadrado, com 
diâmetro CD, e T a semicircunferência tangente ao lado 
AB em A e tangente à K. Nessas condições, o raio da 
semicircunferência T será:
a) 5L ___ 6 . d) 3L ___ 5 .
b) 4L ___ 5 . e) L __ 3 .
c) 2L ___ 3 .
E.O. COmplEmEntAr
1. (UFSJ) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo 
de raio igual a 8 cm possui um lado que mede 16 cm. 
A medida dos outros dois lados do triângulo, em cm, é 
igual a:
a) 8.
b) 8 dXX 2 .
c) 16.
d) 16 dXX 2 .
2. (PUC-RJ) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja 

 AD a bissetriz de C 
 ̂ 
 A B. Sabemos que 
 AB mede 1 e que 

 BD mede 1 __ 2 . Quanto mede o cateto 

 BC ?
a) 1. d) 4 __ 3 
b) 2. e) dXX 2 .
c) 3 __ 2 .
3. (ITA) Um triângulo está inscrito numa circunferência 
de raio 1 cm. O seu maior lado mede 2 cm e sua área é 
de 1 ____ 
 √
__
 2 
 . Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede: 
a) 1 – 1 ___ 
 √
__
 2 
 . d) 2 ___ 
 √
__
 6 
 .
b) √
______
 2 – √
__
 2 . e) 3 ___ 
 √
__
 6 
 .
c) 1 ___ 
 √
__
 2 
 .
4. (FGV) Um triângulo tem lados medindo 1 cm, 2 cm e 
2,5 cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado.
O valor de h2 expresso em cm2 é, aproximadamente, igual a:
a) 0,54. d) 0,60.
b) 0,56. e) 0,62.
c) 0,58.
5. (ITA) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 
48 cm², a razão entre as medidas
da altura AP e da base BC é igual a 2 __ 3 . Das afirmações 
abaixo:
I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem dXXX 97 cm;
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a medi-
ana BM, relativa ao lado AC, então cos α = 3 ____ 
 dXXX 97 
 .
É(são) verdadeira(s):
a) Apenas I. d) Apenas I e III.
b) Apenas II. e) Apenas II e III.
c) Apenas III.
E.O. dissErtAtivO
1. (UEMA) A figura abaixo representa uma quadra de 
futebol de salão com a bola localizada no ponto P, con-
forme descrito na figura de vértice ABCD. No ponto C, 
há um jogador que receberá a bola chutada a partir de 
onde ele está.
88
Determine a distância x do jogador (ponto C) à bola 
(ponto P) em unidade de comprimento.
2. No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se 
ver é o chamado gol olímpico, marcado como resultado 
da cobrança direta de um escanteio.
Suponha que neste tipo de gol:
1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de 
circunferência no plano do gramado;
2. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escant-
eio e o ponto do campo em que a bola entra no gol seja 
40 m.
3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da 
bola à linha de fundo do campo seja 1 m.
Determine o raio da circunferência (R), em metros, do 
arco descrito pela trajetória da bola, com uma casa de-
cimal de aproximação.
3. (PUC-RJ) Num triângulo, a base mede b cm, os outros 
dois lados medem 10 cm cada um e a altura mede a cm, 
onde 0 < a < 10.
a) Determine b em função de a.
b) Dado que os dois números a e b são números inteiros, 
mostre que b é par e ache os possíveis valores de b.
4. (UFMG) Nesta figura, está representada uma circun-
ferência de centro O:
O
FE
C
D
A B
Sabe-se que:
• os segmentos 
——
 AB e 
——
 BC medem, cada um, 4 cm;
• a reta 
——
 AB tangencia a circunferência no ponto B;
• o segmento 
——
 DF é perpendicular ao diâmetro 
——
 BC ; e
• E pertence à circunferência e é o ponto médio do 
segmento 
——
 DF .
Calcule o comprimento do segmento 
——
 OF .
5. (CFTRJ) Gustavo está no ponto A de uma floresta e 
precisa ir para o ponto B. Porém, ele está com muita 
sede e, antes, precisa ir até o rio para beber água. O rio 
está representado pela reta r na figura abaixo. Sabe-se 
que o ponto A e o ponto B estão, respectivamente, a 
300 m e 600 m do rio. A distância entre os pontos A e 
B é de 500 m. Calcule a menor distância que Gustavo 
pode percorrer.
6. Os catetos de um triângulo retângulo medem 24 e 18 cm. 
Nessas condições, determine:
a) a medida “a” da hipotenusa.
b) a medida “h” da altura relativa à hipotenusa a.
c) as medidas “m” e “n” das projeções dos catetos 
sobre a hipotenusa.
7. (Ufpr) A tela de uma TV está no formato widescreen, 
no qual a largura e a altura estão na proporção de 16 
para 9. Sabendo que a diagonal dessa tela mede 37 pole-
gadas, qual é sua largura e a sua altura, em centímetros?
(Para simplificar os cálculos, use as aproximações 
√
____
 337 ≈ 18,5 e 1 polegada ≈ 2,5 cm) 
8. (UFRJ) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD 
é um quadrado de lado 2 cm.
A B
E
CD
Calcule a distância 
——
 BE .
9. (UFPE) Seja r o raio, em cm, da circunferência inscrita 
em um triângulo retângulo com catetos medindo 6 cm 
e 8 cm. Quanto vale 24r?
E.O. UErj 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada 
para levantar carros, consiste em uma estrutura com-
posta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e 
BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de 
modo que o comprimento da base MN possa ser alterado 
pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:
89
Considere as seguintes medidas: AM = NA = BM = BN = 4 dm; 
MN = x dm; AB = y dm.
O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a:
a) dXXXXXXXX 16 – 4x² . c) 
dXXXXXXXX 16 – 4x² _________ 2 .
b) √
_______
 64 – x² . d) 
dXXXXXXXX 64 – 2x² _________ 2 .
2. (UERJ) Dois atletas partem simultaneamente do ponto 
A, com movimento uniforme, e chegam ao mesmo tempo 
ao ponto C. Um deles segue a trajetória AC, com veloci-
dade v1 km/h, e o outro segue a trajetória ABC, com velo-
cidade v2 km/h, conforme ilustra a figura a seguir.
Sendo a e c respectivamente, as medidas, em quilômetros, 
dos catetos BC e BA, podemos afirmar que 
v1 __ v2
 corresponde a:
a) 
( a2 + c2 ) _______ 
 √
______
 (a + c) 
 . c) [ √
______
 ( a + c ) _______ 
 ( a2 + c2 ) 
 ] .
b) ( a2 + c2 ) ____________ 
 [ ( √
__
 a ) + ( √
__
 c ) ] 
 . d) 
 [ √
_______
 ( a2 + c2 ) ] 
 __________ ( a + c ) .
E.O. UErj 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Observe a figura a seguir, que representa um 
quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos 
médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividi-
do em quatro partes para formar um jogo.
O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um 
retângulo cuja base seja maior que a altura. O retângu-
lo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema propos-
to no jogo.
Calcule a razão 
——
 PS ___ 
 
——
 PQ 
 .
2. (UERJ) Terno pitagórico é a denominação para os três 
números inteiros que representam as medidas, com a 
mesma unidade, dos três lados de um triângulo retângulo.
Um terno pitagórico pode ser gerado da seguinte forma:
• escolhem-se dois números pares consecutivos ou 
dois números ímpares consecutivos;
• calcula-se a soma de seus inversos, obtendo-se 
uma fração, cujo numerador e denominador re-
presentam as medidas dos catetos de um triân-
gulo retângulo;
• calcula-se a hipotenusa.
a) Utilizando o procedimento descrito, calcule asmedi-
das dos três lados de um triângulo retângulo, consid-
erando os números pares 4 e 6.
b) Considere x um número inteiro maior do que 1, e 
que (x – 1) e (x + 1) representam dois pares ou dois 
ímpares consecutivos.
Demonstre que esses dois números geram um terno 
pitagórico.
3. (UERJ) No triângulo ABC a seguir, os lados BC, AC e AB 
medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD 
relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonal-
mente no ponto G.
A
D
CEB
G
Conhecidos a e b, determine:
a) o valor de c em função de a e b;
b) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG. 
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Em um aparelho experimental, um feixe 
laser emitido no ponto P reflete internamente três vez-
es e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. 
Na figura abaixo, considere que o comprimento do seg-
mento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono 
ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e re-
flexão são congruentes, como se indica em cada ponto 
da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida 
pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?
a) 12 cm. c) 16 cm.
b) 15 cm. d) 18 cm.
90
2. (Unesp) Em 2014, a Companhia de Engenharia de 
Tráfego (CET) implantou duas faixas para pedestres na 
diagonal de um cruzamento de ruas perpendiculares do 
centro de São Paulo. Juntas, as faixas formam um "X" 
como indicado na imagem. Segundo a CET, o objetivo das 
faixas foi o de encurtar o tempo e a distância da travessia.
Antes da implantação das novas faixas, o tempo 
necessário para o pedestre ir do ponto A até o ponto C 
era de 90 segundos e distribuía-se do seguinte modo: 40 
segundos para atravessar 
——
 AB , com velocidade média v; 
20 segundos esperando o sinal verde de pedestres para 
iniciar a travessia 
——
 BC ; e 30 segundos para atravessar 
——
 BC , 
também com velocidade média v. Na nova configuração 
das faixas, com a mesma velocidade média a economia 
de tempo para ir de A até C, por meio da faixa 
——
 AC , em 
segundos, será igual a 
a) 20. d) 10.
b) 30. e) 40.
c) 50.
3. (Unesp) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômi-
ca foi detonada sobre a cidade japonesa de Nagasaki. A 
bomba explodiu a 500 metros de altura acima do ponto 
que ficaria conhecido como “marco zero”.
 
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de ima-
gens na qual o herói, acompanhado do militar japonês 
Yashida, se encontrava a 1 km do marco zero e a 50 m 
de um poço. No momento da explosão, os dois correm 
e se refugiam no poço, chegando nesse local no mo-
mento exato em que uma nuvem de poeira e material 
radioativo, provocada pela explosão, passa por eles. 
A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, 
da explosão da bomba, do poço e dos personagens do 
filme no momento da explosão da bomba.
 
Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 
km/h e adotando a aproximação √
__
 5 ≅ 2,24, os perso-
nagens correram até o poço, em linha reta, com uma 
velocidade média, em km/h, de aproximadamente: 
a) 28. d) 36.
b) 24. e) 32.
c) 40.
4. (Unesp) Uma mesa de passar roupa possui pernas ar-
ticuladas 
——
 AB e 
——
 CD , conforme indica a figura. Sabe-se que 
——
 AB = 
——
 CD = 1m, e que M é ponto médio dos segmentos 
coplanares 
——
 AB e 
——
 CD Quando a mesa está armada, o tam-
po fica paralelo ao plano do chão e a medida do ângulo 
A 
 ̂ 
 M C é 60º. 
Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e 
da espessura do tampo e adotando √
__
 3 = 1,7, a altura 
do tampo dessa mesa armada em relação ao plano do 
chão, em centímetros, está entre 
a) 96 e 99. d) 92 e 95.
b) 84 e 87. e) 88 e 91.
c) 80 e 83.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Na figura abaixo, a circunferência de centro 
em O e raio r tangencia o lado 
——
 BC do triângulo ABC no 
ponto D e tangencia a reta 
‹
 
___
 
›
 AB no ponto E. Os pontos 
A, D e O são colineares, AD = 2r e o ângulo ACO é reto. 
Determine, em função de r: 
 
a) a medida do lado 
——
 AB do triângulo ABC. 
b) a medida do segmento 
——
 CO . 
2. (Fuvest) Um transportador havia entregado uma en-
comenda na cidade A, localizada a 85 km a noroeste da 
cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB 
em linha reta.
91
No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na ci-
dade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam 
A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de 
mesma extensão. Com base em sua experiência, o 
transportador percebeu que esse desvio de rota, antes 
de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse 
o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por 
hora adicional de viagem.
a) Indique a localização das cidades A, B e C no es-
quema apresentado a seguir.
 
b) Calcule a distância em cada um dos trechos per-
pendiculares do caminho. (Considere a aproximação 
√
__
 2 = 1,4.) 
c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto rel-
ativamente ao retorno em linha reta.
d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o 
litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu 
rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço 
mínimo para o transportador aceitar o trabalho. 
3. (Unesp) A figura, fora de escala, representa o terre-
no plano onde foi construída uma casa.
 
Sabe-se do quadrilátero ABEF que:
• seus ângulos A 
 ̂ 
 B E e A 
 ̂ 
 F E são retos.
• 
——
 AF mede 9 m e 
——
 BE mede 13 m.
• o lado 
——
 EF é 2 m maior que o lado 
——
 AB .
Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos 
lados 
——
 AB e 
——
 EF ? 
4. (Unicamp 2017) A figura abaixo exibe três círculos no 
plano, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e 
raios de comprimentos a, b e c respectivamente.
 
a) Determine os valores de a, b e c sabendo que a 
distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e 
C é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm. 
b) Para a = 2 cm e b = 3 cm, determine o valor de c > b de 
modo que o triângulo de vértices em A, B e C seja retângulo.
5. (Fuvest)
Na figura acima, as 12 circunferências têm todas o 
mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao 
quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte 
das diagonais do quadrado tangencia quatro das circun-
ferências (ver figura), e que o quadrado tem lado 2 dXX 7 , 
determine r.
6. (Unicamp) Um artesão precisa recortar um retângulo 
de couro com 10 cm × 2,5 cm. Os dois retalhos de couro 
disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados 
nas figuras a seguir.
a) O retalho semicircular pode ser usado para a ob-
tenção da tira? Justifique.
b) O retalho triangular pode ser usado para a ob-
tenção da tira? Justifique.
7. (Fuvest) Um poste vertical tem base quadrada de lado 
2. Uma corda de comprimento 5 está esticada e presa a 
um ponto P do poste, situado à altura 3 do solo e distan-
do 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda 
está no solo, conforme indicado na figura.
A corda é então enrolada ao longo das faces 1 e 2, man-
tendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até 
que a corda toque duas arestas da face 2 em pontos R e 
B, conforme a figura.
1
1
P
PB
A
A
R
2
2
Nessas condições:
a) calcule 
——
 PR .
b) calcule 
——
 AB .
92
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. B 3. C 4. E 5. E
6. A 7. B 8. A 9. A 10. D
E.O. Fixação
1. C 2. C 3. A 4. A 5. E
6. A 7. D 8. E 9. C 10. E
E.O. Complementar
1. B 2. D 3. B 4. C 5. A
E.O. Dissertativo
1. x = dXXX 37 u.c.
2. R = 200,5 m
3. 
a) b = 2 dXXXXXXXX 100 – a2 .
b) Sabendo que a e b são inteiros, √
________
 100 – a2 = k é in-
teiro. Portanto, b = 2k é um número par. Como 0 < a < 10, os 
possíveis valores para 100 – a2 são: 99, 96, 91, 84, 75, 64, 51, 
36, 19. Destes, apenas 64 e 36 são quadrados perfeitos. 
Logo, b = 2 dXXX 64 = 16 e b = 2 dXXX 36 = 12 são os únicos 
valores que b pode assumir.
4. 6 __ 5 cm 
5. AB' = 100 √
___
 97 cm.
6.
a) 30 cm
b) 14,40 cm
c) m = 19,20 cm e n = 10,80 cm
7. H = 45 cm e L = 80cm.
8. x = dXX 6 – dXX 2 
9. 48
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. B 2. D
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
——
 PS ____ 
 
——
 PQ 
 = 5
2. 
a) a = 13, b = 5 e c = 12
b) De modo análogo ao item (a), vem: 
 1 _____ x – 1 + 1 _____ x + 1 = x + 1 + x – 1 ____________ 
x2 – 1
 = 2x ______ 
x2 – 1
 
Assim, b = 2x e c = x2 – 1.
e, portanto, a= √
________________
 4x2 + x4 – 2x2 + 1 = √
________
 (x2 + 1)2 = x2 + 1.
E como x é um inteiro maior do que 1, podemos concluir que x2 + 1, 
2x e x2 - 1 são inteiros.
c.q.d. 
3. a) √
______
 a
2 + b2
 ______ 5 b) 
S1 __ 
S2
 = 1
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. E 3. D 4. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. a) 
——
 AB = 3r √
__
 2 _________ 
2
 b) 
——
 CO = r √
__
 3 
2. 
a) 
 
A
C B
b) 59, 5 km
c) A diferença de percurso, em km, é: 2 ∙ 59,5 – 85 = 34 km.
d) Valor mínimo ≈ 106,86 
3. 
——
 AB = 21 m e 
——
 EF = 23 m
4. 
a) a = 1 cm b = 4 cm c = 5 cm
b) c = 10 cm
5. √
__
 7 ∙ ( √
__
 2 – 1)
6. 
a) No semicírculo,
x² + 5² = 6² ⇔ x = dXXX 11 (maior que 3).
Logo, o retalho semicircular poderá ser usado para a 
obtenção da tira.
b) No triângulo:
 6 – x _____ 
6
 = 10 ____ 
16
 ⇔ x = 2,25 (menor que 2,5).
Logo, o retalho triangular não poderá ser usado para 
a obtenção da tira.
7. 
a) PR = 5 __ 
4
 b) AB = 5 __ 
4
 
93
E.O. AprEndizAgEm
1. (UFTM) Na figura estão posicionadas as cidades vi-
zinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha 
reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a dis-
tância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, 
entre B e C é igual a:
a) 8 dXXX 17 . d) 20 dXXX 15 .
b) 12 dXXX 19 . e) 20 dXXX 13 .
c) 12 dXXX 23 .
2. (UFSM) A caminhada é uma das atividades físicas que, 
quando realizada com frequência, torna-se eficaz na 
prevenção de doenças crônicas e na melhora da qual-
idade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma 
pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e re-
torna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer 
todo o trajeto?
a) 2,29. d) 3,50.
b) 2,33. e) 4,80.
c) 3,16.
3. (PUC-SP) Leia com atenção o problema proposto a 
Calvin na tira seguinte.
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um 
triângulo, cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a 
resposta correta que Calvin deveria encontrar para o 
problema é, em centímetros:
a) 5 dXX 3 _____ 3 . d) 5 √
__
 3 .
b) 8 dXX 3 _____ 3 . e) 10 √
__
 3 .
c) 10 dXX 3 ______ 3 .
4. (IFSP) A base de um triângulo isósceles mede 3 dXX 3 cm 
e o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos la-
dos congruentes desse triângulo, em centímetros, é:
a) 3. d) 1 + dXX 3 .
b) 2. e) 2 – dXX 3 .
c) dXX 3 .
5. (UFSCar) Se os lados de um triângulo medem x, x + 1 
e x + 2, então, para qualquer x real e maior que 1, o cos-
seno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a: 
a) x/(x + 1). d) (x – 2)/3x.
b) x/(x + 2). e) (x – 3)/2x.
c) (x + 1)/(x + 2).
6. (UFSCar) Na figura, ADB é reto, BAC = a, CAD = b, 
——
 AC = 4 dm 
e 
——
 BC = 1 dm.
A
4
1
C
B
D
α
β
Sabendo que cos (a + b) = 4 __ 5 , o valor de sen a é:
a) 2 __ 3 . d) 1 __ 5 .
b) 3 __ 5 . e) 1 __ 6 .
c) 2 __ 5 .
7. (UFJF) Uma praça circular de raio R foi construída a 
partir da planta a seguir:
TRIGONOMETRIA NUM TRIÂNGULO QUALQUER
HABILIDADES: 7, 8, 9 e 14
COMPETÊNCIAS: 2 e 3
AULAS 13 e 14
94
Os segmentos 
 AB , 

 BC e 

 CA simbolizam ciclovias con-
struídas no interior da praça, sendo que 
 AB = 80 m. De 
acordo com a planta e as informações dadas, é CORRE-
TO afirmar que a medida de R é igual a:
a) 160 dXX 3 _______ 3 m. d) 8 dXX 3 _____ 3 m.
b) 80 dXX 3 ______ 3 m. e) 
dXX 3 ____ 3 m.
c) 16 dXX 3 ______ 3 m.
8. (CFT-MG) Um grupo de escoteiros pretende esca-
lar uma montanha até o topo, representado na figura 
abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acam-
pamento B e de 60° do acampamento A.
Dado: sen20º = 0,342
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e 
realizado segundo um ângulo de 30° em relação à base 
da montanha, então, a distância entre B e D, em m, é de, 
aproximadamente:
a) 190. c) 260.
b) 234. d) 320.
9. (UFSM) A figura a seguir apresenta o delta do rio 
Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. 
Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, im-
portante parque de preservação ambiental. Sua proxi-
midade com a região metropolitana torna-o suscetível 
aos impactos ambientais causados
pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo 
A mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma maneira de 
estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do 
meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto 
C. Essa distância, em km, é:
a) 8 dXX 6 ____ 3 . d) 8 ( dXX 2 + dXX 3 ) .
b) 4 dXX 6 . e) 2 dXX 6 ____ 3 .
c) 8 dXX 2 + dXX 3 .
10. (UFPB) A prefeitura de certa cidade vai construir, 
sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que 
deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados 
nas margens opostas do rio. Para medir a distância en-
tre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro 
ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma mar-
gem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um 
teodolito (instrumento de precisão para medir ângu-
los horizontais e ângulos verticais, muito empregado 
em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que 
os ângulos B 
 ̂ 
 C A e C 
 ̂ 
 A B mediam, respectivamente, 30º e 
105º, conforme ilustrado na figura a seguir.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a 
distância, em metros, do ponto A ao ponto B é de:
a) 200 dXX 2 . d) 100 dXX 2 .
b) 180 dXX 2 . e) 50 dXX 2 .
c) 150 dXX 2 .
E.O. FixAçãO
1. (UFG) Observe a figura a seguir, em que estão indica-
das as medidas dos lados do triângulo maior e alguns 
dos ângulos.
O seno do ângulo indicado por α na figura vale:
a) 4 dXX 3 – 3 ________ 10 . d) 4 + 3 dXX 3 ________ 10 .
b) 4 – dXX 3 _______ 10 . e) 4 dXX 3 + 3 ________ 10 .
c) 4 – 3 dXX 3 ________ 10 .
2. (FGV) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de 
lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele.
95
O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a:
a) 4 + dXX 2 . d) 4 + dXX 5 .
b) 4 + dXX 3 . e) 2(2 + dXX 2 ).
c) 6.
3. (Fatec) Sejam a, b e g, as medidas dos ângulos inter-
nos de um triângulo.
Se sena/senb = 3/5, sena/seng = 1 e o perímetro do 
triângulo é 44, então a medida do maior lado desse 
triângulo é:
a) 5. d) 20.
b) 10. e) 25.
c) 15.
4. (Eear) Seja um triângulo inscrito em uma circunferên-
cia de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 
30º, seu lado oposto a esse ângulo mede 
a) R __ 2 c) 2R
b) R d) 2R ___ 3 
5. (Ufrgs) As medidas dos lados de um triângulo são 
proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de seus ângulos 
internos são, portanto:
a) 1 __ 8 , 1 __ 8 , 1 __ 2 . d) 1 __ 2 , 1 __ 2 , 1 __ 4 .
b) 1 __ 4 , 1 __ 4 , 1 __ 8 . e) 1 __ 2 , 1 __ 2 , 7 __ 8 .
c) 1 __ 4 , 1 __ 4 , 7 __ 8 .
6. (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 
8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°.
O seno do ângulo B vale:
a) 1 __ 2 . d) 4 __ 5 .
b) 2 __ 3 . e) 5 __ 6 .
c) 3 __ 4 .
7. (IFSUL) Em certa cidade, a igreja está localiza no 
ponto A, a prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto 
C, como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que 
a distância da igreja à prefeitura é de 10 metros, a 
distância da prefeitura à livraria corresponde a 15 me-
tros, e que o ângulo formado por essas duas direções 
é 60º,a distância da livraria à igreja é
 
a) 17 √
__
 5 m c) 25 √
__
 7 m
b) 5 √
__
 7 m d) 7 √
__
 5 m
8. (UFPB) Para explorar o potencial turístico de uma ci-
dade, conhecida por suas belas paisagens montanho-
sas, o governo pretende construir um teleférico, ligando 
o terminal de transportes coletivos ao pico de um mor-
ro, conforme a figura a seguir.
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de 
transportes coletivos (ponto A), com uma parada 
intermediária (ponto B), e o ponto de chegada lo-
calizado no pico do morro (ponto C);
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de che-
gada localizado no ponto C, sem parada intermediária.
Supondo que 
 AB = 300 dXX 3 m, 

 BC = 200 m B 
 ̂ 
 A P = 20º e 
C 
 ̂ 
 B N = 50º, é correto afirmar que a distância entre os 
pontos A e C é de:
a) 700 m. d) 706 m.
b) 702 m. e) 708 m.
c) 704 m.
9. (PUC-RJ) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão 
entre os comprimentos dos segmentos 

 AC e 
 AB é igual a:
a) dXX 2 . d) dXX 3 .
b) 3 __ 2 . e) 2.
c) 1 + dXX 5 _______ 2 .
10. (Udesc) Quadros interativos são dispositivos de in-
terface humana que permitem ao usuário interagir com 
as imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas 
por um computador. O uso desses quadros é cada vez 
mais comum em instituições de ensino, substituindo o 
quadro para giz ou o quadro branco.
Uma das tecnologias que possibilita essa interação fun-
ciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos 
da tela onde a imagem é projetada, e de uma caneta ele-
trônica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais 
simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso 
luminoso (infravermelho). O pulso de ultrassom é usado 
para calcular a distância da ponta da caneta até o sensor, 
enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o 
ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que 
une o sensor à ponta da caneta.
Considere um quadro interativo de 3 metros de largura 
por 2 metros de altura, representado no primeiro qua-
drante de um plano cartesiano, com o sensor instalado 
na origem. Um usuário aciona a caneta em três pontos 
distintos da tela, gerando as leituras de distância e de 
ângulo apresentadas na tabela:
Ponto Distância Ângulo
A 2 m 60°
B 2 m 30°
C 1 m 30°
96
O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é:
a) escaleno.
b) equilátero.
c) isósceles de base BC.
d) isósceles de base AB.
e) retângulo em A.
E.O. COmplEmEntAr
1. (FEI) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o 
lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os 
lados AB e BC mede 60°, então o lado AC mede:
a) dXXX 37 cm. d) 3 dXX 3 cm.
b) dXXX 13 cm. e) 2 dXX 2 cm.
c) 2 dXX 3 cm.
2. (Ime) Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bis-
setriz relativa ao ângulo  . Sabe-se que:
 
——
 AC = 
——
 AD , r = 
—— 
 AB ___ 
 
——
 AC 
 e que 
 ̂ 
 C = a .
Portanto o valor de sen2a é 
a) 3r – 1 _______ 4 d) 3r + 1 _______ 4r 
b) 3r – 1 _______ 4r e) 3r + 1 _______ 4 
c) r + 3 ______ 4 
3. (ITA) Seja ABC um triângulo equilátero e suponha 
que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais 
que 
——
 BM = 
——
 MN = 
——
 NC . Sendo a a medida, em radianos, 
do ângulo MÂN, então o valor de cosa é:
a) 13 ___ 14 . d) 16 ___ 17 .
b) 14 ___ 15 . e) 17 ___ 18 .
c) 15 ___ 16 .
4. (Mackenzie) 
Na figura acima, ABC e AED são triângulos retângulos. Se 
m( 
——
 AC ) = ℓ, m(BÂC) = a, m(A 
 ̂ 
 D E) = β e m(A 
 ̂ 
 B C) = (D 
 ̂ 
 A E) = 90º 
então m( 
——
 BD ) é 
a) ℓ · cosa
b) ℓ · sen2a
c) ℓ · cosa · senβ
d) ℓ · cos2a _____ 
senβ  
e) ℓ · sen2a _____ 
cosβ  
5. (ITA) Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, con-
sidere os pontos P, M e N pertencentes aos lados 
——
 AB , 
——
 BC 
e 
——
 AC respectivamente, tais que
a) P é o ponto médio de 
——
 AB ; 
b) M é o ponto médio de 
——
 BC ; 
c) PN é a bissetriz do ângulo A 
 ̂ 
 P C. 
Então, o comprimento do segmento 
——
 MN é igual a 
a) √
________
 10 – 4 √
__
 3 d) √
________
 10 – 5 √
__
 3 
b) √
_______
 5 – 2 √
__
 3 e) √
_______
 5 √
__
 3 – 5 
c) √
_______
 6 – 3 √
__
 3 
E.O. dissErtAtivO
1. (CFT-RJ) Considerando que ABC é um triângulo tal que 
AC = 4 cm, BC = dXXX 13 cm e 
 ̂ 
 A = 60º calcule os possíveis 
valores para a medida do lado AB.
2. (Ufpr) Considere o triângulo a seguir.
 
a) Quanto mede o ângulo a? 
b) Quanto mede x? 
3. (FGV)
a) Determine o perímetro do triângulo na forma deci-
mal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum 
destes dados: 352 = 1225; 362 = 1296; 372 = 1369.
b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em 
cartolina. Decidiu construir o triângulo com as se-
guintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm e 16 cm. Ele 
conseguirá fazer o cartaz? Por quê?
4. (UFPE) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, 
unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a se-
guir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um 
ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-
se os ângulos C 
 ̂ 
 B A = 57° e A 
 ̂ 
 C B = 59°. Sabendo que 
——
 BC 
mede 30 m, indique, em metros, a distância 
——
 AB . (Dado: 
use as aproximações sen(59°) ≈ 0,87 e sen(64°) ≈ 0,90)
97
57º
59º C
B
A
5. (Ufjf-pism – Adaptado) Seja ABC um triângulo cujas 
medidas dos ângulos internos formam uma progressão 
aritmética não constante e cujos lados AB e AC têm me-
didas √
__
 6 cm e 3 cm, respectivamente.
a) Prove que um dos ângulos internos desse triângulo 
mede 60º. 
b) Suponha que o ângulo A 
 ̂ 
 B C seja o que mede 60º. 
Determine a medida do ângulo A 
 ̂ 
 C B.
6. (UFPE) Na ilustração a seguir, a casa situada no ponto 
B deve ser ligada com um cabo subterrâneo de energia 
elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a distância 
——
 AB, 
são medidos a distância e os ângulos a partir de dois 
pontos O e P, situados na margem oposta do rio, sendo 
O, A e B colineares. Se O 
 ̂ 
 P A = 30°, P 
 ̂ 
 O A = 30°, A 
 ̂ 
 P B = 45° 
e OP = (3 + dXX 3 ) km, calcule 
——
 AB em hectômetros.
7. (Uece – Adaptado) Sejam x, y e z as medidas dos lados 
do triângulo XYZ e R a medida do raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo. Se o produto dos senos dos 
ângulos internos do triângulo é 
k · x · y · z
 _______________ 
R3 deter-
mine o valor de k.
8. Os lados de um triângulo têm, como medidas, númer-
os inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15.
a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
9. A corda comum de dois círculos que se interceptam 
é vista de seus centros sob ângulos de 90° e 60°, re-
spectivamente, como é mostrado na figura a seguir. 
Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual 
a dXX 3 + 1, determine os raios dos círculos.
O1
A
B
O2
60º
10. Na figura a seguir, O é o centro da circunferência de 
raio 1, a reta 
——
 AB é secante a ela, o ângulo b mede 60° 
e sen a = 
( dXX 3 )
 ______ 4 .
A
B
0
α
β
a) Determine sen O 
 ̂ 
 A B em função de 
——
 AB .
b) Calcule 
——
 AB .
E.O. UErj 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu 
esquema no plano.
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que 
gira em torno do centro A.
Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 
polegada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verti-
calmente para cima ou para baixo, variando a dis-
tância AC e o ângulo BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a 
distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida 
pela seguinte equação: 
a) y = 4 + sen(x).
b) y = 4 + cos(x). 
c) y = sen(x) + √
___________
 16 – cos2(x) .
d) y = cos(x) + √
___________
 16 – sen2(x) .
98
2. (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 
metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao 
plano dochão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, 
uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados 
à base B, conforme demonstra a figura a seguir:
A
B C D
Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a 
medida do ângulo CÂD corresponde a: 
a) 60°.
b) 45°.
c) 30°.
d) 15°.
E.O. UErj 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ 2017) Ao coletar os dados para um estudo 
topográfico da margem de um lago a partir dos pontos 
A, B e T, um técnico determinou as medidas AT = 32 m; 
BT = 13 m e A 
 ̂ 
 T B = 120º, representadas no esquema abaixo.
 
Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B, 
definidos pelo técnico nas margens desse lago.
2. (UERJ) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ân-
gulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente.
BA
C
Determine os valores de cada um desses ângulos, re-
spectivamente, nas seguintes condições:
a) sen A + sen B + sen C = 
( 3 + √
__
 3 ) ________ 2 
b) 
——
 AB = 2 
——
 BC 
3. (UERJ) A figura 1 representa uma chapa de metal 
com a forma de um triângulo retângulo isósceles em 
que 
——
 AB = 
——
 BC = 
——
 CD = 2 m.
Dobrando-a nas linhas BE e CE, constrói-se um objeto 
que tem a forma de uma pirâmide. 
B
E
B
C
A = D
C D
E
A
Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno 
do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
A VIDA LÁ É MAIS CARA...
Só é possível chegar a Fernando de Noronha de barco 
ou avião. Por isso, tudo fica mais caro. Veja alguns ex-
emplos
– Milheiro de tijolos 
Diferença em relação ao Recife: +840%
– Mercurocromo
Diferença em relação ao Recife: +600%
– Quilo de sal
Diferença em relação ao Recife: +300%
– Quilo de tomate
Diferença em relação ao Recife: +190%
– Botijão de gás
Diferença em relação ao Recife: +140%
– Quilo de batata
Diferença em relação ao Recife: +82%
– Litro de gasolina
Diferença em relação ao Recife: +68%
(VeJA, 12/07/2000.)
4. (UERJ) 
Distância do Recife
Tempo de
545 quilômetros
Fernando
de Noronha
Rio Grande
do Norte
Paraíba
Pernambuco
Recife
Natal Oceano
Atlântico
barco 50 horas
avião 1h35min
Distância de Natal
Tempo de
360 quilômetros
barco 36 horas
avião 1h10min
Considere os pontos N, R e F para designar, respectiva-
mente, Natal, Recife e Fernando de Noronha.
Sabendo-se que o ângulo NFR é igual a 30°, calcule a 
medida aproximada do segmento NR, distância entre 
as cidades de Natal e Recife. 
99
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-retângulo ABC-
DEFGH, representado na figura, tem medida dos lados 
AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
 
O seno do ângulo H 
 ̂ 
 A F é igual a: 
a) 1 ____ 
2 √
__
 5 
 . d) 2 ___ 
 √
__
 5 
 .
b) 1 ___ 
 √
__
 5 
 . e) 3 ____ 
 √
___
 10 
 .
c) 2 ____ 
 √
___
 10 
 .
2. (Unesp) Um professor de geografia forneceu a seus 
alunos um mapa do estado de São Paulo, que informa-
va que as distâncias aproximadas em linha reta entre 
os pontos que representam as cidades de São Paulo e 
Campinas e entre os pontos que representam as cida-
des de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamen-
te, 80 km e 160 km. Um dos alunos observou, então, que 
as distâncias em linha reta entre os pontos que repre-
sentam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba 
formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno 
notou que as distâncias em linha reta entre os pontos 
que representam as cidades de São Paulo, Guaratingue-
tá e Campinas formavam um triângulo retângulo, con-
forme mostra o mapa.
Com essas informações, os alunos determinaram que a 
distância em linha reta entre os pontos que represen-
tam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, 
é próxima de: 
a) 80 ∙ √
_________
 2 + 5 ∙ √
__
 3 .
b) 80 ∙ √
_________
 5 + 2 ∙ √
__
 3 .
c) 80 ∙ √
__
 6 .
d) 80 ∙ √
_________
 5 + 3 ∙ √
__
 2 .
e) 80 ∙ √
______
 7 ∙ √
__
 3 .
3. (Unicamp 2017) Considere o triângulo retângulo ABD 
exibido na figura abaixo, em que 
——
 AB = 2 cm, 
——
 BC = 1 cm 
e 
——
 CD = 5 cm. Então, o ângulo θ é igual a:
 
a) 15º. c) 45º.
b) 30º. d) 60º.
4. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentágono com 
todos os lados de mesmo comprimento.
 
A medida do ângulo θ é igual a 
a) 105º. c) 135º.
b) 120º. d) 150º.
5. (Unifesp) Em um triângulo com lados de comprimen-
tos a, b, c, tem-se (a + b + c)(a + b – c) = 3ab. A medida 
do ângulo oposto ao lado de comprimento c é: 
a) 30°. d) 90°.
b) 45°. e) 120°.
c) 60°.
6. (Unicamp) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos 
isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamen-
te, e o ângulo C 
 ̂ 
 A B = 30º Portanto, o comprimento do 
segmento CE é:
a) a dXX
 5 __ 3 . c) a dXX
 7 __ 3 .
b) a dXX
 8 __ 3 . d) a dXX 2 .
7. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma 
planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do 
rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o 
objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, 
em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se 
encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, 
avalia que os ângulos B 
 ̂ 
 A C e B 
 ̂ 
 C D valem 30°, e o A 
 ̂ 
 C B 
vale 105°, como mostra a figura:
100
A altura h do mastro da bandeira, em metros é:
a) 12,5. d) 25,0 dXX 2 .
b) 12,5 dXX 2 . e) 35,0.
c) 25,0.
8. (Fuvest) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O 
cosseno do maior ângulo de T é:
a) 5/6. d) 2/3.
b) 4/5. e) 1/8.
c) 3/4.
9. (Unesp) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sa-
cudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala 
Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km 
de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 
320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira 
onda do tsunami após 13 minutos.
(o eStAdo de S.pAULo, 13.03.2011. AdAptAdo.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que 
cos a > 0,934, onde a é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sen-
dai, e que 28 · 32 · 93,4 > 215 100, a velocidade média, 
em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a 
cidade de Sendai foi de:
a) 10. d) 250.
b) 50. e) 600.
c) 100.
10. (Fuvest) No quadrilátero a seguir, 
——
 BC = 
——
 CD = 3 cm, 
——
 AB = 2 cm, A 
 ̂ 
 D C = 60° e A 
 ̂ 
 B C = 90°.
BA
D
C
A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:
a) 11. d) 14.
b) 12. e) 15.
c) 13.
11. (Fuvest) No losango ABCD de lado 1, representado 
na figura, tem-se que M é o ponto médio de 
 AB , N é o 
ponto médio de 

 BC e MN = √
___
 14 _____ 4 . Então, DM é igual a:
a) 
dXX 2 ___ 4 . d) 3 dXX 2 ____ 2 .
b) 
dXX 2 ___ 2 . e) 5 dXX 2 ____ 2 .
c) dXX 2 .
12. (Fuvest) Em uma semicircunferência de centro C e 
raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D 
o ponto onde a bissetriz do ângulo A 
 ̂ 
 C B intercepta a 
semicircunferência. O comprimento da corda 
 AD é:
C
A
D
B
a) R dXXXXXX 2 – dXX 3 . d) R dXXXXXX dXX 3 – 1 .
b) R dXXXXXXX dXX 3 – dXX 2 . e) R dXXXXX 3 – 2 .
c) R dXXXXXX dXX 2 – 1 .
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Uma bola branca está posicionada no ponto 
Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermel-
ha, no ponto P, conforme a figura abaixo.
101
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da 
mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do seg-
mento 
——
 PR , e o ângulo agudo formado por PR e L mede 
60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida 
pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um 
ângulo agudo θ com o segmento 
——
 PR e o mesmo ângulo 
agudo a com o lado L antes e depois da reflexão. Deter-
mine a tangente de a e o seno de θ.
2. (Unesp 2017) Uma lancha e um navio percorrem ro-
tas lineares no mar plano com velocidades constantes 
de 80 e 30 km/h, respectivamente. Suas rotas, como 
mostra a figura, estão definidas por ângulos constan-
tes de medidas iguais a a e b, respectivamente. Quan-
do a lanchaestá no ponto L e o navio no ponto N, a 
distância entre eles é de 10 km.
 
Sendo P o ponto em que a lancha colidirá com o navio, 
demonstre que o ângulo obtuso L 
 ̂ 
 P N será igual a a + b. 
Em seguida, calcule a distância entre N e P, considerando 
cos(a + b) = – 9 ____ 16 .
3. (Unicamp) Um topógrafo deseja calcular a distância 
entre pontos situados à margem de um riacho, como 
mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as 
distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos 
especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de 
um teodolito.
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
4. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas 
por rodovias, conforme mostra a figura.
BDA
E
C
yx
A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os 
ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais 
que senx = 3 __ 4 e seny = 3 __ 7 . Deseja-se construir uma nova 
rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição 
destas cidades, será paralela a BC.
a) Use a lei dos senos para determinar quantos 
quilômetros tem a rodovia BC.
b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos 
quilômetros terá a rodovia DE.
5. (Unicamp) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um 
mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir.
N
C
B
A 150º
30º 90º
2 km
1 km
a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos 
pontos A, B e N.
b) Calcule o comprimento do segmento NB.
102
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. D 3. C 4. A 5. E
6. D 7. B 8. B 9. B 10. D
E.O. Fixação
1. A 2. B 3. D 4. B 5. C
6. B 7. B 8. A 9. D 10. A
E.O. Complementar
1. B 2. D 3. A 4. D 5. D
E.O. Dissertativo
1. 1 cm ou 3 cm.
2. 
a) a = 45º
b) x = 4 √
__
 6 
3. 
a) perímetro = 6 + 8 + 7,2 = 21,2.
b) Não, pois 16 > 6 + 8 (a medida do lado de um triân-
gulo deve ser menor que a medida dos outros dois).
4. 29 metros.
5. 
a) Sejam os ângulo internos θ – r; θ; θ + r, assim a 
soma do ângulos é 3θ = 180º, logo θ = 60º. 
b) AC ______ 
sen A 
 ̂ 
 B C
 = AB _______ 
sen A 
 ̂ 
 C B
 , 
então 3 _____ 
sen60
 ° = √
__
 6 _______ 
sen A 
 ̂ 
 C B
 , 
portanto sen A 
 ̂ 
 C B = √
__
 2 ___ 
2
 ⇒ A 
 ̂ 
 C B = 45º.
6. 20 hm.
7. k = 0,125
8. 
a) 3, 5, 7
b) 120°
9. R = 2; r = dXX 2 
10. 
a) sen O 
 ̂ 
 A B = √
__
 3 __________ 
4AB
 
b) AB = √
___
 13 + 1 ________ 
6
 
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. D 2. B
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
——
 AB = 40 m
2. 
a) A = 30°, B = 60° e C = 90°
b) A = 30°, B = 60° e C = 90° 
3. 
( √
__
 6 ) _____ 
3
 
4. 295 km 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. B 3. C 4. B 5. C
6. C 7. B 8. E 9. E 10. B
11. B 12. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. senθ = √
___
 21 ____ 7 
2. 
——
 NP = 3 km
3. 
a) x = 5 dXX 3 m
b) y = 5 dXX 7 m
4. 
a) BC = 70 km
b) DE = 42 km
5. 
a) 1 km
b) dXX 2 km
103
E.O. AprEndizAgEm
1. (Insper) A figura abaixo representa uma peça de vidro 
recortada de um retângulo de dimensões 12 cm por 25 
cm. O lado menor do triângulo extraído mede 5 cm.
A área da peça é igual a:
a) 240 cm2. d) 270 cm2.
b) 250 cm2. e) 280 cm2.
c) 260 cm2.
2. (UFPB) Um ambientalista, desejando estimar a área 
de uma região de preservação ambiental, observou em 
um mapa, com escala de 1 cm para cada 100 km, que o 
formato da região era, aproximadamente, um triângulo 
retângulo de catetos medindo 2 cm e 3 cm. Com base 
nesses dados, conclui-se que a área da região de preser-
vação ambiental era, aproximadamente, de:
a) 20.000 km². d) 40.000 km².
b) 30.000 km². e) 60.000 km².
c) 35.000 km².
3. (Unemat) No triângulo equilátero ABC, os pontos M 
e N são respectivamente pontos médios dos lados 
 AB 
e 

 AC .
O segmento 
 MN mede 6 cm.
A área do triângulo ABC mede:
a) 18 dXX 3 cm². d) 30 dXX 3 cm².
b) 24 dXX 2 cm². e) 36 dXX 3 cm².
c) 30 dXX 2 cm².
4. (UFMG) Nesta figura plana, há um triângulo equiláte-
ro, ABE, cujo lado mede a, e um quadrado, BCDE, cujo 
lado também mede a:
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que 
a área do triângulo ABC é:
a) a² __ 3 . c) a
2 √
__
 3 ____ 4 .
b) a² __ 4 . d) a
2 √
__
 3 ____ 8 .
5. (IFSul) A área, em cm2, de um hexágono regular de 3 cm 
de lado, está no intervalo:
a) [10,15]. c) [20,25].
b) [15,20]. d) [25,30].
6. (UFPB) A prefeitura de certa cidade reservou um ter-
reno plano, com o formato de um quadrilátero, para 
construir um parque, que servirá de área de lazer para 
os habitantes dessa cidade. O quadrilátero ABCD, a se-
guir, representa a planta do terreno com algumas medi-
ções que foram efetuadas:
Com base nos dados apresentados nessa figura, é cor-
reto afirmar que a área do terreno reservado para o 
parque mede:
Use: dXX 3 ≈ 1,73
a) 56.300 m². d) 57.000 m².
b) 56.800 m². e) 58.300 m².
c) 57.300 m².
ÁREAS DOS TRIÂNGULOS
HABILIDADES: 7, 8, 9 e 14
COMPETÊNCIAS: 2 e 3
AULAS 15 e 16
104
7. (PUC-MG) De uma placa quadrada de 16 cm2, foi recor-
tada uma peça conforme indicado na figura. A medida 
da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é:
a) 4. c) 6.
b) 5. d) 7.
8. (IFSC) Um triângulo retângulo tem hipotenusa igual 5 
cm e os catetos medindo um o dobro do outro. É COR-
RETO afirmar que a medida de sua área em cm2 é:
a) dXX 5 . d) 5.
b) 10. e) 8 dXX 5 .
c) 10 dXX 5 .
9. (Eear) Assinale a alternativa que representa, correta-
mente, a área do triângulo esboçado na figura abaixo.
10 m
6 m
30º
a) 15 m2. c) 15 √
__
 3 m2.
b) 30 √
__
 2 m2. d) 30 √
__
 3 m2.
10. (Ufrgs) As figuras abaixo apresentam uma decom-
posição de um triângulo equilátero em peças que, con-
venientemente justapostas, formam um quadrado.
O lado do triângulo mede 2 cm, então, o lado do quadra-
do mede, em centímetros:
a) 
dXX 3 ___ 3 . d) 3 dXX 3 .
b) 
dXX 3 ___ 2 . e) dXX 3 .
c) 4 dXX 3 .
E.O. FixAçãO
1. (CFT-MG) A figura 1 é uma representação plana da 
“Rosa dos Ventos”, composta pela justaposição de qua-
tro quadriláteros equivalentes mostrados na figura 2.
√2
_
Figura 2
11
 c
m
Figura 1
Sul
Oeste Leste
Norte
Com base nesses dados, a área da parte sombreada da 
figura 1, em cm2, é igual a:
a) 12. c) 22.
b) 18. d) 24.
2. (ESPM) Uma folha de papel retangular foi dobrada 
como mostra a figura abaixo. De acordo com as me-
didas fornecidas, a região sombreada, que é a parte 
visível do verso da folha, tem área igual a:
a) 24 cm2. d) 35 cm2.
b) 25 cm2. e) 36 cm2.
c) 28 cm2.
3. (Ulbra) A figura a seguir representa um cubo de lado 
medindo 6 cm e um triângulo ABC.
 
A área desse triângulo mede 
a) 36 √
__
 2 cm2. d) 12 √
__
 2 cm2.
b) 18 √
__
 2 cm2. e) 6 √
__
 2 cm2.
c) 24 √
__
 2 cm2.
4. (IFCE) Na figura abaixo, os segmentos 
——
 AB , 
——
 AE e 
——
 ED 
possuem o mesmo comprimento. Sendo F o ponto 
médio do segmento 
——
 BE e sabendo-se que ABCD é um 
retângulo de área 200 m2, é correto concluir-se que a 
área do triângulo CDF, em metros quadrados, vale:
a) 120. d) 75.
b) 100. e) 50.
c) 90.
105
5. (EPCAR) Considere duas calçadas r e s, paralelas en-
tre si, a uma distância de 6 m uma da outra.
Duas pessoas distantes 5 m uma da outra se encontram 
nos pontos A e B definidos na calçada s. Na calçada r 
está uma placa de parada de ônibus no ponto X que 
dista 10 m da pessoa posicionada em A. Quando a pes-
soa em A se deslocar para P sobre o segmento 
——
 AX , a 
distância que irá separá-la da pessoa posicionada no 
ponto B, em metros, será de 
a) 3 c) 5
b) 4 d) 6
6. (UPE) A medida da área do triângulo retângulo, rep-
resentado a seguir, é de 12,5 cm2. Qual é o valor aproxi-
mado do seno do ângulo "θ". Considere √
__
 2 ≈ 1,4. 
 
a) 0,45. d) 0,71.
b) 0,52. e) 0,85.
c) 0,61.
7. (ITA) Um triângulo ABC está inscrito numa circun-
ferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que 
 AB é o diâmet-ro, 

 BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo A 
 ̂ 
 B C intercepta 
a circunferência no ponto D. Se a é a soma das áreas 
dos triângulos ABC e ABD e b é a área comum aos dois, 
o valor de a – 2b, em cm2, é igual a:
a) 14. d) 17.
b) 15. e) 18.
c) 16.
8. (IFCE) Sobre os lados AB e BC do retângulo ABCD são 
tomados os pontos M e N, respectivamente, de tal for-
ma que 
——
 AM , 
——
 MB e 
——
 BN tenham medida 1, e 
——
 NC tenha 
medida 3.
Nessas condições, a área do triângulo MND é 
a) 4. d) 3,5.
b) 2. e) 2,5.
c) 3.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Mackenzie) Na figura, ABCDEF é um hexágono regu-
lar e a distância do vértice D à diagonal FB é 3. A área do 
triângulo assinalado é:
a) dXX 3 . d) 3.
b) 2 dXX 3 . e) 6.
c) 4 dXX 3 .
2. A figura abaixo consta de um hexágono formado por 
24 triângulos equiláteros de lado 1. A área sombreada 
é formada por três triângulos equiláteros de tamanhos 
distintos entre si. Se S é a área sombreada e B é a área 
não sombreada do hexágono, o valor de B __ 
S
 é:
a) 11 ___ 24 . c) 9 ___ 11 .
b) 15 ___ 24 . d) 13 ___ 11 .
3. (Cefet-MG) Na figura seguinte, representou-se um 
quarto de circunferência de centro O e raio igual a dXX 2 .
Se a medida do arco AB é 30°, então a área do triângulo 
ACD, em unidades de área, é:
a) 
dXX 3 ___ 2 . d) dXX 3 .
b) 
dXX 3 ___ 4 . e) dXX 6 .
c) dXX 2 .
4. (Insper) No triângulo ABC da figura, M é ponto médio 
de 
 AB e P e Q são pontos dos lados 

 BC e 

 AC , respectiva-
mente, tais que 
——
 BP = 
——
 AQ = a e 
——
 PC = 
——
 QC = 4a.
106
Os segmentos 
 AP , 

 BQ e 

 CM interceptam-se no ponto O e 
a área do triângulo BOM é 5 cm2. Dessa forma, a área do 
triângulo BOP, assinalado na figura, é igual a:
a) 5 cm2. d) 9 cm2.
b) 6 cm2. e) 10 cm2.
c) 8 cm2.
5. (UECE) Uma reta paralela a um dos lados de um triân-
gulo equilátero intercepta os outros dois lados determi-
nando um triângulo menor e um trapézio, os quais têm 
o mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo 
menor e a área do trapézio é:
a) 6 __ 4 . c) 8 __ 6 .
b) 7 __ 5 . d) 9 __ 7 .
E.O. dissErtAtivO
1. (CFT-RJ) Sejam ABC e DEF dois triângulos equiláteros. 
Sabendo que o perímetro de DEF é 3 unidades maior do 
que o perímetro de ABC e sua área é o dobro da área de 
ABC, qual é a medida dos lados de ABC?
2. (UFBA) Na figura, os triângulos MNP e MNQ são 
retângulos com hipotenusa comum MN, o triângulo 
MNP é isósceles, e seus catetos medem cinco unidades 
de comprimento.
Considerando tga = 1 __ 3 e a área de MNQ igual a x uni-
dades de área, determine o valor de 4x.
3. (PUC-RJ) Considere o triângulo acutângulo ABC. Sabe-
mos que o segmento 
 AB mede 13 e que o segmento 

 AC 
mede 10. Seja 
 BE a altura relativa ao vértice B, isto é, E 
pertence ao segmento 

 AC e 
 BE é perpendicular a 

 AC , 
conforme a figura. Sabemos que 
 BE mede 12.
a) Calcule quanto mede o lado 

 BC 
b) Seja 

 CF a altura relativa ao vértice C. Calcule o 
comprimento de 

 CF .
c) Seja X um ponto sobre o lado 

 BC . Os pontos Y e Z 
pertencem aos lados 
 AB e 

 AC , respectivamente. Sabe-
mos que 
 XY é perpendicular a 
 AB , que 
 XZ é perpen-
dicular a 

 AC , e que 
 XY = 5. Calcule o comprimento do 
segmento 
 XZ .
4. Seja ABC um triângulo com lados 
 AB = 15, 

 AC = 12 e 

 BC = 18. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que 

 PC = 3AP. 
Tomando Q sobre BC, entre B e C, tal que a área do 
quadrilátero APQB seja igual a área do triângulo PQC, 
qual será o valor de 

 BQ ?
5. (ITA) Um hexágono convexo regular H e um triângulo 
equilátero T estão inscritos em circunferência de raios 
RH e RT respectivamente. Sabendo-se que H e T têm mes-
ma área, determine a razão 
RH ___ RT
 .
6. (UFU) Na Figura 1, o triângulo retângulo ABC possui 
ângulo reto em B, 
 AF = 1 cm, 
 AC = 10 cm e BDEF é um 
quadrado. Suponha que o quadrado BDEF seja transla-
dado ao longo de AC, sem alterar a medida dos lados 
e ângulos ao longo dessa translação, gerando, dessa 
forma, um novo quadrado XYZW, em que coincidem os 
pontos C e Z conforme ilustra a Figura 2.
Nessas condições, qual é o valor (em cm2) da área do 
triângulo HZW?
7. (UFPR) Calcule a área do quadrilátero P1P2P3P4, cujas 
coordenadas cartesianas são dadas na figura abaixo.
8. (UEG) A figura representa no plano cartesiano um 
triângulo ABC, com coordenadas A (0, 5), B (0, 10) e 
C (x, 0), em que x é um número real positivo.
107
Tendo em vista as informações apresentadas:
a) encontre a função F que representa a área do triân-
gulo ABC, em função de sua altura relativa ao lado AB;
b) esboce o gráfico da função F.
9. (UFSC) Calcule a área, em cm2, de um triângulo retângu-
lo cuja hipotenusa mede 10 cm e cujo raio da circunferên-
cia inscrita mede 1 cm.
10. (UFMG) Considere esta figura:
Nessa figura:
• o triângulo ABC é equilátero, de lado 3;
• o triângulo CDE é equilátero, de lado 2;
• os pontos A, C e D estão alinhados; e
• o segmento 
 BD intersecta o segmento 
 CE no ponto F
Com base nessas informações:
a) determine o comprimento do segmento 
 BD .
b) determine o comprimento do segmento 
 CF .
c) determine a área do triângulo sombreado BCF.
E.O. UErj 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de 
acrílico, cuja diagonal 
 AC mede 40 cm,Um estudante, para 
construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa 
placa nas direções 
 AE e 
 AC de modo que D 
 ̂ 
 A E = 45° e 
B 
 ̂ 
 A C = 30°, conforme ilustrado a seguir:
Após isso, o estudante descartou a parte triangular 
CAE, restando os dois esquadros.
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível 
e que dXX 3 ≈ 1,7, a área, em cm² do triângulo CAE equiv-
ale a:
a) 80.
b) 100.
c) 140.
d) 180.
2. (UERJ) Para confeccionar uma bandeirinha de festa 
junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de 
largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às in-
struções abaixo.
1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento 
 MN, 
e abri-lo novamente:
2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de 
modo que B coincida com o ponto P do segmento 
 MN:
3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.
A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é 
igual a:
a) 25(4 – dXX 3 ).
b) 25(6 – dXX 3 ).
c) 50 (2 – dXX 3 ).
d) 50(3 – dXX 3 ).
3. (UERJ) Um triângulo equilátero possui perímetro P, 
em metros, e área A, em metros quadrados. Os valores 
de P e A variam de acordo com a medida do lado do 
triângulo. Desconsiderando as unidades de medida, a 
expressão Y = P – A indica o valor da diferença entre os 
números P e A. 
O maior valor de Y é igual a: 
a) 2 √
__
 3 .
b) 3 √
__
 3 .
c) 4 √
__
 3 .
d) 6 √
__
 3 . 
108
4. (UERJ) A figura 1 mostra uma pessoa em uma asa-del-
ta. O esquema na figura 2 representa a vela da asa-del-
ta, que consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD 
congruentes, com 
 AC = 
 AB = 
 AD . A medida de AB corre-
sponde ao comprimento da quilha. Quando esticada em 
um plano, essa vela forma um ângulo CÂD = 2θ.
Figura 2
A B
D
C
θ
θ
Figura 1
Suponha que, para planar, a relação ideal seja de 10 
dm2 de vela para cada 0,5 kg de massa total. Consid-
ere, agora, uma asa-delta de 15 kg que planará com 
uma pessoa de 75 kg.
De acordo com a relação ideal, o comprimento da quil-
ha, em metros, é igual à raiz quadrada de: 
a) 9 cos θ. c) 9 _____ 
cos θ  .
b) 18 sen θ. d) 18 _____ 
sen θ  .
5. (UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da fig-
ura 1, de dimensões 8 cm × 14 cm, é dobrada como 
indicado na figura 2.
B
B
A A
E
CDCD
figura 1 figura 2
Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, 
em cm2, é igual a: 
a) 112. c) 64.
b) 88. d) 24.
E.O. ObjEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest 2017) Na figura, o retânguloABCD tem la-
dos de comprimento 
 AB = 4 e 
 AB = 2. Sejam M o ponto 
médio do lado 
——
 BC e N o ponto médio do lado 
——
 CD . Os 
segmentos 
——
 AM e 
——
 AC interceptam o segmento 
——
 BN nos 
pontos E e F, respectivamente.
 
A área do triângulo AEF é igual a: 
a) 24 ___ 25 . d) 16 ___ 15 .
b) 29 ___ 30 . e) 23 ___ 20 .
c) 61 ___ 60 .
2. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de 
lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do 
polígono DEFGHI vale:
a) 1 + √
__
 3 . d) 3 + 2 √
__
 3 .
b) 2 + √
__
 3 . e) 3 + 3 √
__
 3 .
c) 3 + √
__
 3 .
3. (Unesp) A figura representa um triângulo retângulo 
de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é para-
lelo ao lado AB do triângulo.
A B
E
8
D
20
C
15
Se 
 AB = 15 cm, 
 AC = 20 cm e 
 AD = 8 cm, a área do 
trapézio ABED, em cm2, é: 
a) 84. d) 150.
b) 96. e) 192.
c) 120.
4. (Unicamp) O segmento 
 AB é o diâmetro de um semicír-
culo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme 
a figura abaixo.
 
109
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangu-
lar, respectivamente, por S(w) e T(w), podemos afirmar 
que a razão S(w)/T(w) quando w = π/2 radianos, é: 
a) π/2. c) π.
b) 2π. d) π/4.
5. (Unifesp) Dois triângulos congruentes ABC e ABD, de 
ângulos 30°, 60° e 90°, estão colocados como mostra a 
figura, com as hipotenusas AB coincidentes.
A B
CD
Se AB = 12 cm, a área comum aos dois triângulos, em 
centímetros quadrados, é igual a 
a) 6. d) 12.
b) 4 √
__
 3 . e) 12 √
__
 3 .
c) 6 √
__
 3 .
6. (Fuvest) Uma das piscinas do Centro de Práticas Es-
portivas da USP tem o formato de três hexágonos re-
gulares congruentes, justapostos, de modo que cada 
par de hexágonos tem um lado em comum, conforme 
representado na figura abaixo. A distância entre lados 
paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área 
da piscina.
a) 1.600 m2
b) 1.800 m2
c) 2.000 m2
d) 2.200 m2
e) 2.400 m2
7. (Fuvest) A área de um triângulo de lados a, b e c é 
dada pela fórmula
S = dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX p (p – a) (p – b) (p – c) 
onde p é o semiperímetro (2p = a + b + c).
Qual a área de um triângulo de lados 5, 6 e 7?
a) 15
b) 21
c) 7 √
__
 5 
d) dXXXX 210 
e) 6 dXX 6 
8. (Fuvest) O segmento 
 AB é lado de um hexágono reg-
ular de área dXX 3 . O ponto P pertence à mediatriz de 
 AB 
de tal modo que a área do triângulo PAB vale dXX 2 . Então, 
a distância de P ao segmento 
 AB é igual a:
a) dXX 2 . d) dXX 3 .
b) 2 dXX 2 . e) 2 dXX 3 .
c) 3 dXX 2 .
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest)
C
BEA
F
x
G
O triangulo ABC da figura ao lado é equilátero de lado 
1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos 
lados, e 
——
 AB , 
——
 AC e 
——
 BC do triângulo. Além disso, os ângulos 
A 
 ̂ 
 F E e C 
 ̂ 
 G F são retos e a medida do segmento 
——
 AF é x.
Assim, determine:
a) a área do triangulo AFE em função de x.
b) o valor de x para o qual o ângulo F 
 ̂ 
 E G também é reto. 
2. (Unifesp) Na figura, os triângulos ABD e BCD são isós-
celes. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo C reto, 
e A, B, C estão alinhados.
CBA
D
a) Dê a medida do ângulo BÂD em graus.
b) Se BD = x, obtenha a área do triângulo ABD em 
função de x. 
3. (Unicamp) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo 
têm as seguintes medidas: 
 AB = 20, 

 BC = 15 e 

 AC = 10.
110
a) Sobre o lado 
 BC marca-se um ponto D tal que 
 BD = 3 
e traça-se o segmento 
 DE paralelo ao lado 
 AC. Ache 
a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao 
lado 
 AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado 

 ED, sem explicitar os valores de h e H.
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC 
em relação ao lado 

 AC.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. B 3. E 4. B 5. C
6. C 7. C 8. D 9. A 10. C
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. B 4. D 5. A
6. D 7. A 8. E
E.O. Complementar
1. A 2. D 3. A 4. C 5. D
E.O. Dissertativo
1. A medida dos lados do triângulo ABC é( dXX 2 + 1) unidades.
2. 30
3. 
a) Os triângulos EAB e ECB são congruentes pelo 
caso LAL e BC = 13.
b) CF = 120 _____ 
13
 
c) XZ = 11 ____ 
2
 
4. BQ = 6 u.c.
5. 
RH ____ 
RT
 = √
__
 2 ____ 
2
 
6. 3 ___ 2 cm²
7. A = 22 unidades de área
8. 
a) F(x) = 5x ____ 
2
 
b) Observe o gráfico a seguir:
9. A = 
x · y
 _____ 
2
 = 22 ___ 
2
 = 11
10. 
a) 
 BD = dXXX 19 
b) CF = 6 __ 5 
c) A = √
__
 3 ___ 9
10
 
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. C 2. B 3. B 4. D 5. C
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. C 3. B 4. A 5. E
6. A 7. E 8. E
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) SAFE = x
2 √
__
 3 _____ 
2
 u.a.
b) x = 1 __ 5 u.c.
2. 
a) 22°30'
b) x
2 √
__
 2 _____ 
4
 unidades de área
3. 
a) H __ 
h
 = 5
b) H = 15 √
___
 15 ______ 
4
 
	EO_matematica_2_1
	EO_matematica_2_2
	EO_matematica_2_3